Theorem isf32lem6 10446

Description: Lemma for isfin3-2 10455. Each K value is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
isf32lem.c	⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
isf32lem.e	⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f	⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
isf32lem6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐾‘𝐴) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐽,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣, 𝑢)   𝐹(𝑣, 𝑢)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑣, 𝑢)   𝐽(𝑣, 𝑢)   𝐾(𝑤, 𝑣, 𝑢)

Proof of Theorem isf32lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isf32lem.f	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
2	1	fveq1i 6894	. . 3 ⊢ (𝐾‘𝐴) = (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴)
3		isf32lem.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
4	3	ssrab3 4009	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ ω
5		isf32lem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
6		isf32lem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
7		isf32lem.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
8	5, 6, 7, 3	isf32lem5 10445	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
9		isf32lem.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
10	9	fin23lem22 10415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
11	4, 8, 10	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
12		f1of 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝐽:ω–1-1-onto→𝑆 → 𝐽:ω⟶𝑆)
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω⟶𝑆)
14		fvco3 6993	. . . . 5 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
15	13, 14	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
16	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
17	4, 16, 10	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
18	17, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐽:ω⟶𝑆)
19		ffvelcdm 7089	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆)
20	18, 19	sylancom 600	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆)
21		fveq2 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝐽‘𝐴)))
22		suceq 6437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → suc 𝑤 = suc (𝐽‘𝐴))
23	22	fveq2d 6897	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)))
24	21, 23	difeq12d 4066	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
25		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))
26		fvex 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∈ V
27	26	difexi 5295	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∈ V
28	24, 25, 27	fvmpt 7001	. . . . 5 ⊢ ((𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆 → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
29	20, 28	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
30	15, 29	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
31	2, 30	eqtrid 2810	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐾‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
32		suceq 6437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐽‘𝐴) → suc 𝑦 = suc (𝐽‘𝐴))
33	32	fveq2d 6897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘suc 𝑦) = (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)))
34		fveq2 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝐽‘𝐴)))
35	33, 34	psseq12d 4026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐽‘𝐴) → ((𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽‘𝐴))))
36	35, 3	elrab2 3651	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐽‘𝐴) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽‘𝐴))))
37	36	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ ((𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆 → (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)))
38	20, 37	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)))
39		df-pss 4016	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ↔ ((𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊆ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∧ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ≠ (𝐹‘(𝐽‘𝐴))))
40	38, 39	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊆ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∧ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ≠ (𝐹‘(𝐽‘𝐴))))
41		pssdifn0 4318	. . 3 ⊢ (((𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊆ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∧ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ≠ (𝐹‘(𝐽‘𝐴))) → ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ≠ ∅)
42	40, 41	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ≠ ∅)
43	31, 42	eqnetrd 3025	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐾‘𝐴) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  {crab 3415   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 4015   ∖ cdif 4047   ∩ cin 4091  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4559  ∩ cint 4909   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ran crn 5655   ∘ ccom 5658  suc csuc 6370  ⟶wf 6542  –1-1-onto→wf1o 6545  ‘cfv 6546  ℩crio 7383  ωcom 7884   ≈ cen 8981  Fincfn 8984

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-1o 8487  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 10030

This theorem is used by:  isf32lem9  10449