Theorem hoidmvval 47112

Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmvval.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidmvval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
hoidmvval	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidmvval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
2		oveq2 7399	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (ℝ ↑m 𝑥) = (ℝ ↑m 𝑋))
3		eqeq1 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = ∅ ↔ 𝑋 = ∅))
4		prodeq1 15928	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))
5	3, 4	ifbieq2d 4504	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))
6	2, 2, 5	mpoeq123dv 7466	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))) = (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
7		hoidmvval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
8		ovex 7424	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V
9	8, 8	mpoex 8055	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))) ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))) ∈ V)
11	1, 6, 7, 10	fvmptd3 6994	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑋) = (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
12		fveq1 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
13	12	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑎‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
14		fveq1 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘))
15	14	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘))
16	13, 15	oveq12d 7409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → ((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)) = ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))
17	16	fveq2d 6866	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
18	17	prodeq2ad 46129	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
19	18	ifeq2d 4498	. . 3 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
20	19	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵)) → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
21		hoidmvval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
22		reex 11158	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
24		elmapg 8814	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴:𝑋⟶ℝ))
25	23, 7, 24	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴:𝑋⟶ℝ))
26	21, 25	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
27		hoidmvval.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
28		elmapg 8814	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐵 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐵:𝑋⟶ℝ))
29	23, 7, 28	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐵:𝑋⟶ℝ))
30	27, 29	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
31		c0ex 11167	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
32		prodex 15926	. . . 4 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ V
33	31, 32	ifex 4528	. . 3 ⊢ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) ∈ V
34	33	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) ∈ V)
35	11, 20, 26, 30, 34	ovmpod 7543	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ∅c0 4283  ifcif 4477   ↦ cmpt 5178  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ∈ cmpo 7393   ↑_m cmap 8802  Fincfn 8921  ℝcr 11066  0cc0 11067  [,)cico 13345  ∏cprod 15924  volcvol 25513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-seq 14009  df-prod 15925

This theorem is referenced by:  hoidmvcl  47117  hoidmv0val  47118  hoidmvn0val  47119  hsphoidmvle  47121