Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodaddrecnncnvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodaddrecnncnvlem 45924
Description: The sequence 𝑆 of finite products, where every factor is added an "always smaller" amount, converges to the finite product of the factors. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodaddrecnncnvlem.k 𝑘𝜑
fprodaddrecnncnvlem.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodaddrecnncnvlem.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodaddrecnncnvlem.s 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛)))
fprodaddrecnncnvlem.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 + 𝑥))
fprodaddrecnncnvlem.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
Assertion
Ref Expression
fprodaddrecnncnvlem (𝜑𝑆 ⇝ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fprodaddrecnncnvlem
StepHypRef Expression
1 nnuz 12921 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12648 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 fprodaddrecnncnvlem.k . . . 4 𝑘𝜑
4 fprodaddrecnncnvlem.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
5 fprodaddrecnncnvlem.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 fprodaddrecnncnvlem.f . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 + 𝑥))
73, 4, 5, 6fprodadd2cncf 45921 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8 1rp 13038 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
10 nnrp 13046 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
119, 10rpdivcld 13094 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1211rpcnd 13079 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
1312adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
14 fprodaddrecnncnvlem.g . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
1513, 14fmptd 7134 . . 3 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℂ)
16 1cnd 11256 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17 divcnv 15889 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
1914a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)))
2019breq1d 5153 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0))
2118, 20mpbird 257 . . 3 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
22 0cnd 11254 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
231, 2, 7, 15, 21, 22climcncf 24926 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐺) ⇝ (𝐹‘0))
24 nfv 1914 . . . . . . . 8 𝑘 𝑥 ∈ ℂ
253, 24nfan 1899 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑥 ∈ ℂ)
264adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
275adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
2927, 28addcld 11280 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℂ)
3025, 26, 29fprodclf 16028 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ∏𝑘𝐴 (𝐵 + 𝑥) ∈ ℂ)
3130, 6fmptd 7134 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
32 fcompt 7153 . . . . 5 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → (𝐹𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑛))))
3331, 15, 32syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑛))))
34 fprodaddrecnncnvlem.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛)))
3534a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛))))
36 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
3714fvmpt2 7027 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℂ) → (𝐺𝑛) = (1 / 𝑛))
3836, 12, 37syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺𝑛) = (1 / 𝑛))
3938fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝐺𝑛)) = (𝐹‘(1 / 𝑛)))
4039adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺𝑛)) = (𝐹‘(1 / 𝑛)))
41 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (1 / 𝑛) → (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + (1 / 𝑛)))
4241prodeq2ad 45607 . . . . . . . 8 (𝑥 = (1 / 𝑛) → ∏𝑘𝐴 (𝐵 + 𝑥) = ∏𝑘𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛)))
43 prodex 15941 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ V
4443a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ V)
456, 42, 13, 44fvmptd3 7039 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(1 / 𝑛)) = ∏𝑘𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛)))
4640, 45eqtr2d 2778 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐹‘(𝐺𝑛)))
4746mpteq2dva 5242 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑛))))
4835, 47eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑛))))
4933, 48eqtr4d 2780 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐺) = 𝑆)
506a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 + 𝑥)))
51 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑘 𝑥 = 0
523, 51nfan 1899 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑥 = 0)
53 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 0))
5453ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 0))
555addridd 11461 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
5655adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
5754, 56eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 + 𝑥) = 𝐵)
5857ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑘𝐴 → (𝐵 + 𝑥) = 𝐵))
5952, 58ralrimi 3257 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 0) → ∀𝑘𝐴 (𝐵 + 𝑥) = 𝐵)
6059prodeq2d 15957 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 0) → ∏𝑘𝐴 (𝐵 + 𝑥) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
61 prodex 15941 . . . . 5 𝑘𝐴 𝐵 ∈ V
6261a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ V)
6350, 60, 22, 62fvmptd 7023 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘0) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
6449, 63breq12d 5156 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ⇝ (𝐹‘0) ↔ 𝑆 ⇝ ∏𝑘𝐴 𝐵))
6523, 64mpbid 232 1 (𝜑𝑆 ⇝ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   / cdiv 11920  cn 12266  +crp 13034  cli 15520  cprod 15939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-prod 15940  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904
This theorem is referenced by:  fprodaddrecnncnv  45925
  Copyright terms: Public domain W3C validator