Theorem ig1peu 25434

Description: There is a unique monic polynomial of minimal degree in any nonzero ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1peu.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1peu.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1peu.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
ig1peu.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
ig1peu.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ig1peu	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃!𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐼   𝑔,𝑀   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑈,𝑔   0 ,𝑔

Proof of Theorem ig1peu

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
2		ig1peu.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
3	1, 2	lidlss 20579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
4	3	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
5	4	ssdifd 4086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 }))
6		imass2 6034	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })))
8		drngring 20092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
10		ig1peu.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
11		ig1peu.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		ig1peu.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
13	10, 11, 12, 1	deg1n0ima 25352	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)
14	9, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ ((Base‘𝑃) ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)
15	7, 14	sstrd 3941	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)
16		nn0uz 12713	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
17	15, 16	sseqtrdi 3981	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0))
18	11	ply1ring 21517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
19	9, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑃 ∈ Ring)
20		simp2 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ∈ 𝑈)
21	2, 12	lidl0cl 20581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 0 ∈ 𝐼)
22	19, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 0 ∈ 𝐼)
23	22	snssd 4755	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ⊆ 𝐼)
24		simp3 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
25	24	necomd 2996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ≠ 𝐼)
26		pssdifn0 4311	. . . . . . 7 ⊢ (({ 0 } ⊆ 𝐼 ∧ { 0 } ≠ 𝐼) → (𝐼 ∖ { 0 }) ≠ ∅)
27	23, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ≠ ∅)
28	10, 11, 1	deg1xrf 25344	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*
29		ffn 6645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 Fn (Base‘𝑃)
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
32	4	ssdifssd 4088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃))
33		fnimaeq0 6611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃)) → ((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ { 0 }) = ∅))
34	31, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ { 0 }) = ∅))
35	34	necon3bid 2985	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ≠ ∅ ↔ (𝐼 ∖ { 0 }) ≠ ∅))
36	27, 35	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ≠ ∅)
37		infssuzcl 12765	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ≠ ∅) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
38	17, 36, 37	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
39	31, 32	fvelimabd 6892	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })(𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
40	38, 39	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })(𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
41	19	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑃 ∈ Ring)
42		simpl2 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝐼 ∈ 𝑈)
43	9	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
44		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
45		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
46	11, 44, 45, 1	ply1sclf 21554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
47	43, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
48		simpl1 1190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ DivRing)
49	32	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ℎ ∈ (Base‘𝑃))
50		eldifsni 4736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) → ℎ ≠ 0 )
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ℎ ≠ 0 )
52		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
53	11, 1, 12, 52	drnguc1p 25433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ℎ ∈ (Base‘𝑃) ∧ ℎ ≠ 0 ) → ℎ ∈ (Unic1p‘𝑅))
54	48, 49, 51, 53	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ℎ ∈ (Unic1p‘𝑅))
55		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
56	10, 55, 52	uc1pldg 25411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ ∈ (Unic1p‘𝑅) → ((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ)) ∈ (Unit‘𝑅))
57	54, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ)) ∈ (Unit‘𝑅))
58		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
59	55, 58	unitinvcl 20003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ)) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))) ∈ (Unit‘𝑅))
60	43, 57, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))) ∈ (Unit‘𝑅))
61	45, 55	unitcl 19988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))) ∈ (Unit‘𝑅) → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))) ∈ (Base‘𝑅))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))) ∈ (Base‘𝑅))
63	47, 62	ffvelcdmd 7012	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ)))) ∈ (Base‘𝑃))
64		eldifi 4072	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) → ℎ ∈ 𝐼)
65	64	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ℎ ∈ 𝐼)
66		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
67	2, 1, 66	lidlmcl 20586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ)))) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ℎ ∈ 𝐼)) → (((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐼)
68	41, 42, 63, 65, 67	syl22anc 836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐼)
69		ig1peu.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
70	52, 69, 11, 66, 44, 10, 58	uc1pmon1p 25414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ℎ ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ) ∈ 𝑀)
71	43, 54, 70	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ) ∈ 𝑀)
72	68, 71	elind 4140	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ) ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))
73		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
74	73, 55	unitrrg 20662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
75	43, 74	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
76	75, 60	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))) ∈ (RLReg‘𝑅))
77	10, 11, 73, 1, 66, 44	deg1mul3 25378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))) ∈ (RLReg‘𝑅) ∧ ℎ ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ)) = (𝐷‘ℎ))
78	43, 76, 49, 77	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ)) = (𝐷‘ℎ))
79		fveqeq2 6828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ) → ((𝐷‘𝑔) = (𝐷‘ℎ) ↔ (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ)) = (𝐷‘ℎ)))
80	79	rspcev 3570	. . . . . 6 ⊢ (((((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ) ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ (𝐷‘(((algSc‘𝑃)‘((invr‘𝑅)‘((coe1‘ℎ)‘(𝐷‘ℎ))))(.r‘𝑃)ℎ)) = (𝐷‘ℎ)) → ∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = (𝐷‘ℎ))
81	72, 78, 80	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = (𝐷‘ℎ))
82		eqeq2 2748	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → ((𝐷‘𝑔) = (𝐷‘ℎ) ↔ (𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
83	82	rexbidv 3171	. . . . 5 ⊢ ((𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → (∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = (𝐷‘ℎ) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
84	81, 83	syl5ibcom 244	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → ((𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → ∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
85	84	rexlimdva 3148	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (∃ℎ ∈ (𝐼 ∖ { 0 })(𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → ∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
86	40, 85	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
87		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
88	9	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → 𝑅 ∈ Ring)
89		simprl 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → 𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))
90	89	elin2d 4145	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → 𝑔 ∈ 𝑀)
91	90	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → 𝑔 ∈ 𝑀)
92		simprl 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → (𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
93		simprr 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))
94	93	elin2d 4145	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ℎ ∈ 𝑀)
95	94	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → ℎ ∈ 𝑀)
96		simprr 770	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
97	10, 69, 11, 87, 88, 91, 92, 95, 96	deg1submon1p 25415	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) → (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
98	97	ex 413	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
99	17	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0))
100	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
101	32	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃))
102	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → 𝑃 ∈ Ring)
103		simpl2 1191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → 𝐼 ∈ 𝑈)
104	89	elin1d 4144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → 𝑔 ∈ 𝐼)
105	93	elin1d 4144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ℎ ∈ 𝐼)
106	2, 87	lidlsubcl 20585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ ℎ ∈ 𝐼)) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐼)
107	102, 103, 104, 105, 106	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐼)
108	107	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐼)
109		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 )
110		eldifsn 4733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐼 ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ))
111	108, 109, 110	sylanbrc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ (𝐼 ∖ { 0 }))
112		fnfvima 7159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
113	100, 101, 111, 112	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
114		infssuzle 12764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 }))) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)))
115	99, 113, 114	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) ∧ (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 ) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)))
116	115	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ((𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ))))
117		imassrn 6004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝐷
118		frn 6652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ* → ran 𝐷 ⊆ ℝ*)
119	28, 118	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝐷 ⊆ ℝ*
120	117, 119	sstri 3940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ ℝ*
121	120, 38	sselid 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
122	121	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
123		ringgrp 19875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
124	19, 123	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑃 ∈ Grp)
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → 𝑃 ∈ Grp)
126		inss1 4174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∩ 𝑀) ⊆ 𝐼
127	126, 4	sstrid 3942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∩ 𝑀) ⊆ (Base‘𝑃))
128	127	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (𝐼 ∩ 𝑀) ⊆ (Base‘𝑃))
129	128, 89	sseldd 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → 𝑔 ∈ (Base‘𝑃))
130	128, 93	sseldd 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ℎ ∈ (Base‘𝑃))
131	1, 87	grpsubcl 18743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑃) ∧ ℎ ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ (Base‘𝑃))
132	125, 129, 130, 131	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ (Base‘𝑃))
133	10, 11, 1	deg1xrcl 25345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) ∈ ℝ*)
134	132, 133	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) ∈ ℝ*)
135	122, 134	xrlenltd 11134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) ↔ ¬ (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
136	116, 135	sylibd 238	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ((𝑔(-g‘𝑃)ℎ) ≠ 0 → ¬ (𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
137	136	necon4ad 2959	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ((𝐷‘(𝑔(-g‘𝑃)ℎ)) < inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) = 0 ))
138	98, 137	syld 47	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → (𝑔(-g‘𝑃)ℎ) = 0 ))
139	1, 12, 87	grpsubeq0 18749	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑃) ∧ ℎ ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑔(-g‘𝑃)ℎ) = 0 ↔ 𝑔 = ℎ))
140	125, 129, 130, 139	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → ((𝑔(-g‘𝑃)ℎ) = 0 ↔ 𝑔 = ℎ))
141	138, 140	sylibd 238	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ (𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀))) → (((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → 𝑔 = ℎ))
142	141	ralrimivva 3193	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∀𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)∀ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → 𝑔 = ℎ))
143		fveqeq2 6828	. . 3 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ↔ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
144	143	reu4 3676	. 2 ⊢ (∃!𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ↔ (∃𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)∀ℎ ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ∧ (𝐷‘ℎ) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) → 𝑔 = ℎ)))
145	86, 142, 144	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃!𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ∃!wreu 3347   ∖ cdif 3894   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4268  {csn 4572   class class class wbr 5089  ran crn 5615   “ cima 5617   Fn wfn 6468  ⟶wf 6469  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329  infcinf 9290  ℝcr 10963  0cc0 10964  ℝ^*cxr 11101   < clt 11102   ≤ cle 11103  ℕ₀cn0 12326  ℤ_≥cuz 12675  Basecbs 17001  ._rcmulr 17052  0_gc0g 17239  Grpcgrp 18665  -_gcsg 18667  Ringcrg 19870  Unitcui 19968  inv_rcinvr 20000  DivRingcdr 20085  LIdealclidl 20530  RLRegcrlreg 20648  algSccascl 21157  Poly₁cpl1 21446  coe₁cco1 21447   deg₁ cdg1 25314  Monic_1pcmn1 25388  Unic_1pcuc1p 25389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042  ax-addf 11043  ax-mulf 11044

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-ofr 7588  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-tpos 8104  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-map 8680  df-pm 8681  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-sup 9291  df-inf 9292  df-oi 9359  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-seq 13815  df-hash 14138  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-starv 17066  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-unif 17074  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-mhm 18519  df-submnd 18520  df-grp 18668  df-minusg 18669  df-sbg 18670  df-mulg 18789  df-subg 18840  df-ghm 18920  df-cntz 19011  df-cmn 19475  df-abl 19476  df-mgp 19808  df-ur 19825  df-ring 19872  df-cring 19873  df-oppr 19949  df-dvdsr 19970  df-unit 19971  df-invr 20001  df-drng 20087  df-subrg 20119  df-lmod 20223  df-lss 20292  df-sra 20532  df-rgmod 20533  df-lidl 20534  df-rlreg 20652  df-cnfld 20696  df-ascl 21160  df-psr 21210  df-mvr 21211  df-mpl 21212  df-opsr 21214  df-psr1 21449  df-vr1 21450  df-ply1 21451  df-coe1 21452  df-mdeg 25315  df-deg1 25316  df-mon1 25393  df-uc1p 25394

This theorem is referenced by:  ig1pval3  25437