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Theorem flimfnfcls 23379
Description: A filter converges to a point iff every finer filter clusters there. Along with fclsfnflim 23378, this theorem illustrates the duality between convergence and clustering. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flimfnfcls.x 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
flimfnfcls (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝑔,𝑋

Proof of Theorem flimfnfcls
Dummy variables 𝑜 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flimfcls 23377 . . . . 5 (𝐽 fLim 𝑔) ⊆ (𝐽 fClus 𝑔)
2 flimtop 23316 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → 𝐽 ∈ Top)
3 flimfnfcls.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = 𝐽
43toptopon 22266 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
52, 4sylib 217 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
65ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝐹𝑔) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝐹𝑔) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑋))
8 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝐹𝑔) → 𝐹𝑔)
9 flimss2 23323 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹𝑔) → (𝐽 fLim 𝐹) ⊆ (𝐽 fLim 𝑔))
106, 7, 8, 9syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝐹𝑔) → (𝐽 fLim 𝐹) ⊆ (𝐽 fLim 𝑔))
11 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝐹𝑔) → 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹))
1210, 11sseldd 3945 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝐹𝑔) → 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑔))
131, 12sselid 3942 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝐹𝑔) → 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔))
1413ex 413 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)))
1514ralrimiva 3143 . 2 (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)))
16 sseq2 3970 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐹 → (𝐹𝑔𝐹𝐹))
17 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐹 → (𝐽 fClus 𝑔) = (𝐽 fClus 𝐹))
1817eleq2d 2823 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐹 → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔) ↔ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)))
1916, 18imbi12d 344 . . . . 5 (𝑔 = 𝐹 → ((𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) ↔ (𝐹𝐹𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹))))
2019rspcv 3577 . . . 4 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) → (𝐹𝐹𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹))))
21 ssid 3966 . . . . . 6 𝐹𝐹
22 id 22 . . . . . 6 ((𝐹𝐹𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) → (𝐹𝐹𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)))
2321, 22mpi 20 . . . . 5 ((𝐹𝐹𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) → 𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹))
24 fclstop 23362 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) → 𝐽 ∈ Top)
253fclselbas 23367 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) → 𝐴𝑋)
2624, 25jca 512 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋))
2723, 26syl 17 . . . 4 ((𝐹𝐹𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋))
2820, 27syl6 35 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)))
29 disjdif 4431 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑜 ∩ (𝑋𝑜)) = ∅
30 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
31 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → 𝐽 ∈ Top)
323topopn 22255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → 𝑋𝐽)
34 pwexg 5333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋𝐽 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
35 rabexg 5288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝒫 𝑋 ∈ V → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥} ∈ V)
3633, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥} ∈ V)
37 unexg 7683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥} ∈ V) → (𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}) ∈ V)
3830, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}) ∈ V)
39 ssfii 9355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}) ∈ V → (𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})))
41 filsspw 23202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
42 ssrab2 4037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥} ⊆ 𝒫 𝑋
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥} ⊆ 𝒫 𝑋)
4441, 43unssd 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋)
4544ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋)
46 ssun2 4133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥} ⊆ (𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})
47 sseq2 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (𝑋𝑜) → ((𝑋𝑜) ⊆ 𝑥 ↔ (𝑋𝑜) ⊆ (𝑋𝑜)))
48 difss 4091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑋𝑜) ⊆ 𝑋
49 elpw2g 5301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑋𝐽 → ((𝑋𝑜) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑋))
5033, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → ((𝑋𝑜) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑋))
5148, 50mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (𝑋𝑜) ∈ 𝒫 𝑋)
52 ssid 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑋𝑜) ⊆ (𝑋𝑜)
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (𝑋𝑜) ⊆ (𝑋𝑜))
5447, 51, 53elrabd 3647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (𝑋𝑜) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})
5546, 54sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (𝑋𝑜) ∈ (𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))
5655ne0d 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}) ≠ ∅)
57 sseq2 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑋𝑜) ⊆ 𝑥 ↔ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑧))
5857elrab 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥} ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑧))
5958simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥} → (𝑋𝑜) ⊆ 𝑧)
6059ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ (𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) → (𝑋𝑜) ⊆ 𝑧)
61 sslin 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋𝑜) ⊆ 𝑧 → (𝑦 ∩ (𝑋𝑜)) ⊆ (𝑦𝑧))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ (𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) → (𝑦 ∩ (𝑋𝑜)) ⊆ (𝑦𝑧))
63 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → ¬ 𝑜𝐹)
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ (𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) → ¬ 𝑜𝐹)
65 inssdif0 4329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦𝑋) ⊆ 𝑜 ↔ (𝑦 ∩ (𝑋𝑜)) = ∅)
66 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ (𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
67 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ (𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) → 𝑦𝐹)
68 filelss 23203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝑋)
6966, 67, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ (𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) → 𝑦𝑋)
70 df-ss 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦𝑋 ↔ (𝑦𝑋) = 𝑦)
7169, 70sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ (𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) → (𝑦𝑋) = 𝑦)
7271sseq1d 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ (𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) → ((𝑦𝑋) ⊆ 𝑜𝑦𝑜))
7330ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ (𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) ∧ 𝑦𝑜) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
74 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ (𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) ∧ 𝑦𝑜) → 𝑦𝐹)
75 elssuni 4898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑜𝐽𝑜 𝐽)
7675, 3sseqtrrdi 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑜𝐽𝑜𝑋)
7776ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → 𝑜𝑋)
7877ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ (𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) ∧ 𝑦𝑜) → 𝑜𝑋)
79 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ (𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) ∧ 𝑦𝑜) → 𝑦𝑜)
80 filss 23204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑦𝐹𝑜𝑋𝑦𝑜)) → 𝑜𝐹)
8173, 74, 78, 79, 80syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ (𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) ∧ 𝑦𝑜) → 𝑜𝐹)
8281ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ (𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) → (𝑦𝑜𝑜𝐹))
8372, 82sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ (𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) → ((𝑦𝑋) ⊆ 𝑜𝑜𝐹))
8465, 83biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ (𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) → ((𝑦 ∩ (𝑋𝑜)) = ∅ → 𝑜𝐹))
8584necon3bd 2957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ (𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) → (¬ 𝑜𝐹 → (𝑦 ∩ (𝑋𝑜)) ≠ ∅))
8664, 85mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ (𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) → (𝑦 ∩ (𝑋𝑜)) ≠ ∅)
87 ssn0 4360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∩ (𝑋𝑜)) ⊆ (𝑦𝑧) ∧ (𝑦 ∩ (𝑋𝑜)) ≠ ∅) → (𝑦𝑧) ≠ ∅)
8862, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ (𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) → (𝑦𝑧) ≠ ∅)
8988ralrimivva 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → ∀𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥} (𝑦𝑧) ≠ ∅)
90 filfbas 23199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
9130, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
9248a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (𝑋𝑜) ⊆ 𝑋)
93 filtop 23206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)
9430, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → 𝑋𝐹)
95 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑜 = 𝑋 → (𝑜𝐹𝑋𝐹))
9694, 95syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (𝑜 = 𝑋𝑜𝐹))
9796necon3bd 2957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (¬ 𝑜𝐹𝑜𝑋))
9863, 97mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → 𝑜𝑋)
99 pssdifn0 4325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑜𝑋𝑜𝑋) → (𝑋𝑜) ≠ ∅)
10077, 98, 99syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (𝑋𝑜) ≠ ∅)
101 supfil 23246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋𝐽 ∧ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋𝑜) ≠ ∅) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥} ∈ (Fil‘𝑋))
10233, 92, 100, 101syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥} ∈ (Fil‘𝑋))
103 filfbas 23199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥} ∈ (Fil‘𝑋) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥} ∈ (fBas‘𝑋))
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥} ∈ (fBas‘𝑋))
105 fbunfip 23220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥} ∈ (fBas‘𝑋)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) ↔ ∀𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥} (𝑦𝑧) ≠ ∅))
10691, 104, 105syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) ↔ ∀𝑦𝐹𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥} (𝑦𝑧) ≠ ∅))
10789, 106mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})))
108 fsubbas 23218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋𝐹 → ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})))))
10994, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})))))
11045, 56, 107, 109mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋))
111 ssfg 23223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))))
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))))
11340, 112sstrd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))))
114113unssad 4147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))))
115 fgcl 23229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))) ∈ (Fil‘𝑋))
116110, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))) ∈ (Fil‘𝑋))
117 sseq2 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))) → (𝐹𝑔𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})))))
118 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))) → (𝐽 fClus 𝑔) = (𝐽 fClus (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})))))
119118eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔) ↔ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))))))
120117, 119imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑔 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))) → ((𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) ↔ (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))) → 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})))))))
121120rspcv 3577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))) ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) → (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))) → 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})))))))
122116, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) → (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))) → 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})))))))
123114, 122mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) → 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))))))
124 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))))) → 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})))))
125 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))))) → 𝑜𝐽)
126 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → 𝐴𝑜)
127126adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))))) → 𝐴𝑜)
128113, 55sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (𝑋𝑜) ∈ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))))
129128adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))))) → (𝑋𝑜) ∈ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))))
130 fclsopni 23366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})))) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜 ∧ (𝑋𝑜) ∈ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))))) → (𝑜 ∩ (𝑋𝑜)) ≠ ∅)
131124, 125, 127, 129, 130syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥}))))) → (𝑜 ∩ (𝑋𝑜)) ≠ ∅)
132131ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑜) ⊆ 𝑥})))) → (𝑜 ∩ (𝑋𝑜)) ≠ ∅))
133123, 132syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → (∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) → (𝑜 ∩ (𝑋𝑜)) ≠ ∅))
134133necon2bd 2959 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → ((𝑜 ∩ (𝑋𝑜)) = ∅ → ¬ ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔))))
13529, 134mpi 20 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝑜𝐽 ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹))) → ¬ ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)))
136135anassrs 468 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ 𝑜𝐽) ∧ (𝐴𝑜 ∧ ¬ 𝑜𝐹)) → ¬ ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)))
137136expr 457 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ 𝑜𝐽) ∧ 𝐴𝑜) → (¬ 𝑜𝐹 → ¬ ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔))))
138137con4d 115 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ 𝑜𝐽) ∧ 𝐴𝑜) → (∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) → 𝑜𝐹))
139138ex 413 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ 𝑜𝐽) → (𝐴𝑜 → (∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) → 𝑜𝐹)))
140139com23 86 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) ∧ 𝑜𝐽) → (∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) → (𝐴𝑜𝑜𝐹)))
141140ralrimdva 3151 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) → (∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) → ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜𝐹)))
142 simprr 771 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) → 𝐴𝑋)
143141, 142jctild 526 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) → (∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) → (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜𝐹))))
144 simprl 769 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) → 𝐽 ∈ Top)
145144, 4sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
146 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
147 flimopn 23326 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜𝐹))))
148145, 146, 147syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜𝐹))))
149143, 148sylibrd 258 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋)) → (∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) → 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)))
150149ex 413 . . . 4 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) → 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹))))
151150com23 86 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹))))
15228, 151mpdd 43 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔)) → 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)))
15315, 152impbid2 225 1 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑔𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝑔))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560   cuni 4865  cfv 6496  (class class class)co 7357  ficfi 9346  fBascfbas 20784  filGencfg 20785  Topctop 22242  TopOnctopon 22259  Filcfil 23196   fLim cflim 23285   fClus cfcls 23287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-fin 8887  df-fi 9347  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-top 22243  df-topon 22260  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-fil 23197  df-flim 23290  df-fcls 23292
This theorem is referenced by:  cnpfcf  23392
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