Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodsubrecnncnvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsubrecnncnvlem 45218
Description: The sequence 𝑆 of finite products, where every factor is subtracted an "always smaller" amount, converges to the finite product of the factors. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsubrecnncnvlem.k β„²π‘˜πœ‘
fprodsubrecnncnvlem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fprodsubrecnncnvlem.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
fprodsubrecnncnvlem.s 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 βˆ’ (1 / 𝑛)))
fprodsubrecnncnvlem.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 βˆ’ π‘₯))
fprodsubrecnncnvlem.g 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))
Assertion
Ref Expression
fprodsubrecnncnvlem (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,π‘₯   π‘₯,𝐡   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   π‘˜,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(𝑛)   𝐡(π‘˜,𝑛)   𝑆(π‘₯,π‘˜,𝑛)   𝐹(π‘₯,π‘˜)   𝐺(π‘₯,π‘˜)

Proof of Theorem fprodsubrecnncnvlem
StepHypRef Expression
1 nnuz 12887 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12615 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
3 fprodsubrecnncnvlem.k . . . 4 β„²π‘˜πœ‘
4 fprodsubrecnncnvlem.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
5 fprodsubrecnncnvlem.b . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6 fprodsubrecnncnvlem.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 βˆ’ π‘₯))
73, 4, 5, 6fprodsub2cncf 45216 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
8 1rp 13002 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ+)
10 nnrp 13009 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
119, 10rpdivcld 13057 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1211rpcnd 13042 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ β„‚)
1312adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 / 𝑛) ∈ β„‚)
14 fprodsubrecnncnvlem.g . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))
1513, 14fmptd 7118 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆβ„‚)
16 1cnd 11231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
17 divcnv 15823 . . . . 5 (1 ∈ β„‚ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
1816, 17syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
1914a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛)))
2019breq1d 5152 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0))
2118, 20mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ 0)
22 0cnd 11229 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
231, 2, 7, 15, 21, 22climcncf 24807 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (πΉβ€˜0))
24 nfv 1910 . . . . . . . 8 β„²π‘˜ π‘₯ ∈ β„‚
253, 24nfan 1895 . . . . . . 7 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)
264adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
275adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
28 simplr 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2927, 28subcld 11593 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
3025, 26, 29fprodclf 15960 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
3130, 6fmptd 7118 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
32 fcompt 7136 . . . . 5 ((𝐹:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:β„•βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘›))))
3331, 15, 32syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘›))))
34 fprodsubrecnncnvlem.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 βˆ’ (1 / 𝑛)))
3534a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 βˆ’ (1 / 𝑛))))
36 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•)
3714fvmpt2 7010 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / 𝑛) ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (1 / 𝑛))
3836, 12, 37syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (1 / 𝑛))
3938fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘›)) = (πΉβ€˜(1 / 𝑛)))
4039adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘›)) = (πΉβ€˜(1 / 𝑛)))
41 oveq2 7422 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (1 / 𝑛) β†’ (𝐡 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ (1 / 𝑛)))
4241prodeq2ad 44903 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (1 / 𝑛) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 βˆ’ π‘₯) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 βˆ’ (1 / 𝑛)))
43 prodex 15875 . . . . . . . . 9 βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ V
4443a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ V)
456, 42, 13, 44fvmptd3 7022 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(1 / 𝑛)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 βˆ’ (1 / 𝑛)))
4640, 45eqtr2d 2768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 βˆ’ (1 / 𝑛)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘›)))
4746mpteq2dva 5242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 βˆ’ (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘›))))
4835, 47eqtrd 2767 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘›))))
4933, 48eqtr4d 2770 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = 𝑆)
506a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 βˆ’ π‘₯)))
51 nfv 1910 . . . . . . 7 β„²π‘˜ π‘₯ = 0
523, 51nfan 1895 . . . . . 6 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ π‘₯ = 0)
53 oveq2 7422 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐡 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 0))
5453ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ = 0) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 0))
555subid1d 11582 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 βˆ’ 0) = 𝐡)
5655adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ = 0) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 βˆ’ 0) = 𝐡)
5754, 56eqtrd 2767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ = 0) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 βˆ’ π‘₯) = 𝐡)
5857ex 412 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 0) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ (𝐡 βˆ’ π‘₯) = 𝐡))
5952, 58ralrimi 3249 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 0) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 βˆ’ π‘₯) = 𝐡)
6059prodeq2d 15890 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 0) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 βˆ’ π‘₯) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
61 prodex 15875 . . . . 5 βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ V
6261a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ V)
6350, 60, 22, 62fvmptd 7006 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
6449, 63breq12d 5155 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (πΉβ€˜0) ↔ 𝑆 ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
6523, 64mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  β„²wnf 1778   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  β„‚cc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   βˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  β„•cn 12234  β„+crp 12998   ⇝ cli 15452  βˆcprod 15873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-prod 15874  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785
This theorem is referenced by:  fprodsubrecnncnv  45219
  Copyright terms: Public domain W3C validator