MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnumlem2 23545
Description: Lemma for lebnum 23547. As a finite sum of point-to-set distance functions, which are continuous by metdscn 23439, the function 𝐹 is also continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lebnum.d (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lebnum.c (𝜑𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (𝜑𝑈𝐽)
lebnum.u (𝜑𝑋 = 𝑈)
lebnumlem1.u (𝜑𝑈 ∈ Fin)
lebnumlem1.n (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
lebnumlem1.f 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
lebnumlem2.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
lebnumlem2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑘,𝑧,𝐷   𝑘,𝐽,𝑦,𝑧   𝑈,𝑘,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑦,𝑧   𝑘,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧,𝑘)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem lebnumlem2
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.f . . . 4 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
2 eqid 2821 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3 lebnum.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4 metxmet 22919 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6 lebnum.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
76mopntopon 23024 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9 lebnumlem1.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
103adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
11 difssd 4085 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋)
125adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1312, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14 lebnum.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐽)
1514sselda 3943 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝐽)
16 toponss 21510 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑘𝐽) → 𝑘𝑋)
1713, 15, 16syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝑋)
18 lebnumlem1.n . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
19 eleq1 2899 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑋 → (𝑘𝑈𝑋𝑈))
2019notbid 321 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑋 → (¬ 𝑘𝑈 ↔ ¬ 𝑋𝑈))
2118, 20syl5ibrcom 250 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘 = 𝑋 → ¬ 𝑘𝑈))
2221necon2ad 3022 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑈𝑘𝑋))
2322imp 410 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝑋)
24 pssdifn0 4298 . . . . . . 7 ((𝑘𝑋𝑘𝑋) → (𝑋𝑘) ≠ ∅)
2517, 23, 24syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ≠ ∅)
26 eqid 2821 . . . . . . 7 (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
2726, 6, 2metdscn2 23440 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋𝑘) ≠ ∅) → (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2810, 11, 25, 27syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
292, 8, 9, 28fsumcn 23453 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
301, 29eqeltrid 2916 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
312cnfldtopon 23366 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3231a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
33 lebnum.c . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
34 lebnum.u . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = 𝑈)
356, 3, 33, 14, 34, 9, 18, 1lebnumlem1 23544 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ+)
3635frnd 6494 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ+)
37 rpssre 12374 . . . . 5 + ⊆ ℝ
3836, 37sstrdi 3955 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
39 ax-resscn 10571 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
4039a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
41 cnrest2 21869 . . . 4 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4232, 38, 40, 41syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4330, 42mpbid 235 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
44 lebnumlem2.k . . . 4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
452tgioo2 23386 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4644, 45eqtri 2844 . . 3 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4746oveq2i 7141 . 2 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4843, 47eleqtrrdi 2923 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  cdif 3907  wss 3910  c0 4266   cuni 4811  cmpt 5119  ran crn 5529  cfv 6328  (class class class)co 7130  Fincfn 8484  infcinf 8881  cc 10512  cr 10513  *cxr 10651   < clt 10652  +crp 12367  (,)cioo 12716  Σcsu 15021  t crest 16672  TopOpenctopn 16673  topGenctg 16689  ∞Metcxmet 20505  Metcmet 20506  MetOpencmopn 20510  fldccnfld 20520  TopOnctopon 21493   Cn ccn 21807  Compccmp 21969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-ec 8266  df-map 8383  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-sum 15022  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-starv 16558  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-ip 16561  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-unif 16566  df-hom 16567  df-cco 16568  df-rest 16674  df-topn 16675  df-0g 16693  df-gsum 16694  df-topgen 16695  df-pt 16696  df-prds 16699  df-xrs 16753  df-qtop 16758  df-imas 16759  df-xps 16761  df-mre 16835  df-mrc 16836  df-acs 16838  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-submnd 17935  df-mulg 18203  df-cntz 18425  df-cmn 18886  df-psmet 20512  df-xmet 20513  df-met 20514  df-bl 20515  df-mopn 20516  df-cnfld 20521  df-top 21477  df-topon 21494  df-topsp 21516  df-bases 21529  df-cld 21602  df-ntr 21603  df-cls 21604  df-cn 21810  df-cnp 21811  df-tx 22145  df-hmeo 22338  df-xms 22905  df-ms 22906  df-tms 22907
This theorem is referenced by:  lebnumlem3  23546
  Copyright terms: Public domain W3C validator