MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inf3lem3 9081
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9086 for detailed description. In the proof, we invoke the Axiom of Regularity in the form of zfreg 9047. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3 𝐴 ∈ V
inf3lem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
inf3lem3 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem3
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inf3lem.1 . . . 4 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
2 inf3lem.2 . . . 4 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
3 inf3lem.3 . . . 4 𝐴 ∈ V
4 inf3lem.4 . . . 4 𝐵 ∈ V
51, 2, 3, 4inf3lemd 9078 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ⊆ 𝑥)
61, 2, 3, 4inf3lem2 9080 . . . 4 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
76com12 32 . . 3 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
8 pssdifn0 4282 . . 3 (((𝐹𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑥) → (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ≠ ∅)
95, 7, 8syl6an 683 . 2 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ≠ ∅))
10 vex 3447 . . . . 5 𝑥 ∈ V
1110difexi 5199 . . . 4 (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∈ V
12 zfreg 9047 . . . 4 (((𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∈ V ∧ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))(𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅)
1311, 12mpan 689 . . 3 ((𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ≠ ∅ → ∃𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))(𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅)
14 eldifi 4057 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) → 𝑣𝑥)
15 inssdif0 4286 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣𝑥) ⊆ (𝐹𝐴) ↔ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅)
1615biimpri 231 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅ → (𝑣𝑥) ⊆ (𝐹𝐴))
1714, 16anim12i 615 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → (𝑣𝑥 ∧ (𝑣𝑥) ⊆ (𝐹𝐴)))
18 vex 3447 . . . . . . . . . 10 𝑣 ∈ V
19 fvex 6662 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴) ∈ V
201, 2, 18, 19inf3lema 9075 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ (𝐺‘(𝐹𝐴)) ↔ (𝑣𝑥 ∧ (𝑣𝑥) ⊆ (𝐹𝐴)))
2117, 20sylibr 237 . . . . . . . 8 ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → 𝑣 ∈ (𝐺‘(𝐹𝐴)))
221, 2, 3, 4inf3lemc 9077 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝐴) = (𝐺‘(𝐹𝐴)))
2322eleq2d 2878 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ↔ 𝑣 ∈ (𝐺‘(𝐹𝐴))))
2421, 23syl5ibr 249 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → 𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴)))
25 eldifn 4058 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴))
2625adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴))
2724, 26jca2 517 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴))))
28 eleq2 2881 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴) = (𝐹‘suc 𝐴) → (𝑣 ∈ (𝐹𝐴) ↔ 𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴)))
2928biimprd 251 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴) = (𝐹‘suc 𝐴) → (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) → 𝑣 ∈ (𝐹𝐴)))
30 iman 405 . . . . . . . 8 ((𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) → 𝑣 ∈ (𝐹𝐴)) ↔ ¬ (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴)))
3129, 30sylib 221 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) = (𝐹‘suc 𝐴) → ¬ (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴)))
3231necon2ai 3019 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴)) → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴))
3327, 32syl6 35 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
3433expd 419 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) → ((𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅ → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴))))
3534rexlimdv 3245 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (∃𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))(𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅ → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
3613, 35syl5 34 . 2 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ≠ ∅ → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
379, 36syldc 48 1 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wrex 3110  {crab 3113  Vcvv 3444  cdif 3881  cin 3883  wss 3884  c0 4246   cuni 4803  cmpt 5113  cres 5525  suc csuc 6165  cfv 6328  ωcom 7564  reccrdg 8032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-reg 9044
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033
This theorem is referenced by:  inf3lem4  9082
  Copyright terms: Public domain W3C validator