Theorem isf32lem6 10268

Description: Lemma for isfin3-2 10277. Each K value is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
isf32lem.c	⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
isf32lem.e	⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f	⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
isf32lem6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐾‘𝐴) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐽,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐹(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isf32lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isf32lem.f	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
2	1	fveq1i 6835	. . 3 ⊢ (𝐾‘𝐴) = (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴)
3		isf32lem.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
4	3	ssrab3 4034	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ ω
5		isf32lem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
6		isf32lem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
7		isf32lem.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
8	5, 6, 7, 3	isf32lem5 10267	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
9		isf32lem.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
10	9	fin23lem22 10237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
11	4, 8, 10	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
12		f1of 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝐽:ω–1-1-onto→𝑆 → 𝐽:ω⟶𝑆)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω⟶𝑆)
14		fvco3 6933	. . . . 5 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
15	13, 14	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
16	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
17	4, 16, 10	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
18	17, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐽:ω⟶𝑆)
19		ffvelcdm 7026	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆)
20	18, 19	sylancom 588	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆)
21		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝐽‘𝐴)))
22		suceq 6385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → suc 𝑤 = suc (𝐽‘𝐴))
23	22	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)))
24	21, 23	difeq12d 4079	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
25		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))
26		fvex 6847	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∈ V
27	26	difexi 5275	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∈ V
28	24, 25, 27	fvmpt 6941	. . . . 5 ⊢ ((𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆 → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
29	20, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
30	15, 29	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
31	2, 30	eqtrid 2783	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐾‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
32		suceq 6385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐽‘𝐴) → suc 𝑦 = suc (𝐽‘𝐴))
33	32	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘suc 𝑦) = (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)))
34		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝐽‘𝐴)))
35	33, 34	psseq12d 4049	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐽‘𝐴) → ((𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽‘𝐴))))
36	35, 3	elrab2 3649	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐽‘𝐴) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽‘𝐴))))
37	36	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ ((𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆 → (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)))
38	20, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)))
39		df-pss 3921	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ↔ ((𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊆ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∧ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ≠ (𝐹‘(𝐽‘𝐴))))
40	38, 39	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊆ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∧ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ≠ (𝐹‘(𝐽‘𝐴))))
41		pssdifn0 4320	. . 3 ⊢ (((𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ⊆ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∧ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)) ≠ (𝐹‘(𝐽‘𝐴))) → ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ≠ ∅)
42	40, 41	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ≠ ∅)
43	31, 42	eqnetrd 2999	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐾‘𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  {crab 3399   ∖ cdif 3898   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901   ⊊ wpss 3902  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  ∩ cint 4902   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ran crn 5625   ∘ ccom 5628  suc csuc 6319  ⟶wf 6488  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  ℩crio 7314  ωcom 7808   ≈ cen 8880  Fincfn 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851

This theorem is referenced by:  isf32lem9  10271