MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnumlem2 24460
Description: Lemma for lebnum 24462. As a finite sum of point-to-set distance functions, which are continuous by metdscn 24354, the function 𝐹 is also continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lebnum.d (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lebnum.c (𝜑𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (𝜑𝑈𝐽)
lebnum.u (𝜑𝑋 = 𝑈)
lebnumlem1.u (𝜑𝑈 ∈ Fin)
lebnumlem1.n (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
lebnumlem1.f 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
lebnumlem2.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
lebnumlem2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑘,𝑧,𝐷   𝑘,𝐽,𝑦,𝑧   𝑈,𝑘,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑦,𝑧   𝑘,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧,𝑘)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem lebnumlem2
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.f . . . 4 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
2 eqid 2733 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3 lebnum.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4 metxmet 23822 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6 lebnum.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
76mopntopon 23927 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9 lebnumlem1.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
103adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
11 difssd 4131 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋)
125adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1312, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14 lebnum.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐽)
1514sselda 3981 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝐽)
16 toponss 22411 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑘𝐽) → 𝑘𝑋)
1713, 15, 16syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝑋)
18 lebnumlem1.n . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
19 eleq1 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑋 → (𝑘𝑈𝑋𝑈))
2019notbid 318 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑋 → (¬ 𝑘𝑈 ↔ ¬ 𝑋𝑈))
2118, 20syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘 = 𝑋 → ¬ 𝑘𝑈))
2221necon2ad 2956 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑈𝑘𝑋))
2322imp 408 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝑋)
24 pssdifn0 4364 . . . . . . 7 ((𝑘𝑋𝑘𝑋) → (𝑋𝑘) ≠ ∅)
2517, 23, 24syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ≠ ∅)
26 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
2726, 6, 2metdscn2 24355 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋𝑘) ≠ ∅) → (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2810, 11, 25, 27syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
292, 8, 9, 28fsumcn 24368 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
301, 29eqeltrid 2838 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
312cnfldtopon 24281 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3231a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
33 lebnum.c . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
34 lebnum.u . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = 𝑈)
356, 3, 33, 14, 34, 9, 18, 1lebnumlem1 24459 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ+)
3635frnd 6722 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ+)
37 rpssre 12977 . . . . 5 + ⊆ ℝ
3836, 37sstrdi 3993 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
39 ax-resscn 11163 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
4039a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
41 cnrest2 22772 . . . 4 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4232, 38, 40, 41syl3anc 1372 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4330, 42mpbid 231 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
44 lebnumlem2.k . . . 4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
452tgioo2 24301 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4644, 45eqtri 2761 . . 3 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4746oveq2i 7415 . 2 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4843, 47eleqtrrdi 2845 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  cdif 3944  wss 3947  c0 4321   cuni 4907  cmpt 5230  ran crn 5676  cfv 6540  (class class class)co 7404  Fincfn 8935  infcinf 9432  cc 11104  cr 11105  *cxr 11243   < clt 11244  +crp 12970  (,)cioo 13320  Σcsu 15628  t crest 17362  TopOpenctopn 17363  topGenctg 17379  ∞Metcxmet 20914  Metcmet 20915  MetOpencmopn 20919  fldccnfld 20929  TopOnctopon 22394   Cn ccn 22710  Compccmp 22872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810
This theorem is referenced by:  lebnumlem3  24461
  Copyright terms: Public domain W3C validator