MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnumlem2 22974
Description: Lemma for lebnum 22976. As a finite sum of point-to-set distance functions, which are continuous by metdscn 22872, the function 𝐹 is also continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lebnum.d (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lebnum.c (𝜑𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (𝜑𝑈𝐽)
lebnum.u (𝜑𝑋 = 𝑈)
lebnumlem1.u (𝜑𝑈 ∈ Fin)
lebnumlem1.n (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
lebnumlem1.f 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
lebnumlem2.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
lebnumlem2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑘,𝑧,𝐷   𝑘,𝐽,𝑦,𝑧   𝑈,𝑘,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑦,𝑧   𝑘,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧,𝑘)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem lebnumlem2
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.f . . . 4 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
2 eqid 2806 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3 lebnum.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4 metxmet 22352 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6 lebnum.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
76mopntopon 22457 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9 lebnumlem1.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
103adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
11 difssd 3937 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋)
125adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1312, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14 lebnum.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐽)
1514sselda 3798 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝐽)
16 toponss 20945 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑘𝐽) → 𝑘𝑋)
1713, 15, 16syl2anc 575 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝑋)
18 lebnumlem1.n . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
19 eleq1 2873 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑋 → (𝑘𝑈𝑋𝑈))
2019notbid 309 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑋 → (¬ 𝑘𝑈 ↔ ¬ 𝑋𝑈))
2118, 20syl5ibrcom 238 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘 = 𝑋 → ¬ 𝑘𝑈))
2221necon2ad 2993 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑈𝑘𝑋))
2322imp 395 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝑋)
24 pssdifn0 4145 . . . . . . 7 ((𝑘𝑋𝑘𝑋) → (𝑋𝑘) ≠ ∅)
2517, 23, 24syl2anc 575 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ≠ ∅)
26 eqid 2806 . . . . . . 7 (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
2726, 6, 2metdscn2 22873 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋𝑘) ≠ ∅) → (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2810, 11, 25, 27syl3anc 1483 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
292, 8, 9, 28fsumcn 22886 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
301, 29syl5eqel 2889 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
312cnfldtopon 22799 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3231a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
33 lebnum.c . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
34 lebnum.u . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = 𝑈)
356, 3, 33, 14, 34, 9, 18, 1lebnumlem1 22973 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ+)
3635frnd 6263 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ+)
37 rpssre 12057 . . . . 5 + ⊆ ℝ
3836, 37syl6ss 3810 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
39 ax-resscn 10278 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
4039a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
41 cnrest2 21304 . . . 4 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4232, 38, 40, 41syl3anc 1483 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4330, 42mpbid 223 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
44 lebnumlem2.k . . . 4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
452tgioo2 22819 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4644, 45eqtri 2828 . . 3 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4746oveq2i 6885 . 2 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4843, 47syl6eleqr 2896 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  cdif 3766  wss 3769  c0 4116   cuni 4630  cmpt 4923  ran crn 5312  cfv 6101  (class class class)co 6874  Fincfn 8192  infcinf 8586  cc 10219  cr 10220  *cxr 10358   < clt 10359  +crp 12046  (,)cioo 12393  Σcsu 14639  t crest 16286  TopOpenctopn 16287  topGenctg 16303  ∞Metcxmt 19939  Metcme 19940  MetOpencmopn 19944  fldccnfld 19954  TopOnctopon 20928   Cn ccn 21242  Compccmp 21403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299  ax-addf 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-of 7127  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-supp 7530  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-er 7979  df-ec 7981  df-map 8094  df-ixp 8146  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fsupp 8515  df-fi 8556  df-sup 8587  df-inf 8588  df-oi 8654  df-card 9048  df-cda 9275  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-xneg 12162  df-xadd 12163  df-xmul 12164  df-ioo 12397  df-ico 12399  df-icc 12400  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-seq 13025  df-exp 13084  df-hash 13338  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-clim 14442  df-sum 14640  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-starv 16168  df-sca 16169  df-vsca 16170  df-ip 16171  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-unif 16176  df-hom 16177  df-cco 16178  df-rest 16288  df-topn 16289  df-0g 16307  df-gsum 16308  df-topgen 16309  df-pt 16310  df-prds 16313  df-xrs 16367  df-qtop 16372  df-imas 16373  df-xps 16375  df-mre 16451  df-mrc 16452  df-acs 16454  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-submnd 17541  df-mulg 17746  df-cntz 17951  df-cmn 18396  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340
This theorem is referenced by:  lebnumlem3  22975
  Copyright terms: Public domain W3C validator