Theorem inf3lem3 9545

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9550 for detailed description. In the proof, we invoke the Axiom of Regularity in the form of zfreg 9507. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2	⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3	⊢ 𝐴 ∈ V
inf3lem.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
inf3lem3	⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem3

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inf3lem.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
2		inf3lem.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
3		inf3lem.3	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		inf3lem.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	1, 2, 3, 4	inf3lemd 9542	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)
6	1, 2, 3, 4	inf3lem2 9544	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑥))
7	6	com12 32	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑥))
8		pssdifn0 4321	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑥) → (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ≠ ∅)
9	5, 7, 8	syl6an 684	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ≠ ∅))
10		vex 3442	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
11	10	difexi 5272	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∈ V
12		zfreg 9507	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∈ V ∧ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))(𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅)
13	11, 12	mpan 690	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ≠ ∅ → ∃𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))(𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅)
14		eldifi 4084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) → 𝑣 ∈ 𝑥)
15		inssdif0 4327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∩ 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅)
16	15	biimpri 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅ → (𝑣 ∩ 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝐴))
17	14, 16	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅) → (𝑣 ∈ 𝑥 ∧ (𝑣 ∩ 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
18		vex 3442	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑣 ∈ V
19		fvex 6839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
20	1, 2, 18, 19	inf3lema 9539	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐺‘(𝐹‘𝐴)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑥 ∧ (𝑣 ∩ 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
21	17, 20	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅) → 𝑣 ∈ (𝐺‘(𝐹‘𝐴)))
22	1, 2, 3, 4	inf3lemc 9541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝐴) = (𝐺‘(𝐹‘𝐴)))
23	22	eleq2d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ↔ 𝑣 ∈ (𝐺‘(𝐹‘𝐴))))
24	21, 23	imbitrrid 246	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅) → 𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴)))
25		eldifn 4085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴))
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴))
27	24, 26	jca2 513	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅) → (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴))))
28		eleq2 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘suc 𝐴) → (𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴) ↔ 𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴)))
29	28	biimprd 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘suc 𝐴) → (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) → 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴)))
30		iman 401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) → 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴)) ↔ ¬ (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴)))
31	29, 30	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘suc 𝐴) → ¬ (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴)))
32	31	necon2ai 2954	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴))
33	27, 32	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅) → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
34	33	expd 415	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) → ((𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅ → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴))))
35	34	rexlimdv 3128	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∃𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))(𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅ → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
36	13, 35	syl5 34	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ≠ ∅ → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
37	9, 36	syldc 48	1 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3396  Vcvv 3438   ∖ cdif 3902   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ∪ cuni 4861   ↦ cmpt 5176   ↾ cres 5625  suc csuc 6313  ‘cfv 6486  ωcom 7806  reccrdg 8338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-reg 9503

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339

This theorem is referenced by:  inf3lem4  9546