Theorem etransclem13 47393

Description: 𝐹 applied to 𝑌. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem13.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
etransclem13.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem13.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem13.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
etransclem13.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
etransclem13	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝑗,𝑋,𝑥   𝑗,𝑌,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑗)

Proof of Theorem etransclem13

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem13.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
2		etransclem13.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
3		etransclem13.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		etransclem13.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗)‘𝑥))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	etransclem4 47384	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗)‘𝑥)))
8		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
9		cnex 11288	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
10	9	ssex 5282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ⊆ ℂ → 𝑋 ∈ V)
11		mptexg 7231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
12	1, 10, 11	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
13	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
14		oveq1 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 𝑗) = (𝑦 − 𝑗))
15	14	oveq1d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
16	15	cbvmptv 5208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
17	16	mpteq2i 5200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
18	17	fvmpt2 7010	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V) → ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
19	8, 13, 18	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
20	19	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
21		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑌 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
22		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑌 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 = 𝑌)
23	21, 22	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑌 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑌)
24		oveq1 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 − 𝑗) = (𝑌 − 𝑗))
25	24	oveq1d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
26	23, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑌 ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
27	26	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
28	27	adantlr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
29		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
30		etransclem13.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
31	30	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑋)
32	29, 31	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
33	32	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
34		ovexd 7459	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ V)
35	20, 28, 33, 34	fvmptd 7006	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗)‘𝑥) = ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
36	35	prodeq2dv 16099	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗)‘𝑥) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
37		prodex 16083	. . 3 ⊢ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ V
38	37	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ V)
39	7, 36, 30, 38	fvmptd 7006	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896  ifcif 4481   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  0cc0 11207  1c1 11208   · cmul 11212   − cmin 11548  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613  ...cfz 13646  ↑cexp 14211  ∏cprod 16081

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9441  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-prod 16082

This theorem is used by:  etransclem18  47398  etransclem23  47403  etransclem46  47426