Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidmvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoidmvval 46592
Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvval.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
hoidmvval.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
hoidmvval (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval
StepHypRef Expression
1 hoidmvval.l . . 3 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
2 oveq2 7439 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (ℝ ↑m 𝑥) = (ℝ ↑m 𝑋))
3 eqeq1 2741 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = ∅ ↔ 𝑋 = ∅))
4 prodeq1 15943 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))
53, 4ifbieq2d 4552 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))))
62, 2, 5mpoeq123dv 7508 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))) = (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
7 hoidmvval.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
8 ovex 7464 . . . . 5 (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V
98, 8mpoex 8104 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))) ∈ V
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))) ∈ V)
111, 6, 7, 10fvmptd3 7039 . 2 (𝜑 → (𝐿𝑋) = (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
12 fveq1 6905 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝑘) = (𝐴𝑘))
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝐴𝑏 = 𝐵) → (𝑎𝑘) = (𝐴𝑘))
14 fveq1 6905 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏𝑘) = (𝐵𝑘))
1514adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝐴𝑏 = 𝐵) → (𝑏𝑘) = (𝐵𝑘))
1613, 15oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝐴𝑏 = 𝐵) → ((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)) = ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
1716fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝑎 = 𝐴𝑏 = 𝐵) → (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
1817prodeq2ad 45607 . . . 4 ((𝑎 = 𝐴𝑏 = 𝐵) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
1918ifeq2d 4546 . . 3 ((𝑎 = 𝐴𝑏 = 𝐵) → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
2019adantl 481 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴𝑏 = 𝐵)) → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
21 hoidmvval.a . . 3 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
22 reex 11246 . . . . 5 ℝ ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ V)
24 elmapg 8879 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴:𝑋⟶ℝ))
2523, 7, 24syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴:𝑋⟶ℝ))
2621, 25mpbird 257 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
27 hoidmvval.b . . 3 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
28 elmapg 8879 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐵 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐵:𝑋⟶ℝ))
2923, 7, 28syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐵:𝑋⟶ℝ))
3027, 29mpbird 257 . 2 (𝜑𝐵 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
31 c0ex 11255 . . . 4 0 ∈ V
32 prodex 15941 . . . 4 𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ V
3331, 32ifex 4576 . . 3 if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))) ∈ V
3433a1i 11 . 2 (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))) ∈ V)
3511, 20, 26, 30, 34ovmpod 7585 1 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  c0 4333  ifcif 4525  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8866  Fincfn 8985  cr 11154  0cc0 11155  [,)cico 13389  cprod 15939  volcvol 25498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-prod 15940
This theorem is referenced by:  hoidmvcl  46597  hoidmv0val  46598  hoidmvn0val  46599  hsphoidmvle  46601
  Copyright terms: Public domain W3C validator