Theorem fallfacval 16143

Description: The value of the falling factorial function. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fallfacval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fallfacval

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7415	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 − 𝑘) = (𝐴 − 𝑘))
2	1	prodeq2sdv 16058	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝑥 − 𝑘) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴 − 𝑘))
3		oveq1 7415	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
4	3	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (0...(𝑛 − 1)) = (0...(𝑁 − 1)))
5	4	prodeq1d 16055	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ∏𝑘 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴 − 𝑘) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘))
6		df-fallfac 16141	. 2 ⊢ FallFac = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∏𝑘 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝑥 − 𝑘))
7		prodex 16041	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘) ∈ V
8	2, 5, 6, 7	ovmpo 7568	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7408  ℂcc 11169  0cc0 11171  1c1 11172   − cmin 11512  ℕ₀cn0 12575  ...cfz 13608  ∏cprod 16039   FallFac cfallfac 16138

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-iota 6483  df-fun 6529  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-seq 14113  df-prod 16040  df-fallfac 16141

This theorem is used by:  fallfacval2  16145  fallfacval3  16146  fallfaccllem  16148  fallfacp1  16163  fallfacfwd  16169  0fallfac  16170  bcled  43148  bcle2d  43149  bcc0  45268