Theorem fallfacval 16042

Description: The value of the falling factorial function. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fallfacval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fallfacval

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7438	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 − 𝑘) = (𝐴 − 𝑘))
2	1	prodeq2sdv 15956	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝑥 − 𝑘) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴 − 𝑘))
3		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
4	3	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (0...(𝑛 − 1)) = (0...(𝑁 − 1)))
5	4	prodeq1d 15953	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ∏𝑘 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴 − 𝑘) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘))
6		df-fallfac 16040	. 2 ⊢ FallFac = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∏𝑘 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝑥 − 𝑘))
7		prodex 15938	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘) ∈ V
8	2, 5, 6, 7	ovmpo 7593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   − cmin 11490  ℕ₀cn0 12524  ...cfz 13544  ∏cprod 15936   FallFac cfallfac 16037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-iota 6516  df-fun 6565  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-seq 14040  df-prod 15937  df-fallfac 16040

This theorem is referenced by:  fallfacval2  16044  fallfacval3  16045  fallfaccllem  16047  fallfacp1  16063  fallfacfwd  16069  0fallfac  16070  bcled  42160  bcle2d  42161  bcc0  44336