Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonioolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonioolem1 42830
Description: The sequence of the measures of the half-open intervals converges to the measure of their union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonioolem1.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonioolem1.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonioolem1.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonioolem1.u (𝜑𝑋 ≠ ∅)
vonioolem1.t ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
vonioolem1.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
vonioolem1.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
vonioolem1.s 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)))
vonioolem1.r 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
vonioolem1.e 𝐸 = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < )
vonioolem1.n 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)
vonioolem1.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
Assertion
Ref Expression
vonioolem1 (𝜑𝑆 ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑘,𝑛   𝐶,𝑘   𝑆,𝑛   𝑇,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛)   𝑆(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐸(𝑘,𝑛)   𝑁(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem vonioolem1
StepHypRef Expression
1 vonioolem1.r . . . . 5 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘))))
3 vonioolem1.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
43a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))))
5 vonioolem1.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
65mptexd 6985 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
76adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
84, 7fvmpt2d 6776 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
9 ovexd 7186 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ V)
108, 9fvmpt2d 6776 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))
1110oveq2d 7167 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)) = ((𝐵𝑘) − ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
12 vonioolem1.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
1312ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
1413adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
1514recnd 10661 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
16 vonioolem1.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
1716adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
1817ffvelrnda 6846 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
1918recnd 10661 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
20 nnrecre 11671 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
2120ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
2221recnd 10661 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
2315, 19, 22subsub4d 11020 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛)) = ((𝐵𝑘) − ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
2411, 23eqtr4d 2863 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛)))
2524prodeq2dv 15269 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)) = ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛)))
2625mpteq2dva 5157 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛))))
272, 26eqtrd 2860 . . 3 (𝜑𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛))))
28 nfv 1908 . . . 4 𝑘𝜑
29 rpssre 12389 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
30 vonioolem1.t . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
3116ffvelrnda 6846 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
32 difrp 12420 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ↔ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℝ+))
3331, 13, 32syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ↔ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℝ+))
3430, 33mpbid 233 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℝ+)
3529, 34sseldi 3968 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
3635recnd 10661 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
37 eqid 2825 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛)))
3828, 5, 36, 37fprodsubrecnncnv 42059 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛))) ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
3927, 38eqbrtrd 5084 . 2 (𝜑𝑇 ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
40 vonioolem1.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
41 nnex 11636 . . . . . 6 ℕ ∈ V
4241mptex 6984 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘))) ∈ V
4342a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘))) ∈ V)
441, 43eqeltrid 2921 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
45 vonioolem1.s . . . 4 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)))
4641mptex 6984 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) ∈ V
4746a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) ∈ V)
4845, 47eqeltrid 2921 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ V)
49 vonioolem1.n . . . 4 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)
50 1rp 12386 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
5150a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
52 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
5328, 52, 34rnmptssd 41325 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ⊆ ℝ+)
54 vonioolem1.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < )
55 ltso 10713 . . . . . . . . . . . . 13 < Or ℝ
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → < Or ℝ)
5752rnmptfi 41294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ∈ Fin)
585, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ∈ Fin)
59 vonioolem1.u . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
6028, 34, 52, 59rnmptn0 41351 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ≠ ∅)
6129a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
6253, 61sstrd 3980 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ⊆ ℝ)
63 fiinfcl 8957 . . . . . . . . . . . 12 (( < Or ℝ ∧ (ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ∈ Fin ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ≠ ∅ ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ⊆ ℝ)) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
6456, 58, 60, 62, 63syl13anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
6554, 64eqeltrid 2921 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
6653, 65sseldd 3971 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
6751, 66rpdivcld 12441 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 𝐸) ∈ ℝ+)
6867rpred 12424 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 𝐸) ∈ ℝ)
6967rpge0d 12428 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝐸))
70 flge0nn0 13183 . . . . . . 7 (((1 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐸)) → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
7168, 69, 70syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
72 nn0p1nn 11928 . . . . . 6 ((⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
7371, 72syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
7473nnzd 12078 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℤ)
7549, 74eqeltrid 2921 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7649recnnltrp 41512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))
7766, 76syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))
7877simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
79 uznnssnn 12287 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ𝑁) ⊆ ℕ)
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ ℕ)
8140, 80eqsstrid 4018 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ⊆ ℕ)
8281adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑍 ⊆ ℕ)
83 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
8482, 83sseldd 3971 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ ℕ)
85 vonioolem1.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
8685a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
875adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
88 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
8918, 21readdcld 10662 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
9089fmpttd 6874 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ)
918feq1d 6495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ ↔ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ))
9290, 91mpbird 258 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ)
9312adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
9487, 88, 92, 93hoimbl 42781 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom (voln‘𝑋))
9594elexd 3519 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ V)
9686, 95fvmpt2d 6776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
9784, 96syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐷𝑛) = X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
9897fveq2d 6670 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
995adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑋 ∈ Fin)
10059adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑋 ≠ ∅)
10184, 92syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ)
10212adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
103 eqid 2825 . . . . . 6 X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))
10499, 100, 101, 102, 103vonn0hoi 42820 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
105101ffvelrnda 6846 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑘) ∈ ℝ)
10684, 14syldanl 601 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
107 volico 42136 . . . . . . . 8 ((((𝐶𝑛)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘(((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if(((𝐶𝑛)‘𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)), 0))
108105, 106, 107syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘(((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if(((𝐶𝑛)‘𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)), 0))
10984, 10syldanl 601 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))
11084, 21syldanl 601 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
11178nnrecred 11680 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
112111ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
11335adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
11440eleq2i 2908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
115114biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
116 eluzle 12248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑛)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍𝑁𝑛)
118117adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑁𝑛)
11978nnrpd 12422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
120119adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑁 ∈ ℝ+)
121 nnrp 12393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
12284, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ ℝ+)
123120, 122lerecd 12443 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑁𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≤ (1 / 𝑁)))
124118, 123mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → (1 / 𝑛) ≤ (1 / 𝑁))
125124adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ≤ (1 / 𝑁))
126111adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
12729, 66sseldi 3968 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
128127adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ)
12977simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 / 𝑁) < 𝐸)
130129adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋) → (1 / 𝑁) < 𝐸)
13162adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋) → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ⊆ ℝ)
13258adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋) → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ∈ Fin)
133 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑋𝑘𝑋)
134 ovexd 7186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑋 → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ V)
13552elrnmpt1 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘𝑋 ∧ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ V) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
136133, 134, 135syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝑋 → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
137136adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
138 infrefilb 41518 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ∈ Fin ∧ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ) ≤ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
139131, 132, 137, 138syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑋) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ) ≤ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
14054, 139eqbrtrid 5097 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐸 ≤ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
141126, 128, 35, 130, 140ltletrd 10792 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → (1 / 𝑁) < ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
142141adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑁) < ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
143110, 112, 113, 125, 142lelttrd 10790 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) < ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
14484, 18syldanl 601 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
145144, 110, 106ltaddsub2d 11233 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)) < (𝐵𝑘) ↔ (1 / 𝑛) < ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
146143, 145mpbird 258 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)) < (𝐵𝑘))
147109, 146eqbrtrd 5084 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑘) < (𝐵𝑘))
148147iftrued 4477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → if(((𝐶𝑛)‘𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)), 0) = ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
149108, 148eqtrd 2860 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘(((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
150149prodeq2dv 15269 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ∏𝑘𝑋 (vol‘(((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
15198, 104, 1503eqtrd 2864 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
152 fvexd 6681 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) ∈ V)
15345fvmpt2 6774 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) ∈ V) → (𝑆𝑛) = ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)))
15484, 152, 153syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑆𝑛) = ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)))
155 prodex 15253 . . . . . 6 𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)) ∈ V
156155a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)) ∈ V)
1571fvmpt2 6774 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)) ∈ V) → (𝑇𝑛) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
15884, 156, 157syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑇𝑛) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
159151, 154, 1583eqtr4rd 2871 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑇𝑛) = (𝑆𝑛))
16040, 44, 48, 75, 159climeq 14917 . 2 (𝜑 → (𝑇 ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ↔ 𝑆 ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
16139, 160mpbid 233 1 (𝜑𝑆 ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  Vcvv 3499  wss 3939  c0 4294  ifcif 4469   class class class wbr 5062  cmpt 5142   Or wor 5471  dom cdm 5553  ran crn 5554  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  Xcixp 8453  Fincfn 8501  infcinf 8897  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862   / cdiv 11289  cn 11630  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  +crp 12382  [,)cico 12733  cfl 13153  cli 14834  cprod 15251  volcvol 23981  volncvoln 42688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-ac2 9877  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-disj 5028  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-acn 9363  df-ac 9534  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-prod 15252  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-mulg 18157  df-subg 18208  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-cring 19222  df-oppr 19295  df-dvdsr 19313  df-unit 19314  df-invr 19344  df-dvr 19355  df-drng 19426  df-psmet 20455  df-xmet 20456  df-met 20457  df-bl 20458  df-mopn 20459  df-cnfld 20464  df-top 21420  df-topon 21437  df-topsp 21459  df-bases 21472  df-cn 21753  df-cnp 21754  df-cmp 21913  df-tx 22088  df-hmeo 22281  df-xms 22847  df-ms 22848  df-tms 22849  df-cncf 23403  df-ovol 23982  df-vol 23983  df-salg 42462  df-sumge0 42513  df-mea 42600  df-ome 42640  df-caragen 42642  df-ovoln 42687  df-voln 42689
This theorem is referenced by:  vonioolem2  42831
  Copyright terms: Public domain W3C validator