Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem13 45694
Description: ๐น applied to ๐‘Œ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem13.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โІ โ„‚)
etransclem13.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
etransclem13.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
etransclem13.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘๐‘ƒ)))
etransclem13.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‹)
Assertion
Ref Expression
etransclem13 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Œ) = โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
Distinct variable groups:   ๐‘—,๐‘€,๐‘ฅ   ๐‘ƒ,๐‘—,๐‘ฅ   ๐‘—,๐‘‹,๐‘ฅ   ๐‘—,๐‘Œ,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘—,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ฅ,๐‘—)

Proof of Theorem etransclem13
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem13.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โІ โ„‚)
2 etransclem13.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
3 etransclem13.m . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
4 etransclem13.f . . 3 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘๐‘ƒ)))
5 eqid 2725 . . 3 (๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))) = (๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))
6 eqid 2725 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(((๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(((๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ))
71, 2, 3, 4, 5, 6etransclem4 45685 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(((๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ)))
8 simpr 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€))
9 cnex 11214 . . . . . . . . 9 โ„‚ โˆˆ V
109ssex 5317 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โІ โ„‚ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ V)
11 mptexg 7227 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ V โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))) โˆˆ V)
121, 10, 113syl 18 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))) โˆˆ V)
1312adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))) โˆˆ V)
14 oveq1 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—))
1514oveq1d 7428 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) = ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
1615cbvmptv 5257 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
1716mpteq2i 5249 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))) = (๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))
1817fvmpt2 7009 . . . . . 6 ((๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))) โˆˆ V) โ†’ ((๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))โ€˜๐‘—) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))
198, 13, 18syl2anc 582 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ ((๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))โ€˜๐‘—) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))
2019adantlr 713 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ ((๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))โ€˜๐‘—) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))
21 simpr 483 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘Œ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ฅ)
22 simpl 481 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘Œ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘Œ)
2321, 22eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘Œ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Œ)
24 oveq1 7420 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘—))
2524oveq1d 7428 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) = ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
2623, 25syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐‘Œ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) = ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
2726adantll 712 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) = ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
2827adantlr 713 . . . 4 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) = ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
29 simpr 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘Œ)
30 etransclem13.y . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‹)
3130adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‹)
3229, 31eqeltrd 2825 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹)
3332adantr 479 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹)
34 ovexd 7448 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) โˆˆ V)
3520, 28, 33, 34fvmptd 7005 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ (((๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
3635prodeq2dv 15894 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(((๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ) = โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
37 prodex 15878 . . 3 โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) โˆˆ V
3837a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) โˆˆ V)
397, 36, 30, 38fvmptd 7005 1 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Œ) = โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)((๐‘Œ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3463   โІ wss 3941  ifcif 4525   โ†ฆ cmpt 5227  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11131  0cc0 11133  1c1 11134   ยท cmul 11138   โˆ’ cmin 11469  โ„•cn 12237  โ„•0cn0 12497  ...cfz 13511  โ†‘cexp 14053  โˆcprod 15876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-prod 15877
This theorem is referenced by:  etransclem18  45699  etransclem23  45704  etransclem46  45727
  Copyright terms: Public domain W3C validator