MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnumlem3 24342
Description: Lemma for lebnum 24343. By the previous lemmas, 𝐹 is continuous and positive on a compact set, so it has a positive minimum π‘Ÿ. Then setting 𝑑 = π‘Ÿ / β™―(π‘ˆ), since for each 𝑒 ∈ π‘ˆ we have ball(π‘₯, 𝑑) βŠ† 𝑒 iff 𝑑 ≀ 𝑑(π‘₯, 𝑋 βˆ– 𝑒), if Β¬ ball(π‘₯, 𝑑) βŠ† 𝑒 for all 𝑒 then summing over 𝑒 yields Σ𝑒 ∈ π‘ˆπ‘‘(π‘₯, 𝑋 βˆ– 𝑒) = 𝐹(π‘₯) < Σ𝑒 ∈ π‘ˆπ‘‘ = π‘Ÿ, in contradiction to the assumption that π‘Ÿ is the minimum of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
lebnum.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
lebnum.c (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
lebnum.u (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
lebnumlem1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
lebnumlem1.n (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
lebnumlem1.f 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
lebnumlem2.k 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
Assertion
Ref Expression
lebnumlem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑑,𝑒,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐷   𝐽,𝑑,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑑,π‘˜,𝑒,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐹   πœ‘,𝑑,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑋,𝑑,π‘˜,𝑒,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐾
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑒)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑒,π‘˜,𝑑)   𝐽(𝑒)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑒,π‘˜,𝑑)

Proof of Theorem lebnumlem3
Dummy variables π‘Ÿ 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 12924 . . . 4 1 ∈ ℝ+
21ne0ii 4298 . . 3 ℝ+ β‰  βˆ…
3 ral0 4471 . . . . 5 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒
4 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 = βˆ…)
54raleqdv 3312 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒))
63, 5mpbiri 258 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
76ralrimivw 3144 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
8 r19.2z 4453 . . 3 ((ℝ+ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
92, 7, 8sylancr 588 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
10 lebnum.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
11 lebnum.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
12 lebnum.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
13 lebnum.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
14 lebnum.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
15 lebnumlem1.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
16 lebnumlem1.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
17 lebnumlem1.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
1810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lebnumlem1 24340 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„+)
1918adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„+)
2019frnd 6677 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ+)
21 eqid 2733 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
22 lebnumlem2.k . . . . . . 7 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
2312adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
2410, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 22lebnumlem2 24341 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2524adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
26 metxmet 23703 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2710mopnuni 23810 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
2811, 26, 273syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
2928neeq1d 3000 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 β‰  βˆ… ↔ βˆͺ 𝐽 β‰  βˆ…))
3029biimpa 478 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ 𝐽 β‰  βˆ…)
3121, 22, 23, 25, 30evth2 24339 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽(πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
3228adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
33 raleq 3308 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽(πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3433rexeqbi1dv 3307 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑋 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽(πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3532, 34syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑋 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽(πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3631, 35mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑋 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
37 ffn 6669 . . . . . 6 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„+ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
38 breq1 5109 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = (πΉβ€˜π‘€) β†’ (π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3938ralbidv 3171 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = (πΉβ€˜π‘€) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
4039rexrn 7038 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ran πΉβˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑋 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
4119, 37, 403syl 18 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ran πΉβˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑋 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
4236, 41mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ran πΉβˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
43 ssrexv 4012 . . . 4 (ran 𝐹 βŠ† ℝ+ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ran πΉβˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
4420, 42, 43sylc 65 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
45 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
4614ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
47 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
4846, 47eqnetrrd 3009 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆͺ π‘ˆ β‰  βˆ…)
49 unieq 4877 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ = βˆ… β†’ βˆͺ π‘ˆ = βˆͺ βˆ…)
50 uni0 4897 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ βˆ… = βˆ…
5149, 50eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ = βˆ… β†’ βˆͺ π‘ˆ = βˆ…)
5251necon3i 2973 . . . . . . . . 9 (βˆͺ π‘ˆ β‰  βˆ… β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
5348, 52syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
5415ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
55 hashnncl 14272 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„• ↔ π‘ˆ β‰  βˆ…))
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„• ↔ π‘ˆ β‰  βˆ…))
5753, 56mpbird 257 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•)
5857nnrpd 12960 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ ℝ+)
5945, 58rpdivcld 12979 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ+)
60 ralnex 3072 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒 ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)
6154adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
6253adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
63 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
6463adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
65 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
6665metdsval 24226 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘₯) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
6764, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘₯) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
6811ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
70 difssd 4093 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 βˆ– π‘˜) βŠ† 𝑋)
71 elssuni 4899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ π‘˜ βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
7271adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
7346ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
7472, 73sseqtrrd 3986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
75 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ = 𝑋 β†’ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
7675notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝑋 β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ ↔ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
7716, 76syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (π‘˜ = 𝑋 β†’ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
7877necon2ad 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ π‘˜ β‰  𝑋))
7978ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ (π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ π‘˜ β‰  𝑋))
8079imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ β‰  𝑋)
81 pssdifn0 4326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ βŠ† 𝑋 ∧ π‘˜ β‰  𝑋) β†’ (𝑋 βˆ– π‘˜) β‰  βˆ…)
8274, 80, 81syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 βˆ– π‘˜) β‰  βˆ…)
8365metdsre 24232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– π‘˜) βŠ† 𝑋 ∧ (𝑋 βˆ– π‘˜) β‰  βˆ…) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆβ„)
8469, 70, 82, 83syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆβ„)
8584, 64ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8667, 85eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
8759ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ+)
8887rpred 12962 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ)
89 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)
90 sseq2 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = π‘˜ β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒 ↔ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† π‘˜))
9190notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = π‘˜ β†’ (Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒 ↔ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† π‘˜))
9291rspccva 3579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒 ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† π‘˜)
9389, 92sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† π‘˜)
9469, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
9587rpxrd 12963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ*)
9665metdsge 24228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– π‘˜) βŠ† 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ≀ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘₯) ↔ ((𝑋 βˆ– π‘˜) ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)))) = βˆ…))
9794, 70, 64, 95, 96syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ≀ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘₯) ↔ ((𝑋 βˆ– π‘˜) ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)))) = βˆ…))
98 blssm 23787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑋)
9994, 64, 95, 98syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑋)
100 difin0ss 4329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 βˆ– π‘˜) ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)))) = βˆ… β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑋 β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† π‘˜))
10199, 100syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (((𝑋 βˆ– π‘˜) ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)))) = βˆ… β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† π‘˜))
10297, 101sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ≀ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘₯) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† π‘˜))
10393, 102mtod 197 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ Β¬ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ≀ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘₯))
10485, 88ltnled 11307 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘₯) < (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ↔ Β¬ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ≀ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘₯)))
105103, 104mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘₯) < (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)))
10667, 105eqbrtrrd 5130 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)), ℝ*, < ) < (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)))
10761, 62, 86, 88, 106fsumlt 15690 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)), ℝ*, < ) < Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)))
108 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦𝐷𝑧) = (π‘₯𝐷𝑧))
109108mpteq2dv 5208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)))
110109rneqd 5894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = π‘₯ β†’ ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)) = ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)))
111110infeq1d 9418 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘₯ β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
112111sumeq2sdv 15594 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘₯ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) = Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
113 sumex 15578 . . . . . . . . . . . . 13 Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ V
114112, 17, 113fvmpt 6949 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11563, 114syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (π‘₯𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11659adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ+)
117116rpcnd 12964 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ β„‚)
118 fsumconst 15680 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ Fin ∧ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) = ((β™―β€˜π‘ˆ) Β· (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))))
11961, 117, 118syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) = ((β™―β€˜π‘ˆ) Β· (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))))
120 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
121120rpcnd 12964 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
12257adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•)
123122nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„‚)
124122nnne0d 12208 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) β‰  0)
125121, 123, 124divcan2d 11938 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) Β· (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) = π‘Ÿ)
126119, 125eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘Ÿ = Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)))
127107, 115, 1263brtr4d 5138 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ÿ)
12819ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„+)
129128, 63ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
130129rpred 12962 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
131120rpred 12962 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
132130, 131ltnled 11307 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ÿ ↔ Β¬ π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
133127, 132mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒)) β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
134133expr 458 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒 β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
13560, 134biimtrrid 242 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒 β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
136135con4d 115 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒))
137136ralimdva 3161 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒))
138 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) = (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))))
139138sseq1d 3976 . . . . . . . 8 (𝑑 = (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒))
140139rexbidv 3172 . . . . . . 7 (𝑑 = (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒))
141140ralbidv 3171 . . . . . 6 (𝑑 = (π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒))
142141rspcev 3580 . . . . 5 (((π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / (β™―β€˜π‘ˆ))) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
14359, 137, 142syl6an 683 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒))
144143rexlimdva 3149 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒))
14544, 144mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
1469, 145pm2.61dane 3029 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3908   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  infcinf 9382  β„‚cc 11054  β„cr 11055  1c1 11057   Β· cmul 11061  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   / cdiv 11817  β„•cn 12158  β„+crp 12920  (,)cioo 13270  β™―chash 14236  Ξ£csu 15576  topGenctg 17324  βˆžMetcxmet 20797  Metcmet 20798  ballcbl 20799  MetOpencmopn 20802   Cn ccn 22591  Compccmp 22753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-ec 8653  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691
This theorem is referenced by:  lebnum  24343
  Copyright terms: Public domain W3C validator