MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnumlem3 24995
Description: Lemma for lebnum 24996. By the previous lemmas, 𝐹 is continuous and positive on a compact set, so it has a positive minimum 𝑟. Then setting 𝑑 = 𝑟 / ♯(𝑈), since for each 𝑢𝑈 we have ball(𝑥, 𝑑) ⊆ 𝑢 iff 𝑑𝑑(𝑥, 𝑋𝑢), if ¬ ball(𝑥, 𝑑) ⊆ 𝑢 for all 𝑢 then summing over 𝑢 yields Σ𝑢𝑈𝑑(𝑥, 𝑋𝑢) = 𝐹(𝑥) < Σ𝑢𝑈𝑑 = 𝑟, in contradiction to the assumption that 𝑟 is the minimum of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lebnum.d (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lebnum.c (𝜑𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (𝜑𝑈𝐽)
lebnum.u (𝜑𝑋 = 𝑈)
lebnumlem1.u (𝜑𝑈 ∈ Fin)
lebnumlem1.n (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
lebnumlem1.f 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
lebnumlem2.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
lebnumlem3 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝐽,𝑑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑑,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹   𝜑,𝑑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑋,𝑑,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑘,𝑑)   𝐽(𝑢)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑢,𝑘,𝑑)

Proof of Theorem lebnumlem3
Dummy variables 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 13038 . . . 4 1 ∈ ℝ+
21ne0ii 4344 . . 3 + ≠ ∅
3 ral0 4513 . . . . 5 𝑥 ∈ ∅ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢
4 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
54raleqdv 3326 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
63, 5mpbiri 258 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
76ralrimivw 3150 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
8 r19.2z 4495 . . 3 ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
92, 7, 8sylancr 587 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
10 lebnum.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
11 lebnum.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
12 lebnum.c . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
13 lebnum.s . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝐽)
14 lebnum.u . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = 𝑈)
15 lebnumlem1.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
16 lebnumlem1.n . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
17 lebnumlem1.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
1810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lebnumlem1 24993 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ+)
1918adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ+)
2019frnd 6744 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ran 𝐹 ⊆ ℝ+)
21 eqid 2737 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
22 lebnumlem2.k . . . . . . 7 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
2410, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 22lebnumlem2 24994 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2524adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
26 metxmet 24344 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2710mopnuni 24451 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
2811, 26, 273syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 = 𝐽)
2928neeq1d 3000 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝐽 ≠ ∅))
3029biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐽 ≠ ∅)
3121, 22, 23, 25, 30evth2 24992 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑤 𝐽𝑥 𝐽(𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥))
3228adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 = 𝐽)
33 raleq 3323 . . . . . . . 8 (𝑋 = 𝐽 → (∀𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑥 𝐽(𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
3433rexeqbi1dv 3339 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐽 → (∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑤 𝐽𝑥 𝐽(𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
3532, 34syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑤 𝐽𝑥 𝐽(𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
3631, 35mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥))
37 ffn 6736 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶ℝ+𝐹 Fn 𝑋)
38 breq1 5146 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝐹𝑤) → (𝑟 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
3938ralbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝐹𝑤) → (∀𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
4039rexrn 7107 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 → (∃𝑟 ∈ ran 𝐹𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
4119, 37, 403syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑟 ∈ ran 𝐹𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
4236, 41mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑟 ∈ ran 𝐹𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥))
43 ssrexv 4053 . . . 4 (ran 𝐹 ⊆ ℝ+ → (∃𝑟 ∈ ran 𝐹𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥)))
4420, 42, 43sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥))
45 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
4614ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑋 = 𝑈)
47 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑋 ≠ ∅)
4846, 47eqnetrrd 3009 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑈 ≠ ∅)
49 unieq 4918 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 = ∅ → 𝑈 = ∅)
50 uni0 4935 . . . . . . . . . . 11 ∅ = ∅
5149, 50eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑈 = ∅ → 𝑈 = ∅)
5251necon3i 2973 . . . . . . . . 9 ( 𝑈 ≠ ∅ → 𝑈 ≠ ∅)
5348, 52syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑈 ≠ ∅)
5415ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑈 ∈ Fin)
55 hashnncl 14405 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ Fin → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
5753, 56mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (♯‘𝑈) ∈ ℕ)
5857nnrpd 13075 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (♯‘𝑈) ∈ ℝ+)
5945, 58rpdivcld 13094 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ+)
60 ralnex 3072 . . . . . . . 8 (∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢 ↔ ¬ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)
6154adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑈 ∈ Fin)
6253adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑈 ≠ ∅)
63 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑥𝑋)
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑥𝑋)
65 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
6665metdsval 24869 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 → ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
6764, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
6811ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
6968ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
70 difssd 4137 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋)
71 elssuni 4937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑈𝑘 𝑈)
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑘 𝑈)
7346ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑋 = 𝑈)
7472, 73sseqtrrd 4021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑘𝑋)
75 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑋 → (𝑘𝑈𝑋𝑈))
7675notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑋 → (¬ 𝑘𝑈 ↔ ¬ 𝑋𝑈))
7716, 76syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑘 = 𝑋 → ¬ 𝑘𝑈))
7877necon2ad 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑘𝑈𝑘𝑋))
7978ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝑘𝑈𝑘𝑋))
8079imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑘𝑋)
81 pssdifn0 4368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝑋𝑘𝑋) → (𝑋𝑘) ≠ ∅)
8274, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ≠ ∅)
8365metdsre 24875 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋𝑘) ≠ ∅) → (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):𝑋⟶ℝ)
8469, 70, 82, 83syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):𝑋⟶ℝ)
8584, 64ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) ∈ ℝ)
8667, 85eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
8759ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ+)
8887rpred 13077 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ)
89 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)
90 sseq2 4010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = 𝑘 → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
9190notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = 𝑘 → (¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢 ↔ ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
9291rspccva 3621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢𝑘𝑈) → ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑘)
9389, 92sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑘)
9469, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
9587rpxrd 13078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ*)
9665metdsge 24871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋𝑥𝑋) ∧ (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ*) → ((𝑟 / (♯‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) ↔ ((𝑋𝑘) ∩ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈)))) = ∅))
9794, 70, 64, 95, 96syl31anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑟 / (♯‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) ↔ ((𝑋𝑘) ∩ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈)))) = ∅))
98 blssm 24428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑋)
9994, 64, 95, 98syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑋)
100 difin0ss 4373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋𝑘) ∩ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈)))) = ∅ → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑋 → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
10199, 100syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (((𝑋𝑘) ∩ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈)))) = ∅ → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
10297, 101sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑟 / (♯‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
10393, 102mtod 198 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ¬ (𝑟 / (♯‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥))
10485, 88ltnled 11408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) < (𝑟 / (♯‘𝑈)) ↔ ¬ (𝑟 / (♯‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥)))
105103, 104mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) < (𝑟 / (♯‘𝑈)))
10667, 105eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ) < (𝑟 / (♯‘𝑈)))
10761, 62, 86, 88, 106fsumlt 15836 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ) < Σ𝑘𝑈 (𝑟 / (♯‘𝑈)))
108 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐷𝑧) = (𝑥𝐷𝑧))
109108mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)))
110109rneqd 5949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)) = ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)))
111110infeq1d 9517 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
112111sumeq2sdv 15739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) = Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
113 sumex 15724 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ V
114112, 17, 113fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑋 → (𝐹𝑥) = Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11563, 114syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝐹𝑥) = Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11659adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ+)
117116rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℂ)
118 fsumconst 15826 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℂ) → Σ𝑘𝑈 (𝑟 / (♯‘𝑈)) = ((♯‘𝑈) · (𝑟 / (♯‘𝑈))))
11961, 117, 118syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → Σ𝑘𝑈 (𝑟 / (♯‘𝑈)) = ((♯‘𝑈) · (𝑟 / (♯‘𝑈))))
120 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
121120rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑟 ∈ ℂ)
12257adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (♯‘𝑈) ∈ ℕ)
123122nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (♯‘𝑈) ∈ ℂ)
124122nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (♯‘𝑈) ≠ 0)
125121, 123, 124divcan2d 12045 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → ((♯‘𝑈) · (𝑟 / (♯‘𝑈))) = 𝑟)
126119, 125eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑟 = Σ𝑘𝑈 (𝑟 / (♯‘𝑈)))
127107, 115, 1263brtr4d 5175 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝐹𝑥) < 𝑟)
12819ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ+)
129128, 63ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ+)
130129rpred 13077 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
131120rpred 13077 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑟 ∈ ℝ)
132130, 131ltnled 11408 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → ((𝐹𝑥) < 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 ≤ (𝐹𝑥)))
133127, 132mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → ¬ 𝑟 ≤ (𝐹𝑥))
134133expr 456 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢 → ¬ 𝑟 ≤ (𝐹𝑥)))
13560, 134biimtrrid 243 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (¬ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢 → ¬ 𝑟 ≤ (𝐹𝑥)))
136135con4d 115 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
137136ralimdva 3167 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
138 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝑟 / (♯‘𝑈)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))))
139138sseq1d 4015 . . . . . . . 8 (𝑑 = (𝑟 / (♯‘𝑈)) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
140139rexbidv 3179 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝑟 / (♯‘𝑈)) → (∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
141140ralbidv 3178 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑟 / (♯‘𝑈)) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
142141rspcev 3622 . . . . 5 (((𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
14359, 137, 142syl6an 684 . . . 4 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
144143rexlimdva 3155 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
14544, 144mpd 15 . 2 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
1469, 145pm2.61dane 3029 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  c0 4333   cuni 4907   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  infcinf 9481  cc 11153  cr 11154  1c1 11156   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  cn 12266  +crp 13034  (,)cioo 13387  chash 14369  Σcsu 15722  topGenctg 17482  ∞Metcxmet 21349  Metcmet 21350  ballcbl 21351  MetOpencmopn 21354   Cn ccn 23232  Compccmp 23394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332
This theorem is referenced by:  lebnum  24996
  Copyright terms: Public domain W3C validator