Theorem isf32lem6 10274

Description: Lemma for isfin3-2 10283. Each K value is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
isf32lem.c	⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
isf32lem.e	⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f	⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
isf32lem6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐾‘𝐴) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐽,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐹(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isf32lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isf32lem.f	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
2	1	fveq1i 6836	. . 3 ⊢ (𝐾‘𝐴) = (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴)
3		isf32lem.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
4	3	ssrab3 4023	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ ω
5		isf32lem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
6		isf32lem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
7		isf32lem.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
8	5, 6, 7, 3	isf32lem5 10273	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
9		isf32lem.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
10	9	fin23lem22 10243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
11	4, 8, 10	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
12		f1of 6775	. . . . . 6 ⊢ (𝐽:ω–1-1-onto→𝑆 → 𝐽:ω⟶𝑆)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω⟶𝑆)
14		fvco3 6934	. . . . 5 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
15	13, 14	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
16	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
17	4, 16, 10	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
18	17, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐽:ω⟶𝑆)
19		ffvelcdm 7028	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆)
20	18, 19	sylancom 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆)
21		fveq2 6835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝐽‘𝐴)))
22		suceq 6386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → suc 𝑤 = suc (𝐽‘𝐴))
23	22	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)))
24	21, 23	difeq12d 4068	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
25		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))
26		fvex 6848	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∈ V
27	26	difexi 5268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∈ V
28	24, 25, 27	fvmpt 6942	. . . . 5 ⊢ ((𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆 → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
29	20, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
30	15, 29	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
31	2, 30	eqtrid 2784	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐾‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
32		suceq 6386	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐽‘𝐴) → suc 𝑦 = suc (𝐽‘𝐴))
33	32	fveq2d 6839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘suc 𝑦) = (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)))
34		fveq2 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝐽‘𝐴)))
35	33, 34	psseq12d 4038	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐽‘𝐴) → ((𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽‘𝐴))))
36	35, 3	elrab2 3638	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐽‘𝐴) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽‘𝐴))))
37	36	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ ((𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆 → (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)))
38	20, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)))
39		df-pss 3910	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ↔ ((𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊆ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∧ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ≠ (𝐹‘(𝐽‘𝐴))))
40	38, 39	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊆ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∧ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ≠ (𝐹‘(𝐽‘𝐴))))
41		pssdifn0 4309	. . 3 ⊢ (((𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊆ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∧ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ≠ (𝐹‘(𝐽‘𝐴))) → ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ≠ ∅)
42	40, 41	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ≠ ∅)
43	31, 42	eqnetrd 3000	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐾‘𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3390   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   ⊊ wpss 3891  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  ∩ cint 4890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ran crn 5626   ∘ ccom 5629  suc csuc 6320  ⟶wf 6489  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  ℩crio 7317  ωcom 7811   ≈ cen 8884  Fincfn 8887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9857

This theorem is referenced by:  isf32lem9  10277