Theorem fallfacval 16176

Description: The value of the falling factorial function. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fallfacval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fallfacval

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7427	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 − 𝑘) = (𝐴 − 𝑘))
2	1	prodeq2sdv 16091	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝑥 − 𝑘) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴 − 𝑘))
3		oveq1 7427	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
4	3	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (0...(𝑛 − 1)) = (0...(𝑁 − 1)))
5	4	prodeq1d 16088	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ∏𝑘 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴 − 𝑘) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘))
6		df-fallfac 16174	. 2 ⊢ FallFac = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∏𝑘 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝑥 − 𝑘))
7		prodex 16074	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘) ∈ V
8	2, 5, 6, 7	ovmpo 7580	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   − cmin 11541  ℕ₀cn0 12606  ...cfz 13639  ∏cprod 16072   FallFac cfallfac 16171

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-iota 6494  df-fun 6540  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-seq 14145  df-prod 16073  df-fallfac 16174

This theorem is used by:  fallfacval2  16178  fallfacval3  16179  fallfaccllem  16181  fallfacp1  16196  fallfacfwd  16202  0fallfac  16203  bcled  43271  bcle2d  43272  bcc0  45367