Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem13 45558
Description: ๐น applied to ๐‘Œ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem13.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โІ โ„‚)
etransclem13.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
etransclem13.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
etransclem13.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘๐‘ƒ)))
etransclem13.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‹)
Assertion
Ref Expression
etransclem13 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Œ) = โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
Distinct variable groups:   ๐‘—,๐‘€,๐‘ฅ   ๐‘ƒ,๐‘—,๐‘ฅ   ๐‘—,๐‘‹,๐‘ฅ   ๐‘—,๐‘Œ,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘—,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ฅ,๐‘—)

Proof of Theorem etransclem13
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem13.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โІ โ„‚)
2 etransclem13.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
3 etransclem13.m . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
4 etransclem13.f . . 3 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘๐‘ƒ)))
5 eqid 2727 . . 3 (๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))) = (๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))
6 eqid 2727 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(((๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(((๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ))
71, 2, 3, 4, 5, 6etransclem4 45549 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(((๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ)))
8 simpr 484 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€))
9 cnex 11211 . . . . . . . . 9 โ„‚ โˆˆ V
109ssex 5315 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โІ โ„‚ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ V)
11 mptexg 7227 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ V โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))) โˆˆ V)
121, 10, 113syl 18 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))) โˆˆ V)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))) โˆˆ V)
14 oveq1 7421 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—))
1514oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) = ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
1615cbvmptv 5255 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
1716mpteq2i 5247 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))) = (๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))
1817fvmpt2 7010 . . . . . 6 ((๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))) โˆˆ V) โ†’ ((๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))โ€˜๐‘—) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))
198, 13, 18syl2anc 583 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ ((๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))โ€˜๐‘—) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))
2019adantlr 714 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ ((๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))โ€˜๐‘—) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))
21 simpr 484 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘Œ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ฅ)
22 simpl 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘Œ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘Œ)
2321, 22eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘Œ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Œ)
24 oveq1 7421 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘—))
2524oveq1d 7429 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) = ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
2623, 25syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐‘Œ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) = ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
2726adantll 713 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) = ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
2827adantlr 714 . . . 4 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) = ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
29 simpr 484 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘Œ)
30 etransclem13.y . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‹)
3130adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‹)
3229, 31eqeltrd 2828 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹)
3332adantr 480 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹)
34 ovexd 7449 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) โˆˆ V)
3520, 28, 33, 34fvmptd 7006 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ (((๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
3635prodeq2dv 15891 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(((๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ) = โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
37 prodex 15875 . . 3 โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) โˆˆ V
3837a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) โˆˆ V)
397, 36, 30, 38fvmptd 7006 1 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Œ) = โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  Vcvv 3469   โІ wss 3944  ifcif 4524   โ†ฆ cmpt 5225  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   ยท cmul 11135   โˆ’ cmin 11466  โ„•cn 12234  โ„•0cn0 12494  ...cfz 13508  โ†‘cexp 14050  โˆcprod 15873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-prod 15874
This theorem is referenced by:  etransclem18  45563  etransclem23  45568  etransclem46  45591
  Copyright terms: Public domain W3C validator