Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodsubrecnncnvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsubrecnncnvlem 43402
Description: The sequence 𝑆 of finite products, where every factor is subtracted an "always smaller" amount, converges to the finite product of the factors. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsubrecnncnvlem.k 𝑘𝜑
fprodsubrecnncnvlem.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodsubrecnncnvlem.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodsubrecnncnvlem.s 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
fprodsubrecnncnvlem.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥))
fprodsubrecnncnvlem.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
Assertion
Ref Expression
fprodsubrecnncnvlem (𝜑𝑆 ⇝ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fprodsubrecnncnvlem
StepHypRef Expression
1 nnuz 12603 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12334 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 fprodsubrecnncnvlem.k . . . 4 𝑘𝜑
4 fprodsubrecnncnvlem.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
5 fprodsubrecnncnvlem.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 fprodsubrecnncnvlem.f . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥))
73, 4, 5, 6fprodsub2cncf 43400 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8 1rp 12716 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
10 nnrp 12723 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
119, 10rpdivcld 12771 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1211rpcnd 12756 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
1312adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
14 fprodsubrecnncnvlem.g . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
1513, 14fmptd 6982 . . 3 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℂ)
16 1cnd 10954 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17 divcnv 15546 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
1914a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)))
2019breq1d 5088 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0))
2118, 20mpbird 256 . . 3 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
22 0cnd 10952 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
231, 2, 7, 15, 21, 22climcncf 24044 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐺) ⇝ (𝐹‘0))
24 nfv 1920 . . . . . . . 8 𝑘 𝑥 ∈ ℂ
253, 24nfan 1905 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑥 ∈ ℂ)
264adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
275adantlr 711 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 simplr 765 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
2927, 28subcld 11315 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵𝑥) ∈ ℂ)
3025, 26, 29fprodclf 15683 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥) ∈ ℂ)
3130, 6fmptd 6982 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
32 fcompt 6999 . . . . 5 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → (𝐹𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑛))))
3331, 15, 32syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑛))))
34 fprodsubrecnncnvlem.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
3534a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛))))
36 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
3714fvmpt2 6880 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℂ) → (𝐺𝑛) = (1 / 𝑛))
3836, 12, 37syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺𝑛) = (1 / 𝑛))
3938fveq2d 6772 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝐺𝑛)) = (𝐹‘(1 / 𝑛)))
4039adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺𝑛)) = (𝐹‘(1 / 𝑛)))
41 oveq2 7276 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (1 / 𝑛) → (𝐵𝑥) = (𝐵 − (1 / 𝑛)))
4241prodeq2ad 43087 . . . . . . . 8 (𝑥 = (1 / 𝑛) → ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥) = ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
43 prodex 15598 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)) ∈ V
4443a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)) ∈ V)
456, 42, 13, 44fvmptd3 6892 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(1 / 𝑛)) = ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
4640, 45eqtr2d 2780 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)) = (𝐹‘(𝐺𝑛)))
4746mpteq2dva 5178 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑛))))
4835, 47eqtrd 2779 . . . 4 (𝜑𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑛))))
4933, 48eqtr4d 2782 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐺) = 𝑆)
506a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥)))
51 nfv 1920 . . . . . . 7 𝑘 𝑥 = 0
523, 51nfan 1905 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑥 = 0)
53 oveq2 7276 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝐵𝑥) = (𝐵 − 0))
5453ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵𝑥) = (𝐵 − 0))
555subid1d 11304 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
5655adantlr 711 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
5754, 56eqtrd 2779 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵𝑥) = 𝐵)
5857ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑘𝐴 → (𝐵𝑥) = 𝐵))
5952, 58ralrimi 3141 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 0) → ∀𝑘𝐴 (𝐵𝑥) = 𝐵)
6059prodeq2d 15613 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 0) → ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
61 prodex 15598 . . . . 5 𝑘𝐴 𝐵 ∈ V
6261a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ V)
6350, 60, 22, 62fvmptd 6876 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘0) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
6449, 63breq12d 5091 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ⇝ (𝐹‘0) ↔ 𝑆 ⇝ ∏𝑘𝐴 𝐵))
6523, 64mpbid 231 1 (𝜑𝑆 ⇝ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1541  wnf 1789  wcel 2109  Vcvv 3430   class class class wbr 5078  cmpt 5161  ccom 5592  wf 6426  cfv 6430  (class class class)co 7268  Fincfn 8707  cc 10853  0cc0 10855  1c1 10856  cmin 11188   / cdiv 11615  cn 11956  +crp 12712  cli 15174  cprod 15596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933  ax-mulf 10935
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-fi 9131  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-q 12671  df-rp 12713  df-xneg 12830  df-xadd 12831  df-xmul 12832  df-icc 13068  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-clim 15178  df-rlim 15179  df-prod 15597  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-hom 16967  df-cco 16968  df-rest 17114  df-topn 17115  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-topgen 17135  df-pt 17136  df-prds 17139  df-xrs 17194  df-qtop 17199  df-imas 17200  df-xps 17202  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-submnd 18412  df-mulg 18682  df-cntz 18904  df-cmn 19369  df-psmet 20570  df-xmet 20571  df-met 20572  df-bl 20573  df-mopn 20574  df-cnfld 20579  df-top 22024  df-topon 22041  df-topsp 22063  df-bases 22077  df-cn 22359  df-cnp 22360  df-tx 22694  df-hmeo 22887  df-xms 23454  df-ms 23455  df-tms 23456  df-cncf 24022
This theorem is referenced by:  fprodsubrecnncnv  43403
  Copyright terms: Public domain W3C validator