MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem6 10353
Description: Lemma for isfin3-2 10362. Each K value is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (πœ‘ β†’ 𝐹:Ο‰βŸΆπ’« 𝐺)
isf32lem.b (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯))
isf32lem.c (πœ‘ β†’ Β¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d 𝑆 = {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ (πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦)}
isf32lem.e 𝐽 = (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) β‰ˆ 𝑒))
isf32lem.f 𝐾 = ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)
Assertion
Ref Expression
isf32lem6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ (πΎβ€˜π΄) β‰  βˆ…)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   𝑣,𝑒,𝑀,π‘₯,𝑦,πœ‘   𝑀,𝐴,π‘₯,𝑦   𝑀,𝐹,π‘₯,𝑦   𝑒,𝑆,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑀,𝐽,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣,𝑒)   𝐹(𝑣,𝑒)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑀,𝑣,𝑒)   𝐽(𝑣,𝑒)   𝐾(𝑀,𝑣,𝑒)

Proof of Theorem isf32lem6
StepHypRef Expression
1 isf32lem.f . . . 4 𝐾 = ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)
21fveq1i 6893 . . 3 (πΎβ€˜π΄) = (((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)β€˜π΄)
3 isf32lem.d . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ (πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦)}
43ssrab3 4081 . . . . . . 7 𝑆 βŠ† Ο‰
5 isf32lem.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:Ο‰βŸΆπ’« 𝐺)
6 isf32lem.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯))
7 isf32lem.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
85, 6, 7, 3isf32lem5 10352 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑆 ∈ Fin)
9 isf32lem.e . . . . . . . 8 𝐽 = (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) β‰ˆ 𝑒))
109fin23lem22 10322 . . . . . . 7 ((𝑆 βŠ† Ο‰ ∧ Β¬ 𝑆 ∈ Fin) β†’ 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
114, 8, 10sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
12 f1of 6834 . . . . . 6 (𝐽:ω–1-1-onto→𝑆 β†’ 𝐽:Ο‰βŸΆπ‘†)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽:Ο‰βŸΆπ‘†)
14 fvco3 6991 . . . . 5 ((𝐽:Ο‰βŸΆπ‘† ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)β€˜π΄) = ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)))β€˜(π½β€˜π΄)))
1513, 14sylan 581 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)β€˜π΄) = ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)))β€˜(π½β€˜π΄)))
168adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ Β¬ 𝑆 ∈ Fin)
174, 16, 10sylancr 588 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
1817, 12syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ 𝐽:Ο‰βŸΆπ‘†)
19 ffvelcdm 7084 . . . . . 6 ((𝐽:Ο‰βŸΆπ‘† ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ (π½β€˜π΄) ∈ 𝑆)
2018, 19sylancom 589 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ (π½β€˜π΄) ∈ 𝑆)
21 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑀 = (π½β€˜π΄) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜(π½β€˜π΄)))
22 suceq 6431 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π½β€˜π΄) β†’ suc 𝑀 = suc (π½β€˜π΄))
2322fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝑀 = (π½β€˜π΄) β†’ (πΉβ€˜suc 𝑀) = (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)))
2421, 23difeq12d 4124 . . . . . 6 (𝑀 = (π½β€˜π΄) β†’ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)) = ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))))
25 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) = (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)))
26 fvex 6905 . . . . . . 7 (πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) ∈ V
2726difexi 5329 . . . . . 6 ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))) ∈ V
2824, 25, 27fvmpt 6999 . . . . 5 ((π½β€˜π΄) ∈ 𝑆 β†’ ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)))β€˜(π½β€˜π΄)) = ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))))
2920, 28syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀)))β€˜(π½β€˜π΄)) = ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))))
3015, 29eqtrd 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)β€˜π΄) = ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))))
312, 30eqtrid 2785 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ (πΎβ€˜π΄) = ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))))
32 suceq 6431 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (π½β€˜π΄) β†’ suc 𝑦 = suc (π½β€˜π΄))
3332fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (𝑦 = (π½β€˜π΄) β†’ (πΉβ€˜suc 𝑦) = (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)))
34 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑦 = (π½β€˜π΄) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(π½β€˜π΄)))
3533, 34psseq12d 4095 . . . . . . 7 (𝑦 = (π½β€˜π΄) β†’ ((πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) ⊊ (πΉβ€˜(π½β€˜π΄))))
3635, 3elrab2 3687 . . . . . 6 ((π½β€˜π΄) ∈ 𝑆 ↔ ((π½β€˜π΄) ∈ Ο‰ ∧ (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) ⊊ (πΉβ€˜(π½β€˜π΄))))
3736simprbi 498 . . . . 5 ((π½β€˜π΄) ∈ 𝑆 β†’ (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) ⊊ (πΉβ€˜(π½β€˜π΄)))
3820, 37syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) ⊊ (πΉβ€˜(π½β€˜π΄)))
39 df-pss 3968 . . . 4 ((πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) ⊊ (πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) ↔ ((πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) βŠ† (πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) ∧ (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) β‰  (πΉβ€˜(π½β€˜π΄))))
4038, 39sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ ((πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) βŠ† (πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) ∧ (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) β‰  (πΉβ€˜(π½β€˜π΄))))
41 pssdifn0 4366 . . 3 (((πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) βŠ† (πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) ∧ (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄)) β‰  (πΉβ€˜(π½β€˜π΄))) β†’ ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))) β‰  βˆ…)
4240, 41syl 17 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ ((πΉβ€˜(π½β€˜π΄)) βˆ– (πΉβ€˜suc (π½β€˜π΄))) β‰  βˆ…)
4331, 42eqnetrd 3009 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ Ο‰) β†’ (πΎβ€˜π΄) β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   ⊊ wpss 3950  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  βˆ© cint 4951   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   ∘ ccom 5681  suc csuc 6367  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  β„©crio 7364  Ο‰com 7855   β‰ˆ cen 8936  Fincfn 8939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934
This theorem is referenced by:  isf32lem9  10356
  Copyright terms: Public domain W3C validator