MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnumlem3 25008
Description: Lemma for lebnum 25009. By the previous lemmas, 𝐹 is continuous and positive on a compact set, so it has a positive minimum 𝑟. Then setting 𝑑 = 𝑟 / ♯(𝑈), since for each 𝑢𝑈 we have ball(𝑥, 𝑑) ⊆ 𝑢 iff 𝑑𝑑(𝑥, 𝑋𝑢), if ¬ ball(𝑥, 𝑑) ⊆ 𝑢 for all 𝑢 then summing over 𝑢 yields Σ𝑢𝑈𝑑(𝑥, 𝑋𝑢) = 𝐹(𝑥) < Σ𝑢𝑈𝑑 = 𝑟, in contradiction to the assumption that 𝑟 is the minimum of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lebnum.d (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lebnum.c (𝜑𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (𝜑𝑈𝐽)
lebnum.u (𝜑𝑋 = 𝑈)
lebnumlem1.u (𝜑𝑈 ∈ Fin)
lebnumlem1.n (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
lebnumlem1.f 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
lebnumlem2.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
lebnumlem3 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝐽,𝑑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑑,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹   𝜑,𝑑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑋,𝑑,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑘,𝑑)   𝐽(𝑢)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑢,𝑘,𝑑)

Proof of Theorem lebnumlem3
Dummy variables 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 13035 . . . 4 1 ∈ ℝ+
21ne0ii 4349 . . 3 + ≠ ∅
3 ral0 4518 . . . . 5 𝑥 ∈ ∅ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢
4 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
54raleqdv 3323 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
63, 5mpbiri 258 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
76ralrimivw 3147 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
8 r19.2z 4500 . . 3 ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
92, 7, 8sylancr 587 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
10 lebnum.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
11 lebnum.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
12 lebnum.c . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
13 lebnum.s . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝐽)
14 lebnum.u . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = 𝑈)
15 lebnumlem1.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
16 lebnumlem1.n . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
17 lebnumlem1.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
1810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lebnumlem1 25006 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ+)
1918adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ+)
2019frnd 6744 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ran 𝐹 ⊆ ℝ+)
21 eqid 2734 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
22 lebnumlem2.k . . . . . . 7 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
2410, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 22lebnumlem2 25007 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2524adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
26 metxmet 24359 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2710mopnuni 24466 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
2811, 26, 273syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 = 𝐽)
2928neeq1d 2997 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝐽 ≠ ∅))
3029biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐽 ≠ ∅)
3121, 22, 23, 25, 30evth2 25005 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑤 𝐽𝑥 𝐽(𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥))
3228adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 = 𝐽)
33 raleq 3320 . . . . . . . 8 (𝑋 = 𝐽 → (∀𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑥 𝐽(𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
3433rexeqbi1dv 3336 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐽 → (∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑤 𝐽𝑥 𝐽(𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
3532, 34syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑤 𝐽𝑥 𝐽(𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
3631, 35mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥))
37 ffn 6736 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶ℝ+𝐹 Fn 𝑋)
38 breq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝐹𝑤) → (𝑟 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
3938ralbidv 3175 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝐹𝑤) → (∀𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
4039rexrn 7106 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 → (∃𝑟 ∈ ran 𝐹𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
4119, 37, 403syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑟 ∈ ran 𝐹𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
4236, 41mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑟 ∈ ran 𝐹𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥))
43 ssrexv 4064 . . . 4 (ran 𝐹 ⊆ ℝ+ → (∃𝑟 ∈ ran 𝐹𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥)))
4420, 42, 43sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥))
45 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
4614ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑋 = 𝑈)
47 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑋 ≠ ∅)
4846, 47eqnetrrd 3006 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑈 ≠ ∅)
49 unieq 4922 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 = ∅ → 𝑈 = ∅)
50 uni0 4939 . . . . . . . . . . 11 ∅ = ∅
5149, 50eqtrdi 2790 . . . . . . . . . 10 (𝑈 = ∅ → 𝑈 = ∅)
5251necon3i 2970 . . . . . . . . 9 ( 𝑈 ≠ ∅ → 𝑈 ≠ ∅)
5348, 52syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑈 ≠ ∅)
5415ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑈 ∈ Fin)
55 hashnncl 14401 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ Fin → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
5753, 56mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (♯‘𝑈) ∈ ℕ)
5857nnrpd 13072 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (♯‘𝑈) ∈ ℝ+)
5945, 58rpdivcld 13091 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ+)
60 ralnex 3069 . . . . . . . 8 (∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢 ↔ ¬ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)
6154adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑈 ∈ Fin)
6253adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑈 ≠ ∅)
63 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑥𝑋)
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑥𝑋)
65 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
6665metdsval 24882 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 → ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
6764, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
6811ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
6968ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
70 difssd 4146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋)
71 elssuni 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑈𝑘 𝑈)
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑘 𝑈)
7346ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑋 = 𝑈)
7472, 73sseqtrrd 4036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑘𝑋)
75 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑋 → (𝑘𝑈𝑋𝑈))
7675notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑋 → (¬ 𝑘𝑈 ↔ ¬ 𝑋𝑈))
7716, 76syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑘 = 𝑋 → ¬ 𝑘𝑈))
7877necon2ad 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑘𝑈𝑘𝑋))
7978ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝑘𝑈𝑘𝑋))
8079imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑘𝑋)
81 pssdifn0 4373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝑋𝑘𝑋) → (𝑋𝑘) ≠ ∅)
8274, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ≠ ∅)
8365metdsre 24888 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋𝑘) ≠ ∅) → (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):𝑋⟶ℝ)
8469, 70, 82, 83syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):𝑋⟶ℝ)
8584, 64ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) ∈ ℝ)
8667, 85eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
8759ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ+)
8887rpred 13074 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ)
89 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)
90 sseq2 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = 𝑘 → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
9190notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = 𝑘 → (¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢 ↔ ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
9291rspccva 3620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢𝑘𝑈) → ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑘)
9389, 92sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑘)
9469, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
9587rpxrd 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ*)
9665metdsge 24884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋𝑥𝑋) ∧ (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ*) → ((𝑟 / (♯‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) ↔ ((𝑋𝑘) ∩ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈)))) = ∅))
9794, 70, 64, 95, 96syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑟 / (♯‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) ↔ ((𝑋𝑘) ∩ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈)))) = ∅))
98 blssm 24443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑋)
9994, 64, 95, 98syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑋)
100 difin0ss 4378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋𝑘) ∩ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈)))) = ∅ → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑋 → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
10199, 100syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (((𝑋𝑘) ∩ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈)))) = ∅ → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
10297, 101sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑟 / (♯‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
10393, 102mtod 198 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ¬ (𝑟 / (♯‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥))
10485, 88ltnled 11405 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) < (𝑟 / (♯‘𝑈)) ↔ ¬ (𝑟 / (♯‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥)))
105103, 104mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) < (𝑟 / (♯‘𝑈)))
10667, 105eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ) < (𝑟 / (♯‘𝑈)))
10761, 62, 86, 88, 106fsumlt 15832 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ) < Σ𝑘𝑈 (𝑟 / (♯‘𝑈)))
108 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐷𝑧) = (𝑥𝐷𝑧))
109108mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)))
110109rneqd 5951 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)) = ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)))
111110infeq1d 9514 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
112111sumeq2sdv 15735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) = Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
113 sumex 15720 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ V
114112, 17, 113fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑋 → (𝐹𝑥) = Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11563, 114syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝐹𝑥) = Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11659adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ+)
117116rpcnd 13076 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℂ)
118 fsumconst 15822 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℂ) → Σ𝑘𝑈 (𝑟 / (♯‘𝑈)) = ((♯‘𝑈) · (𝑟 / (♯‘𝑈))))
11961, 117, 118syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → Σ𝑘𝑈 (𝑟 / (♯‘𝑈)) = ((♯‘𝑈) · (𝑟 / (♯‘𝑈))))
120 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
121120rpcnd 13076 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑟 ∈ ℂ)
12257adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (♯‘𝑈) ∈ ℕ)
123122nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (♯‘𝑈) ∈ ℂ)
124122nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (♯‘𝑈) ≠ 0)
125121, 123, 124divcan2d 12042 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → ((♯‘𝑈) · (𝑟 / (♯‘𝑈))) = 𝑟)
126119, 125eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑟 = Σ𝑘𝑈 (𝑟 / (♯‘𝑈)))
127107, 115, 1263brtr4d 5179 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝐹𝑥) < 𝑟)
12819ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ+)
129128, 63ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ+)
130129rpred 13074 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
131120rpred 13074 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑟 ∈ ℝ)
132130, 131ltnled 11405 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → ((𝐹𝑥) < 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 ≤ (𝐹𝑥)))
133127, 132mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → ¬ 𝑟 ≤ (𝐹𝑥))
134133expr 456 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢 → ¬ 𝑟 ≤ (𝐹𝑥)))
13560, 134biimtrrid 243 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (¬ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢 → ¬ 𝑟 ≤ (𝐹𝑥)))
136135con4d 115 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
137136ralimdva 3164 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
138 oveq2 7438 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝑟 / (♯‘𝑈)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))))
139138sseq1d 4026 . . . . . . . 8 (𝑑 = (𝑟 / (♯‘𝑈)) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
140139rexbidv 3176 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝑟 / (♯‘𝑈)) → (∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
141140ralbidv 3175 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑟 / (♯‘𝑈)) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
142141rspcev 3621 . . . . 5 (((𝑟 / (♯‘𝑈)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (♯‘𝑈))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
14359, 137, 142syl6an 684 . . . 4 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
144143rexlimdva 3152 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
14544, 144mpd 15 . 2 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
1469, 145pm2.61dane 3026 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  cdif 3959  cin 3961  wss 3962  c0 4338   cuni 4911   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ran crn 5689   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  infcinf 9478  cc 11150  cr 11151  1c1 11153   · cmul 11157  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293   / cdiv 11917  cn 12263  +crp 13031  (,)cioo 13383  chash 14365  Σcsu 15718  topGenctg 17483  ∞Metcxmet 21366  Metcmet 21367  ballcbl 21368  MetOpencmopn 21371   Cn ccn 23247  Compccmp 23409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-ec 8745  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347
This theorem is referenced by:  lebnum  25009
  Copyright terms: Public domain W3C validator