MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnumlem2 24709
Description: Lemma for lebnum 24711. As a finite sum of point-to-set distance functions, which are continuous by metdscn 24593, the function 𝐹 is also continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
lebnum.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
lebnum.c (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
lebnum.u (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
lebnumlem1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
lebnumlem1.n (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
lebnumlem1.f 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
lebnumlem2.k 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
Assertion
Ref Expression
lebnumlem2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑦,π‘˜,𝑧,𝐷   π‘˜,𝐽,𝑦,𝑧   π‘ˆ,π‘˜,𝑦,𝑧   πœ‘,π‘˜,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧,π‘˜)   𝐾(𝑦,𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem lebnumlem2
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
2 eqid 2731 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3 lebnum.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
4 metxmet 24061 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
6 lebnum.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
76mopntopon 24166 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
85, 7syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
9 lebnumlem1.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
103adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
11 difssd 4133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 βˆ– π‘˜) βŠ† 𝑋)
125adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
1312, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
14 lebnum.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
1514sselda 3983 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ 𝐽)
16 toponss 22650 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘˜ ∈ 𝐽) β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
1713, 15, 16syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
18 lebnumlem1.n . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
19 eleq1 2820 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑋 β†’ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2019notbid 317 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑋 β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ ↔ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2118, 20syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘˜ = 𝑋 β†’ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
2221necon2ad 2954 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ π‘˜ β‰  𝑋))
2322imp 406 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ β‰  𝑋)
24 pssdifn0 4366 . . . . . . 7 ((π‘˜ βŠ† 𝑋 ∧ π‘˜ β‰  𝑋) β†’ (𝑋 βˆ– π‘˜) β‰  βˆ…)
2517, 23, 24syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 βˆ– π‘˜) β‰  βˆ…)
26 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
2726, 6, 2metdscn2 24594 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– π‘˜) βŠ† 𝑋 ∧ (𝑋 βˆ– π‘˜) β‰  βˆ…) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
2810, 11, 25, 27syl3anc 1370 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
292, 8, 9, 28fsumcn 24609 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
301, 29eqeltrid 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
312cnfldtopon 24520 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3231a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
33 lebnum.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
34 lebnum.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
356, 3, 33, 14, 34, 9, 18, 1lebnumlem1 24708 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„+)
3635frnd 6726 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ+)
37 rpssre 12986 . . . . 5 ℝ+ βŠ† ℝ
3836, 37sstrdi 3995 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
39 ax-resscn 11170 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
4039a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
41 cnrest2 23011 . . . 4 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran 𝐹 βŠ† ℝ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))))
4232, 38, 40, 41syl3anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))))
4330, 42mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
44 lebnumlem2.k . . . 4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
452tgioo2 24540 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
4644, 45eqtri 2759 . . 3 𝐾 = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
4746oveq2i 7423 . 2 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
4843, 47eleqtrrdi 2843 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  infcinf 9439  β„‚cc 11111  β„cr 11112  β„*cxr 11252   < clt 11253  β„+crp 12979  (,)cioo 13329  Ξ£csu 15637   β†Ύt crest 17371  TopOpenctopn 17372  topGenctg 17388  βˆžMetcxmet 21130  Metcmet 21131  MetOpencmopn 21135  β„‚fldccnfld 21145  TopOnctopon 22633   Cn ccn 22949  Compccmp 23111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-ec 8708  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049
This theorem is referenced by:  lebnumlem3  24710
  Copyright terms: Public domain W3C validator