Theorem pssdifn0 4321

Description: A proper subclass has a nonempty difference. (Contributed by NM, 3-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
pssdifn0	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem pssdifn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdif0 4319	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∖ 𝐴) = ∅)
2		eqss 3950	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
3	2	simplbi2 500	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 = 𝐵))
4	1, 3	biimtrrid 243	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝐵 ∖ 𝐴) = ∅ → 𝐴 = 𝐵))
5	4	necon3d 2954	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝐵 ∖ 𝐴) ≠ ∅))
6	5	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-v 3443  df-dif 3905  df-ss 3919  df-nul 4287

This theorem is referenced by:  pssdif  4322  tz7.7  6344  domdifsn  8992  inf3lem3  9543  isf32lem6  10272  fclscf  23973  flimfnfcls  23976  lebnumlem1  24920  lebnumlem2  24921  lebnumlem3  24922  ig1peu  26140  ig1pdvds  26145  qsidomlem2  33515  qsdrng  33559  divrngidl  38200