Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonioolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonioolem1 46601
Description: The sequence of the measures of the half-open intervals converges to the measure of their union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonioolem1.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonioolem1.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonioolem1.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonioolem1.u (𝜑𝑋 ≠ ∅)
vonioolem1.t ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
vonioolem1.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
vonioolem1.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
vonioolem1.s 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)))
vonioolem1.r 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
vonioolem1.e 𝐸 = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < )
vonioolem1.n 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)
vonioolem1.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
Assertion
Ref Expression
vonioolem1 (𝜑𝑆 ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑘,𝑛   𝐶,𝑘   𝑆,𝑛   𝑇,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛)   𝑆(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐸(𝑘,𝑛)   𝑁(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem vonioolem1
StepHypRef Expression
1 vonioolem1.r . . . . 5 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘))))
3 vonioolem1.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
43a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))))
5 vonioolem1.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
65mptexd 7261 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
76adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
84, 7fvmpt2d 7042 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
9 ovexd 7483 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ V)
108, 9fvmpt2d 7042 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))
1110oveq2d 7464 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)) = ((𝐵𝑘) − ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
12 vonioolem1.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
1312ffvelcdmda 7118 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
1413adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
1514recnd 11318 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
16 vonioolem1.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
1716adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
1817ffvelcdmda 7118 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
1918recnd 11318 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
20 nnrecre 12335 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
2221recnd 11318 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
2315, 19, 22subsub4d 11678 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛)) = ((𝐵𝑘) − ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
2411, 23eqtr4d 2783 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛)))
2524prodeq2dv 15970 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)) = ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛)))
2625mpteq2dva 5266 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛))))
272, 26eqtrd 2780 . . 3 (𝜑𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛))))
28 nfv 1913 . . . 4 𝑘𝜑
29 rpssre 13064 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
30 vonioolem1.t . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
3116ffvelcdmda 7118 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
32 difrp 13095 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ↔ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℝ+))
3331, 13, 32syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ↔ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℝ+))
3430, 33mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℝ+)
3529, 34sselid 4006 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
3635recnd 11318 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
37 eqid 2740 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛)))
3828, 5, 36, 37fprodsubrecnncnv 45829 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) − (1 / 𝑛))) ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
3927, 38eqbrtrd 5188 . 2 (𝜑𝑇 ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
40 vonioolem1.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
41 nnex 12299 . . . . . 6 ℕ ∈ V
4241mptex 7260 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘))) ∈ V
4342a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘))) ∈ V)
441, 43eqeltrid 2848 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
45 vonioolem1.s . . . 4 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)))
4641mptex 7260 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) ∈ V
4746a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) ∈ V)
4845, 47eqeltrid 2848 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ V)
49 vonioolem1.n . . . 4 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)
50 1rp 13061 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
5150a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
52 eqid 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
5328, 52, 34rnmptssd 45103 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ⊆ ℝ+)
54 vonioolem1.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < )
55 ltso 11370 . . . . . . . . . . . . 13 < Or ℝ
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → < Or ℝ)
5752rnmptfi 45078 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ∈ Fin)
585, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ∈ Fin)
59 vonioolem1.u . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
6028, 34, 52, 59rnmptn0 6275 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ≠ ∅)
6129a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
6253, 61sstrd 4019 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ⊆ ℝ)
63 fiinfcl 9570 . . . . . . . . . . . 12 (( < Or ℝ ∧ (ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ∈ Fin ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ≠ ∅ ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ⊆ ℝ)) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
6456, 58, 60, 62, 63syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
6554, 64eqeltrid 2848 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
6653, 65sseldd 4009 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
6751, 66rpdivcld 13116 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 𝐸) ∈ ℝ+)
6867rpred 13099 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 𝐸) ∈ ℝ)
6967rpge0d 13103 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝐸))
70 flge0nn0 13871 . . . . . . 7 (((1 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐸)) → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
7168, 69, 70syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
72 nn0p1nn 12592 . . . . . 6 ((⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
7371, 72syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
7473nnzd 12666 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℤ)
7549, 74eqeltrid 2848 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7649recnnltrp 45292 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))
7766, 76syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))
7877simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
79 uznnssnn 12960 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ𝑁) ⊆ ℕ)
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ ℕ)
8140, 80eqsstrid 4057 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ⊆ ℕ)
8281adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑍 ⊆ ℕ)
83 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
8482, 83sseldd 4009 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ ℕ)
85 vonioolem1.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
8685a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
875adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
88 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
8918, 21readdcld 11319 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
9089fmpttd 7149 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ)
918feq1d 6732 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ ↔ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ))
9290, 91mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ)
9312adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
9487, 88, 92, 93hoimbl 46552 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom (voln‘𝑋))
9594elexd 3512 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ V)
9686, 95fvmpt2d 7042 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
9784, 96syldan 590 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐷𝑛) = X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
9897fveq2d 6924 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
995adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑋 ∈ Fin)
10059adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑋 ≠ ∅)
10184, 92syldan 590 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ)
10212adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
103 eqid 2740 . . . . . 6 X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))
10499, 100, 101, 102, 103vonn0hoi 46591 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
105101ffvelcdmda 7118 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑘) ∈ ℝ)
10684, 14syldanl 601 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
107 volico 45904 . . . . . . . 8 ((((𝐶𝑛)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘(((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if(((𝐶𝑛)‘𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)), 0))
108105, 106, 107syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘(((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if(((𝐶𝑛)‘𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)), 0))
10984, 10syldanl 601 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))
11084, 21syldanl 601 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
11178nnrecred 12344 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
112111ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
11335adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
11440eleq2i 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
115114biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
116 eluzle 12916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑛)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍𝑁𝑛)
118117adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑁𝑛)
11978nnrpd 13097 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
120119adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑁 ∈ ℝ+)
121 nnrp 13068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
12284, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ ℝ+)
123120, 122lerecd 13118 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑁𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≤ (1 / 𝑁)))
124118, 123mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → (1 / 𝑛) ≤ (1 / 𝑁))
125124adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ≤ (1 / 𝑁))
126111adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
12729, 66sselid 4006 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
128127adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ)
12977simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 / 𝑁) < 𝐸)
130129adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋) → (1 / 𝑁) < 𝐸)
13162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋) → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ⊆ ℝ)
13258adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋) → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ∈ Fin)
133 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑋𝑘𝑋)
134 ovexd 7483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑋 → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ V)
13552elrnmpt1 5983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘𝑋 ∧ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ V) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
136133, 134, 135syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝑋 → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
137136adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
138 infrefilb 12281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) ∈ Fin ∧ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ) ≤ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
139131, 132, 137, 138syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑋) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ) ≤ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
14054, 139eqbrtrid 5201 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐸 ≤ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
141126, 128, 35, 130, 140ltletrd 11450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → (1 / 𝑁) < ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
142141adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑁) < ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
143110, 112, 113, 125, 142lelttrd 11448 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) < ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
14484, 18syldanl 601 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
145144, 110, 106ltaddsub2d 11891 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)) < (𝐵𝑘) ↔ (1 / 𝑛) < ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
146143, 145mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)) < (𝐵𝑘))
147109, 146eqbrtrd 5188 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑘) < (𝐵𝑘))
148147iftrued 4556 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → if(((𝐶𝑛)‘𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)), 0) = ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
149108, 148eqtrd 2780 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘(((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
150149prodeq2dv 15970 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ∏𝑘𝑋 (vol‘(((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
15198, 104, 1503eqtrd 2784 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
152 fvexd 6935 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) ∈ V)
15345fvmpt2 7040 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) ∈ V) → (𝑆𝑛) = ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)))
15484, 152, 153syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑆𝑛) = ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)))
155 prodex 15953 . . . . . 6 𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)) ∈ V
156155a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)) ∈ V)
1571fvmpt2 7040 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)) ∈ V) → (𝑇𝑛) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
15884, 156, 157syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑇𝑛) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
159151, 154, 1583eqtr4rd 2791 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑇𝑛) = (𝑆𝑛))
16040, 44, 48, 75, 159climeq 15613 . 2 (𝜑 → (𝑇 ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ↔ 𝑆 ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
16139, 160mpbid 232 1 (𝜑𝑆 ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  Vcvv 3488  wss 3976  c0 4352  ifcif 4548   class class class wbr 5166  cmpt 5249   Or wor 5606  dom cdm 5700  ran crn 5701  wf 6569  cfv 6573  (class class class)co 7448  Xcixp 8955  Fincfn 9003  infcinf 9510  cr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324  cle 11325  cmin 11520   / cdiv 11947  cn 12293  0cn0 12553  cz 12639  cuz 12903  +crp 13057  [,)cico 13409  cfl 13841  cli 15530  cprod 15951  volcvol 25517  volncvoln 46459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-ac2 10532  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-ac 10185  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-prod 15952  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-drng 20753  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-ovol 25518  df-vol 25519  df-salg 46230  df-sumge0 46284  df-mea 46371  df-ome 46411  df-caragen 46413  df-ovoln 46458  df-voln 46460
This theorem is referenced by:  vonioolem2  46602
  Copyright terms: Public domain W3C validator