Theorem fprodsubrecnncnvlem 44138

Description: The sequence 𝑆 of finite products, where every factor is subtracted an "always smaller" amount, converges to the finite product of the factors. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsubrecnncnvlem.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodsubrecnncnvlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodsubrecnncnvlem.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodsubrecnncnvlem.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
fprodsubrecnncnvlem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥))
fprodsubrecnncnvlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
fprodsubrecnncnvlem	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fprodsubrecnncnvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12806	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12534	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		fprodsubrecnncnvlem.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		fprodsubrecnncnvlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fprodsubrecnncnvlem.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		fprodsubrecnncnvlem.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥))
7	3, 4, 5, 6	fprodsub2cncf 44136	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8		1rp 12919	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
10		nnrp 12926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
11	9, 10	rpdivcld 12974	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
12	11	rpcnd 12959	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
13	12	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
14		fprodsubrecnncnvlem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
15	13, 14	fmptd 7062	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
16		1cnd 11150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17		divcnv 15738	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
19	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)))
20	19	breq1d 5115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0))
21	18, 20	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 0)
22		0cnd 11148	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
23	1, 2, 7, 15, 21, 22	climcncf 24263	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (𝐹‘0))
24		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ ℂ
25	3, 24	nfan 1902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ)
26	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
27	5	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
29	27, 28	subcld 11512	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝑥) ∈ ℂ)
30	25, 26, 29	fprodclf 15875	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥) ∈ ℂ)
31	30, 6	fmptd 7062	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
32		fcompt 7079	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑛))))
33	31, 15, 32	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑛))))
34		fprodsubrecnncnvlem.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛))))
36		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
37	14	fvmpt2 6959	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑛) = (1 / 𝑛))
38	36, 12, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑛) = (1 / 𝑛))
39	38	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝐺‘𝑛)) = (𝐹‘(1 / 𝑛)))
40	39	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺‘𝑛)) = (𝐹‘(1 / 𝑛)))
41		oveq2 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑛) → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − (1 / 𝑛)))
42	41	prodeq2ad 43823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑛) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
43		prodex 15790	. . . . . . . . 9 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)) ∈ V
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)) ∈ V)
45	6, 42, 13, 44	fvmptd3 6971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(1 / 𝑛)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
46	40, 45	eqtr2d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)) = (𝐹‘(𝐺‘𝑛)))
47	46	mpteq2dva 5205	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑛))))
48	35, 47	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑛))))
49	33, 48	eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) = 𝑆)
50	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥)))
51		nfv 1917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 = 0
52	3, 51	nfan 1902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 = 0)
53		oveq2 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 0))
54	53	ad2antlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 0))
55	5	subid1d 11501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
56	55	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
57	54, 56	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝑥) = 𝐵)
58	57	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝐵 − 𝑥) = 𝐵))
59	52, 58	ralrimi 3240	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥) = 𝐵)
60	59	prodeq2d 15805	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
61		prodex 15790	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
62	61	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
63	50, 60, 22, 62	fvmptd 6955	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
64	49, 63	breq12d 5118	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (𝐹‘0) ↔ 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
65	23, 64	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   ∘ ccom 5637  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  ℂcc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   − cmin 11385   / cdiv 11812  ℕcn 12153  ℝ⁺crp 12915   ⇝ cli 15366  ∏cprod 15788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-prod 15789  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241

This theorem is referenced by:  fprodsubrecnncnv  44139