HomeHome Metamath Proof Explorer
Theorem List (p. 159 of 480)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  MPE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Color key:    Metamath Proof Explorer  Metamath Proof Explorer
(1-30435)
  Hilbert Space Explorer  Hilbert Space Explorer
(30436-31958)
  Users' Mathboxes  Users' Mathboxes
(31959-47941)
 

Theorem List for Metamath Proof Explorer - 15801-15900   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theoremclimcndslem2 15801* Lemma for climcnds 15802: bound the condensed series by the original series. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = ((2โ†‘๐‘›) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘›))))    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘) โ‰ค (2 ยท (seq1( + , ๐น)โ€˜(2โ†‘๐‘))))
 
Theoremclimcnds 15802* The Cauchy condensation test. If ๐‘Ž(๐‘˜) is a decreasing sequence of nonnegative terms, then ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•๐‘Ž(๐‘˜) converges iff ฮฃ๐‘› โˆˆ โ„•02โ†‘๐‘› ยท ๐‘Ž(2โ†‘๐‘›) converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = ((2โ†‘๐‘›) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘›))))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq0( + , ๐บ) โˆˆ dom โ‡ ))
 
5.10.7  Miscellaneous converging and diverging sequences
 
Theoremdivrcnv 15803* The sequence of reciprocals of real numbers, multiplied by the factor ๐ด, converges to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐ด / ๐‘›)) โ‡๐‘Ÿ 0)
 
Theoremdivcnv 15804* The sequence of reciprocals of positive integers, multiplied by the factor ๐ด, converges to zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐ด / ๐‘›)) โ‡ 0)
 
Theoremflo1 15805 The floor function satisfies โŒŠ(๐‘ฅ) = ๐‘ฅ + ๐‘‚(1). (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)
 
Theoremdivcnvshft 15806* Limit of a ratio function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐ด / (๐‘˜ + ๐ต)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ 0)
 
Theoremsupcvg 15807* Extract a sequence ๐‘“ in ๐‘‹ such that the image of the points in the bounded set ๐ด converges to the supremum ๐‘† of the set. Similar to Equation 4 of [Kreyszig] p. 144. The proof uses countable choice ax-cc 10433. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
๐‘‹ โˆˆ V    &   ๐‘† = sup(๐ด, โ„, < )    &   ๐‘… = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘† โˆ’ (1 / ๐‘›)))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  โˆ…)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‹โ€“ontoโ†’๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘“(๐‘“:โ„•โŸถ๐‘‹ โˆง (๐น โˆ˜ ๐‘“) โ‡ ๐‘†))
 
Theoreminfcvgaux1i 15808* Auxiliary theorem for applications of supcvg 15807. Hypothesis for several supremum theorems. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)
๐‘… = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ ๐‘ฅ = -๐ด}    &   (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   ๐‘ โˆˆ ๐‘‹    &   โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘… ๐‘ค โ‰ค ๐‘ง    โ‡’   (๐‘… โŠ† โ„ โˆง ๐‘… โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘… ๐‘ค โ‰ค ๐‘ง)
 
Theoreminfcvgaux2i 15809* Auxiliary theorem for applications of supcvg 15807. (Contributed by NM, 4-Mar-2008.)
๐‘… = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ ๐‘ฅ = -๐ด}    &   (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   ๐‘ โˆˆ ๐‘‹    &   โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘… ๐‘ค โ‰ค ๐‘ง    &   ๐‘† = -sup(๐‘…, โ„, < )    &   (๐‘ฆ = ๐ถ โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐ถ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ๐‘† โ‰ค ๐ต)
 
Theoremharmonic 15810 The harmonic series ๐ป diverges. This fact follows from the stronger emcl 26740, which establishes that the harmonic series grows as log๐‘› + ฮณ + o(1), but this uses a more elementary method, attributed to Nicole Oresme (1323-1382). This is Metamath 100 proof #34. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))    &   ๐ป = seq1( + , ๐น)    โ‡’    ยฌ ๐ป โˆˆ dom โ‡
 
5.10.8  Arithmetic series
 
Theoremarisum 15811* Arithmetic series sum of the first ๐‘ positive integers. This is Metamath 100 proof #68. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
(๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
 
Theoremarisum2 15812* Arithmetic series sum of the first ๐‘ nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
(๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) / 2))
 
Theoremtrireciplem 15813 Lemma for trirecip 15814. Show that the sum converges. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))    โ‡’   seq1( + , ๐น) โ‡ 1
 
Theoremtrirecip 15814 The sum of the reciprocals of the triangle numbers converge to two. This is Metamath 100 proof #42. (Contributed by Scott Fenton, 23-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) = 2
 
5.10.9  Geometric series
 
Theoremexpcnv 15815* A sequence of powers of a complex number ๐ด with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
 
Theoremexplecnv 15816* A sequence of terms converges to zero when it is less than powers of a number ๐ด whose absolute value is smaller than 1. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ 0)
 
Theoremgeoserg 15817* The value of the finite geometric series ๐ดโ†‘๐‘€ + ๐ดโ†‘(๐‘€ + 1) +... + ๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1). (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  1)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) = (((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremgeoser 15818* The value of the finite geometric series 1 + ๐ดโ†‘1 + ๐ดโ†‘2 +... + ๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1). This is Metamath 100 proof #66. (Contributed by NM, 12-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  1)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) = ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
 
Theorempwdif 15819* The difference of two numbers to the same power is the difference of the two numbers multiplied with a finite sum. Generalization of subsq 14179. See Wikipedia "Fermat number", section "Other theorems about Fermat numbers", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number 14179, 5-Aug-2021. (Contributed by AV, 6-Aug-2021.) (Revised by AV, 19-Aug-2021.)
((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
 
Theorempwm1geoser 15820* The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + ๐ดโ†‘1 + ๐ดโ†‘2 +... + ๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 19-Aug-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜)))
 
Theoremgeolim 15821* The partial sums in the infinite series 1 + ๐ดโ†‘1 + ๐ดโ†‘2... converge to (1 / (1 โˆ’ ๐ด)). (Contributed by NM, 15-May-2006.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐น) โ‡ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremgeolim2 15822* The partial sums in the geometric series ๐ดโ†‘๐‘€ + ๐ดโ†‘(๐‘€ + 1)... converge to ((๐ดโ†‘๐‘€) / (1 โˆ’ ๐ด)). (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โ‡ ((๐ดโ†‘๐‘€) / (1 โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremgeoreclim 15823* The limit of a geometric series of reciprocals. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ 1 < (absโ€˜๐ด))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ((1 / ๐ด)โ†‘๐‘˜))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐น) โ‡ (๐ด / (๐ด โˆ’ 1)))
 
Theoremgeo2sum 15824* The value of the finite geometric series 2โ†‘-1 + 2โ†‘-2 +... + 2โ†‘-๐‘, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐ด / (2โ†‘๐‘˜)) = (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘))))
 
Theoremgeo2sum2 15825* The value of the finite geometric series 1 + 2 + 4 + 8 +... + 2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)
(๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(2โ†‘๐‘˜) = ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))
 
Theoremgeo2lim 15826* The value of the infinite geometric series 2โ†‘-1 + 2โ†‘-2 +... , multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐ด / (2โ†‘๐‘˜)))    โ‡’   (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ seq1( + , ๐น) โ‡ ๐ด)
 
Theoremgeomulcvg 15827* The geometric series converges even if it is multiplied by ๐‘˜ to result in the larger series ๐‘˜ ยท ๐ดโ†‘๐‘˜. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Mar-2015.)
๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘˜ ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))    โ‡’   ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ seq0( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
 
Theoremgeoisum 15828* The infinite sum of 1 + ๐ดโ†‘1 + ๐ดโ†‘2... is (1 / (1 โˆ’ ๐ด)). (Contributed by NM, 15-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ†‘๐‘˜) = (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremgeoisumr 15829* The infinite sum of reciprocals 1 + (1 / ๐ด)โ†‘1 + (1 / ๐ด)โ†‘2... is ๐ด / (๐ด โˆ’ 1). (Contributed by rpenner, 3-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 < (absโ€˜๐ด)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((1 / ๐ด)โ†‘๐‘˜) = (๐ด / (๐ด โˆ’ 1)))
 
Theoremgeoisum1 15830* The infinite sum of ๐ดโ†‘1 + ๐ดโ†‘2... is (๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)). (Contributed by NM, 1-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremgeoisum1c 15831* The infinite sum of ๐ด ยท (๐‘…โ†‘1) + ๐ด ยท (๐‘…โ†‘2)... is (๐ด ยท ๐‘…) / (1 โˆ’ ๐‘…). (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) = ((๐ด ยท ๐‘…) / (1 โˆ’ ๐‘…)))
 
Theorem0.999... 15832 The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. 9 / 10โ†‘1 + 9 / 10โ†‘2 + 9 / 10โ†‘3 + ..., is exactly equal to 1, according to ZF set theory. Interestingly, about 40% of the people responding to a poll at http://forum.physorg.com/index.php?showtopic=13177 disagree. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (9 / (10โ†‘๐‘˜)) = 1
 
Theoremgeoihalfsum 15833 Prove that the infinite geometric series of 1/2, 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1. Uses geoisum1 15830. This is a representation of .111... in binary with an infinite number of 1's. Theorem 0.999... 15832 proves a similar claim for .999... in base 10. (Contributed by David A. Wheeler, 4-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (1 / (2โ†‘๐‘˜)) = 1
 
5.10.10  Ratio test for infinite series convergence
 
Theoremcvgrat 15834* Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio ๐ด of the absolute values of successive terms in an infinite sequence ๐น is less than 1 for all terms beyond some index ๐ต, then the infinite sum of the terms of ๐น converges to a complex number. Equivalent to first part of Exercise 4 of [Gleason] p. 182. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   ๐‘Š = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < 1)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐ด ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
 
5.10.11  Mertens' theorem
 
Theoremmertenslem1 15835* Lemma for mertens 15837. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐พโ€˜๐‘—) = (absโ€˜๐ด))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(๐ด ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))))    &   (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐พ) โˆˆ dom โ‡ )    &   (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐บ) โˆˆ dom โ‡ )    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)    &   ๐‘‡ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))๐‘ง = (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))(๐บโ€˜๐‘˜))}    &   (๐œ“ โ†” (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ )(absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))(๐บโ€˜๐‘˜)) < ((๐ธ / 2) / (ฮฃ๐‘— โˆˆ โ„•0 (๐พโ€˜๐‘—) + 1))))    &   (๐œ‘ โ†’ (๐œ“ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ก)(๐พโ€˜๐‘š) < (((๐ธ / 2) / ๐‘ ) / (sup(๐‘‡, โ„, < ) + 1)))))    &   (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค sup(๐‘‡, โ„, < ) โˆง (๐‘‡ โŠ† โ„ โˆง ๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘‡ ๐‘ค โ‰ค ๐‘ง)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ฆ)(absโ€˜ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)(๐ด ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐‘š โˆ’ ๐‘—) + 1))๐ต)) < ๐ธ)
 
Theoremmertenslem2 15836* Lemma for mertens 15837. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐พโ€˜๐‘—) = (absโ€˜๐ด))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(๐ด ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))))    &   (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐พ) โˆˆ dom โ‡ )    &   (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐บ) โˆˆ dom โ‡ )    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)    &   ๐‘‡ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))๐‘ง = (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))(๐บโ€˜๐‘˜))}    &   (๐œ“ โ†” (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ )(absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))(๐บโ€˜๐‘˜)) < ((๐ธ / 2) / (ฮฃ๐‘— โˆˆ โ„•0 (๐พโ€˜๐‘—) + 1))))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ฆ)(absโ€˜ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)(๐ด ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐‘š โˆ’ ๐‘—) + 1))๐ต)) < ๐ธ)
 
Theoremmertens 15837* Mertens' theorem. If ๐ด(๐‘—) is an absolutely convergent series and ๐ต(๐‘˜) is convergent, then (ฮฃ๐‘— โˆˆ โ„•0๐ด(๐‘—) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0๐ต(๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(๐ด(๐‘—) ยท ๐ต(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—)) (and this latter series is convergent). This latter sum is commonly known as the Cauchy product of the sequences. The proof follows the outline at http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_product#Proof_of_Mertens.27_theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐พโ€˜๐‘—) = (absโ€˜๐ด))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)(๐ด ยท (๐บโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘—))))    &   (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐พ) โˆˆ dom โ‡ )    &   (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐บ) โˆˆ dom โ‡ )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ (ฮฃ๐‘— โˆˆ โ„•0 ๐ด ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ต))
 
5.10.12  Finite and infinite products
 
5.10.12.1  Product sequences
 
Theoremprodf 15838* An infinite product of complex terms is a function from an upper set of integers to โ„‚. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น):๐‘โŸถโ„‚)
 
Theoremclim2prod 15839* The limit of an infinite product with an initial segment added. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ seq(๐‘ + 1)( ยท , ๐น) โ‡ ๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘) ยท ๐ด))
 
Theoremclim2div 15840* The limit of an infinite product with an initial segment removed. (Contributed by Scott Fenton, 20-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘) โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq(๐‘ + 1)( ยท , ๐น) โ‡ (๐ด / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘)))
 
Theoremprodfmul 15841* The product of two infinite products. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐ป)โ€˜๐‘) = ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘) ยท (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘)))
 
Theoremprodf1 15842 The value of the partial products in a one-valued infinite product. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    โ‡’   (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1}))โ€˜๐‘) = 1)
 
Theoremprodf1f 15843 A one-valued infinite product is equal to the constant one function. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    โ‡’   (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1})) = (๐‘ ร— {1}))
 
Theoremprodfclim1 15844 The constant one product converges to one. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    โ‡’   (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1})) โ‡ 1)
 
Theoremprodfn0 15845* No term of a nonzero infinite product is zero. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jan-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘) โ‰  0)
 
Theoremprodfrec 15846* The reciprocal of an infinite product. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (๐นโ€˜๐‘˜)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘)))
 
Theoremprodfdiv 15847* The quotient of two infinite products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰  0)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) / (๐บโ€˜๐‘˜)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐ป)โ€˜๐‘) = ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘) / (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘)))
 
5.10.12.2  Non-trivial convergence
 
Theoremntrivcvg 15848* A non-trivially converging infinite product converges. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
 
Theoremntrivcvgn0 15849* A product that converges to a nonzero value converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘‹)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
 
Theoremntrivcvgfvn0 15850* Any value of a product sequence that converges to a nonzero value is itself nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 20-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘‹)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  0)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘) โ‰  0)
 
Theoremntrivcvgtail 15851* A tail of a non-trivially convergent sequence converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 20-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘‹)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  0)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (( โ‡ โ€˜seq๐‘( ยท , ๐น)) โ‰  0 โˆง seq๐‘( ยท , ๐น) โ‡ ( โ‡ โ€˜seq๐‘( ยท , ๐น))))
 
Theoremntrivcvgmullem 15852* Lemma for ntrivcvgmul 15853. (Contributed by Scott Fenton, 19-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰  0)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘‹)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘ƒ( ยท , ๐บ) โ‡ ๐‘Œ)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐‘ƒ)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ค(๐‘ค โ‰  0 โˆง seq๐‘ž( ยท , ๐ป) โ‡ ๐‘ค))
 
Theoremntrivcvgmul 15853* The product of two non-trivially converging products converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ง(๐‘ง โ‰  0 โˆง seq๐‘š( ยท , ๐บ) โ‡ ๐‘ง))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ค(๐‘ค โ‰  0 โˆง seq๐‘( ยท , ๐ป) โ‡ ๐‘ค))
 
5.10.12.3  Complex products
 
Syntaxcprod 15854 Extend class notation to include complex products.
class โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต
 
Definitiondf-prod 15855* Define the product of a series with an index set of integers ๐ด. This definition takes most of the aspects of df-sum 15638 and adapts them for multiplication instead of addition. However, we insist that in the infinite case, there is a nonzero tail of the sequence. This ensures that the convergence criteria match those of infinite sums. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (โ„ฉ๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))
 
Theoremprodex 15856 A product is a set. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ V
 
Theoremprodeq1f 15857 Equality theorem for a product. (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)
โ„ฒ๐‘˜๐ด    &   โ„ฒ๐‘˜๐ต    โ‡’   (๐ด = ๐ต โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ)
 
Theoremprodeq1 15858* Equality theorem for a product. (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)
(๐ด = ๐ต โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ)
 
Theoremnfcprod1 15859* Bound-variable hypothesis builder for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
โ„ฒ๐‘˜๐ด    โ‡’   โ„ฒ๐‘˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต
 
Theoremnfcprod 15860* Bound-variable hypothesis builder for product: if ๐‘ฅ is (effectively) not free in ๐ด and ๐ต, it is not free in โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต. (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)
โ„ฒ๐‘ฅ๐ด    &   โ„ฒ๐‘ฅ๐ต    โ‡’   โ„ฒ๐‘ฅโˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต
 
Theoremprodeq2w 15861* Equality theorem for product, when the class expressions ๐ต and ๐ถ are equal everywhere. Proved using only Extensionality. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
(โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
 
Theoremprodeq2ii 15862* Equality theorem for product, with the class expressions ๐ต and ๐ถ guarded by I to be always sets. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
(โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
 
Theoremprodeq2 15863* Equality theorem for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
(โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ๐ถ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
 
Theoremcbvprod 15864* Change bound variable in a product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
(๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ๐ต = ๐ถ)    &   โ„ฒ๐‘˜๐ด    &   โ„ฒ๐‘—๐ด    &   โ„ฒ๐‘˜๐ต    &   โ„ฒ๐‘—๐ถ    โ‡’   โˆ๐‘— โˆˆ ๐ด ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ
 
Theoremcbvprodv 15865* Change bound variable in a product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
(๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ๐ต = ๐ถ)    โ‡’   โˆ๐‘— โˆˆ ๐ด ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ
 
Theoremcbvprodi 15866* Change bound variable in a product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
โ„ฒ๐‘˜๐ต    &   โ„ฒ๐‘—๐ถ    &   (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ๐ต = ๐ถ)    โ‡’   โˆ๐‘— โˆˆ ๐ด ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ
 
Theoremprodeq1i 15867* Equality inference for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
๐ด = ๐ต    โ‡’   โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ
 
Theoremprodeq2i 15868* Equality inference for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
(๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต = ๐ถ)    โ‡’   โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ
 
Theoremprodeq12i 15869* Equality inference for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
๐ด = ๐ต    &   (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ถ = ๐ท)    โ‡’   โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ท
 
Theoremprodeq1d 15870* Equality deduction for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ)
 
Theoremprodeq2d 15871* Equality deduction for product. Note that unlike prodeq2dv 15872, ๐‘˜ may occur in ๐œ‘. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
(๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
 
Theoremprodeq2dv 15872* Equality deduction for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต = ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
 
Theoremprodeq2sdv 15873* Equality deduction for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ต = ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
 
Theorem2cprodeq2dv 15874* Equality deduction for double product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ = ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ = โˆ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ท)
 
Theoremprodeq12dv 15875* Equality deduction for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ = ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ท)
 
Theoremprodeq12rdv 15876* Equality deduction for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ = ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ท)
 
Theoremprod2id 15877* The second class argument to a product can be chosen so that it is always a set. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต)
 
Theoremprodrblem 15878* Lemma for prodrb 15881. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น) โ†พ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) = seq๐‘( ยท , ๐น))
 
Theoremfprodcvg 15879* The sequence of partial products of a finite product converges to the whole product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† (๐‘€...๐‘))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘))
 
Theoremprodrblem2 15880* Lemma for prodrb 15881. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐ถ โ†” seq๐‘( ยท , ๐น) โ‡ ๐ถ))
 
Theoremprodrb 15881* Rebase the starting point of a product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐ถ โ†” seq๐‘( ยท , ๐น) โ‡ ๐ถ))
 
Theoremprodmolem3 15882* Lemma for prodmo 15885. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ๐บ = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)    &   ๐ป = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐พโ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘“:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , ๐ป)โ€˜๐‘))
 
Theoremprodmolem2a 15883* Lemma for prodmo 15885. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ๐บ = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)    &   ๐ป = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐พโ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘“:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘))
 
Theoremprodmolem2 15884* Lemma for prodmo 15885. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ๐บ = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
 
Theoremprodmo 15885* A product has at most one limit. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ๐บ = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ*๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))))
 
Theoremzprod 15886* Series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐‘)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ( โ‡ โ€˜seq๐‘€( ยท , ๐น)))
 
Theoremiprod 15887* Series product with an upper integer index set (i.e. an infinite product.) (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ต = ( โ‡ โ€˜seq๐‘€( ยท , ๐น)))
 
Theoremzprodn0 15888* Nonzero series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  0)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘‹)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐‘)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ๐‘‹)
 
Theoremiprodn0 15889* Nonzero series product with an upper integer index set (i.e. an infinite product.) (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  0)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘‹)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ต = ๐‘‹)
 
5.10.12.4  Finite products
 
Theoremfprod 15890* The value of a product over a nonempty finite set. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2017.)
(๐‘˜ = (๐นโ€˜๐‘›) โ†’ ๐ต = ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))
 
Theoremfprodntriv 15891* A non-triviality lemma for finite sequences. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† (๐‘€...๐‘))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
 
Theoremprod0 15892 A product over the empty set is one. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ด = 1
 
Theoremprod1 15893* Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)
((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆจ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = 1)
 
Theoremprodfc 15894* A lemma to facilitate conversions from the function form to the class-variable form of a product. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)
โˆ๐‘— โˆˆ ๐ด ((๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต)โ€˜๐‘—) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต
 
Theoremfprodf1o 15895* Re-index a finite product using a bijection. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)
(๐‘˜ = ๐บ โ†’ ๐ต = ๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ถโ€“1-1-ontoโ†’๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘›) = ๐บ)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = โˆ๐‘› โˆˆ ๐ถ ๐ท)
 
Theoremprodss 15896* Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ ๐ถ = 1)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ)
 
Theoremfprodss 15897* Change the index set to a subset in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ ๐ถ = 1)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ)
 
Theoremfprodser 15898* A finite product expressed in terms of a partial product of an infinite sequence. The recursive definition of a finite product follows from here. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘))
 
Theoremfprodcl2lem 15899* Finite product closure lemma. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘† โŠ† โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ ๐‘†)
 
Theoremfprodcllem 15900* Finite product closure lemma. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘† โŠ† โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)    &   (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐‘†)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ ๐‘†)
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14900 150 14901-15000 151 15001-15100 152 15101-15200 153 15201-15300 154 15301-15400 155 15401-15500 156 15501-15600 157 15601-15700 158 15701-15800 159 15801-15900 160 15901-16000 161 16001-16100 162 16101-16200 163 16201-16300 164 16301-16400 165 16401-16500 166 16501-16600 167 16601-16700 168 16701-16800 169 16801-16900 170 16901-17000 171 17001-17100 172 17101-17200 173 17201-17300 174 17301-17400 175 17401-17500 176 17501-17600 177 17601-17700 178 17701-17800 179 17801-17900 180 17901-18000 181 18001-18100 182 18101-18200 183 18201-18300 184 18301-18400 185 18401-18500 186 18501-18600 187 18601-18700 188 18701-18800 189 18801-18900 190 18901-19000 191 19001-19100 192 19101-19200 193 19201-19300 194 19301-19400 195 19401-19500 196 19501-19600 197 19601-19700 198 19701-19800 199 19801-19900 200 19901-20000 201 20001-20100 202 20101-20200 203 20201-20300 204 20301-20400 205 20401-20500 206 20501-20600 207 20601-20700 208 20701-20800 209 20801-20900 210 20901-21000 211 21001-21100 212 21101-21200 213 21201-21300 214 21301-21400 215 21401-21500 216 21501-21600 217 21601-21700 218 21701-21800 219 21801-21900 220 21901-22000 221 22001-22100 222 22101-22200 223 22201-22300 224 22301-22400 225 22401-22500 226 22501-22600 227 22601-22700 228 22701-22800 229 22801-22900 230 22901-23000 231 23001-23100 232 23101-23200 233 23201-23300 234 23301-23400 235 23401-23500 236 23501-23600 237 23601-23700 238 23701-23800 239 23801-23900 240 23901-24000 241 24001-24100 242 24101-24200 243 24201-24300 244 24301-24400 245 24401-24500 246 24501-24600 247 24601-24700 248 24701-24800 249 24801-24900 250 24901-25000 251 25001-25100 252 25101-25200 253 25201-25300 254 25301-25400 255 25401-25500 256 25501-25600 257 25601-25700 258 25701-25800 259 25801-25900 260 25901-26000 261 26001-26100 262 26101-26200 263 26201-26300 264 26301-26400 265 26401-26500 266 26501-26600 267 26601-26700 268 26701-26800 269 26801-26900 270 26901-27000 271 27001-27100 272 27101-27200 273 27201-27300 274 27301-27400 275 27401-27500 276 27501-27600 277 27601-27700 278 27701-27800 279 27801-27900 280 27901-28000 281 28001-28100 282 28101-28200 283 28201-28300 284 28301-28400 285 28401-28500 286 28501-28600 287 28601-28700 288 28701-28800 289 28801-28900 290 28901-29000 291 29001-29100 292 29101-29200 293 29201-29300 294 29301-29400 295 29401-29500 296 29501-29600 297 29601-29700 298 29701-29800 299 29801-29900 300 29901-30000 301 30001-30100 302 30101-30200 303 30201-30300 304 30301-30400 305 30401-30500 306 30501-30600 307 30601-30700 308 30701-30800 309 30801-30900 310 30901-31000 311 31001-31100 312 31101-31200 313 31201-31300 314 31301-31400 315 31401-31500 316 31501-31600 317 31601-31700 318 31701-31800 319 31801-31900 320 31901-32000 321 32001-32100 322 32101-32200 323 32201-32300 324 32301-32400 325 32401-32500 326 32501-32600 327 32601-32700 328 32701-32800 329 32801-32900 330 32901-33000 331 33001-33100 332 33101-33200 333 33201-33300 334 33301-33400 335 33401-33500 336 33501-33600 337 33601-33700 338 33701-33800 339 33801-33900 340 33901-34000 341 34001-34100 342 34101-34200 343 34201-34300 344 34301-34400 345 34401-34500 346 34501-34600 347 34601-34700 348 34701-34800 349 34801-34900 350 34901-35000 351 35001-35100 352 35101-35200 353 35201-35300 354 35301-35400 355 35401-35500 356 35501-35600 357 35601-35700 358 35701-35800 359 35801-35900 360 35901-36000 361 36001-36100 362 36101-36200 363 36201-36300 364 36301-36400 365 36401-36500 366 36501-36600 367 36601-36700 368 36701-36800 369 36801-36900 370 36901-37000 371 37001-37100 372 37101-37200 373 37201-37300 374 37301-37400 375 37401-37500 376 37501-37600 377 37601-37700 378 37701-37800 379 37801-37900 380 37901-38000 381 38001-38100 382 38101-38200 383 38201-38300 384 38301-38400 385 38401-38500 386 38501-38600 387 38601-38700 388 38701-38800 389 38801-38900 390 38901-39000 391 39001-39100 392 39101-39200 393 39201-39300 394 39301-39400 395 39401-39500 396 39501-39600 397 39601-39700 398 39701-39800 399 39801-39900 400 39901-40000 401 40001-40100 402 40101-40200 403 40201-40300 404 40301-40400 405 40401-40500 406 40501-40600 407 40601-40700 408 40701-40800 409 40801-40900 410 40901-41000 411 41001-41100 412 41101-41200 413 41201-41300 414 41301-41400 415 41401-41500 416 41501-41600 417 41601-41700 418 41701-41800 419 41801-41900 420 41901-42000 421 42001-42100 422 42101-42200 423 42201-42300 424 42301-42400 425 42401-42500 426 42501-42600 427 42601-42700 428 42701-42800 429 42801-42900 430 42901-43000 431 43001-43100 432 43101-43200 433 43201-43300 434 43301-43400 435 43401-43500 436 43501-43600 437 43601-43700 438 43701-43800 439 43801-43900 440 43901-44000 441 44001-44100 442 44101-44200 443 44201-44300 444 44301-44400 445 44401-44500 446 44501-44600 447 44601-44700 448 44701-44800 449 44801-44900 450 44901-45000 451 45001-45100 452 45101-45200 453 45201-45300 454 45301-45400 455 45401-45500 456 45501-45600 457 45601-45700 458 45701-45800 459 45801-45900 460 45901-46000 461 46001-46100 462 46101-46200 463 46201-46300 464 46301-46400 465 46401-46500 466 46501-46600 467 46601-46700 468 46701-46800 469 46801-46900 470 46901-47000 471 47001-47100 472 47101-47200 473 47201-47300 474 47301-47400 475 47401-47500 476 47501-47600 477 47601-47700 478 47701-47800 479 47801-47900 480 47901-47941
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >