Theorem fallfacval 16205

Description: The value of the falling factorial function. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fallfacval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fallfacval

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7450	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 − 𝑘) = (𝐴 − 𝑘))
2	1	prodeq2sdv 16120	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝑥 − 𝑘) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴 − 𝑘))
3		oveq1 7450	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
4	3	oveq2d 7459	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (0...(𝑛 − 1)) = (0...(𝑁 − 1)))
5	4	prodeq1d 16117	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ∏𝑘 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴 − 𝑘) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘))
6		df-fallfac 16203	. 2 ⊢ FallFac = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∏𝑘 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝑥 − 𝑘))
7		prodex 16103	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘) ∈ V
8	2, 5, 6, 7	ovmpo 7604	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   − cmin 11568  ℕ₀cn0 12633  ...cfz 13666  ∏cprod 16101   FallFac cfallfac 16200

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-iota 6512  df-fun 6560  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-seq 14172  df-prod 16102  df-fallfac 16203

This theorem is used by:  fallfacval2  16207  fallfacval3  16208  fallfaccllem  16210  fallfacp1  16225  fallfacfwd  16231  0fallfac  16232  bcled  43420  bcle2d  43421  bcc0  45516