Theorem hoidmvval 47695

Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmvval.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidmvval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
hoidmvval	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥, 𝑘, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidmvval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
2		oveq2 7432	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (ℝ ↑m 𝑥) = (ℝ ↑m 𝑋))
3		eqeq1 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = ∅ ↔ 𝑋 = ∅))
4		prodeq1 16085	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))
5	3, 4	ifbieq2d 4508	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))
6	2, 2, 5	mpoeq123dv 7499	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))) = (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
7		hoidmvval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
8		ovex 7457	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V
9	8, 8	mpoex 8096	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))) ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))) ∈ V)
11	1, 6, 7, 10	fvmptd3 7022	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑋) = (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
12		fveq1 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
13	12	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑎‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
14		fveq1 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘))
15	14	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘))
16	13, 15	oveq12d 7442	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → ((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)) = ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))
17	16	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
18	17	prodeq2ad 46712	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
19	18	ifeq2d 4502	. . 3 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
20	19	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵)) → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
21		hoidmvval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
22		reex 11298	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
24		elmapg 8866	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴:𝑋⟶ℝ))
25	23, 7, 24	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴:𝑋⟶ℝ))
26	21, 25	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
27		hoidmvval.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
28		elmapg 8866	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐵 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐵:𝑋⟶ℝ))
29	23, 7, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐵:𝑋⟶ℝ))
30	27, 29	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
31		c0ex 11307	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
32		prodex 16083	. . . 4 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ V
33	31, 32	ifex 4532	. . 3 ⊢ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) ∈ V
34	33	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) ∈ V)
35	11, 20, 26, 30, 34	ovmpod 7576	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4277  ifcif 4481   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426   ↑_m cmap 8854  Fincfn 8980  ℝcr 11206  0cc0 11207  [,)cico 13485  ∏cprod 16081  volcvol 25793

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-seq 14152  df-prod 16082

This theorem is used by:  hoidmvcl  47700  hoidmv0val  47701  hoidmvn0val  47702  hsphoidmvle  47704