MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnumlem3 24326
Description: Lemma for lebnum 24327. By the previous lemmas, 𝐹 is continuous and positive on a compact set, so it has a positive minimum 𝑟. Then setting 𝑑 = 𝑟 / ♯(𝑈), since for each 𝑢𝑈 we have ball(𝑥, 𝑑) ⊆ 𝑢 iff 𝑑𝑑(𝑥, 𝑋𝑢), if ¬ ball(𝑥, 𝑑) ⊆ 𝑢 for all 𝑢 then summing over 𝑢 yields Σ𝑢𝑈𝑑(𝑥, 𝑋𝑢) = 𝐹(𝑥) < Σ𝑢𝑈𝑑 = 𝑟, in contradiction to the assumption that 𝑟 is the minimum of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lebnum.d (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lebnum.c (𝜑𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (𝜑𝑈𝐽)
lebnum.u (𝜑𝑋 = 𝑈)
lebnumlem1.u (𝜑𝑈 ∈ Fin)
lebnumlem1.n (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
lebnumlem1.f 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
lebnumlem2.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
lebnumlem3 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝐽,𝑑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑑,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹   𝜑,𝑑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑋,𝑑,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑘,𝑑)   𝐽(𝑢)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑢,𝑘,𝑑)

Proof of Theorem lebnumlem3
Dummy variables 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 12919 . . . 4 1 ∈ ℝ+
21ne0ii 4297 . . 3 + ≠ ∅
3 ral0 4470 . . . . 5 𝑥 ∈ ∅ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢
4 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
54raleqdv 3313 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
63, 5mpbiri 257 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
76ralrimivw 3147 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
8 r19.2z 4452 . . 3 ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
92, 7, 8sylancr 587 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
10 lebnum.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
11 lebnum.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
12 lebnum.c . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
13 lebnum.s . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝐽)
14 lebnum.u . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = 𝑈)
15 lebnumlem1.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
16 lebnumlem1.n . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
17 lebnumlem1.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
1810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lebnumlem1 24324 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ+)
1918adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ+)
2019frnd 6676 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ran 𝐹 ⊆ ℝ+)
21 eqid 2736 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
22 lebnumlem2.k . . . . . . 7 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
2410, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 22lebnumlem2 24325 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2524adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
26 metxmet 23687 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2710mopnuni 23794 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
2811, 26, 273syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 = 𝐽)
2928neeq1d 3003 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝐽 ≠ ∅))
3029biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐽 ≠ ∅)
3121, 22, 23, 25, 30evth2 24323 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑤 𝐽𝑥 𝐽(𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥))
3228adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 = 𝐽)
33 raleq 3309 . . . . . . . 8 (𝑋 = 𝐽 → (∀𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑥 𝐽(𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
3433rexeqbi1dv 3308 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐽 → (∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑤 𝐽𝑥 𝐽(𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
3532, 34syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑤 𝐽𝑥 𝐽(𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
3631, 35mpbird 256 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥))
37 ffn 6668 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶ℝ+𝐹 Fn 𝑋)
38 breq1 5108 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝐹𝑤) → (𝑟 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
3938ralbidv 3174 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝐹𝑤) → (∀𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
4039rexrn 7037 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 → (∃𝑟 ∈ ran 𝐹𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
4119, 37, 403syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑟 ∈ ran 𝐹𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
4236, 41mpbird 256 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑟 ∈ ran 𝐹𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥))
43 ssrexv 4011 . . . 4 (ran 𝐹 ⊆ ℝ+ → (∃𝑟 ∈ ran 𝐹𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥)))
4420, 42, 43sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥))
45 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
4614ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑋 = 𝑈)
47 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑋 ≠ ∅)
4846, 47eqnetrrd 3012 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑈 ≠ ∅)
49 unieq 4876 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 = ∅ → 𝑈 = ∅)
50 uni0 4896 . . . . . . . . . . 11 ∅ = ∅
5149, 50eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝑈 = ∅ → 𝑈 = ∅)
5251necon3i 2976 . . . . . . . . 9 ( 𝑈 ≠ ∅ → 𝑈 ≠ ∅)
5348, 52syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑈 ≠ ∅)
5415ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑈 ∈ Fin)
55 hashnncl 14266 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ Fin → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
5753, 56mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (♯‘𝑈) ∈ ℕ)
5857nnrpd 12955 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (♯‘𝑈) ∈ ℝ+)
5945, 58rpdivcld 12974 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ+)
60 ralnex 3075 . . . . . . . 8 (∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢 ↔ ¬ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)
6154adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑈 ∈ Fin)
6253adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑈 ≠ ∅)
63 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑥𝑋)
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑥𝑋)
65 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
6665metdsval 24210 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 → ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
6764, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
6811ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
6968ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
70 difssd 4092 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋)
71 elssuni 4898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑈𝑘 𝑈)
7271adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑘 𝑈)
7346ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑋 = 𝑈)
7472, 73sseqtrrd 3985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑘𝑋)
75 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑋 → (𝑘𝑈𝑋𝑈))
7675notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑋 → (¬ 𝑘𝑈 ↔ ¬ 𝑋𝑈))
7716, 76syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑘 = 𝑋 → ¬ 𝑘𝑈))
7877necon2ad 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑘𝑈𝑘𝑋))
7978ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝑘𝑈𝑘𝑋))
8079imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑘𝑋)
81 pssdifn0 4325 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝑋𝑘𝑋) → (𝑋𝑘) ≠ ∅)
8274, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ≠ ∅)
8365metdsre 24216 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋𝑘) ≠ ∅) → (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):𝑋⟶ℝ)
8469, 70, 82, 83syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):𝑋⟶ℝ)
8584, 64ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) ∈ ℝ)
8667, 85eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
8759ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ+)
8887rpred 12957 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ)
89 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)
90 sseq2 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = 𝑘 → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
9190notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = 𝑘 → (¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢 ↔ ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
9291rspccva 3580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢𝑘𝑈) → ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑘)
9389, 92sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑘)
9469, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
9587rpxrd 12958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ*)
9665metdsge 24212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋𝑥𝑋) ∧ (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ*) → ((𝑟 / (♯‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) ↔ ((𝑋𝑘) ∩ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈)))) = ∅))
9794, 70, 64, 95, 96syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑟 / (♯‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) ↔ ((𝑋𝑘) ∩ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈)))) = ∅))
98 blssm 23771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑋)
9994, 64, 95, 98syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑋)
100 difin0ss 4328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋𝑘) ∩ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈)))) = ∅ → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑋 → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
10199, 100syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (((𝑋𝑘) ∩ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈)))) = ∅ → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
10297, 101sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑟 / (♯‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
10393, 102mtod 197 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ¬ (𝑟 / (♯‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥))
10485, 88ltnled 11302 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) < (𝑟 / (♯‘𝑈)) ↔ ¬ (𝑟 / (♯‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥)))
105103, 104mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) < (𝑟 / (♯‘𝑈)))
10667, 105eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ) < (𝑟 / (♯‘𝑈)))
10761, 62, 86, 88, 106fsumlt 15685 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ) < Σ𝑘𝑈 (𝑟 / (♯‘𝑈)))
108 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐷𝑧) = (𝑥𝐷𝑧))
109108mpteq2dv 5207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)))
110109rneqd 5893 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)) = ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)))
111110infeq1d 9413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
112111sumeq2sdv 15589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) = Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
113 sumex 15572 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ V
114112, 17, 113fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑋 → (𝐹𝑥) = Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11563, 114syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝐹𝑥) = Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11659adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ+)
117116rpcnd 12959 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℂ)
118 fsumconst 15675 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℂ) → Σ𝑘𝑈 (𝑟 / (♯‘𝑈)) = ((♯‘𝑈) · (𝑟 / (♯‘𝑈))))
11961, 117, 118syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → Σ𝑘𝑈 (𝑟 / (♯‘𝑈)) = ((♯‘𝑈) · (𝑟 / (♯‘𝑈))))
120 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
121120rpcnd 12959 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑟 ∈ ℂ)
12257adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (♯‘𝑈) ∈ ℕ)
123122nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (♯‘𝑈) ∈ ℂ)
124122nnne0d 12203 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (♯‘𝑈) ≠ 0)
125121, 123, 124divcan2d 11933 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → ((♯‘𝑈) · (𝑟 / (♯‘𝑈))) = 𝑟)
126119, 125eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑟 = Σ𝑘𝑈 (𝑟 / (♯‘𝑈)))
127107, 115, 1263brtr4d 5137 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝐹𝑥) < 𝑟)
12819ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ+)
129128, 63ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ+)
130129rpred 12957 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
131120rpred 12957 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑟 ∈ ℝ)
132130, 131ltnled 11302 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → ((𝐹𝑥) < 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 ≤ (𝐹𝑥)))
133127, 132mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → ¬ 𝑟 ≤ (𝐹𝑥))
134133expr 457 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢 → ¬ 𝑟 ≤ (𝐹𝑥)))
13560, 134biimtrrid 242 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (¬ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢 → ¬ 𝑟 ≤ (𝐹𝑥)))
136135con4d 115 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
137136ralimdva 3164 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
138 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝑟 / (♯‘𝑈)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))))
139138sseq1d 3975 . . . . . . . 8 (𝑑 = (𝑟 / (♯‘𝑈)) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
140139rexbidv 3175 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝑟 / (♯‘𝑈)) → (∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
141140ralbidv 3174 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑟 / (♯‘𝑈)) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
142141rspcev 3581 . . . . 5 (((𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
14359, 137, 142syl6an 682 . . . 4 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
144143rexlimdva 3152 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
14544, 144mpd 15 . 2 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
1469, 145pm2.61dane 3032 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  c0 4282   cuni 4865   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  infcinf 9377  cc 11049  cr 11050  1c1 11052   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190   / cdiv 11812  cn 12153  +crp 12915  (,)cioo 13264  chash 14230  Σcsu 15570  topGenctg 17319  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782  ballcbl 20783  MetOpencmopn 20786   Cn ccn 22575  Compccmp 22737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-ec 8650  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675
This theorem is referenced by:  lebnum  24327
  Copyright terms: Public domain W3C validator