Theorem isf32lem6 10271

Description: Lemma for isfin3-2 10280. Each K value is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
isf32lem.c	⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
isf32lem.e	⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f	⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
isf32lem6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐾‘𝐴) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐽,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐹(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isf32lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isf32lem.f	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
2	1	fveq1i 6828	. . 3 ⊢ (𝐾‘𝐴) = (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴)
3		isf32lem.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
4	3	ssrab3 4013	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ ω
5		isf32lem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
6		isf32lem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
7		isf32lem.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
8	5, 6, 7, 3	isf32lem5 10270	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
9		isf32lem.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
10	9	fin23lem22 10240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
11	4, 8, 10	sylancr 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
12		f1of 6767	. . . . . 6 ⊢ (𝐽:ω–1-1-onto→𝑆 → 𝐽:ω⟶𝑆)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω⟶𝑆)
14		fvco3 6927	. . . . 5 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
15	13, 14	sylan 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
16	8	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
17	4, 16, 10	sylancr 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
18	17, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐽:ω⟶𝑆)
19		ffvelcdm 7022	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆)
20	18, 19	sylancom 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆)
21		fveq2 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝐽‘𝐴)))
22		suceq 6378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → suc 𝑤 = suc (𝐽‘𝐴))
23	22	fveq2d 6831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)))
24	21, 23	difeq12d 4058	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
25		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))
26		fvex 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∈ V
27	26	difexi 5258	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∈ V
28	24, 25, 27	fvmpt 6935	. . . . 5 ⊢ ((𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆 → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
29	20, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
30	15, 29	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
31	2, 30	eqtrid 2786	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐾‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
32		suceq 6378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐽‘𝐴) → suc 𝑦 = suc (𝐽‘𝐴))
33	32	fveq2d 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘suc 𝑦) = (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)))
34		fveq2 6827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝐽‘𝐴)))
35	33, 34	psseq12d 4028	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐽‘𝐴) → ((𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽‘𝐴))))
36	35, 3	elrab2 3632	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐽‘𝐴) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽‘𝐴))))
37	36	simprbi 498	. . . . 5 ⊢ ((𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆 → (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)))
38	20, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)))
39		df-pss 3903	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ↔ ((𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊆ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∧ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ≠ (𝐹‘(𝐽‘𝐴))))
40	38, 39	sylib 219	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊆ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∧ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ≠ (𝐹‘(𝐽‘𝐴))))
41		pssdifn0 4296	. . 3 ⊢ (((𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊆ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∧ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ≠ (𝐹‘(𝐽‘𝐴))) → ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ≠ ∅)
42	40, 41	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ≠ ∅)
43	31, 42	eqnetrd 3001	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐾‘𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  {crab 3391   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884  ∅c0 4261  𝒫 cpw 4529  ∩ cint 4877   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ran crn 5619   ∘ ccom 5622  suc csuc 6312  ⟶wf 6481  –1-1-onto→wf1o 6484  ‘cfv 6485  ℩crio 7312  ωcom 7806   ≈ cen 8880  Fincfn 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854

This theorem is referenced by:  isf32lem9  10274