Theorem pssdifn0 4315

Description: A proper subclass has a nonempty difference. (Contributed by NM, 3-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
pssdifn0	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem pssdifn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdif0 4313	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∖ 𝐴) = ∅)
2		eqss 3945	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
3	2	simplbi2 500	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 = 𝐵))
4	1, 3	biimtrrid 243	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝐵 ∖ 𝐴) = ∅ → 𝐴 = 𝐵))
5	4	necon3d 2949	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝐵 ∖ 𝐴) ≠ ∅))
6	5	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ≠ wne 2928   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-v 3438  df-dif 3900  df-ss 3914  df-nul 4281

This theorem is referenced by:  pssdif  4316  tz7.7  6332  domdifsn  8973  inf3lem3  9520  isf32lem6  10249  fclscf  23940  flimfnfcls  23943  lebnumlem1  24887  lebnumlem2  24888  lebnumlem3  24889  ig1peu  26107  ig1pdvds  26112  qsidomlem2  33418  qsdrng  33462  divrngidl  38076