Theorem hoidmvval 43216

Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmvval.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidmvval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
hoidmvval	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidmvval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
2		oveq2 7143	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (ℝ ↑m 𝑥) = (ℝ ↑m 𝑋))
3		eqeq1 2802	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = ∅ ↔ 𝑋 = ∅))
4		prodeq1 15255	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))
5	3, 4	ifbieq2d 4450	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))
6	2, 2, 5	mpoeq123dv 7208	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))) = (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
7		hoidmvval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
8		ovex 7168	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V
9	8, 8	mpoex 7760	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))) ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))) ∈ V)
11	1, 6, 7, 10	fvmptd3 6768	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑋) = (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
12		fveq1 6644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
13	12	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑎‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
14		fveq1 6644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘))
15	14	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘))
16	13, 15	oveq12d 7153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → ((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)) = ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))
17	16	fveq2d 6649	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
18	17	prodeq2ad 42234	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
19	18	ifeq2d 4444	. . 3 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
20	19	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵)) → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
21		hoidmvval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
22		reex 10617	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
24		elmapg 8402	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴:𝑋⟶ℝ))
25	23, 7, 24	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴:𝑋⟶ℝ))
26	21, 25	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
27		hoidmvval.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
28		elmapg 8402	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐵 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐵:𝑋⟶ℝ))
29	23, 7, 28	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐵:𝑋⟶ℝ))
30	27, 29	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
31		c0ex 10624	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
32		prodex 15253	. . . 4 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ V
33	31, 32	ifex 4473	. . 3 ⊢ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) ∈ V
34	33	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) ∈ V)
35	11, 20, 26, 30, 34	ovmpod 7281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  ∅c0 4243  ifcif 4425   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137   ↑_m cmap 8389  Fincfn 8492  ℝcr 10525  0cc0 10526  [,)cico 12728  ∏cprod 15251  volcvol 24067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-prod 15252

This theorem is referenced by:  hoidmvcl  43221  hoidmv0val  43222  hoidmvn0val  43223  hsphoidmvle  43225