Theorem etransclem13 42539

Description: 𝐹 applied to 𝑌. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem13.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
etransclem13.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem13.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem13.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
etransclem13.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
etransclem13	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝑗,𝑋,𝑥   𝑗,𝑌,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem etransclem13

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem13.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
2		etransclem13.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
3		etransclem13.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		etransclem13.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
5		eqid 2823	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
6		eqid 2823	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗)‘𝑥))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	etransclem4 42530	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗)‘𝑥)))
8		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
9		cnex 10620	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
10	9	ssex 5227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ⊆ ℂ → 𝑋 ∈ V)
11		mptexg 6986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
12	1, 10, 11	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
13	12	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
14		oveq1 7165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 𝑗) = (𝑦 − 𝑗))
15	14	oveq1d 7173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
16	15	cbvmptv 5171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
17	16	mpteq2i 5160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
18	17	fvmpt2 6781	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V) → ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
19	8, 13, 18	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
20	19	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
21		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑌 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
22		simpl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑌 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 = 𝑌)
23	21, 22	eqtrd 2858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑌 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑌)
24		oveq1 7165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 − 𝑗) = (𝑌 − 𝑗))
25	24	oveq1d 7173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
26	23, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑌 ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
27	26	adantll 712	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
28	27	adantlr 713	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
29		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
30		etransclem13.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
31	30	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑋)
32	29, 31	eqeltrd 2915	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
33	32	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
34		ovexd 7193	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ V)
35	20, 28, 33, 34	fvmptd 6777	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗)‘𝑥) = ((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
36	35	prodeq2dv 15279	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑗)‘𝑥) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
37		prodex 15263	. . 3 ⊢ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ V
38	37	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ V)
39	7, 36, 30, 38	fvmptd 6777	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑌 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938  ifcif 4469   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  0cc0 10539  1c1 10540   · cmul 10544   − cmin 10872  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900  ...cfz 12895  ↑cexp 13432  ∏cprod 15261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-prod 15262

This theorem is referenced by:  etransclem18  42544  etransclem23  42549  etransclem46  42572