MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnumlem2 23493
Description: Lemma for lebnum 23495. As a finite sum of point-to-set distance functions, which are continuous by metdscn 23391, the function 𝐹 is also continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lebnum.d (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lebnum.c (𝜑𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (𝜑𝑈𝐽)
lebnum.u (𝜑𝑋 = 𝑈)
lebnumlem1.u (𝜑𝑈 ∈ Fin)
lebnumlem1.n (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
lebnumlem1.f 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
lebnumlem2.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
lebnumlem2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑘,𝑧,𝐷   𝑘,𝐽,𝑦,𝑧   𝑈,𝑘,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑦,𝑧   𝑘,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧,𝑘)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem lebnumlem2
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.f . . . 4 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
2 eqid 2818 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3 lebnum.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4 metxmet 22871 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6 lebnum.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
76mopntopon 22976 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9 lebnumlem1.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
103adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
11 difssd 4106 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋)
125adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1312, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14 lebnum.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐽)
1514sselda 3964 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝐽)
16 toponss 21463 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑘𝐽) → 𝑘𝑋)
1713, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝑋)
18 lebnumlem1.n . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
19 eleq1 2897 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑋 → (𝑘𝑈𝑋𝑈))
2019notbid 319 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑋 → (¬ 𝑘𝑈 ↔ ¬ 𝑋𝑈))
2118, 20syl5ibrcom 248 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘 = 𝑋 → ¬ 𝑘𝑈))
2221necon2ad 3028 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑈𝑘𝑋))
2322imp 407 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝑋)
24 pssdifn0 4322 . . . . . . 7 ((𝑘𝑋𝑘𝑋) → (𝑋𝑘) ≠ ∅)
2517, 23, 24syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ≠ ∅)
26 eqid 2818 . . . . . . 7 (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
2726, 6, 2metdscn2 23392 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋𝑘) ≠ ∅) → (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2810, 11, 25, 27syl3anc 1363 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
292, 8, 9, 28fsumcn 23405 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
301, 29eqeltrid 2914 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
312cnfldtopon 23318 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3231a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
33 lebnum.c . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
34 lebnum.u . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = 𝑈)
356, 3, 33, 14, 34, 9, 18, 1lebnumlem1 23492 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ+)
3635frnd 6514 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ+)
37 rpssre 12384 . . . . 5 + ⊆ ℝ
3836, 37sstrdi 3976 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
39 ax-resscn 10582 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
4039a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
41 cnrest2 21822 . . . 4 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4232, 38, 40, 41syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4330, 42mpbid 233 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
44 lebnumlem2.k . . . 4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
452tgioo2 23338 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4644, 45eqtri 2841 . . 3 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4746oveq2i 7156 . 2 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4843, 47eleqtrrdi 2921 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cdif 3930  wss 3933  c0 4288   cuni 4830  cmpt 5137  ran crn 5549  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  infcinf 8893  cc 10523  cr 10524  *cxr 10662   < clt 10663  +crp 12377  (,)cioo 12726  Σcsu 15030  t crest 16682  TopOpenctopn 16683  topGenctg 16699  ∞Metcxmet 20458  Metcmet 20459  MetOpencmopn 20463  fldccnfld 20473  TopOnctopon 21446   Cn ccn 21760  Compccmp 21922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ec 8280  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859
This theorem is referenced by:  lebnumlem3  23494
  Copyright terms: Public domain W3C validator