Theorem ig1peu 26523

Description: There is a unique monic polynomial of minimal degree in any nonzero ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1peu.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1peu.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1peu.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
ig1peu.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
ig1peu.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ig1peu	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃!𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐼   𝑔,𝑀   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑈,𝑔   0 ,𝑔

Proof of Theorem ig1peu

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
2		ig1peu.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
3	1, 2	lidlss 21520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
4	3	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
5	4	ssdifd 4084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 }))
6		imass2 6067	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })))
7	5, 6	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })))
8		drngring 21017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
10		ig1peu.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
11		ig1peu.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		ig1peu.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
13	10, 11, 12, 1	deg1n0ima 26437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)
14	9, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)
15	7, 14	sstrd 3923	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)
16		nn0uz 13030	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
17	15, 16	sseqtrdi 3953	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0))
18	11	ply1ring 22595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
19	9, 18	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑃 ∈ Ring)
20		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ∈ 𝑈)
21	2, 12	lidl0cl 21529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 0 ∈ 𝐼)
22	19, 20, 21	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 0 ∈ 𝐼)
23	22	snssd 4747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ⊆ 𝐼)
24		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
25	24	necomd 3014	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ≠ 𝐼)
26		pssdifn0 4319	. . . . . . 7 ⊢ (({ 0 } ⊆ 𝐼 ∧ { 0 } ≠ 𝐼) → (𝐼 ∖ { 0 }) ≠ ∅)
27	23, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ≠ ∅)
28	10, 11, 1	deg1xrf 26429	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*
29		ffn 6731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 Fn (Base‘𝑃)
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
32	4	ssdifssd 4086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃))
33		fnimaeq0 6694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃)) → ((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ { 0 }) = ∅))
34	31, 32, 33	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ { 0 }) = ∅))
35	34	necon3bid 3003	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ≠ ∅ ↔ (𝐼 ∖ { 0 }) ≠ ∅))
36	27, 35	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ≠ ∅)
37		infssuzcl 13086	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ≠ ∅) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
38	17, 36, 37	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
39	31, 32	fvelimabd 6981	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })(𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
40	38, 39	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })(𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
41	19	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑃 ∈ Ring)
42		simpl2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝐼 ∈ 𝑈)
43	9	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
44		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
45		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
46	11, 44, 45, 1	ply1sclf 22634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
47	43, 46	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
48		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ DivRing)
49	32	sselda 3913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ℎ ∈ (Base‘𝑃))
50		eldifsni 4753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) → ℎ ≠ 0 )
51	50	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ℎ ≠ 0 )
52		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
53	11, 1, 12, 52	drnguc1p 26522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ℎ ∈ (Base‘𝑃) ∧ ℎ ≠ 0 ) → ℎ ∈ (Unic1p‘𝑅))
54	48, 49, 51, 53	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ℎ ∈ (Unic1p‘𝑅))
55		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
56	10, 55, 52	uc1pldg 26497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ ∈ (Unic1p‘𝑅) → ((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ)) ∈ (Unit‘𝑅))
57	54, 56	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ)) ∈ (Unit‘𝑅))
58		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
59	55, 58	unitinvcl 20650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ)) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))) ∈ (Unit‘𝑅))
60	43, 57, 59	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))) ∈ (Unit‘𝑅))
61	45, 55	unitcl 20635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))) ∈ (Unit‘𝑅) → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))) ∈ (Base‘𝑅))
62	60, 61	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))) ∈ (Base‘𝑅))
63	47, 62	ffvelcdmd 7109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ)))) ∈ (Base‘𝑃))
64		eldifi 4070	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) → ℎ ∈ 𝐼)
65	64	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ℎ ∈ 𝐼)
66		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
67	2, 1, 66	lidlmcl 21534	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ)))) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ℎ ∈ 𝐼)) → (((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐼)
68	41, 42, 63, 65, 67	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐼)
69		ig1peu.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
70	52, 69, 11, 66, 44, 10, 58	uc1pmon1p 26500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ℎ ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ) ∈ 𝑀)
71	43, 54, 70	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ) ∈ 𝑀)
72	68, 71	elind 4100	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ) ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))
73		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
74	73, 55	unitrrg 20985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
75	43, 74	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
76	75, 60	sseldd 3914	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))) ∈ (RLReg‘𝑅))
77	10, 11, 73, 1, 66, 44	deg1mul3 26464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))) ∈ (RLReg‘𝑅) ∧ ℎ ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ)) = (𝐷‘ℎ))
78	43, 76, 49, 77	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ)) = (𝐷‘ℎ))
79		fveqeq2 6917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ) → ((𝐷‘𝑔) = (𝐷‘ℎ) ↔ (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ)) = (𝐷‘ℎ)))
80	79	rspcev 3580	. . . . . 6 ⊢ (((((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ) ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ)) = (𝐷‘ℎ)) → ∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = (𝐷‘ℎ))
81	72, 78, 80	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = (𝐷‘ℎ))
82		eqeq2 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → ((𝐷‘𝑔) = (𝐷‘ℎ) ↔ (𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
83	82	rexbidv 3190	. . . . 5 ⊢ ((𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → (∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = (𝐷‘ℎ) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
84	81, 83	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → ∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
85	84	rexlimdva 3167	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (∃ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })(𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → ∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
86	40, 85	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
87		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
88	9	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → 𝑅 ∈ Ring)
89		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → 𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))
90	89	elin2d 4105	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → 𝑔 ∈ 𝑀)
91	90	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → 𝑔 ∈ 𝑀)
92		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → (𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
93		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))
94	93	elin2d 4105	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ℎ ∈ 𝑀)
95	94	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → ℎ ∈ 𝑀)
96		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
97	10, 69, 11, 87, 88, 91, 92, 95, 96	deg1submon1p 26501	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
98	97	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
99	17	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0))
100	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
101	32	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃))
102	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → 𝑃 ∈ Ring)
103		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → 𝐼 ∈ 𝑈)
104	89	elin1d 4104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → 𝑔 ∈ 𝐼)
105	93	elin1d 4104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ℎ ∈ 𝐼)
106	2, 87	lidlsubcl 21533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ ℎ ∈ 𝐼)) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐼)
107	102, 103, 104, 105, 106	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐼)
108	107	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐼)
109		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 )
110		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐼 ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ))
111	108, 109, 110	sylanbrc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ (𝐼 ∖ { 0 }))
112		fnfvima 7262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
113	100, 101, 111, 112	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
114		infssuzle 13085	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 }))) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)))
115	99, 113, 114	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)))
116	115	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ((𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ))))
117		imassrn 6210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝐷
118		frn 6739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ* → ran 𝐷 ⊆ ℝ*)
119	28, 118	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝐷 ⊆ ℝ*
120	117, 119	sstri 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ ℝ*
121	120, 38	sselid 3911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
122	121	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
123		ringgrp 20494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
124	19, 123	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑃 ∈ Grp)
125	124	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → 𝑃 ∈ Grp)
126		inss1 4136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∩ 𝑀) ⊆ 𝐼
127	126, 4	sstrid 3924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∩ 𝑀) ⊆ (Base‘𝑃))
128	127	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (𝐼 ∩ 𝑀) ⊆ (Base‘𝑃))
129	128, 89	sseldd 3914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → 𝑔 ∈ (Base‘𝑃))
130	128, 93	sseldd 3914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ℎ ∈ (Base‘𝑃))
131	1, 87	grpsubcl 19259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑃) ∧ ℎ ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ (Base‘𝑃))
132	125, 129, 130, 131	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ (Base‘𝑃))
133	10, 11, 1	deg1xrcl 26430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) ∈ ℝ*)
134	132, 133	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) ∈ ℝ*)
135	122, 134	xrlenltd 11402	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) ↔ ¬ (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
136	116, 135	sylibd 242	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ((𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 → ¬ (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
137	136	necon4ad 2978	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ((𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) = 0 ))
138	98, 137	syld 48	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) = 0 ))
139	1, 12, 87	grpsubeq0 19265	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑃) ∧ ℎ ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑔(-g‘𝑃)ℎ) = 0 ↔ 𝑔 = ℎ))
140	125, 129, 130, 139	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ((𝑔(-g‘𝑃)ℎ) = 0 ↔ 𝑔 = ℎ))
141	138, 140	sylibd 242	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → 𝑔 = ℎ))
142	141	ralrimivva 3209	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∀𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)∀ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → 𝑔 = ℎ))
143		fveqeq2 6917	. . 3 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ↔ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
144	143	reu4 3692	. 2 ⊢ (∃!𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ↔ (∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)∀ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → 𝑔 = ℎ)))
145	86, 142, 144	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃!𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ∃!wreu 3367   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5106  ran crn 5656   “ cima 5658   Fn wfn 6553  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  infcinf 9460  ℝcr 11226  0cc0 11227  ℝ^*cxr 11369   < clt 11370   ≤ cle 11371  ℕ₀cn0 12633  ℤ_≥cuz 12992  Basecbs 17416  ._rcmulr 17458  0_gc0g 17639  Grpcgrp 19173  -_gcsg 19175  Ringcrg 20489  Unitcui 20615  inv_rcinvr 20647  RLRegcrlreg 20973  DivRingcdr 21010  LIdealclidl 21514  algSccascl 22190  Poly₁cpl1 22525  coe₁cco1 22526  deg₁cdg1 26402  Monic_1pcmn1 26474  Unic_1pcuc1p 26475

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-ofr 7718  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-hash 14502  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-prds 17647  df-pws 17649  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-mulg 19307  df-subg 19362  df-ghm 19457  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-subrng 20828  df-subrg 20852  df-rlreg 20976  df-drng 21012  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-lidl 21516  df-cnfld 21709  df-ascl 22193  df-psr 22247  df-mvr 22248  df-mpl 22249  df-opsr 22251  df-psr1 22528  df-vr1 22529  df-ply1 22530  df-coe1 22531  df-mdeg 26403  df-deg1 26404  df-mon1 26479  df-uc1p 26480

This theorem is used by:  ig1pval3  26526