Theorem fprodaddrecnncnvlem 45220

Description: The sequence 𝑆 of finite products, where every factor is added an "always smaller" amount, converges to the finite product of the factors. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodaddrecnncnvlem.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodaddrecnncnvlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodaddrecnncnvlem.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodaddrecnncnvlem.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛)))
fprodaddrecnncnvlem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + 𝑥))
fprodaddrecnncnvlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
fprodaddrecnncnvlem	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fprodaddrecnncnvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12887	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12615	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		fprodaddrecnncnvlem.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		fprodaddrecnncnvlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fprodaddrecnncnvlem.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		fprodaddrecnncnvlem.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + 𝑥))
7	3, 4, 5, 6	fprodadd2cncf 45217	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8		1rp 13002	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
10		nnrp 13009	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
11	9, 10	rpdivcld 13057	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
12	11	rpcnd 13042	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
14		fprodaddrecnncnvlem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
15	13, 14	fmptd 7118	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
16		1cnd 11231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17		divcnv 15823	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
19	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)))
20	19	breq1d 5152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0))
21	18, 20	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 0)
22		0cnd 11229	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
23	1, 2, 7, 15, 21, 22	climcncf 24807	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (𝐹‘0))
24		nfv 1910	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ ℂ
25	3, 24	nfan 1895	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ)
26	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
27	5	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
29	27, 28	addcld 11255	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℂ)
30	25, 26, 29	fprodclf 15960	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + 𝑥) ∈ ℂ)
31	30, 6	fmptd 7118	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
32		fcompt 7136	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑛))))
33	31, 15, 32	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑛))))
34		fprodaddrecnncnvlem.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛)))
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛))))
36		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
37	14	fvmpt2 7010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑛) = (1 / 𝑛))
38	36, 12, 37	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑛) = (1 / 𝑛))
39	38	fveq2d 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝐺‘𝑛)) = (𝐹‘(1 / 𝑛)))
40	39	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺‘𝑛)) = (𝐹‘(1 / 𝑛)))
41		oveq2 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑛) → (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + (1 / 𝑛)))
42	41	prodeq2ad 44903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑛) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + 𝑥) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛)))
43		prodex 15875	. . . . . . . . 9 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ V
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ V)
45	6, 42, 13, 44	fvmptd3 7022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(1 / 𝑛)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛)))
46	40, 45	eqtr2d 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐹‘(𝐺‘𝑛)))
47	46	mpteq2dva 5242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑛))))
48	35, 47	eqtrd 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑛))))
49	33, 48	eqtr4d 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) = 𝑆)
50	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + 𝑥)))
51		nfv 1910	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 = 0
52	3, 51	nfan 1895	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 = 0)
53		oveq2 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 0))
54	53	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 0))
55	5	addridd 11436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
56	55	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
57	54, 56	eqtrd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝑥) = 𝐵)
58	57	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝐵 + 𝑥) = 𝐵))
59	52, 58	ralrimi 3249	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + 𝑥) = 𝐵)
60	59	prodeq2d 15890	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + 𝑥) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
61		prodex 15875	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
62	61	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
63	50, 60, 22, 62	fvmptd 7006	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
64	49, 63	breq12d 5155	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (𝐹‘0) ↔ 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
65	23, 64	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   ∘ ccom 5676  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  ℂcc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   / cdiv 11893  ℕcn 12234  ℝ⁺crp 12998   ⇝ cli 15452  ∏cprod 15873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-prod 15874  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785

This theorem is referenced by:  fprodaddrecnncnv  45221