Theorem ig1peu 26208

Description: There is a unique monic polynomial of minimal degree in any nonzero ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1peu.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1peu.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1peu.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
ig1peu.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
ig1peu.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ig1peu	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃!𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐼   𝑔,𝑀   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑈,𝑔   0 ,𝑔

Proof of Theorem ig1peu

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
2		ig1peu.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
3	1, 2	lidlss 21255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
4	3	3ad2ant2 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
5	4	ssdifd 4093	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 }))
6		imass2 6081	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })))
8		drngring 20758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	3ad2ant1 1142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
10		ig1peu.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
11		ig1peu.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		ig1peu.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
13	10, 11, 12, 1	deg1n0ima 26122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)
14	9, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)
15	7, 14	sstrd 3941	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)
16		nn0uz 12867	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
17	15, 16	sseqtrdi 3971	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0))
18	11	ply1ring 22282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
19	9, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑃 ∈ Ring)
20		simp2 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ∈ 𝑈)
21	2, 12	lidl0cl 21263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 0 ∈ 𝐼)
22	19, 20, 21	syl2anc 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 0 ∈ 𝐼)
23	22	snssd 4739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ⊆ 𝐼)
24		simp3 1147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
25	24	necomd 3006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ≠ 𝐼)
26		pssdifn0 4315	. . . . . . 7 ⊢ (({ 0 } ⊆ 𝐼 ∧ { 0 } ≠ 𝐼) → (𝐼 ∖ { 0 }) ≠ ∅)
27	23, 25, 26	syl2anc 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ≠ ∅)
28	10, 11, 1	deg1xrf 26114	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*
29		ffn 6680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 Fn (Base‘𝑃)
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
32	4	ssdifssd 4095	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃))
33		fnimaeq0 6643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃)) → ((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ { 0 }) = ∅))
34	31, 32, 33	syl2anc 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ { 0 }) = ∅))
35	34	necon3bid 2995	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ≠ ∅ ↔ (𝐼 ∖ { 0 }) ≠ ∅))
36	27, 35	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ≠ ∅)
37		infssuzcl 12923	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ≠ ∅) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
38	17, 36, 37	syl2anc 592	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
39	31, 32	fvelimabd 6929	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })(𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
40	38, 39	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })(𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
41	19	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑃 ∈ Ring)
42		simpl2 1202	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝐼 ∈ 𝑈)
43	9	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
44		eqid 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
45		eqid 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
46	11, 44, 45, 1	ply1sclf 22321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
47	43, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
48		simpl1 1201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ DivRing)
49	32	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ℎ ∈ (Base‘𝑃))
50		eldifsni 4744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) → ℎ ≠ 0 )
51	50	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ℎ ≠ 0 )
52		eqid 2756	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
53	11, 1, 12, 52	drnguc1p 26207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ℎ ∈ (Base‘𝑃) ∧ ℎ ≠ 0 ) → ℎ ∈ (Unic1p‘𝑅))
54	48, 49, 51, 53	syl3anc 1386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ℎ ∈ (Unic1p‘𝑅))
55		eqid 2756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
56	10, 55, 52	uc1pldg 26182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ ∈ (Unic1p‘𝑅) → ((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ)) ∈ (Unit‘𝑅))
57	54, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ)) ∈ (Unit‘𝑅))
58		eqid 2756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
59	55, 58	unitinvcl 20411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ)) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))) ∈ (Unit‘𝑅))
60	43, 57, 59	syl2anc 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))) ∈ (Unit‘𝑅))
61	45, 55	unitcl 20396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))) ∈ (Unit‘𝑅) → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))) ∈ (Base‘𝑅))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))) ∈ (Base‘𝑅))
63	47, 62	ffvelcdmd 7055	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ)))) ∈ (Base‘𝑃))
64		eldifi 4079	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) → ℎ ∈ 𝐼)
65	64	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ℎ ∈ 𝐼)
66		eqid 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
67	2, 1, 66	lidlmcl 21268	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ)))) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ℎ ∈ 𝐼)) → (((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐼)
68	41, 42, 63, 65, 67	syl22anc 847	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐼)
69		ig1peu.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
70	52, 69, 11, 66, 44, 10, 58	uc1pmon1p 26185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ℎ ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ) ∈ 𝑀)
71	43, 54, 70	syl2anc 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ) ∈ 𝑀)
72	68, 71	elind 4147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ) ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))
73		eqid 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
74	73, 55	unitrrg 20725	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
75	43, 74	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
76	75, 60	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))) ∈ (RLReg‘𝑅))
77	10, 11, 73, 1, 66, 44	deg1mul3 26149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))) ∈ (RLReg‘𝑅) ∧ ℎ ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ)) = (𝐷‘ℎ))
78	43, 76, 49, 77	syl3anc 1386	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ)) = (𝐷‘ℎ))
79		fveqeq2 6865	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ) → ((𝐷‘𝑔) = (𝐷‘ℎ) ↔ (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ)) = (𝐷‘ℎ)))
80	79	rspcev 3576	. . . . . 6 ⊢ (((((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ) ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ)) = (𝐷‘ℎ)) → ∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = (𝐷‘ℎ))
81	72, 78, 80	syl2anc 592	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = (𝐷‘ℎ))
82		eqeq2 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → ((𝐷‘𝑔) = (𝐷‘ℎ) ↔ (𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
83	82	rexbidv 3180	. . . . 5 ⊢ ((𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → (∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = (𝐷‘ℎ) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
84	81, 83	syl5ibcom 247	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → ∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
85	84	rexlimdva 3157	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (∃ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })(𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → ∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
86	40, 85	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
87		eqid 2756	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
88	9	ad2antrr 734	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → 𝑅 ∈ Ring)
89		simprl 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → 𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))
90	89	elin2d 4152	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → 𝑔 ∈ 𝑀)
91	90	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → 𝑔 ∈ 𝑀)
92		simprl 778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → (𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
93		simprr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))
94	93	elin2d 4152	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ℎ ∈ 𝑀)
95	94	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → ℎ ∈ 𝑀)
96		simprr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
97	10, 69, 11, 87, 88, 91, 92, 95, 96	deg1submon1p 26186	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
98	97	ex 415	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
99	17	ad2antrr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0))
100	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
101	32	ad2antrr 734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃))
102	19	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → 𝑃 ∈ Ring)
103		simpl2 1202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → 𝐼 ∈ 𝑈)
104	89	elin1d 4151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → 𝑔 ∈ 𝐼)
105	93	elin1d 4151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ℎ ∈ 𝐼)
106	2, 87	lidlsubcl 21267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ ℎ ∈ 𝐼)) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐼)
107	102, 103, 104, 105, 106	syl22anc 847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐼)
108	107	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐼)
109		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 )
110		eldifsn 4740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐼 ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ))
111	108, 109, 110	sylanbrc 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ (𝐼 ∖ { 0 }))
112		fnfvima 7206	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
113	100, 101, 111, 112	syl3anc 1386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
114		infssuzle 12922	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 }))) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)))
115	99, 113, 114	syl2anc 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)))
116	115	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ((𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ))))
117		imassrn 6050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝐷
118		frn 6688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ* → ran 𝐷 ⊆ ℝ*)
119	28, 118	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝐷 ⊆ ℝ*
120	117, 119	sstri 3940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ ℝ*
121	120, 38	sselid 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
122	121	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
123		ringgrp 20260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
124	19, 123	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑃 ∈ Grp)
125	124	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → 𝑃 ∈ Grp)
126		inss1 4183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∩ 𝑀) ⊆ 𝐼
127	126, 4	sstrid 3942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∩ 𝑀) ⊆ (Base‘𝑃))
128	127	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (𝐼 ∩ 𝑀) ⊆ (Base‘𝑃))
129	128, 89	sseldd 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → 𝑔 ∈ (Base‘𝑃))
130	128, 93	sseldd 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ℎ ∈ (Base‘𝑃))
131	1, 87	grpsubcl 19038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑃) ∧ ℎ ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ (Base‘𝑃))
132	125, 129, 130, 131	syl3anc 1386	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ (Base‘𝑃))
133	10, 11, 1	deg1xrcl 26115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) ∈ ℝ*)
134	132, 133	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) ∈ ℝ*)
135	122, 134	xrlenltd 11238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) ↔ ¬ (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
136	116, 135	sylibd 241	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ((𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 → ¬ (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
137	136	necon4ad 2970	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ((𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) = 0 ))
138	98, 137	syld 47	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) = 0 ))
139	1, 12, 87	grpsubeq0 19044	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑃) ∧ ℎ ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑔(-g‘𝑃)ℎ) = 0 ↔ 𝑔 = ℎ))
140	125, 129, 130, 139	syl3anc 1386	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ((𝑔(-g‘𝑃)ℎ) = 0 ↔ 𝑔 = ℎ))
141	138, 140	sylibd 241	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → 𝑔 = ℎ))
142	141	ralrimivva 3199	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∀𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)∀ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → 𝑔 = ℎ))
143		fveqeq2 6865	. . 3 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ↔ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
144	143	reu4 3688	. 2 ⊢ (∃!𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ↔ (∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)∀ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → 𝑔 = ℎ)))
145	86, 142, 144	sylanbrc 591	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃!𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3080  ∃!wreu 3359   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280  {csn 4576   class class class wbr 5094  ran crn 5641   “ cima 5643   Fn wfn 6505  ⟶wf 6506  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  infcinf 9377  ℝcr 11062  0cc0 11063  ℝ^*cxr 11205   < clt 11206   ≤ cle 11207  ℕ₀cn0 12471  ℤ_≥cuz 12829  Basecbs 17221  ._rcmulr 17263  0_gc0g 17444  Grpcgrp 18951  -_gcsg 18953  Ringcrg 20255  Unitcui 20376  inv_rcinvr 20408  RLRegcrlreg 20713  DivRingcdr 20751  LIdealclidl 21249  algSccascl 21877  Poly₁cpl1 22212  coe₁cco1 22213  deg₁cdg1 26087  Monic_1pcmn1 26159  Unic_1pcuc1p 26160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141  ax-addf 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-ofr 7650  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8129  df-tpos 8194  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-er 8666  df-map 8798  df-pm 8799  df-ixp 8869  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-fsupp 9298  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9448  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-seq 14005  df-hash 14334  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-starv 17277  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-unif 17285  df-hom 17286  df-cco 17287  df-0g 17446  df-gsum 17447  df-prds 17452  df-pws 17454  df-mre 17590  df-mrc 17591  df-acs 17593  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-mhm 18793  df-submnd 18794  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19230  df-cntz 19333  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-mgp 20163  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-oppr 20358  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-invr 20409  df-subrng 20568  df-subrg 20592  df-rlreg 20716  df-drng 20753  df-lmod 20902  df-lss 20972  df-sra 21213  df-rgmod 21214  df-lidl 21251  df-cnfld 21398  df-ascl 21880  df-psr 21934  df-mvr 21935  df-mpl 21936  df-opsr 21938  df-psr1 22215  df-vr1 22216  df-ply1 22217  df-coe1 22218  df-mdeg 26088  df-deg1 26089  df-mon1 26164  df-uc1p 26165

This theorem is referenced by:  ig1pval3  26211