Theorem fprodaddrecnncnvlem 46683

Description: The sequence 𝑆 of finite products, where every factor is added an "always smaller" amount, converges to the finite product of the factors. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodaddrecnncnvlem.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodaddrecnncnvlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodaddrecnncnvlem.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodaddrecnncnvlem.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛)))
fprodaddrecnncnvlem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + 𝑥))
fprodaddrecnncnvlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
fprodaddrecnncnvlem	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘, 𝑛)   𝑆(𝑥, 𝑘, 𝑛)   𝐹(𝑥, 𝑘)   𝐺(𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem fprodaddrecnncnvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12919	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12642	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		fprodaddrecnncnvlem.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		fprodaddrecnncnvlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fprodaddrecnncnvlem.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		fprodaddrecnncnvlem.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + 𝑥))
7	3, 4, 5, 6	fprodadd2cncf 46680	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8		1rp 13038	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
10		nnrp 13046	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
11	9, 10	rpdivcld 13095	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
12	11	rpcnd 13080	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
13	12	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
14		fprodaddrecnncnvlem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
15	13, 14	fmptd 7113	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
16		1cnd 11219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17		divcnv 15932	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
18	16, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
19	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)))
20	19	breq1d 5121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0))
21	18, 20	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 0)
22		0cnd 11216	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
23	1, 2, 7, 15, 21, 22	climcncf 25112	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (𝐹‘0))
24		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ ℂ
25	3, 24	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ)
26	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
27	5	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
29	27, 28	addcld 11245	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℂ)
30	25, 26, 29	fprodclf 16071	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + 𝑥) ∈ ℂ)
31	30, 6	fmptd 7113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
32		fcompt 7133	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑛))))
33	31, 15, 32	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑛))))
34		fprodaddrecnncnvlem.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛)))
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛))))
36		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
37	14	fvmpt2 7005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑛) = (1 / 𝑛))
38	36, 12, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑛) = (1 / 𝑛))
39	38	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝐺‘𝑛)) = (𝐹‘(1 / 𝑛)))
40	39	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺‘𝑛)) = (𝐹‘(1 / 𝑛)))
41		oveq2 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑛) → (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + (1 / 𝑛)))
42	41	prodeq2ad 46368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑛) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + 𝑥) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛)))
43		prodex 15984	. . . . . . . . 9 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ V
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ V)
45	6, 42, 13, 44	fvmptd3 7017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(1 / 𝑛)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛)))
46	40, 45	eqtr2d 2801	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐹‘(𝐺‘𝑛)))
47	46	mpteq2dva 5206	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑛))))
48	35, 47	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑛))))
49	33, 48	eqtr4d 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) = 𝑆)
50	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + 𝑥)))
51		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 = 0
52	3, 51	nfan 1932	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 = 0)
53		oveq2 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 0))
54	53	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 0))
55	5	addridd 11427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
56	55	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
57	54, 56	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝑥) = 𝐵)
58	57	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝐵 + 𝑥) = 𝐵))
59	52, 58	ralrimi 3265	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + 𝑥) = 𝐵)
60	59	prodeq2d 16000	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + 𝑥) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
61		prodex 15984	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
62	61	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
63	50, 60, 22, 62	fvmptd 7001	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
64	49, 63	breq12d 5124	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (𝐹‘0) ↔ 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
65	23, 64	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  ℂcc 11115  0cc0 11117  1c1 11118   + caddc 11120   / cdiv 11888  ℕcn 12250  ℝ⁺crp 13034   ⇝ cli 15561  ∏cprod 15982

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-prod 15983  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-rest 17499  df-topn 17500  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-topgen 17520  df-pt 17521  df-prds 17524  df-xrs 17580  df-qtop 17585  df-imas 17586  df-xps 17588  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-mulg 19180  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-cnfld 21575  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cn 23436  df-cnp 23437  df-tx 23772  df-hmeo 23965  df-xms 24530  df-ms 24531  df-tms 24532  df-cncf 25090

This theorem is used by:  fprodaddrecnncnv  46684