Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidmvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoidmvval 45228
Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvval.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
hoidmvval.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
hoidmvval (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval
StepHypRef Expression
1 hoidmvval.l . . 3 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
2 oveq2 7412 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (ℝ ↑m 𝑥) = (ℝ ↑m 𝑋))
3 eqeq1 2737 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = ∅ ↔ 𝑋 = ∅))
4 prodeq1 15849 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))
53, 4ifbieq2d 4553 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))))
62, 2, 5mpoeq123dv 7479 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))) = (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
7 hoidmvval.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
8 ovex 7437 . . . . 5 (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V
98, 8mpoex 8061 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))) ∈ V
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))) ∈ V)
111, 6, 7, 10fvmptd3 7017 . 2 (𝜑 → (𝐿𝑋) = (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
12 fveq1 6887 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝑘) = (𝐴𝑘))
1312adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝐴𝑏 = 𝐵) → (𝑎𝑘) = (𝐴𝑘))
14 fveq1 6887 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏𝑘) = (𝐵𝑘))
1514adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝐴𝑏 = 𝐵) → (𝑏𝑘) = (𝐵𝑘))
1613, 15oveq12d 7422 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝐴𝑏 = 𝐵) → ((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)) = ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
1716fveq2d 6892 . . . . 5 ((𝑎 = 𝐴𝑏 = 𝐵) → (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
1817prodeq2ad 44243 . . . 4 ((𝑎 = 𝐴𝑏 = 𝐵) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
1918ifeq2d 4547 . . 3 ((𝑎 = 𝐴𝑏 = 𝐵) → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
2019adantl 483 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴𝑏 = 𝐵)) → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
21 hoidmvval.a . . 3 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
22 reex 11197 . . . . 5 ℝ ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ V)
24 elmapg 8829 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴:𝑋⟶ℝ))
2523, 7, 24syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴:𝑋⟶ℝ))
2621, 25mpbird 257 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
27 hoidmvval.b . . 3 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
28 elmapg 8829 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐵 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐵:𝑋⟶ℝ))
2923, 7, 28syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐵:𝑋⟶ℝ))
3027, 29mpbird 257 . 2 (𝜑𝐵 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
31 c0ex 11204 . . . 4 0 ∈ V
32 prodex 15847 . . . 4 𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ V
3331, 32ifex 4577 . . 3 if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))) ∈ V
3433a1i 11 . 2 (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))) ∈ V)
3511, 20, 26, 30, 34ovmpod 7555 1 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  c0 4321  ifcif 4527  cmpt 5230  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  cmpo 7406  m cmap 8816  Fincfn 8935  cr 11105  0cc0 11106  [,)cico 13322  cprod 15845  volcvol 24962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-prod 15846
This theorem is referenced by:  hoidmvcl  45233  hoidmv0val  45234  hoidmvn0val  45235  hsphoidmvle  45237
  Copyright terms: Public domain W3C validator