Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonioolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonioolem1 45007
Description: The sequence of the measures of the half-open intervals converges to the measure of their union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonioolem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
vonioolem1.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
vonioolem1.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
vonioolem1.u (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
vonioolem1.t ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
vonioolem1.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
vonioolem1.d 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
vonioolem1.s 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)))
vonioolem1.r 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
vonioolem1.e 𝐸 = inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < )
vonioolem1.n 𝑁 = ((βŒŠβ€˜(1 / 𝐸)) + 1)
vonioolem1.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘)
Assertion
Ref Expression
vonioolem1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,π‘˜,𝑛   𝐢,π‘˜   𝑆,𝑛   𝑇,𝑛   π‘˜,𝑋,𝑛   π‘˜,𝑍,𝑛   πœ‘,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐢(𝑛)   𝐷(π‘˜,𝑛)   𝑆(π‘˜)   𝑇(π‘˜)   𝐸(π‘˜,𝑛)   𝑁(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem vonioolem1
StepHypRef Expression
1 vonioolem1.r . . . . 5 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))))
3 vonioolem1.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
43a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))))
5 vonioolem1.x . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
65mptexd 7175 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
76adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
84, 7fvmpt2d 6962 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
9 ovexd 7393 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) ∈ V)
108, 9fvmpt2d 6962 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))
1110oveq2d 7374 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
12 vonioolem1.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
1312ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1413adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1514recnd 11188 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
16 vonioolem1.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
1716adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
1817ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1918recnd 11188 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
20 nnrecre 12200 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
2221recnd 11188 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ β„‚)
2315, 19, 22subsub4d 11548 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) βˆ’ (1 / 𝑛)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
2411, 23eqtr4d 2776 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)) = (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) βˆ’ (1 / 𝑛)))
2524prodeq2dv 15811 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) βˆ’ (1 / 𝑛)))
2625mpteq2dva 5206 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) βˆ’ (1 / 𝑛))))
272, 26eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) βˆ’ (1 / 𝑛))))
28 nfv 1918 . . . 4 β„²π‘˜πœ‘
29 rpssre 12927 . . . . . 6 ℝ+ βŠ† ℝ
30 vonioolem1.t . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
3116ffvelcdmda 7036 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
32 difrp 12958 . . . . . . . 8 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜) ↔ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ+))
3331, 13, 32syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜) ↔ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ+))
3430, 33mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ+)
3529, 34sselid 3943 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
3635recnd 11188 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
37 eqid 2733 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) βˆ’ (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) βˆ’ (1 / 𝑛)))
3828, 5, 36, 37fprodsubrecnncnv 44235 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) βˆ’ (1 / 𝑛))) ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
3927, 38eqbrtrd 5128 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
40 vonioolem1.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘)
41 nnex 12164 . . . . . 6 β„• ∈ V
4241mptex 7174 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))) ∈ V
4342a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))) ∈ V)
441, 43eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
45 vonioolem1.s . . . 4 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)))
4641mptex 7174 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) ∈ V
4746a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) ∈ V)
4845, 47eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
49 vonioolem1.n . . . 4 𝑁 = ((βŒŠβ€˜(1 / 𝐸)) + 1)
50 1rp 12924 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
5150a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ+)
52 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
5328, 52, 34rnmptssd 43504 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) βŠ† ℝ+)
54 vonioolem1.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < )
55 ltso 11240 . . . . . . . . . . . . 13 < Or ℝ
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ < Or ℝ)
5752rnmptfi 43476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ Fin β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) ∈ Fin)
585, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) ∈ Fin)
59 vonioolem1.u . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
6028, 34, 52, 59rnmptn0 6197 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) β‰  βˆ…)
6129a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
6253, 61sstrd 3955 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) βŠ† ℝ)
63 fiinfcl 9442 . . . . . . . . . . . 12 (( < Or ℝ ∧ (ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) ∈ Fin ∧ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) β‰  βˆ… ∧ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) βŠ† ℝ)) β†’ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < ) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))))
6456, 58, 60, 62, 63syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < ) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))))
6554, 64eqeltrid 2838 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))))
6653, 65sseldd 3946 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
6751, 66rpdivcld 12979 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 / 𝐸) ∈ ℝ+)
6867rpred 12962 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 / 𝐸) ∈ ℝ)
6967rpge0d 12966 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (1 / 𝐸))
70 flge0nn0 13731 . . . . . . 7 (((1 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / 𝐸)) β†’ (βŒŠβ€˜(1 / 𝐸)) ∈ β„•0)
7168, 69, 70syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(1 / 𝐸)) ∈ β„•0)
72 nn0p1nn 12457 . . . . . 6 ((βŒŠβ€˜(1 / 𝐸)) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / 𝐸)) + 1) ∈ β„•)
7371, 72syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / 𝐸)) + 1) ∈ β„•)
7473nnzd 12531 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / 𝐸)) + 1) ∈ β„€)
7549, 74eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
7649recnnltrp 43698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸 ∈ ℝ+ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))
7766, 76syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))
7877simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
79 uznnssnn 12825 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) βŠ† β„•)
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) βŠ† β„•)
8140, 80eqsstrid 3993 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† β„•)
8281adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑍 βŠ† β„•)
83 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
8482, 83sseldd 3946 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
85 vonioolem1.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
8685a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
875adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
88 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 dom (volnβ€˜π‘‹) = dom (volnβ€˜π‘‹)
8918, 21readdcld 11189 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
9089fmpttd 7064 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„)
918feq1d 6654 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„ ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„))
9290, 91mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„)
9312adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
9487, 88, 92, 93hoimbl 44958 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
9594elexd 3464 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ V)
9686, 95fvmpt2d 6962 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
9784, 96syldan 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π·β€˜π‘›) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
9897fveq2d 6847 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
995adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
10059adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
10184, 92syldan 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„)
10212adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
103 eqid 2733 . . . . . 6 Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))
10499, 100, 101, 102, 103vonn0hoi 44997 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
105101ffvelcdmda 7036 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
10684, 14syldanl 603 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
107 volico 44310 . . . . . . . 8 ((((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = if(((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜), ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)), 0))
108105, 106, 107syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = if(((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜), ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)), 0))
10984, 10syldanl 603 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))
11084, 21syldanl 603 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
11178nnrecred 12209 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
112111ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
11335adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
11440eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ 𝑍 ↔ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
115114biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
116 eluzle 12781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ 𝑁 ≀ 𝑛)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ 𝑁 ≀ 𝑛)
118117adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑁 ≀ 𝑛)
11978nnrpd 12960 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
120119adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
121 nnrp 12931 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
12284, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
123120, 122lerecd 12981 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝑁 ≀ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≀ (1 / 𝑁)))
124118, 123mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (1 / 𝑁))
125124adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (1 / 𝑁))
126111adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
12729, 66sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
128127adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
12977simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (1 / 𝑁) < 𝐸)
130129adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑁) < 𝐸)
13162adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) βŠ† ℝ)
13258adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) ∈ Fin)
133 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
134 ovexd 7393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ V)
13552elrnmpt1 5914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ V) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))))
136133, 134, 135syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))))
137136adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))))
138 infrefilb 12146 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) βŠ† ℝ ∧ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) ∈ Fin ∧ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))) β†’ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < ) ≀ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
139131, 132, 137, 138syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < ) ≀ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
14054, 139eqbrtrid 5141 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐸 ≀ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
141126, 128, 35, 130, 140ltletrd 11320 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑁) < ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
142141adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑁) < ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
143110, 112, 113, 125, 142lelttrd 11318 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) < ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
14484, 18syldanl 603 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
145144, 110, 106ltaddsub2d 11761 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) < (π΅β€˜π‘˜) ↔ (1 / 𝑛) < ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))))
146143, 145mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) < (π΅β€˜π‘˜))
147109, 146eqbrtrd 5128 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
148147iftrued 4495 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ if(((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜), ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)), 0) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
149108, 148eqtrd 2773 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
150149prodeq2dv 15811 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
15198, 104, 1503eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
152 fvexd 6858 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)) ∈ V)
15345fvmpt2 6960 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)) ∈ V) β†’ (π‘†β€˜π‘›) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)))
15484, 152, 153syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘†β€˜π‘›) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)))
155 prodex 15795 . . . . . 6 βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)) ∈ V
156155a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)) ∈ V)
1571fvmpt2 6960 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)) ∈ V) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
15884, 156, 157syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
159151, 154, 1583eqtr4rd 2784 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) = (π‘†β€˜π‘›))
16040, 44, 48, 75, 159climeq 15455 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ↔ 𝑆 ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))))
16139, 160mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  ifcif 4487   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Or wor 5545  dom cdm 5634  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Xcixp 8838  Fincfn 8886  infcinf 9382  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  β„+crp 12920  [,)cico 13272  βŒŠcfl 13701   ⇝ cli 15372  βˆcprod 15793  volcvol 24843  volncvoln 44865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-ac2 10404  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-ac 10057  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-prod 15794  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-drng 20199  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-salg 44636  df-sumge0 44690  df-mea 44777  df-ome 44817  df-caragen 44819  df-ovoln 44864  df-voln 44866
This theorem is referenced by:  vonioolem2  45008
  Copyright terms: Public domain W3C validator