Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidmvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoidmvval 45744
Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvval.l 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
hoidmvval.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
hoidmvval.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
hoidmvval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
hoidmvval (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐡,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝑋,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯   πœ‘,π‘Ž,𝑏,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐿(π‘₯,π‘˜,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval
StepHypRef Expression
1 hoidmvval.l . . 3 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
2 oveq2 7409 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (ℝ ↑m π‘₯) = (ℝ ↑m 𝑋))
3 eqeq1 2728 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ = βˆ… ↔ 𝑋 = βˆ…))
4 prodeq1 15849 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))
53, 4ifbieq2d 4546 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))) = if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))))
62, 2, 5mpoeq123dv 7476 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))) = (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
7 hoidmvval.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
8 ovex 7434 . . . . 5 (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V
98, 8mpoex 8059 . . . 4 (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))) ∈ V
109a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))) ∈ V)
111, 6, 7, 10fvmptd3 7011 . 2 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜π‘‹) = (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
12 fveq1 6880 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘˜))
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((π‘Ž = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐡) β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘˜))
14 fveq1 6880 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
1514adantl 481 . . . . . . 7 ((π‘Ž = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
1613, 15oveq12d 7419 . . . . . 6 ((π‘Ž = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐡) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
1716fveq2d 6885 . . . . 5 ((π‘Ž = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐡) β†’ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
1817prodeq2ad 44759 . . . 4 ((π‘Ž = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐡) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
1918ifeq2d 4540 . . 3 ((π‘Ž = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐡) β†’ if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))) = if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))))
2019adantl 481 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐡)) β†’ if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))) = if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))))
21 hoidmvval.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
22 reex 11196 . . . . 5 ℝ ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
24 elmapg 8828 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„))
2523, 7, 24syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„))
2621, 25mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
27 hoidmvval.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
28 elmapg 8828 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ (𝐡 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„))
2923, 7, 28syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„))
3027, 29mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
31 c0ex 11204 . . . 4 0 ∈ V
32 prodex 15847 . . . 4 βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ V
3331, 32ifex 4570 . . 3 if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))) ∈ V
3433a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))) ∈ V)
3511, 20, 26, 30, 34ovmpod 7552 1 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  βˆ…c0 4314  ifcif 4520   ↦ cmpt 5221  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403   ↑m cmap 8815  Fincfn 8934  β„cr 11104  0cc0 11105  [,)cico 13322  βˆcprod 15845  volcvol 25313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-prod 15846
This theorem is referenced by:  hoidmvcl  45749  hoidmv0val  45750  hoidmvn0val  45751  hsphoidmvle  45753
  Copyright terms: Public domain W3C validator