MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inf3lem3 9624
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9629 for detailed description. In the proof, we invoke the Axiom of Regularity in the form of zfreg 9589. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3 𝐴 ∈ V
inf3lem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
inf3lem3 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem3
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inf3lem.1 . . . 4 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
2 inf3lem.2 . . . 4 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
3 inf3lem.3 . . . 4 𝐴 ∈ V
4 inf3lem.4 . . . 4 𝐵 ∈ V
51, 2, 3, 4inf3lemd 9621 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ⊆ 𝑥)
61, 2, 3, 4inf3lem2 9623 . . . 4 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
76com12 32 . . 3 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
8 pssdifn0 4360 . . 3 (((𝐹𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑥) → (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ≠ ∅)
95, 7, 8syl6an 681 . 2 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ≠ ∅))
10 vex 3472 . . . . 5 𝑥 ∈ V
1110difexi 5321 . . . 4 (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∈ V
12 zfreg 9589 . . . 4 (((𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∈ V ∧ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))(𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅)
1311, 12mpan 687 . . 3 ((𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ≠ ∅ → ∃𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))(𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅)
14 eldifi 4121 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) → 𝑣𝑥)
15 inssdif0 4364 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣𝑥) ⊆ (𝐹𝐴) ↔ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅)
1615biimpri 227 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅ → (𝑣𝑥) ⊆ (𝐹𝐴))
1714, 16anim12i 612 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → (𝑣𝑥 ∧ (𝑣𝑥) ⊆ (𝐹𝐴)))
18 vex 3472 . . . . . . . . . 10 𝑣 ∈ V
19 fvex 6897 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴) ∈ V
201, 2, 18, 19inf3lema 9618 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ (𝐺‘(𝐹𝐴)) ↔ (𝑣𝑥 ∧ (𝑣𝑥) ⊆ (𝐹𝐴)))
2117, 20sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → 𝑣 ∈ (𝐺‘(𝐹𝐴)))
221, 2, 3, 4inf3lemc 9620 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝐴) = (𝐺‘(𝐹𝐴)))
2322eleq2d 2813 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ↔ 𝑣 ∈ (𝐺‘(𝐹𝐴))))
2421, 23imbitrrid 245 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → 𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴)))
25 eldifn 4122 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴))
2625adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴))
2724, 26jca2 513 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴))))
28 eleq2 2816 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴) = (𝐹‘suc 𝐴) → (𝑣 ∈ (𝐹𝐴) ↔ 𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴)))
2928biimprd 247 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴) = (𝐹‘suc 𝐴) → (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) → 𝑣 ∈ (𝐹𝐴)))
30 iman 401 . . . . . . . 8 ((𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) → 𝑣 ∈ (𝐹𝐴)) ↔ ¬ (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴)))
3129, 30sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) = (𝐹‘suc 𝐴) → ¬ (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴)))
3231necon2ai 2964 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴)) → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴))
3327, 32syl6 35 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
3433expd 415 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) → ((𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅ → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴))))
3534rexlimdv 3147 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (∃𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))(𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅ → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
3613, 35syl5 34 . 2 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ≠ ∅ → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
379, 36syldc 48 1 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468  cdif 3940  cin 3942  wss 3943  c0 4317   cuni 4902  cmpt 5224  cres 5671  suc csuc 6359  cfv 6536  ωcom 7851  reccrdg 8407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-reg 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408
This theorem is referenced by:  inf3lem4  9625
  Copyright terms: Public domain W3C validator