MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inf3lem3 8939
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 8944 for detailed description. In the proof, we invoke the Axiom of Regularity in the form of zfreg 8905. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3 𝐴 ∈ V
inf3lem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
inf3lem3 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem3
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inf3lem.1 . . . 4 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
2 inf3lem.2 . . . 4 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
3 inf3lem.3 . . . 4 𝐴 ∈ V
4 inf3lem.4 . . . 4 𝐵 ∈ V
51, 2, 3, 4inf3lemd 8936 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ⊆ 𝑥)
61, 2, 3, 4inf3lem2 8938 . . . 4 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
76com12 32 . . 3 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
8 pssdifn0 4245 . . 3 (((𝐹𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑥) → (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ≠ ∅)
95, 7, 8syl6an 680 . 2 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ≠ ∅))
10 vex 3440 . . . . 5 𝑥 ∈ V
1110difexi 5123 . . . 4 (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∈ V
12 zfreg 8905 . . . 4 (((𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∈ V ∧ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))(𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅)
1311, 12mpan 686 . . 3 ((𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ≠ ∅ → ∃𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))(𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅)
14 eldifi 4024 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) → 𝑣𝑥)
15 inssdif0 4249 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣𝑥) ⊆ (𝐹𝐴) ↔ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅)
1615biimpri 229 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅ → (𝑣𝑥) ⊆ (𝐹𝐴))
1714, 16anim12i 612 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → (𝑣𝑥 ∧ (𝑣𝑥) ⊆ (𝐹𝐴)))
18 vex 3440 . . . . . . . . . 10 𝑣 ∈ V
19 fvex 6551 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴) ∈ V
201, 2, 18, 19inf3lema 8933 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ (𝐺‘(𝐹𝐴)) ↔ (𝑣𝑥 ∧ (𝑣𝑥) ⊆ (𝐹𝐴)))
2117, 20sylibr 235 . . . . . . . 8 ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → 𝑣 ∈ (𝐺‘(𝐹𝐴)))
221, 2, 3, 4inf3lemc 8935 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝐴) = (𝐺‘(𝐹𝐴)))
2322eleq2d 2868 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ↔ 𝑣 ∈ (𝐺‘(𝐹𝐴))))
2421, 23syl5ibr 247 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → 𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴)))
25 eldifn 4025 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴))
2625adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴))
2724, 26jca2 514 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴))))
28 eleq2 2871 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴) = (𝐹‘suc 𝐴) → (𝑣 ∈ (𝐹𝐴) ↔ 𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴)))
2928biimprd 249 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴) = (𝐹‘suc 𝐴) → (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) → 𝑣 ∈ (𝐹𝐴)))
30 iman 402 . . . . . . . 8 ((𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) → 𝑣 ∈ (𝐹𝐴)) ↔ ¬ (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴)))
3129, 30sylib 219 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) = (𝐹‘suc 𝐴) → ¬ (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴)))
3231necon2ai 3013 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴)) → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴))
3327, 32syl6 35 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
3433expd 416 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) → ((𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅ → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴))))
3534rexlimdv 3246 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (∃𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))(𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅ → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
3613, 35syl5 34 . 2 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ≠ ∅ → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
379, 36syldc 48 1 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wrex 3106  {crab 3109  Vcvv 3437  cdif 3856  cin 3858  wss 3859  c0 4211   cuni 4745  cmpt 5041  cres 5445  suc csuc 6068  cfv 6225  ωcom 7436  reccrdg 7897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-reg 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898
This theorem is referenced by:  inf3lem4  8940
  Copyright terms: Public domain W3C validator