Theorem fprodsubrecnncnvlem 40910

Description: The sequence 𝑆 of finite products, where every factor is subtracted an "always smaller" amount, converges to the finite product of the factors. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsubrecnncnvlem.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodsubrecnncnvlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodsubrecnncnvlem.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodsubrecnncnvlem.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
fprodsubrecnncnvlem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥))
fprodsubrecnncnvlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
fprodsubrecnncnvlem	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fprodsubrecnncnvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12012	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 11743	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		fprodsubrecnncnvlem.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		fprodsubrecnncnvlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fprodsubrecnncnvlem.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		fprodsubrecnncnvlem.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥))
7	3, 4, 5, 6	fprodsub2cncf 40908	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8		1rp 12123	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
10		nnrp 12132	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
11	9, 10	rpdivcld 12180	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
12	11	rpcnd 12165	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
13	12	adantl 475	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
14		fprodsubrecnncnvlem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
15	13, 14	fmptd 6638	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
16		1cnd 10358	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17		divcnv 14966	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
19	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)))
20	19	breq1d 4885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0))
21	18, 20	mpbird 249	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 0)
22		0cnd 10356	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
23	1, 2, 7, 15, 21, 22	climcncf 23080	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (𝐹‘0))
24		nfv 2013	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ ℂ
25	3, 24	nfan 2002	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ)
26	4	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
27	5	adantlr 706	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28		simplr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
29	27, 28	subcld 10720	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝑥) ∈ ℂ)
30	25, 26, 29	fprodclf 15102	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥) ∈ ℂ)
31	30, 6	fmptd 6638	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
32		fcompt 6655	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑛))))
33	31, 15, 32	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑛))))
34		fprodsubrecnncnvlem.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛))))
36		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
37	14	fvmpt2 6543	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑛) = (1 / 𝑛))
38	36, 12, 37	syl2anc 579	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑛) = (1 / 𝑛))
39	38	fveq2d 6441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝐺‘𝑛)) = (𝐹‘(1 / 𝑛)))
40	39	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺‘𝑛)) = (𝐹‘(1 / 𝑛)))
41		oveq2 6918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑛) → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − (1 / 𝑛)))
42	41	prodeq2ad 40613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑛) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
43		prodex 15017	. . . . . . . . 9 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)) ∈ V
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)) ∈ V)
45	6, 42, 13, 44	fvmptd3 6555	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(1 / 𝑛)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
46	40, 45	eqtr2d 2862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)) = (𝐹‘(𝐺‘𝑛)))
47	46	mpteq2dva 4969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑛))))
48	35, 47	eqtrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑛))))
49	33, 48	eqtr4d 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) = 𝑆)
50	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥)))
51		nfv 2013	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 = 0
52	3, 51	nfan 2002	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 = 0)
53		oveq2 6918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 0))
54	53	ad2antlr 718	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 0))
55	5	subid1d 10709	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
56	55	adantlr 706	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
57	54, 56	eqtrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝑥) = 𝐵)
58	57	ex 403	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝐵 − 𝑥) = 𝐵))
59	52, 58	ralrimi 3166	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥) = 𝐵)
60	59	prodeq2d 15032	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
61		prodex 15017	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
62	61	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
63	50, 60, 22, 62	fvmptd 6539	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
64	49, 63	breq12d 4888	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (𝐹‘0) ↔ 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
65	23, 64	mpbid 224	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656  Ⅎwnf 1882   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414   class class class wbr 4875   ↦ cmpt 4954   ∘ ccom 5350  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  Fincfn 8228  ℂcc 10257  0cc0 10259  1c1 10260   − cmin 10592   / cdiv 11016  ℕcn 11357  ℝ⁺crp 12119   ⇝ cli 14599  ∏cprod 15015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-mulf 10339

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-prod 15016  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-qtop 16527  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-tx 21743  df-hmeo 21936  df-xms 22502  df-ms 22503  df-tms 22504  df-cncf 23058

This theorem is referenced by:  fprodsubrecnncnv  40911