Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonioolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonioolem1 45695
Description: The sequence of the measures of the half-open intervals converges to the measure of their union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonioolem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
vonioolem1.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
vonioolem1.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
vonioolem1.u (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
vonioolem1.t ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
vonioolem1.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
vonioolem1.d 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
vonioolem1.s 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)))
vonioolem1.r 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
vonioolem1.e 𝐸 = inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < )
vonioolem1.n 𝑁 = ((βŒŠβ€˜(1 / 𝐸)) + 1)
vonioolem1.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘)
Assertion
Ref Expression
vonioolem1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,π‘˜,𝑛   𝐢,π‘˜   𝑆,𝑛   𝑇,𝑛   π‘˜,𝑋,𝑛   π‘˜,𝑍,𝑛   πœ‘,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐢(𝑛)   𝐷(π‘˜,𝑛)   𝑆(π‘˜)   𝑇(π‘˜)   𝐸(π‘˜,𝑛)   𝑁(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem vonioolem1
StepHypRef Expression
1 vonioolem1.r . . . . 5 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))))
3 vonioolem1.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
43a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))))
5 vonioolem1.x . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
65mptexd 7228 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
76adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
84, 7fvmpt2d 7011 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
9 ovexd 7447 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) ∈ V)
108, 9fvmpt2d 7011 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))
1110oveq2d 7428 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
12 vonioolem1.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
1312ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1413adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1514recnd 11247 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
16 vonioolem1.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
1716adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
1817ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1918recnd 11247 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
20 nnrecre 12259 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
2120ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
2221recnd 11247 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ β„‚)
2315, 19, 22subsub4d 11607 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) βˆ’ (1 / 𝑛)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
2411, 23eqtr4d 2774 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)) = (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) βˆ’ (1 / 𝑛)))
2524prodeq2dv 15872 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) βˆ’ (1 / 𝑛)))
2625mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) βˆ’ (1 / 𝑛))))
272, 26eqtrd 2771 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) βˆ’ (1 / 𝑛))))
28 nfv 1916 . . . 4 β„²π‘˜πœ‘
29 rpssre 12986 . . . . . 6 ℝ+ βŠ† ℝ
30 vonioolem1.t . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
3116ffvelcdmda 7086 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
32 difrp 13017 . . . . . . . 8 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜) ↔ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ+))
3331, 13, 32syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜) ↔ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ+))
3430, 33mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ+)
3529, 34sselid 3980 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
3635recnd 11247 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
37 eqid 2731 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) βˆ’ (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) βˆ’ (1 / 𝑛)))
3828, 5, 36, 37fprodsubrecnncnv 44923 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) βˆ’ (1 / 𝑛))) ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
3927, 38eqbrtrd 5170 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
40 vonioolem1.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘)
41 nnex 12223 . . . . . 6 β„• ∈ V
4241mptex 7227 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))) ∈ V
4342a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))) ∈ V)
441, 43eqeltrid 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
45 vonioolem1.s . . . 4 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)))
4641mptex 7227 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) ∈ V
4746a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) ∈ V)
4845, 47eqeltrid 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
49 vonioolem1.n . . . 4 𝑁 = ((βŒŠβ€˜(1 / 𝐸)) + 1)
50 1rp 12983 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
5150a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ+)
52 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
5328, 52, 34rnmptssd 44194 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) βŠ† ℝ+)
54 vonioolem1.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < )
55 ltso 11299 . . . . . . . . . . . . 13 < Or ℝ
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ < Or ℝ)
5752rnmptfi 44169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ Fin β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) ∈ Fin)
585, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) ∈ Fin)
59 vonioolem1.u . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
6028, 34, 52, 59rnmptn0 6243 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) β‰  βˆ…)
6129a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
6253, 61sstrd 3992 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) βŠ† ℝ)
63 fiinfcl 9500 . . . . . . . . . . . 12 (( < Or ℝ ∧ (ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) ∈ Fin ∧ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) β‰  βˆ… ∧ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) βŠ† ℝ)) β†’ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < ) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))))
6456, 58, 60, 62, 63syl13anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < ) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))))
6554, 64eqeltrid 2836 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))))
6653, 65sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
6751, 66rpdivcld 13038 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 / 𝐸) ∈ ℝ+)
6867rpred 13021 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 / 𝐸) ∈ ℝ)
6967rpge0d 13025 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (1 / 𝐸))
70 flge0nn0 13790 . . . . . . 7 (((1 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / 𝐸)) β†’ (βŒŠβ€˜(1 / 𝐸)) ∈ β„•0)
7168, 69, 70syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(1 / 𝐸)) ∈ β„•0)
72 nn0p1nn 12516 . . . . . 6 ((βŒŠβ€˜(1 / 𝐸)) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / 𝐸)) + 1) ∈ β„•)
7371, 72syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / 𝐸)) + 1) ∈ β„•)
7473nnzd 12590 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / 𝐸)) + 1) ∈ β„€)
7549, 74eqeltrid 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
7649recnnltrp 44386 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸 ∈ ℝ+ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))
7766, 76syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))
7877simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
79 uznnssnn 12884 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) βŠ† β„•)
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) βŠ† β„•)
8140, 80eqsstrid 4030 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† β„•)
8281adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑍 βŠ† β„•)
83 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
8482, 83sseldd 3983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
85 vonioolem1.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
8685a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
875adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
88 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 dom (volnβ€˜π‘‹) = dom (volnβ€˜π‘‹)
8918, 21readdcld 11248 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
9089fmpttd 7116 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„)
918feq1d 6702 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„ ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„))
9290, 91mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„)
9312adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
9487, 88, 92, 93hoimbl 45646 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
9594elexd 3494 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ V)
9686, 95fvmpt2d 7011 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
9784, 96syldan 590 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π·β€˜π‘›) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
9897fveq2d 6895 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
995adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
10059adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
10184, 92syldan 590 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„)
10212adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
103 eqid 2731 . . . . . 6 Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))
10499, 100, 101, 102, 103vonn0hoi 45685 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
105101ffvelcdmda 7086 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
10684, 14syldanl 601 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
107 volico 44998 . . . . . . . 8 ((((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = if(((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜), ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)), 0))
108105, 106, 107syl2anc 583 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = if(((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜), ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)), 0))
10984, 10syldanl 601 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))
11084, 21syldanl 601 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
11178nnrecred 12268 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
112111ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
11335adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
11440eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ 𝑍 ↔ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
115114biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
116 eluzle 12840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ 𝑁 ≀ 𝑛)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ 𝑁 ≀ 𝑛)
118117adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑁 ≀ 𝑛)
11978nnrpd 13019 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
120119adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
121 nnrp 12990 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
12284, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
123120, 122lerecd 13040 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝑁 ≀ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≀ (1 / 𝑁)))
124118, 123mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (1 / 𝑁))
125124adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (1 / 𝑁))
126111adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
12729, 66sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
128127adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
12977simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (1 / 𝑁) < 𝐸)
130129adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑁) < 𝐸)
13162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) βŠ† ℝ)
13258adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) ∈ Fin)
133 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
134 ovexd 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ V)
13552elrnmpt1 5957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ V) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))))
136133, 134, 135syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))))
137136adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))))
138 infrefilb 12205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) βŠ† ℝ ∧ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) ∈ Fin ∧ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))) β†’ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < ) ≀ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
139131, 132, 137, 138syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < ) ≀ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
14054, 139eqbrtrid 5183 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐸 ≀ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
141126, 128, 35, 130, 140ltletrd 11379 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑁) < ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
142141adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑁) < ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
143110, 112, 113, 125, 142lelttrd 11377 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) < ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
14484, 18syldanl 601 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
145144, 110, 106ltaddsub2d 11820 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) < (π΅β€˜π‘˜) ↔ (1 / 𝑛) < ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))))
146143, 145mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) < (π΅β€˜π‘˜))
147109, 146eqbrtrd 5170 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
148147iftrued 4536 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ if(((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜), ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)), 0) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
149108, 148eqtrd 2771 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
150149prodeq2dv 15872 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
15198, 104, 1503eqtrd 2775 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
152 fvexd 6906 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)) ∈ V)
15345fvmpt2 7009 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)) ∈ V) β†’ (π‘†β€˜π‘›) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)))
15484, 152, 153syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘†β€˜π‘›) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)))
155 prodex 15856 . . . . . 6 βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)) ∈ V
156155a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)) ∈ V)
1571fvmpt2 7009 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)) ∈ V) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
15884, 156, 157syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
159151, 154, 1583eqtr4rd 2782 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) = (π‘†β€˜π‘›))
16040, 44, 48, 75, 159climeq 15516 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ↔ 𝑆 ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))))
16139, 160mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Or wor 5587  dom cdm 5676  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Xcixp 8895  Fincfn 8943  infcinf 9440  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  β„+crp 12979  [,)cico 13331  βŒŠcfl 13760   ⇝ cli 15433  βˆcprod 15854  volcvol 25213  volncvoln 45553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-ac2 10462  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-acn 9941  df-ac 10115  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-prod 15855  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20503  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-salg 45324  df-sumge0 45378  df-mea 45465  df-ome 45505  df-caragen 45507  df-ovoln 45552  df-voln 45554
This theorem is referenced by:  vonioolem2  45696
  Copyright terms: Public domain W3C validator