Theorem etransclem13 46696

Description: 𝐹 applied to 𝑌. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem13.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
etransclem13.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem13.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem13.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
etransclem13.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
etransclem13	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝑗,𝑋,𝑥   𝑗,𝑌,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem etransclem13

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem13.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
2		etransclem13.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
3		etransclem13.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		etransclem13.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗)‘𝑥))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	etransclem4 46687	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗)‘𝑥)))
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
9		cnex 11113	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
10	9	ssex 5259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ⊆ ℂ → 𝑋 ∈ V)
11		mptexg 7170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
12	1, 10, 11	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
14		oveq1 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 𝑗) = (𝑦 − 𝑗))
15	14	oveq1d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
16	15	cbvmptv 5190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
17	16	mpteq2i 5182	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
18	17	fvmpt2 6954	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V) → ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
19	8, 13, 18	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
20	19	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
21		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑌 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
22		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑌 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 = 𝑌)
23	21, 22	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑌 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑌)
24		oveq1 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 − 𝑗) = (𝑌 − 𝑗))
25	24	oveq1d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
26	23, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑌 ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
27	26	adantll 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
28	27	adantlr 716	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
30		etransclem13.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑋)
32	29, 31	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
34		ovexd 7396	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ V)
35	20, 28, 33, 34	fvmptd 6950	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗)‘𝑥) = ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
36	35	prodeq2dv 15881	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗)‘𝑥) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
37		prodex 15864	. . 3 ⊢ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ V
38	37	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ V)
39	7, 36, 30, 38	fvmptd 6950	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ifcif 4467   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  0cc0 11032  1c1 11033   · cmul 11037   − cmin 11371  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  ...cfz 13455  ↑cexp 14017  ∏cprod 15862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-prod 15863

This theorem is referenced by:  etransclem18  46701  etransclem23  46706  etransclem46  46729