MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnumlem3 24479
Description: Lemma for lebnum 24480. By the previous lemmas, 𝐹 is continuous and positive on a compact set, so it has a positive minimum π‘Ÿ. Then setting 𝑑 = π‘Ÿ / β™―(π‘ˆ), since for each 𝑒 ∈ π‘ˆ we have ball(π‘₯, 𝑑) βŠ† 𝑒 iff 𝑑 ≀ 𝑑(π‘₯, 𝑋 βˆ– 𝑒), if Β¬ ball(π‘₯, 𝑑) βŠ† 𝑒 for all 𝑒 then summing over 𝑒 yields Σ𝑒 ∈ π‘ˆπ‘‘(π‘₯, 𝑋 βˆ– 𝑒) = 𝐹(π‘₯) < Σ𝑒 ∈ π‘ˆπ‘‘ = π‘Ÿ, in contradiction to the assumption that π‘Ÿ is the minimum of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
lebnum.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
lebnum.c (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
lebnum.u (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
lebnumlem1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
lebnumlem1.n (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
lebnumlem1.f 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
lebnumlem2.k 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
Assertion
Ref Expression
lebnumlem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑑,𝑒,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐷   𝐽,𝑑,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑑,π‘˜,𝑒,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐹   πœ‘,𝑑,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑋,𝑑,π‘˜,𝑒,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐾
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑒)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑒,π‘˜,𝑑)   𝐽(𝑒)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑒,π‘˜,𝑑)

Proof of Theorem lebnumlem3
Dummy variables π‘Ÿ 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 12978 . . . 4 1 ∈ ℝ+
21ne0ii 4338 . . 3 ℝ+ β‰  βˆ…
3 ral0 4513 . . . . 5 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒
4 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 = βˆ…)
54raleqdv 3326 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒))
63, 5mpbiri 258 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
76ralrimivw 3151 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
8 r19.2z 4495 . . 3 ((ℝ+ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
92, 7, 8sylancr 588 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
10 lebnum.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
11 lebnum.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
12 lebnum.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
13 lebnum.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
14 lebnum.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
15 lebnumlem1.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
16 lebnumlem1.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
17 lebnumlem1.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
1810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lebnumlem1 24477 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„+)
1918adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„+)
2019frnd 6726 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ+)
21 eqid 2733 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
22 lebnumlem2.k . . . . . . 7 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
2312adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
2410, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 22lebnumlem2 24478 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2524adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
26 metxmet 23840 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2710mopnuni 23947 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
2811, 26, 273syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
2928neeq1d 3001 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 β‰  βˆ… ↔ βˆͺ 𝐽 β‰  βˆ…))
3029biimpa 478 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ 𝐽 β‰  βˆ…)
3121, 22, 23, 25, 30evth2 24476 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽(πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
3228adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
33 raleq 3323 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽(πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3433rexeqbi1dv 3335 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑋 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽(πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3532, 34syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑋 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽(πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3631, 35mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑋 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
37 ffn 6718 . . . . . 6 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„+ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
38 breq1 5152 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = (πΉβ€˜π‘€) β†’ (π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3938ralbidv 3178 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = (πΉβ€˜π‘€) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
4039rexrn 7089 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ran πΉβˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑋 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
4119, 37, 403syl 18 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ran πΉβˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑋 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
4236, 41mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ran πΉβˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
43 ssrexv 4052 . . . 4 (ran 𝐹 βŠ† ℝ+ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ran πΉβˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
4420, 42, 43sylc 65 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
45 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
4614ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
47 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
4846, 47eqnetrrd 3010 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆͺ π‘ˆ β‰  βˆ…)
49 unieq 4920 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ = βˆ… β†’ βˆͺ π‘ˆ = βˆͺ βˆ…)
50 uni0 4940 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ βˆ… = βˆ…
5149, 50eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ = βˆ… β†’ βˆͺ π‘ˆ = βˆ…)
5251necon3i 2974 . . . . . . . . 9 (βˆͺ π‘ˆ β‰  βˆ… β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
5348, 52syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
5415ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
55 hashnncl 14326 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„• ↔ π‘ˆ β‰  βˆ…))
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„• ↔ π‘ˆ β‰  βˆ…))
5753, 56mpbird 257 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•)
5857nnrpd 13014 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ ℝ+)
5945, 58rpdivcld 13033 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ+)
60 ralnex 3073 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒 ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)
6154adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
6253adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
63 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
6463adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
65 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
6665metdsval 24363 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘₯) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
6764, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘₯) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
6811ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
70 difssd 4133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 βˆ– π‘˜) βŠ† 𝑋)
71 elssuni 4942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ π‘˜ βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
7271adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
7346ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
7472, 73sseqtrrd 4024 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
75 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ = 𝑋 β†’ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
7675notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝑋 β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ ↔ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
7716, 76syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (π‘˜ = 𝑋 β†’ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
7877necon2ad 2956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ π‘˜ β‰  𝑋))
7978ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ (π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ π‘˜ β‰  𝑋))
8079imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ β‰  𝑋)
81 pssdifn0 4366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ βŠ† 𝑋 ∧ π‘˜ β‰  𝑋) β†’ (𝑋 βˆ– π‘˜) β‰  βˆ…)
8274, 80, 81syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 βˆ– π‘˜) β‰  βˆ…)
8365metdsre 24369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– π‘˜) βŠ† 𝑋 ∧ (𝑋 βˆ– π‘˜) β‰  βˆ…) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆβ„)
8469, 70, 82, 83syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆβ„)
8584, 64ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8667, 85eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
8759ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ+)
8887rpred 13016 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ)
89 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)
90 sseq2 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = π‘˜ β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒 ↔ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† π‘˜))
9190notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = π‘˜ β†’ (Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒 ↔ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† π‘˜))
9291rspccva 3612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒 ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† π‘˜)
9389, 92sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† π‘˜)
9469, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
9587rpxrd 13017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ*)
9665metdsge 24365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– π‘˜) βŠ† 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ≀ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘₯) ↔ ((𝑋 βˆ– π‘˜) ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)))) = βˆ…))
9794, 70, 64, 95, 96syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ≀ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘₯) ↔ ((𝑋 βˆ– π‘˜) ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)))) = βˆ…))
98 blssm 23924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑋)
9994, 64, 95, 98syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑋)
100 difin0ss 4369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 βˆ– π‘˜) ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)))) = βˆ… β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑋 β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† π‘˜))
10199, 100syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (((𝑋 βˆ– π‘˜) ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)))) = βˆ… β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† π‘˜))
10297, 101sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ≀ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘₯) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† π‘˜))
10393, 102mtod 197 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ Β¬ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ≀ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘₯))
10485, 88ltnled 11361 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘₯) < (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ↔ Β¬ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ≀ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘₯)))
105103, 104mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘₯) < (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)))
10667, 105eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)), ℝ*, < ) < (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)))
10761, 62, 86, 88, 106fsumlt 15746 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)), ℝ*, < ) < Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)))
108 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦𝐷𝑧) = (π‘₯𝐷𝑧))
109108mpteq2dv 5251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)))
110109rneqd 5938 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = π‘₯ β†’ ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)) = ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)))
111110infeq1d 9472 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘₯ β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
112111sumeq2sdv 15650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘₯ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) = Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
113 sumex 15634 . . . . . . . . . . . . 13 Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ V
114112, 17, 113fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11563, 114syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11659adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ+)
117116rpcnd 13018 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ β„‚)
118 fsumconst 15736 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ Fin ∧ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) = ((β™―β€˜π‘ˆ) Β· (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))))
11961, 117, 118syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) = ((β™―β€˜π‘ˆ) Β· (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))))
120 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
121120rpcnd 13018 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
12257adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•)
123122nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„‚)
124122nnne0d 12262 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) β‰  0)
125121, 123, 124divcan2d 11992 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) Β· (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) = π‘Ÿ)
126119, 125eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘Ÿ = Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)))
127107, 115, 1263brtr4d 5181 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ÿ)
12819ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„+)
129128, 63ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
130129rpred 13016 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
131120rpred 13016 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
132130, 131ltnled 11361 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ÿ ↔ Β¬ π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
133127, 132mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
134133expr 458 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒 β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
13560, 134biimtrrid 242 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒 β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
136135con4d 115 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒))
137136ralimdva 3168 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒))
138 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) = (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))))
139138sseq1d 4014 . . . . . . . 8 (𝑑 = (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒))
140139rexbidv 3179 . . . . . . 7 (𝑑 = (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒))
141140ralbidv 3178 . . . . . 6 (𝑑 = (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒))
142141rspcev 3613 . . . . 5 (((π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
14359, 137, 142syl6an 683 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒))
144143rexlimdva 3156 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒))
14544, 144mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
1469, 145pm2.61dane 3030 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  infcinf 9436  β„‚cc 11108  β„cr 11109  1c1 11111   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  β™―chash 14290  Ξ£csu 15632  topGenctg 17383  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930  ballcbl 20931  MetOpencmopn 20934   Cn ccn 22728  Compccmp 22890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-ec 8705  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828
This theorem is referenced by:  lebnum  24480
  Copyright terms: Public domain W3C validator