Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodsubrecnncnvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsubrecnncnvlem 45438
Description: The sequence 𝑆 of finite products, where every factor is subtracted an "always smaller" amount, converges to the finite product of the factors. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsubrecnncnvlem.k 𝑘𝜑
fprodsubrecnncnvlem.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodsubrecnncnvlem.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodsubrecnncnvlem.s 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
fprodsubrecnncnvlem.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥))
fprodsubrecnncnvlem.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
Assertion
Ref Expression
fprodsubrecnncnvlem (𝜑𝑆 ⇝ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fprodsubrecnncnvlem
StepHypRef Expression
1 nnuz 12903 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12631 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 fprodsubrecnncnvlem.k . . . 4 𝑘𝜑
4 fprodsubrecnncnvlem.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
5 fprodsubrecnncnvlem.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 fprodsubrecnncnvlem.f . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥))
73, 4, 5, 6fprodsub2cncf 45436 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8 1rp 13018 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
10 nnrp 13025 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
119, 10rpdivcld 13073 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1211rpcnd 13058 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
1312adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
14 fprodsubrecnncnvlem.g . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
1513, 14fmptd 7123 . . 3 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℂ)
16 1cnd 11246 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17 divcnv 15843 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
1914a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)))
2019breq1d 5159 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0))
2118, 20mpbird 256 . . 3 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
22 0cnd 11244 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
231, 2, 7, 15, 21, 22climcncf 24881 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐺) ⇝ (𝐹‘0))
24 nfv 1909 . . . . . . . 8 𝑘 𝑥 ∈ ℂ
253, 24nfan 1894 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑥 ∈ ℂ)
264adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
275adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
2927, 28subcld 11608 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵𝑥) ∈ ℂ)
3025, 26, 29fprodclf 15980 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥) ∈ ℂ)
3130, 6fmptd 7123 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
32 fcompt 7142 . . . . 5 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → (𝐹𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑛))))
3331, 15, 32syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑛))))
34 fprodsubrecnncnvlem.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
3534a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛))))
36 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
3714fvmpt2 7015 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℂ) → (𝐺𝑛) = (1 / 𝑛))
3836, 12, 37syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺𝑛) = (1 / 𝑛))
3938fveq2d 6900 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝐺𝑛)) = (𝐹‘(1 / 𝑛)))
4039adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺𝑛)) = (𝐹‘(1 / 𝑛)))
41 oveq2 7427 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (1 / 𝑛) → (𝐵𝑥) = (𝐵 − (1 / 𝑛)))
4241prodeq2ad 45123 . . . . . . . 8 (𝑥 = (1 / 𝑛) → ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥) = ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
43 prodex 15895 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)) ∈ V
4443a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)) ∈ V)
456, 42, 13, 44fvmptd3 7027 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(1 / 𝑛)) = ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
4640, 45eqtr2d 2766 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)) = (𝐹‘(𝐺𝑛)))
4746mpteq2dva 5249 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑛))))
4835, 47eqtrd 2765 . . . 4 (𝜑𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑛))))
4933, 48eqtr4d 2768 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐺) = 𝑆)
506a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥)))
51 nfv 1909 . . . . . . 7 𝑘 𝑥 = 0
523, 51nfan 1894 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑥 = 0)
53 oveq2 7427 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝐵𝑥) = (𝐵 − 0))
5453ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵𝑥) = (𝐵 − 0))
555subid1d 11597 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
5655adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
5754, 56eqtrd 2765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵𝑥) = 𝐵)
5857ex 411 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑘𝐴 → (𝐵𝑥) = 𝐵))
5952, 58ralrimi 3244 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 0) → ∀𝑘𝐴 (𝐵𝑥) = 𝐵)
6059prodeq2d 15910 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 0) → ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
61 prodex 15895 . . . . 5 𝑘𝐴 𝐵 ∈ V
6261a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ V)
6350, 60, 22, 62fvmptd 7011 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘0) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
6449, 63breq12d 5162 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ⇝ (𝐹‘0) ↔ 𝑆 ⇝ ∏𝑘𝐴 𝐵))
6523, 64mpbid 231 1 (𝜑𝑆 ⇝ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  Vcvv 3461   class class class wbr 5149  cmpt 5232  ccom 5682  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  cc 11143  0cc0 11145  1c1 11146  cmin 11481   / cdiv 11908  cn 12250  +crp 13014  cli 15472  cprod 15893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-fi 9441  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13798  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14334  df-cj 15090  df-re 15091  df-im 15092  df-sqrt 15226  df-abs 15227  df-clim 15476  df-rlim 15477  df-prod 15894  df-struct 17135  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-ress 17229  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-starv 17267  df-sca 17268  df-vsca 17269  df-ip 17270  df-tset 17271  df-ple 17272  df-ds 17274  df-unif 17275  df-hom 17276  df-cco 17277  df-rest 17423  df-topn 17424  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-topgen 17444  df-pt 17445  df-prds 17448  df-xrs 17503  df-qtop 17508  df-imas 17509  df-xps 17511  df-mre 17585  df-mrc 17586  df-acs 17588  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-submnd 18760  df-mulg 19048  df-cntz 19297  df-cmn 19766  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-cnfld 21314  df-top 22857  df-topon 22874  df-topsp 22896  df-bases 22910  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-xms 24287  df-ms 24288  df-tms 24289  df-cncf 24859
This theorem is referenced by:  fprodsubrecnncnv  45439
  Copyright terms: Public domain W3C validator