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Theorem flimfnfcls 23395
Description: A filter converges to a point iff every finer filter clusters there. Along with fclsfnflim 23394, this theorem illustrates the duality between convergence and clustering. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flimfnfcls.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
flimfnfcls (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝑔,𝑋

Proof of Theorem flimfnfcls
Dummy variables π‘œ π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flimfcls 23393 . . . . 5 (𝐽 fLim 𝑔) βŠ† (𝐽 fClus 𝑔)
2 flimtop 23332 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 flimfnfcls.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = βˆͺ 𝐽
43toptopon 22282 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
52, 4sylib 217 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
65ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐹 βŠ† 𝑔) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
7 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐹 βŠ† 𝑔) β†’ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
8 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐹 βŠ† 𝑔) β†’ 𝐹 βŠ† 𝑔)
9 flimss2 23339 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 βŠ† 𝑔) β†’ (𝐽 fLim 𝐹) βŠ† (𝐽 fLim 𝑔))
106, 7, 8, 9syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐹 βŠ† 𝑔) β†’ (𝐽 fLim 𝐹) βŠ† (𝐽 fLim 𝑔))
11 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐹 βŠ† 𝑔) β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹))
1210, 11sseldd 3950 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐹 βŠ† 𝑔) β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑔))
131, 12sselid 3947 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐹 βŠ† 𝑔) β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔))
1413ex 414 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)))
1514ralrimiva 3144 . 2 (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) β†’ βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)))
16 sseq2 3975 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐹 β†’ (𝐹 βŠ† 𝑔 ↔ 𝐹 βŠ† 𝐹))
17 oveq2 7370 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐹 β†’ (𝐽 fClus 𝑔) = (𝐽 fClus 𝐹))
1817eleq2d 2824 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐹 β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔) ↔ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)))
1916, 18imbi12d 345 . . . . 5 (𝑔 = 𝐹 β†’ ((𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) ↔ (𝐹 βŠ† 𝐹 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹))))
2019rspcv 3580 . . . 4 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) β†’ (𝐹 βŠ† 𝐹 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹))))
21 ssid 3971 . . . . . 6 𝐹 βŠ† 𝐹
22 id 22 . . . . . 6 ((𝐹 βŠ† 𝐹 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) β†’ (𝐹 βŠ† 𝐹 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)))
2321, 22mpi 20 . . . . 5 ((𝐹 βŠ† 𝐹 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹))
24 fclstop 23378 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
253fclselbas 23383 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
2624, 25jca 513 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
2723, 26syl 17 . . . 4 ((𝐹 βŠ† 𝐹 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
2820, 27syl6 35 . . 3 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)))
29 disjdif 4436 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘œ ∩ (𝑋 βˆ– π‘œ)) = βˆ…
30 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
31 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
323topopn 22271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
34 pwexg 5338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 ∈ 𝐽 β†’ 𝒫 𝑋 ∈ V)
35 rabexg 5293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝒫 𝑋 ∈ V β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯} ∈ V)
3633, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯} ∈ V)
37 unexg 7688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯} ∈ V) β†’ (𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}) ∈ V)
3830, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}) ∈ V)
39 ssfii 9362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}) ∈ V β†’ (𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}) βŠ† (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}) βŠ† (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})))
41 filsspw 23218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 𝑋)
42 ssrab2 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯} βŠ† 𝒫 𝑋
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯} βŠ† 𝒫 𝑋)
4441, 43unssd 4151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}) βŠ† 𝒫 𝑋)
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}) βŠ† 𝒫 𝑋)
46 ssun2 4138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯} βŠ† (𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})
47 sseq2 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ = (𝑋 βˆ– π‘œ) β†’ ((𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯ ↔ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† (𝑋 βˆ– π‘œ)))
48 difss 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† 𝑋
49 elpw2g 5306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑋 ∈ 𝐽 β†’ ((𝑋 βˆ– π‘œ) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† 𝑋))
5033, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ ((𝑋 βˆ– π‘œ) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† 𝑋))
5148, 50mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (𝑋 βˆ– π‘œ) ∈ 𝒫 𝑋)
52 ssid 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† (𝑋 βˆ– π‘œ)
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† (𝑋 βˆ– π‘œ))
5447, 51, 53elrabd 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (𝑋 βˆ– π‘œ) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})
5546, 54sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (𝑋 βˆ– π‘œ) ∈ (𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))
5655ne0d 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}) β‰  βˆ…)
57 sseq2 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯ ↔ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† 𝑧))
5857elrab 3650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯} ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† 𝑧))
5958simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯} β†’ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† 𝑧)
6059ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) β†’ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† 𝑧)
61 sslin 4199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† 𝑧 β†’ (𝑦 ∩ (𝑋 βˆ– π‘œ)) βŠ† (𝑦 ∩ 𝑧))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) β†’ (𝑦 ∩ (𝑋 βˆ– π‘œ)) βŠ† (𝑦 ∩ 𝑧))
63 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹)
6463adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) β†’ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹)
65 inssdif0 4334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∩ 𝑋) βŠ† π‘œ ↔ (𝑦 ∩ (𝑋 βˆ– π‘œ)) = βˆ…)
66 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
67 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) β†’ 𝑦 ∈ 𝐹)
68 filelss 23219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
6966, 67, 68syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
70 df-ss 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 βŠ† 𝑋 ↔ (𝑦 ∩ 𝑋) = 𝑦)
7169, 70sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) β†’ (𝑦 ∩ 𝑋) = 𝑦)
7271sseq1d 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) β†’ ((𝑦 ∩ 𝑋) βŠ† π‘œ ↔ 𝑦 βŠ† π‘œ))
7330ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) ∧ 𝑦 βŠ† π‘œ) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
74 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) ∧ 𝑦 βŠ† π‘œ) β†’ 𝑦 ∈ 𝐹)
75 elssuni 4903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘œ ∈ 𝐽 β†’ π‘œ βŠ† βˆͺ 𝐽)
7675, 3sseqtrrdi 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘œ ∈ 𝐽 β†’ π‘œ βŠ† 𝑋)
7776ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ π‘œ βŠ† 𝑋)
7877ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) ∧ 𝑦 βŠ† π‘œ) β†’ π‘œ βŠ† 𝑋)
79 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) ∧ 𝑦 βŠ† π‘œ) β†’ 𝑦 βŠ† π‘œ)
80 filss 23220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ π‘œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑦 βŠ† π‘œ)) β†’ π‘œ ∈ 𝐹)
8173, 74, 78, 79, 80syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) ∧ 𝑦 βŠ† π‘œ) β†’ π‘œ ∈ 𝐹)
8281ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) β†’ (𝑦 βŠ† π‘œ β†’ π‘œ ∈ 𝐹))
8372, 82sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) β†’ ((𝑦 ∩ 𝑋) βŠ† π‘œ β†’ π‘œ ∈ 𝐹))
8465, 83biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) β†’ ((𝑦 ∩ (𝑋 βˆ– π‘œ)) = βˆ… β†’ π‘œ ∈ 𝐹))
8584necon3bd 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) β†’ (Β¬ π‘œ ∈ 𝐹 β†’ (𝑦 ∩ (𝑋 βˆ– π‘œ)) β‰  βˆ…))
8664, 85mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) β†’ (𝑦 ∩ (𝑋 βˆ– π‘œ)) β‰  βˆ…)
87 ssn0 4365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∩ (𝑋 βˆ– π‘œ)) βŠ† (𝑦 ∩ 𝑧) ∧ (𝑦 ∩ (𝑋 βˆ– π‘œ)) β‰  βˆ…) β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) β‰  βˆ…)
8862, 86, 87syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) β‰  βˆ…)
8988ralrimivva 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯} (𝑦 ∩ 𝑧) β‰  βˆ…)
90 filfbas 23215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
9130, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
9248a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† 𝑋)
93 filtop 23222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐹)
9430, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐹)
95 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘œ = 𝑋 β†’ (π‘œ ∈ 𝐹 ↔ 𝑋 ∈ 𝐹))
9694, 95syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (π‘œ = 𝑋 β†’ π‘œ ∈ 𝐹))
9796necon3bd 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (Β¬ π‘œ ∈ 𝐹 β†’ π‘œ β‰  𝑋))
9863, 97mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ π‘œ β‰  𝑋)
99 pssdifn0 4330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘œ βŠ† 𝑋 ∧ π‘œ β‰  𝑋) β†’ (𝑋 βˆ– π‘œ) β‰  βˆ…)
10077, 98, 99syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (𝑋 βˆ– π‘œ) β‰  βˆ…)
101 supfil 23262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† 𝑋 ∧ (𝑋 βˆ– π‘œ) β‰  βˆ…) β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯} ∈ (Filβ€˜π‘‹))
10233, 92, 100, 101syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯} ∈ (Filβ€˜π‘‹))
103 filfbas 23215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯} ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯} ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯} ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
105 fbunfip 23236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯} ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ (Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯} (𝑦 ∩ 𝑧) β‰  βˆ…))
10691, 104, 105syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯} (𝑦 ∩ 𝑧) β‰  βˆ…))
10789, 106mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})))
108 fsubbas 23234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 ∈ 𝐹 β†’ ((fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ↔ ((𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}) βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}) β‰  βˆ… ∧ Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})))))
10994, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ ((fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ↔ ((𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}) βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}) β‰  βˆ… ∧ Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})))))
11045, 56, 107, 109mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
111 ssfg 23239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) βŠ† (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))))
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) βŠ† (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))))
11340, 112sstrd 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}) βŠ† (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))))
114113unssad 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))))
115 fgcl 23245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})) ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
116110, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
117 sseq2 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 = (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))) β†’ (𝐹 βŠ† 𝑔 ↔ 𝐹 βŠ† (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})))))
118 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔 = (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))) β†’ (𝐽 fClus 𝑔) = (𝐽 fClus (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})))))
119118eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 = (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔) ↔ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))))))
120117, 119imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑔 = (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))) β†’ ((𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) ↔ (𝐹 βŠ† (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))) β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})))))))
121120rspcv 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))) ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) β†’ (𝐹 βŠ† (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))) β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})))))))
122116, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) β†’ (𝐹 βŠ† (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))) β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})))))))
123114, 122mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))))))
124 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))))) β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})))))
125 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))))) β†’ π‘œ ∈ 𝐽)
126 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ 𝐴 ∈ π‘œ)
127126adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))))) β†’ 𝐴 ∈ π‘œ)
128113, 55sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (𝑋 βˆ– π‘œ) ∈ (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))))
129128adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))))) β†’ (𝑋 βˆ– π‘œ) ∈ (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))))
130 fclsopni 23382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})))) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘œ ∧ (𝑋 βˆ– π‘œ) ∈ (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))))) β†’ (π‘œ ∩ (𝑋 βˆ– π‘œ)) β‰  βˆ…)
131124, 125, 127, 129, 130syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯}))))) β†’ (π‘œ ∩ (𝑋 βˆ– π‘œ)) β‰  βˆ…)
132131ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘œ) βŠ† π‘₯})))) β†’ (π‘œ ∩ (𝑋 βˆ– π‘œ)) β‰  βˆ…))
133123, 132syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) β†’ (π‘œ ∩ (𝑋 βˆ– π‘œ)) β‰  βˆ…))
134133necon2bd 2960 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ ((π‘œ ∩ (𝑋 βˆ– π‘œ)) = βˆ… β†’ Β¬ βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔))))
13529, 134mpi 20 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹))) β†’ Β¬ βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)))
136135anassrs 469 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘œ ∈ 𝐹)) β†’ Β¬ βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)))
137136expr 458 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 ∈ π‘œ) β†’ (Β¬ π‘œ ∈ 𝐹 β†’ Β¬ βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔))))
138137con4d 115 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 ∈ π‘œ) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) β†’ π‘œ ∈ 𝐹))
139138ex 414 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (𝐴 ∈ π‘œ β†’ (βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) β†’ π‘œ ∈ 𝐹)))
140139com23 86 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) β†’ (𝐴 ∈ π‘œ β†’ π‘œ ∈ 𝐹)))
141140ralrimdva 3152 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) β†’ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ π‘œ ∈ 𝐹)))
142 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
143141, 142jctild 527 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ π‘œ ∈ 𝐹))))
144 simprl 770 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
145144, 4sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
146 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
147 flimopn 23342 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ π‘œ ∈ 𝐹))))
148145, 146, 147syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ π‘œ ∈ 𝐹))))
149143, 148sylibrd 259 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)))
150149ex 414 . . . 4 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹))))
151150com23 86 . . 3 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) β†’ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹))))
15228, 151mpdd 43 . 2 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)))
15315, 152impbid2 225 1 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ βˆ€π‘” ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑔 β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  βˆͺ cuni 4870  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  ficfi 9353  fBascfbas 20800  filGencfg 20801  Topctop 22258  TopOnctopon 22275  Filcfil 23212   fLim cflim 23301   fClus cfcls 23303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-fin 8894  df-fi 9354  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-fil 23213  df-flim 23306  df-fcls 23308
This theorem is referenced by:  cnpfcf  23408
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