MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1peu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ig1peu 26214
Description: There is a unique monic polynomial of minimal degree in any nonzero ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1peu.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ig1peu.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1peu.z 0 = (0g𝑃)
ig1peu.m 𝑀 = (Monic1p𝑅)
ig1peu.d 𝐷 = (deg1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ig1peu ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃!𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐼   𝑔,𝑀   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑈,𝑔   0 ,𝑔

Proof of Theorem ig1peu
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
2 ig1peu.u . . . . . . . . . . 11 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
31, 2lidlss 21222 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝑈𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
433ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
54ssdifd 4145 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 }))
6 imass2 6120 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })))
8 drngring 20736 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
983ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
10 ig1peu.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (deg1𝑅)
11 ig1peu.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Poly1𝑅)
12 ig1peu.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑃)
1310, 11, 12, 1deg1n0ima 26128 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)
149, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)
157, 14sstrd 3994 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)
16 nn0uz 12920 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
1715, 16sseqtrdi 4024 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ‘0))
1811ply1ring 22249 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
199, 18syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑃 ∈ Ring)
20 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼𝑈)
212, 12lidl0cl 21230 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 0𝐼)
2219, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 0𝐼)
2322snssd 4809 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ⊆ 𝐼)
24 simp3 1139 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
2524necomd 2996 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ≠ 𝐼)
26 pssdifn0 4368 . . . . . . 7 (({ 0 } ⊆ 𝐼 ∧ { 0 } ≠ 𝐼) → (𝐼 ∖ { 0 }) ≠ ∅)
2723, 25, 26syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ≠ ∅)
2810, 11, 1deg1xrf 26120 . . . . . . . . . 10 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*
29 ffn 6736 . . . . . . . . . 10 (𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*𝐷 Fn (Base‘𝑃))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐷 Fn (Base‘𝑃)
3130a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
324ssdifssd 4147 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃))
33 fnimaeq0 6701 . . . . . . . 8 ((𝐷 Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃)) → ((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ { 0 }) = ∅))
3431, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ { 0 }) = ∅))
3534necon3bid 2985 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ≠ ∅ ↔ (𝐼 ∖ { 0 }) ≠ ∅))
3627, 35mpbird 257 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ≠ ∅)
37 infssuzcl 12974 . . . . 5 (((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ‘0) ∧ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ≠ ∅) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
3817, 36, 37syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
3931, 32fvelimabd 6982 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ↔ ∃ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })(𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
4038, 39mpbid 232 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })(𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
4119adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑃 ∈ Ring)
42 simpl2 1193 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝐼𝑈)
439adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
44 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
45 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4611, 44, 45, 1ply1sclf 22288 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
4743, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
48 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ DivRing)
4932sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ∈ (Base‘𝑃))
50 eldifsni 4790 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) → 0 )
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 0 )
52 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
5311, 1, 12, 52drnguc1p 26213 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ∈ (Base‘𝑃) ∧ 0 ) → ∈ (Unic1p𝑅))
5448, 49, 51, 53syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ∈ (Unic1p𝑅))
55 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
5610, 55, 52uc1pldg 26188 . . . . . . . . . . . 12 ( ∈ (Unic1p𝑅) → ((coe1)‘(𝐷)) ∈ (Unit‘𝑅))
5754, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((coe1)‘(𝐷)) ∈ (Unit‘𝑅))
58 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (invr𝑅) = (invr𝑅)
5955, 58unitinvcl 20390 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1)‘(𝐷)) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))) ∈ (Unit‘𝑅))
6043, 57, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))) ∈ (Unit‘𝑅))
6145, 55unitcl 20375 . . . . . . . . . 10 (((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))) ∈ (Unit‘𝑅) → ((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))) ∈ (Base‘𝑅))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))) ∈ (Base‘𝑅))
6347, 62ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷)))) ∈ (Base‘𝑃))
64 eldifi 4131 . . . . . . . . 9 ( ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) → 𝐼)
6564adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝐼)
66 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (.r𝑃) = (.r𝑃)
672, 1, 66lidlmcl 21235 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷)))) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐼)) → (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) ∈ 𝐼)
6841, 42, 63, 65, 67syl22anc 839 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) ∈ 𝐼)
69 ig1peu.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (Monic1p𝑅)
7052, 69, 11, 66, 44, 10, 58uc1pmon1p 26191 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∈ (Unic1p𝑅)) → (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) ∈ 𝑀)
7143, 54, 70syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) ∈ 𝑀)
7268, 71elind 4200 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) ∈ (𝐼𝑀))
73 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
7473, 55unitrrg 20703 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
7543, 74syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
7675, 60sseldd 3984 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))) ∈ (RLReg‘𝑅))
7710, 11, 73, 1, 66, 44deg1mul3 26155 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))) ∈ (RLReg‘𝑅) ∧ ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃))) = (𝐷))
7843, 76, 49, 77syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃))) = (𝐷))
79 fveqeq2 6915 . . . . . . 7 (𝑔 = (((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) → ((𝐷𝑔) = (𝐷) ↔ (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃))) = (𝐷)))
8079rspcev 3622 . . . . . 6 (((((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃)) ∈ (𝐼𝑀) ∧ (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr𝑅)‘((coe1)‘(𝐷))))(.r𝑃))) = (𝐷)) → ∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = (𝐷))
8172, 78, 80syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = (𝐷))
82 eqeq2 2749 . . . . . 6 ((𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → ((𝐷𝑔) = (𝐷) ↔ (𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
8382rexbidv 3179 . . . . 5 ((𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → (∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = (𝐷) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
8481, 83syl5ibcom 245 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → ∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
8584rexlimdva 3155 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (∃ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })(𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → ∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
8640, 85mpd 15 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
87 eqid 2737 . . . . . . 7 (-g𝑃) = (-g𝑃)
889ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → 𝑅 ∈ Ring)
89 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝑔 ∈ (𝐼𝑀))
9089elin2d 4205 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝑔𝑀)
9190adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → 𝑔𝑀)
92 simprl 771 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → (𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
93 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → ∈ (𝐼𝑀))
9493elin2d 4205 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝑀)
9594adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → 𝑀)
96 simprr 773 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
9710, 69, 11, 87, 88, 91, 92, 95, 96deg1submon1p 26192 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
9897ex 412 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
9917ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ‘0))
10030a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
10132ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃))
10219adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝑃 ∈ Ring)
103 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝐼𝑈)
10489elin1d 4204 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝑔𝐼)
10593elin1d 4204 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝐼)
1062, 87lidlsubcl 21234 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑔𝐼𝐼)) → (𝑔(-g𝑃)) ∈ 𝐼)
107102, 103, 104, 105, 106syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (𝑔(-g𝑃)) ∈ 𝐼)
108107adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → (𝑔(-g𝑃)) ∈ 𝐼)
109 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 )
110 eldifsn 4786 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔(-g𝑃)) ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑔(-g𝑃)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ))
111108, 109, 110sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → (𝑔(-g𝑃)) ∈ (𝐼 ∖ { 0 }))
112 fnfvima 7253 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
113100, 101, 111, 112syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
114 infssuzle 12973 . . . . . . . . 9 (((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ‘0) ∧ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 }))) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))))
11599, 113, 114syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) ∧ (𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 ) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))))
116115ex 412 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → ((𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃)))))
117 imassrn 6089 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝐷
118 frn 6743 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ* → ran 𝐷 ⊆ ℝ*)
11928, 118ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran 𝐷 ⊆ ℝ*
120117, 119sstri 3993 . . . . . . . . . 10 (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ ℝ*
121120, 38sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
122121adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
123 ringgrp 20235 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
12419, 123syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑃 ∈ Grp)
125124adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝑃 ∈ Grp)
126 inss1 4237 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝑀) ⊆ 𝐼
127126, 4sstrid 3995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼𝑀) ⊆ (Base‘𝑃))
128127adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (𝐼𝑀) ⊆ (Base‘𝑃))
129128, 89sseldd 3984 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → 𝑔 ∈ (Base‘𝑃))
130128, 93sseldd 3984 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → ∈ (Base‘𝑃))
1311, 87grpsubcl 19038 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑃) ∧ ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑔(-g𝑃)) ∈ (Base‘𝑃))
132125, 129, 130, 131syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (𝑔(-g𝑃)) ∈ (Base‘𝑃))
13310, 11, 1deg1xrcl 26121 . . . . . . . . 9 ((𝑔(-g𝑃)) ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) ∈ ℝ*)
134132, 133syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) ∈ ℝ*)
135122, 134xrlenltd 11327 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) ↔ ¬ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
136116, 135sylibd 239 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → ((𝑔(-g𝑃)) ≠ 0 → ¬ (𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
137136necon4ad 2959 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → ((𝐷‘(𝑔(-g𝑃))) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → (𝑔(-g𝑃)) = 0 ))
13898, 137syld 47 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → (𝑔(-g𝑃)) = 0 ))
1391, 12, 87grpsubeq0 19044 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑃) ∧ ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑔(-g𝑃)) = 0𝑔 = ))
140125, 129, 130, 139syl3anc 1373 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → ((𝑔(-g𝑃)) = 0𝑔 = ))
141138, 140sylibd 239 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∧ ∈ (𝐼𝑀))) → (((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → 𝑔 = ))
142141ralrimivva 3202 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∀𝑔 ∈ (𝐼𝑀)∀ ∈ (𝐼𝑀)(((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → 𝑔 = ))
143 fveqeq2 6915 . . 3 (𝑔 = → ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ↔ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
144143reu4 3737 . 2 (∃!𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ↔ (∃𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐼𝑀)∀ ∈ (𝐼𝑀)(((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → 𝑔 = )))
14586, 142, 144sylanbrc 583 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃!𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  ∃!wreu 3378  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  ran crn 5686  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  infcinf 9481  cr 11154  0cc0 11155  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  0cn0 12526  cuz 12878  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  -gcsg 18953  Ringcrg 20230  Unitcui 20355  invrcinvr 20387  RLRegcrlreg 20691  DivRingcdr 20729  LIdealclidl 21216  algSccascl 21872  Poly1cpl1 22178  coe1cco1 22179  deg1cdg1 26093  Monic1pcmn1 26165  Unic1pcuc1p 26166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rlreg 20694  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-cnfld 21365  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-mdeg 26094  df-deg1 26095  df-mon1 26170  df-uc1p 26171
This theorem is referenced by:  ig1pval3  26217
  Copyright terms: Public domain W3C validator