Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidmvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoidmvval 44750
Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvval.l 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
hoidmvval.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
hoidmvval.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
hoidmvval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
hoidmvval (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐡,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝑋,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯   πœ‘,π‘Ž,𝑏,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐿(π‘₯,π‘˜,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval
StepHypRef Expression
1 hoidmvval.l . . 3 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
2 oveq2 7361 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (ℝ ↑m π‘₯) = (ℝ ↑m 𝑋))
3 eqeq1 2740 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ = βˆ… ↔ 𝑋 = βˆ…))
4 prodeq1 15784 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))
53, 4ifbieq2d 4510 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))) = if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))))
62, 2, 5mpoeq123dv 7428 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))) = (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
7 hoidmvval.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
8 ovex 7386 . . . . 5 (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V
98, 8mpoex 8008 . . . 4 (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))) ∈ V
109a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))) ∈ V)
111, 6, 7, 10fvmptd3 6968 . 2 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜π‘‹) = (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
12 fveq1 6838 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘˜))
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((π‘Ž = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐡) β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘˜))
14 fveq1 6838 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
1514adantl 482 . . . . . . 7 ((π‘Ž = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
1613, 15oveq12d 7371 . . . . . 6 ((π‘Ž = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐡) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
1716fveq2d 6843 . . . . 5 ((π‘Ž = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐡) β†’ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
1817prodeq2ad 43765 . . . 4 ((π‘Ž = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐡) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
1918ifeq2d 4504 . . 3 ((π‘Ž = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐡) β†’ if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))) = if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))))
2019adantl 482 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐡)) β†’ if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))) = if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))))
21 hoidmvval.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
22 reex 11138 . . . . 5 ℝ ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
24 elmapg 8774 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„))
2523, 7, 24syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„))
2621, 25mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
27 hoidmvval.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
28 elmapg 8774 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ (𝐡 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„))
2923, 7, 28syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„))
3027, 29mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
31 c0ex 11145 . . . 4 0 ∈ V
32 prodex 15782 . . . 4 βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ V
3331, 32ifex 4534 . . 3 if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))) ∈ V
3433a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))) ∈ V)
3511, 20, 26, 30, 34ovmpod 7503 1 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3443  βˆ…c0 4280  ifcif 4484   ↦ cmpt 5186  βŸΆwf 6489  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355   ↑m cmap 8761  Fincfn 8879  β„cr 11046  0cc0 11047  [,)cico 13258  βˆcprod 15780  volcvol 24811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-map 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-seq 13899  df-prod 15781
This theorem is referenced by:  hoidmvcl  44755  hoidmv0val  44756  hoidmvn0val  44757  hsphoidmvle  44759
  Copyright terms: Public domain W3C validator