MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1peu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ig1peu 26228
Description: There is a unique monic polynomial of minimal degree in any nonzero ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1peu.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ig1peu.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1peu.z 0 = (0g𝑃)
ig1peu.m 𝑀 = (Monic1p𝑅)
ig1peu.d 𝐷 = (deg1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ig1peu ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃!𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐼   𝑔,𝑀   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑈,𝑔   0 ,𝑔

Proof of Theorem ig1peu
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
2 ig1peu.u . . . . . . . . . . 11 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
31, 2lidlss 21239 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝑈𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
433ad2ant2 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
54ssdifd 4154 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 }))
6 imass2 6122 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })))
8 drngring 20752 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
983ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
10 ig1peu.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (deg1𝑅)
11 ig1peu.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Poly1𝑅)
12 ig1peu.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑃)
1310, 11, 12, 1deg1n0ima 26142 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)
149, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)
157, 14sstrd 4005 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)
16 nn0uz 12917 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
1715, 16sseqtrdi 4045 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ‘0))
1811ply1ring 22264 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
199, 18syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑃 ∈ Ring)
20 simp2 1136 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼𝑈)
212, 12lidl0cl 21247 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 0𝐼)
2219, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 0𝐼)
2322snssd 4813 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ⊆ 𝐼)
24 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
2524necomd 2993 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ≠ 𝐼)
26 pssdifn0 4373 . . . . . . 7 (({ 0 } ⊆ 𝐼 ∧ { 0 } ≠ 𝐼) → (𝐼 ∖ { 0 }) ≠ ∅)
2723, 25, 26syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ≠ ∅)
2810, 11, 1deg1xrf 26134 . . . . . . . . . 10 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*
29 ffn 6736 . . . . . . . . . 10 (𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*𝐷 Fn (Base‘𝑃))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐷 Fn (Base‘𝑃)
3130a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
324ssdifssd 4156 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃))
33 fnimaeq0 6701 . . . . . . . 8 ((𝐷 Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃)) → ((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ { 0 }) = ∅))
3431, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ { 0 }) = ∅))
3534necon3bid 2982 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ≠ ∅ ↔ (𝐼 ∖ { 0 }) ≠ ∅))
3627, 35mpbird 257 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ≠ ∅)
37 infssuzcl 12971 . . . . 5 (((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ‘0) ∧ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ≠ ∅) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
3817, 36, 37syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
3931, 32fvelimabd 6981 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ↔ ∃ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })(𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
4038, 39mpbid 232 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })(𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
4119adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑃 ∈ Ring)
42 simpl2 1191 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝐼𝑈)
439adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
44 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
45 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4611, 44, 45, 1ply1sclf 22303 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
4743, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
48 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ DivRing)
4932sselda 3994 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ∈ (Base‘𝑃))
50 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) → 0 )
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 0 )
52 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
5311, 1, 12, 52drnguc1p 26227 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ∈ (Base‘𝑃) ∧ 0 ) → ∈ (Unic1p𝑅))
5448, 49, 51, 53syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ∈ (Unic1p𝑅))
55 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
5610, 55, 52uc1pldg 26202 . . . . . . . . . . . 12 ( ∈ (Unic1p𝑅) → ((coe1)‘(𝐷)) ∈ (Unit‘𝑅))
5754, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((coe1)‘(𝐷)) ∈ (Unit‘𝑅))
58 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (invr𝑅) = (invr𝑅)
5955, 58unitinvcl 20406 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1)‘(𝐷)) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))) ∈ (Unit‘𝑅))
6043, 57, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))) ∈ (Unit‘𝑅))
6145, 55unitcl 20391 . . . . . . . . . 10 (((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))) ∈ (Unit‘𝑅) → ((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))) ∈ (Base‘𝑅))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))) ∈ (Base‘𝑅))
6347, 62ffvelcdmd 7104 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷)))) ∈ (Base‘𝑃))
64 eldifi 4140 . . . . . . . . 9 ( ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) → 𝐼)
6564adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝐼)
66 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (.r𝑃) = (.r𝑃)
672, 1, 66lidlmcl 21252 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷)))) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐼)) → (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) ∈ 𝐼)
6841, 42, 63, 65, 67syl22anc 839 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) ∈ 𝐼)
69 ig1peu.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (Monic1p𝑅)
7052, 69, 11, 66, 44, 10, 58uc1pmon1p 26205 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∈ (Unic1p𝑅)) → (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) ∈ 𝑀)
7143, 54, 70syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) ∈ 𝑀)
7268, 71elind 4209 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) ∈ (𝐼𝑀))
73 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
7473, 55unitrrg 20719 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
7543, 74syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
7675, 60sseldd 3995 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))) ∈ (RLReg‘𝑅))
7710, 11, 73, 1, 66, 44deg1mul3 26169 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))) ∈ (RLReg‘𝑅) ∧ ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃))) = (𝐷))
7843, 76, 49, 77syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃))) = (𝐷))
79 fveqeq2 6915 . . . . . . 7 (𝑔 = (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) → ((𝐷𝑔) = (𝐷) ↔ (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃))) = (𝐷)))
8079rspcev 3621 . . . . . 6 (((((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) ∈ (𝐼𝑀) ∧ (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃))) = (𝐷)) → ∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = (𝐷))
8172, 78, 80syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = (𝐷))
82 eqeq2 2746 . . . . . 6 ((𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → ((𝐷𝑔) = (𝐷) ↔ (𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
8382rexbidv 3176 . . . . 5 ((𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → (∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = (𝐷) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
8481, 83syl5ibcom 245 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → ∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
8584rexlimdva 3152 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (∃ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })(𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → ∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
8640, 85mpd 15 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
87 eqid 2734 . . . . . . 7 (-g𝑃) = (-g𝑃)
889ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → 𝑅 ∈ Ring)
89 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝑔 ∈ (𝐼𝑀))
9089elin2d 4214 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝑔𝑀)
9190adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → 𝑔𝑀)
92 simprl 771 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → (𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
93 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → ∈ (𝐼𝑀))
9493elin2d 4214 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝑀)
9594adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → 𝑀)
96 simprr 773 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
9710, 69, 11, 87, 88, 91, 92, 95, 96deg1submon1p 26206 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
9897ex 412 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
9917ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ‘0))
10030a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
10132ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃))
10219adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝑃 ∈ Ring)
103 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝐼𝑈)
10489elin1d 4213 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝑔𝐼)
10593elin1d 4213 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝐼)
1062, 87lidlsubcl 21251 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑔𝐼𝐼)) → (𝑔(-g𝑃)) ∈ 𝐼)
107102, 103, 104, 105, 106syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (𝑔(-g𝑃)) ∈ 𝐼)
108107adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → (𝑔(-g𝑃)) ∈ 𝐼)
109 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 )
110 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔(-g𝑃)) ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑔(-g𝑃)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ))
111108, 109, 110sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → (𝑔(-g𝑃)) ∈ (𝐼 ∖ { 0 }))
112 fnfvima 7252 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
113100, 101, 111, 112syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
114 infssuzle 12970 . . . . . . . . 9 (((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ‘0) ∧ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 }))) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))))
11599, 113, 114syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))))
116115ex 412 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → ((𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃)))))
117 imassrn 6090 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝐷
118 frn 6743 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ* → ran 𝐷 ⊆ ℝ*)
11928, 118ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran 𝐷 ⊆ ℝ*
120117, 119sstri 4004 . . . . . . . . . 10 (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ ℝ*
121120, 38sselid 3992 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
122121adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
123 ringgrp 20255 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
12419, 123syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑃 ∈ Grp)
125124adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝑃 ∈ Grp)
126 inss1 4244 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝑀) ⊆ 𝐼
127126, 4sstrid 4006 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼𝑀) ⊆ (Base‘𝑃))
128127adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (𝐼𝑀) ⊆ (Base‘𝑃))
129128, 89sseldd 3995 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝑔 ∈ (Base‘𝑃))
130128, 93sseldd 3995 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → ∈ (Base‘𝑃))
1311, 87grpsubcl 19050 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑃) ∧ ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑔(-g𝑃)) ∈ (Base‘𝑃))
132125, 129, 130, 131syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (𝑔(-g𝑃)) ∈ (Base‘𝑃))
13310, 11, 1deg1xrcl 26135 . . . . . . . . 9 ((𝑔(-g𝑃)) ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) ∈ ℝ*)
134132, 133syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) ∈ ℝ*)
135122, 134xrlenltd 11324 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) ↔ ¬ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
136116, 135sylibd 239 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → ((𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 → ¬ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
137136necon4ad 2956 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → ((𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → (𝑔(-g𝑃)) = 0 ))
13898, 137syld 47 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → (𝑔(-g𝑃)) = 0 ))
1391, 12, 87grpsubeq0 19056 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑃) ∧ ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑔(-g𝑃)) = 0𝑔 = ))
140125, 129, 130, 139syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → ((𝑔(-g𝑃)) = 0𝑔 = ))
141138, 140sylibd 239 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → 𝑔 = ))
142141ralrimivva 3199 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∀𝑔 ∈ (𝐼𝑀)∀ ∈ (𝐼𝑀)(((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → 𝑔 = ))
143 fveqeq2 6915 . . 3 (𝑔 = → ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ↔ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
144143reu4 3739 . 2 (∃!𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ↔ (∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐼𝑀)∀ ∈ (𝐼𝑀)(((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → 𝑔 = )))
14586, 142, 144sylanbrc 583 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃!𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  ∃!wreu 3375  cdif 3959  cin 3961  wss 3962  c0 4338  {csn 4630   class class class wbr 5147  ran crn 5689  cima 5691   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  infcinf 9478  cr 11151  0cc0 11152  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  0cn0 12523  cuz 12875  Basecbs 17244  .rcmulr 17298  0gc0g 17485  Grpcgrp 18963  -gcsg 18965  Ringcrg 20250  Unitcui 20371  invrcinvr 20403  RLRegcrlreg 20707  DivRingcdr 20745  LIdealclidl 21233  algSccascl 21889  Poly1cpl1 22193  coe1cco1 22194  deg1cdg1 26107  Monic1pcmn1 26179  Unic1pcuc1p 26180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-rlreg 20710  df-drng 20747  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-cnfld 21382  df-ascl 21892  df-psr 21946  df-mvr 21947  df-mpl 21948  df-opsr 21950  df-psr1 22196  df-vr1 22197  df-ply1 22198  df-coe1 22199  df-mdeg 26108  df-deg1 26109  df-mon1 26184  df-uc1p 26185
This theorem is referenced by:  ig1pval3  26231
  Copyright terms: Public domain W3C validator