Theorem inf3lem3 9602

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9607 for detailed description. In the proof, we invoke the Axiom of Regularity in the form of zfreg 9561. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2	⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3	⊢ 𝐴 ∈ V
inf3lem.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
inf3lem3	⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑤)   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑤)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑤)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑤)

Proof of Theorem inf3lem3

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inf3lem.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
2		inf3lem.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
3		inf3lem.3	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		inf3lem.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	1, 2, 3, 4	inf3lemd 9599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)
6	1, 2, 3, 4	inf3lem2 9601	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑥))
7	6	com12 33	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑥))
8		pssdifn0 4323	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑥) → (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ≠ ∅)
9	5, 7, 8	syl6an 697	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ≠ ∅))
10		vex 3461	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
11	10	difexi 5303	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∈ V
12		zfreg 9561	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∈ V ∧ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))(𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅)
13	11, 12	mpan 703	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ≠ ∅ → ∃𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))(𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅)
14		eldifi 4085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) → 𝑣 ∈ 𝑥)
15		inssdif0 4329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∩ 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅)
16	15	biimpri 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅ → (𝑣 ∩ 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝐴))
17	14, 16	anim12i 625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅) → (𝑣 ∈ 𝑥 ∧ (𝑣 ∩ 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
18		vex 3461	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑣 ∈ V
19		fvex 6898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
20	1, 2, 18, 19	inf3lema 9596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐺‘(𝐹‘𝐴)) ↔ (𝑣 ∈ 𝑥 ∧ (𝑣 ∩ 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
21	17, 20	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅) → 𝑣 ∈ (𝐺‘(𝐹‘𝐴)))
22	1, 2, 3, 4	inf3lemc 9598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝐴) = (𝐺‘(𝐹‘𝐴)))
23	22	eleq2d 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ↔ 𝑣 ∈ (𝐺‘(𝐹‘𝐴))))
24	21, 23	imbitrrid 249	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅) → 𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴)))
25		eldifn 4086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴))
26	25	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴))
27	24, 26	jca2 523	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅) → (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴))))
28		eleq2 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘suc 𝐴) → (𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴) ↔ 𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴)))
29	28	biimprd 251	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘suc 𝐴) → (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) → 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴)))
30		iman 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) → 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴)) ↔ ¬ (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴)))
31	29, 30	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘suc 𝐴) → ¬ (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴)))
32	31	necon2ai 2989	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴))
33	27, 32	syl6 36	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅) → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
34	33	expd 421	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) → ((𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅ → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴))))
35	34	rexlimdv 3166	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∃𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))(𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴))) = ∅ → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
36	13, 35	syl5 35	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ∖ (𝐹‘𝐴)) ≠ ∅ → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
37	9, 36	syldc 49	1 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  {crab 3418  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  ∪ cuni 4874   ↦ cmpt 5194   ↾ cres 5665  suc csuc 6366  ‘cfv 6540  ωcom 7864  reccrdg 8398

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-reg 9557

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399

This theorem is used by:  inf3lem4  9603