Theorem pssdifn0 4327

Description: A proper subclass has a nonempty difference. (Contributed by NM, 3-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
pssdifn0	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem pssdifn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdif0 4325	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∖ 𝐴) = ∅)
2		eqss 3984	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
3	2	simplbi2 503	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 = 𝐵))
4	1, 3	syl5bir 245	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝐵 ∖ 𝐴) = ∅ → 𝐴 = 𝐵))
5	4	necon3d 3039	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝐵 ∖ 𝐴) ≠ ∅))
6	5	imp 409	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ≠ wne 3018   ∖ cdif 3935   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-v 3498  df-dif 3941  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294

This theorem is referenced by:  pssdif  4328  tz7.7  6219  domdifsn  8602  inf3lem3  9095  isf32lem6  9782  fclscf  22635  flimfnfcls  22638  lebnumlem1  23567  lebnumlem2  23568  lebnumlem3  23569  ig1peu  24767  ig1pdvds  24772  qsidomlem2  30968  divrngidl  35308