Theorem etransclem13 46245

Description: 𝐹 applied to 𝑌. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem13.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
etransclem13.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem13.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem13.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
etransclem13.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
etransclem13	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝑗,𝑋,𝑥   𝑗,𝑌,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem etransclem13

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem13.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
2		etransclem13.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
3		etransclem13.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		etransclem13.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
5		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗)‘𝑥))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	etransclem4 46236	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗)‘𝑥)))
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
9		cnex 11149	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
10	9	ssex 5276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ⊆ ℂ → 𝑋 ∈ V)
11		mptexg 7195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
12	1, 10, 11	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
14		oveq1 7394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 𝑗) = (𝑦 − 𝑗))
15	14	oveq1d 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
16	15	cbvmptv 5211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
17	16	mpteq2i 5203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
18	17	fvmpt2 6979	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V) → ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
19	8, 13, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
20	19	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
21		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑌 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
22		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑌 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 = 𝑌)
23	21, 22	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑌 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑌)
24		oveq1 7394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 − 𝑗) = (𝑌 − 𝑗))
25	24	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
26	23, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑌 ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
27	26	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
28	27	adantlr 715	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
30		etransclem13.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑋)
32	29, 31	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
34		ovexd 7422	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ V)
35	20, 28, 33, 34	fvmptd 6975	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗)‘𝑥) = ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
36	35	prodeq2dv 15888	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗)‘𝑥) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
37		prodex 15871	. . 3 ⊢ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ V
38	37	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ V)
39	7, 36, 30, 38	fvmptd 6975	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ifcif 4488   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073   − cmin 11405  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ...cfz 13468  ↑cexp 14026  ∏cprod 15869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-prod 15870

This theorem is referenced by:  etransclem18  46250  etransclem23  46255  etransclem46  46278