Theorem hoidmvval 45228

Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmvval.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidmvval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
hoidmvval	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidmvval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
2		oveq2 7412	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (ℝ ↑m 𝑥) = (ℝ ↑m 𝑋))
3		eqeq1 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = ∅ ↔ 𝑋 = ∅))
4		prodeq1 15849	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))
5	3, 4	ifbieq2d 4553	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))
6	2, 2, 5	mpoeq123dv 7479	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))) = (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
7		hoidmvval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
8		ovex 7437	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V
9	8, 8	mpoex 8061	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))) ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))) ∈ V)
11	1, 6, 7, 10	fvmptd3 7017	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑋) = (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
12		fveq1 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
13	12	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑎‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
14		fveq1 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘))
15	14	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘))
16	13, 15	oveq12d 7422	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → ((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)) = ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))
17	16	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
18	17	prodeq2ad 44243	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
19	18	ifeq2d 4547	. . 3 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
20	19	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵)) → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
21		hoidmvval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
22		reex 11197	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
24		elmapg 8829	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴:𝑋⟶ℝ))
25	23, 7, 24	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴:𝑋⟶ℝ))
26	21, 25	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
27		hoidmvval.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
28		elmapg 8829	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐵 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐵:𝑋⟶ℝ))
29	23, 7, 28	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐵:𝑋⟶ℝ))
30	27, 29	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
31		c0ex 11204	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
32		prodex 15847	. . . 4 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ V
33	31, 32	ifex 4577	. . 3 ⊢ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) ∈ V
34	33	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) ∈ V)
35	11, 20, 26, 30, 34	ovmpod 7555	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ∅c0 4321  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406   ↑_m cmap 8816  Fincfn 8935  ℝcr 11105  0cc0 11106  [,)cico 13322  ∏cprod 15845  volcvol 24962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-prod 15846

This theorem is referenced by:  hoidmvcl  45233  hoidmv0val  45234  hoidmvn0val  45235  hsphoidmvle  45237