MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem6 10394
Description: Lemma for isfin3-2 10403. Each K value is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
isf32lem.c (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
isf32lem.e 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
Assertion
Ref Expression
isf32lem6 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐾𝐴) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐽,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐹(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isf32lem6
StepHypRef Expression
1 isf32lem.f . . . 4 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
21fveq1i 6905 . . 3 (𝐾𝐴) = (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴)
3 isf32lem.d . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
43ssrab3 4081 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ ω
5 isf32lem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
6 isf32lem.b . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
7 isf32lem.c . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
85, 6, 7, 3isf32lem5 10393 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
9 isf32lem.e . . . . . . . 8 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
109fin23lem22 10363 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐽:ω–1-1-onto𝑆)
114, 8, 10sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑𝐽:ω–1-1-onto𝑆)
12 f1of 6846 . . . . . 6 (𝐽:ω–1-1-onto𝑆𝐽:ω⟶𝑆)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽:ω⟶𝑆)
14 fvco3 7006 . . . . 5 ((𝐽:ω⟶𝑆𝐴 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)))
1513, 14sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)))
168adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
174, 16, 10sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → 𝐽:ω–1-1-onto𝑆)
1817, 12syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → 𝐽:ω⟶𝑆)
19 ffvelcdm 7099 . . . . . 6 ((𝐽:ω⟶𝑆𝐴 ∈ ω) → (𝐽𝐴) ∈ 𝑆)
2018, 19sylancom 588 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐽𝐴) ∈ 𝑆)
21 fveq2 6904 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐽𝐴) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝐽𝐴)))
22 suceq 6448 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐽𝐴) → suc 𝑤 = suc (𝐽𝐴))
2322fveq2d 6908 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐽𝐴) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽𝐴)))
2421, 23difeq12d 4126 . . . . . 6 (𝑤 = (𝐽𝐴) → ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
25 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) = (𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))
26 fvex 6917 . . . . . . 7 (𝐹‘(𝐽𝐴)) ∈ V
2726difexi 5328 . . . . . 6 ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ∈ V
2824, 25, 27fvmpt 7014 . . . . 5 ((𝐽𝐴) ∈ 𝑆 → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
2920, 28syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
3015, 29eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
312, 30eqtrid 2788 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐾𝐴) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
32 suceq 6448 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐽𝐴) → suc 𝑦 = suc (𝐽𝐴))
3332fveq2d 6908 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐽𝐴) → (𝐹‘suc 𝑦) = (𝐹‘suc (𝐽𝐴)))
34 fveq2 6904 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐽𝐴) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐽𝐴)))
3533, 34psseq12d 4096 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐽𝐴) → ((𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽𝐴))))
3635, 3elrab2 3694 . . . . . 6 ((𝐽𝐴) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐽𝐴) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽𝐴))))
3736simprbi 496 . . . . 5 ((𝐽𝐴) ∈ 𝑆 → (𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽𝐴)))
3820, 37syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽𝐴)))
39 df-pss 3970 . . . 4 ((𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽𝐴)) ↔ ((𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ⊆ (𝐹‘(𝐽𝐴)) ∧ (𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ≠ (𝐹‘(𝐽𝐴))))
4038, 39sylib 218 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → ((𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ⊆ (𝐹‘(𝐽𝐴)) ∧ (𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ≠ (𝐹‘(𝐽𝐴))))
41 pssdifn0 4367 . . 3 (((𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ⊆ (𝐹‘(𝐽𝐴)) ∧ (𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ≠ (𝐹‘(𝐽𝐴))) → ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ≠ ∅)
4240, 41syl 17 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ≠ ∅)
4331, 42eqnetrd 3007 1 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐾𝐴) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2939  wral 3060  {crab 3435  cdif 3947  cin 3949  wss 3950  wpss 3951  c0 4332  𝒫 cpw 4598   cint 4944   class class class wbr 5141  cmpt 5223  ran crn 5684  ccom 5687  suc csuc 6384  wf 6555  1-1-ontowf1o 6558  cfv 6559  crio 7385  ωcom 7883  cen 8978  Fincfn 8981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-isom 6568  df-riota 7386  df-ov 7432  df-om 7884  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-1o 8502  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-card 9975
This theorem is referenced by:  isf32lem9  10397
  Copyright terms: Public domain W3C validator