Theorem fprodsubrecnncnvlem 45927

Description: The sequence 𝑆 of finite products, where every factor is subtracted an "always smaller" amount, converges to the finite product of the factors. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsubrecnncnvlem.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodsubrecnncnvlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodsubrecnncnvlem.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodsubrecnncnvlem.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
fprodsubrecnncnvlem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥))
fprodsubrecnncnvlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
fprodsubrecnncnvlem	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fprodsubrecnncnvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12922	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12650	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		fprodsubrecnncnvlem.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		fprodsubrecnncnvlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fprodsubrecnncnvlem.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		fprodsubrecnncnvlem.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥))
7	3, 4, 5, 6	fprodsub2cncf 45925	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8		1rp 13039	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
10		nnrp 13047	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
11	9, 10	rpdivcld 13095	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
12	11	rpcnd 13080	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
14		fprodsubrecnncnvlem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
15	13, 14	fmptd 7133	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
16		1cnd 11257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17		divcnv 15890	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
19	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)))
20	19	breq1d 5152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0))
21	18, 20	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 0)
22		0cnd 11255	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
23	1, 2, 7, 15, 21, 22	climcncf 24927	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (𝐹‘0))
24		nfv 1913	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ ℂ
25	3, 24	nfan 1898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ)
26	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
27	5	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
29	27, 28	subcld 11621	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝑥) ∈ ℂ)
30	25, 26, 29	fprodclf 16029	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥) ∈ ℂ)
31	30, 6	fmptd 7133	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
32		fcompt 7152	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑛))))
33	31, 15, 32	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑛))))
34		fprodsubrecnncnvlem.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛))))
36		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
37	14	fvmpt2 7026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑛) = (1 / 𝑛))
38	36, 12, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑛) = (1 / 𝑛))
39	38	fveq2d 6909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝐺‘𝑛)) = (𝐹‘(1 / 𝑛)))
40	39	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺‘𝑛)) = (𝐹‘(1 / 𝑛)))
41		oveq2 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑛) → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − (1 / 𝑛)))
42	41	prodeq2ad 45612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑛) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
43		prodex 15942	. . . . . . . . 9 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)) ∈ V
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)) ∈ V)
45	6, 42, 13, 44	fvmptd3 7038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(1 / 𝑛)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
46	40, 45	eqtr2d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)) = (𝐹‘(𝐺‘𝑛)))
47	46	mpteq2dva 5241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑛))))
48	35, 47	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑛))))
49	33, 48	eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) = 𝑆)
50	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥)))
51		nfv 1913	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 = 0
52	3, 51	nfan 1898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 = 0)
53		oveq2 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 0))
54	53	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 0))
55	5	subid1d 11610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
56	55	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
57	54, 56	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝑥) = 𝐵)
58	57	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝐵 − 𝑥) = 𝐵))
59	52, 58	ralrimi 3256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥) = 𝐵)
60	59	prodeq2d 15958	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
61		prodex 15942	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
62	61	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
63	50, 60, 22, 62	fvmptd 7022	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
64	49, 63	breq12d 5155	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (𝐹‘0) ↔ 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
65	23, 64	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1782   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5688  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  ℂcc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   − cmin 11493   / cdiv 11921  ℕcn 12267  ℝ⁺crp 13035   ⇝ cli 15521  ∏cprod 15940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-prod 15941  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905

This theorem is referenced by:  fprodsubrecnncnv  45928