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Theorem isf32lem6 10355
Description: Lemma for isfin3-2 10364. Each K value is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (πœ‘ β†’ 𝐹:Ο‰βŸΆπ’« 𝐺)
isf32lem.b (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯))
isf32lem.c (πœ‘ β†’ Β¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d 𝑆 = {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ (πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦)}
isf32lem.e 𝐽 = (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) β‰ˆ 𝑒))
isf32lem.f 𝐾 = ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)
Assertion
Ref Expression
isf32lem6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ (πΎβ€˜π΄) β‰  βˆ…)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   𝑣,𝑒,𝑀,π‘₯,𝑦,πœ‘   𝑀,𝐴,π‘₯,𝑦   𝑀,𝐹,π‘₯,𝑦   𝑒,𝑆,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑀,𝐽,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣,𝑒)   𝐹(𝑣,𝑒)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑀,𝑣,𝑒)   𝐽(𝑣,𝑒)   𝐾(𝑀,𝑣,𝑒)

Proof of Theorem isf32lem6
StepHypRef Expression
1 isf32lem.f . . . 4 𝐾 = ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)
21fveq1i 6891 . . 3 (πΎβ€˜π΄) = (((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)β€˜π΄)
3 isf32lem.d . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ (πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦)}
43ssrab3 4079 . . . . . . 7 𝑆 βŠ† Ο‰
5 isf32lem.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:Ο‰βŸΆπ’« 𝐺)
6 isf32lem.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯))
7 isf32lem.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
85, 6, 7, 3isf32lem5 10354 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑆 ∈ Fin)
9 isf32lem.e . . . . . . . 8 𝐽 = (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) β‰ˆ 𝑒))
109fin23lem22 10324 . . . . . . 7 ((𝑆 βŠ† Ο‰ ∧ Β¬ 𝑆 ∈ Fin) β†’ 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
114, 8, 10sylancr 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
12 f1of 6832 . . . . . 6 (𝐽:ω–1-1-onto→𝑆 β†’ 𝐽:Ο‰βŸΆπ‘†)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽:Ο‰βŸΆπ‘†)
14 fvco3 6989 . . . . 5 ((𝐽:Ο‰βŸΆπ‘† ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)β€˜π΄) = ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)))β€˜(π½β€˜π΄)))
1513, 14sylan 578 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)β€˜π΄) = ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)))β€˜(π½β€˜π΄)))
168adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ Β¬ 𝑆 ∈ Fin)
174, 16, 10sylancr 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
1817, 12syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ 𝐽:Ο‰βŸΆπ‘†)
19 ffvelcdm 7082 . . . . . 6 ((𝐽:Ο‰βŸΆπ‘† ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ (π½β€˜π΄) ∈ 𝑆)
2018, 19sylancom 586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ (π½β€˜π΄) ∈ 𝑆)
21 fveq2 6890 . . . . . . 7 (𝑀 = (π½β€˜π΄) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜(π½β€˜π΄)))
22 suceq 6429 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π½β€˜π΄) β†’ suc 𝑀 = suc (π½β€˜π΄))
2322fveq2d 6894 . . . . . . 7 (𝑀 = (π½β€˜π΄) β†’ (πΉβ€˜suc 𝑀) = (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)))
2421, 23difeq12d 4122 . . . . . 6 (𝑀 = (π½β€˜π΄) β†’ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)) = ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))))
25 eqid 2730 . . . . . 6 (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) = (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)))
26 fvex 6903 . . . . . . 7 (πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) ∈ V
2726difexi 5327 . . . . . 6 ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))) ∈ V
2824, 25, 27fvmpt 6997 . . . . 5 ((π½β€˜π΄) ∈ 𝑆 β†’ ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)))β€˜(π½β€˜π΄)) = ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))))
2920, 28syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)))β€˜(π½β€˜π΄)) = ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))))
3015, 29eqtrd 2770 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)β€˜π΄) = ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))))
312, 30eqtrid 2782 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ (πΎβ€˜π΄) = ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))))
32 suceq 6429 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (π½β€˜π΄) β†’ suc 𝑦 = suc (π½β€˜π΄))
3332fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (𝑦 = (π½β€˜π΄) β†’ (πΉβ€˜suc 𝑦) = (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)))
34 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (𝑦 = (π½β€˜π΄) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(π½β€˜π΄)))
3533, 34psseq12d 4093 . . . . . . 7 (𝑦 = (π½β€˜π΄) β†’ ((πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) ⊊ (πΉβ€˜(π½β€˜π΄))))
3635, 3elrab2 3685 . . . . . 6 ((π½β€˜π΄) ∈ 𝑆 ↔ ((π½β€˜π΄) ∈ Ο‰ ∧ (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) ⊊ (πΉβ€˜(π½β€˜π΄))))
3736simprbi 495 . . . . 5 ((π½β€˜π΄) ∈ 𝑆 β†’ (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) ⊊ (πΉβ€˜(π½β€˜π΄)))
3820, 37syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) ⊊ (πΉβ€˜(π½β€˜π΄)))
39 df-pss 3966 . . . 4 ((πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) ⊊ (πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) ↔ ((πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) βŠ† (πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) ∧ (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) β‰  (πΉβ€˜(π½β€˜π΄))))
4038, 39sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ ((πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) βŠ† (πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) ∧ (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) β‰  (πΉβ€˜(π½β€˜π΄))))
41 pssdifn0 4364 . . 3 (((πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) βŠ† (πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) ∧ (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) β‰  (πΉβ€˜(π½β€˜π΄))) β†’ ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))) β‰  βˆ…)
4240, 41syl 17 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))) β‰  βˆ…)
4331, 42eqnetrd 3006 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ (πΎβ€˜π΄) β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  {crab 3430   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   ⊊ wpss 3948  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  βˆ© cint 4949   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676   ∘ ccom 5679  suc csuc 6365  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  β„©crio 7366  Ο‰com 7857   β‰ˆ cen 8938  Fincfn 8941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936
This theorem is referenced by:  isf32lem9  10358
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