Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonioolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonioolem1 45331
Description: The sequence of the measures of the half-open intervals converges to the measure of their union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonioolem1.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonioolem1.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonioolem1.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonioolem1.u (𝜑𝑋 ≠ ∅)
vonioolem1.t ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
vonioolem1.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
vonioolem1.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
vonioolem1.s 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)))
vonioolem1.r 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
vonioolem1.e 𝐸 = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < )
vonioolem1.n 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)
vonioolem1.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
Assertion
Ref Expression
vonioolem1 (𝜑𝑆 ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑘,𝑛   𝐶,𝑘   𝑆,𝑛   𝑇,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛)   𝑆(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐸(𝑘,𝑛)   𝑁(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem vonioolem1
StepHypRef Expression
1 vonioolem1.r . . . . 5 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘))))
3 vonioolem1.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
43a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))))
5 vonioolem1.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
65mptexd 7221 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
76adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
84, 7fvmpt2d 7007 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
9 ovexd 7439 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ V)
108, 9fvmpt2d 7007 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))
1110oveq2d 7420 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)) = ((𝐵𝑘) − ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
12 vonioolem1.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
1312ffvelcdmda 7082 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
1413adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
1514recnd 11238 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
16 vonioolem1.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
1716adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
1817ffvelcdmda 7082 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
1918recnd 11238 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
20 nnrecre 12250 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
2221recnd 11238 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
2315, 19, 22subsub4d 11598 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛)) = ((𝐵𝑘) − ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
2411, 23eqtr4d 2776 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛)))
2524prodeq2dv 15863 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)) = ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛)))
2625mpteq2dva 5247 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛))))
272, 26eqtrd 2773 . . 3 (𝜑𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛))))
28 nfv 1918 . . . 4 𝑘𝜑
29 rpssre 12977 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
30 vonioolem1.t . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
3116ffvelcdmda 7082 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
32 difrp 13008 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ↔ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℝ+))
3331, 13, 32syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ↔ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℝ+))
3430, 33mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℝ+)
3529, 34sselid 3979 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
3635recnd 11238 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
37 eqid 2733 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛)))
3828, 5, 36, 37fprodsubrecnncnv 44559 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛))) ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
3927, 38eqbrtrd 5169 . 2 (𝜑𝑇 ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
40 vonioolem1.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
41 nnex 12214 . . . . . 6 ℕ ∈ V
4241mptex 7220 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘))) ∈ V
4342a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘))) ∈ V)
441, 43eqeltrid 2838 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
45 vonioolem1.s . . . 4 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)))
4641mptex 7220 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) ∈ V
4746a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) ∈ V)
4845, 47eqeltrid 2838 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ V)
49 vonioolem1.n . . . 4 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)
50 1rp 12974 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
5150a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
52 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
5328, 52, 34rnmptssd 43828 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ⊆ ℝ+)
54 vonioolem1.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < )
55 ltso 11290 . . . . . . . . . . . . 13 < Or ℝ
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → < Or ℝ)
5752rnmptfi 43800 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ∈ Fin)
585, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ∈ Fin)
59 vonioolem1.u . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
6028, 34, 52, 59rnmptn0 6240 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ≠ ∅)
6129a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
6253, 61sstrd 3991 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ⊆ ℝ)
63 fiinfcl 9492 . . . . . . . . . . . 12 (( < Or ℝ ∧ (ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ∈ Fin ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ≠ ∅ ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ⊆ ℝ)) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
6456, 58, 60, 62, 63syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
6554, 64eqeltrid 2838 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
6653, 65sseldd 3982 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
6751, 66rpdivcld 13029 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 𝐸) ∈ ℝ+)
6867rpred 13012 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 𝐸) ∈ ℝ)
6967rpge0d 13016 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝐸))
70 flge0nn0 13781 . . . . . . 7 (((1 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐸)) → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
7168, 69, 70syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
72 nn0p1nn 12507 . . . . . 6 ((⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
7371, 72syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
7473nnzd 12581 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℤ)
7549, 74eqeltrid 2838 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7649recnnltrp 44022 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))
7766, 76syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))
7877simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
79 uznnssnn 12875 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ𝑁) ⊆ ℕ)
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ ℕ)
8140, 80eqsstrid 4029 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ⊆ ℕ)
8281adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑍 ⊆ ℕ)
83 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
8482, 83sseldd 3982 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ ℕ)
85 vonioolem1.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
8685a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
875adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
88 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
8918, 21readdcld 11239 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
9089fmpttd 7110 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ)
918feq1d 6699 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ ↔ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ))
9290, 91mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ)
9312adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
9487, 88, 92, 93hoimbl 45282 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom (voln‘𝑋))
9594elexd 3495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ V)
9686, 95fvmpt2d 7007 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
9784, 96syldan 592 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐷𝑛) = X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
9897fveq2d 6892 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
995adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑋 ∈ Fin)
10059adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑋 ≠ ∅)
10184, 92syldan 592 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ)
10212adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
103 eqid 2733 . . . . . 6 X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))
10499, 100, 101, 102, 103vonn0hoi 45321 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
105101ffvelcdmda 7082 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑘) ∈ ℝ)
10684, 14syldanl 603 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
107 volico 44634 . . . . . . . 8 ((((𝐶𝑛)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘(((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if(((𝐶𝑛)‘𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)), 0))
108105, 106, 107syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘(((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if(((𝐶𝑛)‘𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)), 0))
10984, 10syldanl 603 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))
11084, 21syldanl 603 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
11178nnrecred 12259 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
112111ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
11335adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
11440eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
115114biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
116 eluzle 12831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑛)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍𝑁𝑛)
118117adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑁𝑛)
11978nnrpd 13010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
120119adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑁 ∈ ℝ+)
121 nnrp 12981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
12284, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ ℝ+)
123120, 122lerecd 13031 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑁𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≤ (1 / 𝑁)))
124118, 123mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → (1 / 𝑛) ≤ (1 / 𝑁))
125124adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ≤ (1 / 𝑁))
126111adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
12729, 66sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
128127adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ)
12977simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 / 𝑁) < 𝐸)
130129adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋) → (1 / 𝑁) < 𝐸)
13162adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋) → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ⊆ ℝ)
13258adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋) → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ∈ Fin)
133 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑋𝑘𝑋)
134 ovexd 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑋 → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ V)
13552elrnmpt1 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘𝑋 ∧ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ V) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
136133, 134, 135syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝑋 → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
137136adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
138 infrefilb 12196 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ∈ Fin ∧ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ) ≤ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
139131, 132, 137, 138syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑋) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ) ≤ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
14054, 139eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐸 ≤ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
141126, 128, 35, 130, 140ltletrd 11370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → (1 / 𝑁) < ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
142141adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑁) < ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
143110, 112, 113, 125, 142lelttrd 11368 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) < ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
14484, 18syldanl 603 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
145144, 110, 106ltaddsub2d 11811 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)) < (𝐵𝑘) ↔ (1 / 𝑛) < ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
146143, 145mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)) < (𝐵𝑘))
147109, 146eqbrtrd 5169 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑘) < (𝐵𝑘))
148147iftrued 4535 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → if(((𝐶𝑛)‘𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)), 0) = ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
149108, 148eqtrd 2773 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘(((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
150149prodeq2dv 15863 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ∏𝑘𝑋 (vol‘(((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
15198, 104, 1503eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
152 fvexd 6903 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) ∈ V)
15345fvmpt2 7005 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) ∈ V) → (𝑆𝑛) = ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)))
15484, 152, 153syl2anc 585 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑆𝑛) = ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)))
155 prodex 15847 . . . . . 6 𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)) ∈ V
156155a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)) ∈ V)
1571fvmpt2 7005 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)) ∈ V) → (𝑇𝑛) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
15884, 156, 157syl2anc 585 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑇𝑛) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
159151, 154, 1583eqtr4rd 2784 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑇𝑛) = (𝑆𝑛))
16040, 44, 48, 75, 159climeq 15507 . 2 (𝜑 → (𝑇 ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ↔ 𝑆 ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
16139, 160mpbid 231 1 (𝜑𝑆 ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  Vcvv 3475  wss 3947  c0 4321  ifcif 4527   class class class wbr 5147  cmpt 5230   Or wor 5586  dom cdm 5675  ran crn 5676  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  Xcixp 8887  Fincfn 8935  infcinf 9432  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244  cle 11245  cmin 11440   / cdiv 11867  cn 12208  0cn0 12468  cz 12554  cuz 12818  +crp 12970  [,)cico 13322  cfl 13751  cli 15424  cprod 15845  volcvol 24962  volncvoln 45189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-prod 15846  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-cring 20050  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-dvr 20204  df-drng 20306  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-cmp 22873  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cncf 24376  df-ovol 24963  df-vol 24964  df-salg 44960  df-sumge0 45014  df-mea 45101  df-ome 45141  df-caragen 45143  df-ovoln 45188  df-voln 45190
This theorem is referenced by:  vonioolem2  45332
  Copyright terms: Public domain W3C validator