Theorem inf3lem3 9559

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9564 for detailed description. In the proof, we invoke the Axiom of Regularity in the form of zfreg 9524. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2	⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3	⊢ 𝐴 ∈ V
inf3lem.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
inf3lem3	⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem3

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inf3lem.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
2		inf3lem.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
3		inf3lem.3	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		inf3lem.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	1, 2, 3, 4	inf3lemd 9556	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)
6	1, 2, 3, 4	inf3lem2 9558	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑥))
7	6	com12 32	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑥))
8		pssdifn0 4327	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑥) → (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ≠ ∅)
9	5, 7, 8	syl6an 684	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ≠ ∅))
10		vex 3448	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
11	10	difexi 5280	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∈ V
12		zfreg 9524	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∈ V ∧ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))(𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅)
13	11, 12	mpan 690	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ≠ ∅ → ∃𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))(𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅)
14		eldifi 4090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) → 𝑣 ∈ 𝑥)
15		inssdif0 4333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∩ 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅)
16	15	biimpri 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅ → (𝑣 ∩ 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝐴))
17	14, 16	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅) → (𝑣 ∈ 𝑥 ∧ (𝑣 ∩ 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
18		vex 3448	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑣 ∈ V
19		fvex 6853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
20	1, 2, 18, 19	inf3lema 9553	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐺‘(𝐹‘𝐴)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑥 ∧ (𝑣 ∩ 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
21	17, 20	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅) → 𝑣 ∈ (𝐺‘(𝐹‘𝐴)))
22	1, 2, 3, 4	inf3lemc 9555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝐴) = (𝐺‘(𝐹‘𝐴)))
23	22	eleq2d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ↔ 𝑣 ∈ (𝐺‘(𝐹‘𝐴))))
24	21, 23	imbitrrid 246	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅) → 𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴)))
25		eldifn 4091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴))
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴))
27	24, 26	jca2 513	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅) → (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴))))
28		eleq2 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘suc 𝐴) → (𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴) ↔ 𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴)))
29	28	biimprd 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘suc 𝐴) → (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) → 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴)))
30		iman 401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) → 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴)) ↔ ¬ (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴)))
31	29, 30	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘suc 𝐴) → ¬ (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴)))
32	31	necon2ai 2954	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴))
33	27, 32	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅) → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
34	33	expd 415	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) → ((𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅ → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴))))
35	34	rexlimdv 3132	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∃𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))(𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅ → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
36	13, 35	syl5 34	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ≠ ∅ → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
37	9, 36	syldc 48	1 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3402  Vcvv 3444   ∖ cdif 3908   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ∪ cuni 4867   ↦ cmpt 5183   ↾ cres 5633  suc csuc 6322  ‘cfv 6499  ωcom 7822  reccrdg 8354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-reg 9521

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355

This theorem is referenced by:  inf3lem4  9560