MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnumlem1 24903
Description: Lemma for lebnum 24906. The function 𝐹 measures the sum of all of the distances to escape the sets of the cover. Since by assumption it is a cover, there is at least one set which covers a given point, and since it is open, the point is a positive distance from the edge of the set. Thus, the sum is a strictly positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
lebnum.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
lebnum.c (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
lebnum.u (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
lebnumlem1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
lebnumlem1.n (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
lebnumlem1.f 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
lebnumlem1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„+)
Distinct variable groups:   𝑦,π‘˜,𝑧,𝐷   π‘˜,𝐽,𝑦,𝑧   π‘ˆ,π‘˜,𝑦,𝑧   πœ‘,π‘˜,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem lebnumlem1
Dummy variables π‘š 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
21adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
3 lebnum.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
43ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
5 difssd 4125 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 βˆ– π‘˜) βŠ† 𝑋)
6 lebnum.s . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
76adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
87sselda 3972 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ 𝐽)
9 elssuni 4935 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝐽 β†’ π‘˜ βŠ† βˆͺ 𝐽)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ βŠ† βˆͺ 𝐽)
11 metxmet 24256 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
123, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
13 lebnum.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
1413mopnuni 24363 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1615ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1710, 16sseqtrrd 4014 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
18 lebnumlem1.n . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
19 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑋 β†’ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2019notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑋 β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ ↔ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2118, 20syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ = 𝑋 β†’ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
2221necon2ad 2945 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ π‘˜ β‰  𝑋))
2322adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ π‘˜ β‰  𝑋))
2423imp 405 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ β‰  𝑋)
25 pssdifn0 4361 . . . . . . . 8 ((π‘˜ βŠ† 𝑋 ∧ π‘˜ β‰  𝑋) β†’ (𝑋 βˆ– π‘˜) β‰  βˆ…)
2617, 24, 25syl2anc 582 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 βˆ– π‘˜) β‰  βˆ…)
27 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
2827metdsre 24785 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– π‘˜) βŠ† 𝑋 ∧ (𝑋 βˆ– π‘˜) β‰  βˆ…) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆβ„)
294, 5, 26, 28syl3anc 1368 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆβ„)
3027fmpt 7114 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆβ„)
3129, 30sylibr 233 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
32 simplr 767 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
33 rsp 3235 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
3431, 32, 33sylc 65 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
352, 34fsumrecl 15710 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
36 lebnum.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
3736eleq2d 2811 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↔ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘ˆ))
3837biimpa 475 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘ˆ)
39 eluni2 4907 . . . . 5 (𝑦 ∈ βˆͺ π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘š ∈ π‘ˆ 𝑦 ∈ π‘š)
4038, 39sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘š ∈ π‘ˆ 𝑦 ∈ π‘š)
41 0red 11245 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 0 ∈ ℝ)
42 simplr 767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
43 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
4443metdsval 24779 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
4542, 44syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
463ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
47 difssd 4125 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (𝑋 βˆ– π‘š) βŠ† 𝑋)
486ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
49 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ π‘š ∈ π‘ˆ)
5048, 49sseldd 3973 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ π‘š ∈ 𝐽)
51 elssuni 4935 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ 𝐽 β†’ π‘š βŠ† βˆͺ 𝐽)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ π‘š βŠ† βˆͺ 𝐽)
5346, 11, 143syl 18 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
5452, 53sseqtrrd 4014 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ π‘š βŠ† 𝑋)
55 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑋 β†’ (π‘š ∈ π‘ˆ ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
5655notbid 317 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑋 β†’ (Β¬ π‘š ∈ π‘ˆ ↔ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
5718, 56syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘š = 𝑋 β†’ Β¬ π‘š ∈ π‘ˆ))
5857necon2ad 2945 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ π‘ˆ β†’ π‘š β‰  𝑋))
5958ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (π‘š ∈ π‘ˆ β†’ π‘š β‰  𝑋))
6049, 59mpd 15 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ π‘š β‰  𝑋)
61 pssdifn0 4361 . . . . . . . . 9 ((π‘š βŠ† 𝑋 ∧ π‘š β‰  𝑋) β†’ (𝑋 βˆ– π‘š) β‰  βˆ…)
6254, 60, 61syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (𝑋 βˆ– π‘š) β‰  βˆ…)
6343metdsre 24785 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– π‘š) βŠ† 𝑋 ∧ (𝑋 βˆ– π‘š) β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆβ„)
6446, 47, 62, 63syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆβ„)
6564, 42ffvelcdmd 7089 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
6645, 65eqeltrrd 2826 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
6735adantr 479 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
6812ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
6943metdsf 24780 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– π‘š) βŠ† 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
7068, 47, 69syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
7170, 42ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
72 elxrge0 13464 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦)))
7371, 72sylib 217 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦)))
7473simprd 494 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 0 ≀ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦))
75 elndif 4121 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ π‘š β†’ Β¬ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š))
7675ad2antll 727 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š))
7753difeq1d 4113 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (𝑋 βˆ– π‘š) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘š))
7813mopntop 24362 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
7968, 78syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
80 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
8180opncld 22953 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘š ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘š) ∈ (Clsdβ€˜π½))
8279, 50, 81syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘š) ∈ (Clsdβ€˜π½))
8377, 82eqeltrd 2825 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (𝑋 βˆ– π‘š) ∈ (Clsdβ€˜π½))
84 cldcls 22962 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 βˆ– π‘š) ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– π‘š)) = (𝑋 βˆ– π‘š))
8583, 84syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– π‘š)) = (𝑋 βˆ– π‘š))
8676, 85neleqtrrd 2848 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– π‘š)))
8743, 13metdseq0 24786 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– π‘š) βŠ† 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) = 0 ↔ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– π‘š))))
8868, 47, 42, 87syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) = 0 ↔ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– π‘š))))
8988necon3abid 2967 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) β‰  0 ↔ Β¬ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– π‘š))))
9086, 89mpbird 256 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) β‰  0)
9165, 74, 90ne0gt0d 11379 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 0 < ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦))
9291, 45breqtrd 5169 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 0 < inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
931ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
9434adantlr 713 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
9512ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
9627metdsf 24780 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– π‘˜) βŠ† 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
9795, 5, 96syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
9827fmpt 7114 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
9997, 98sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
100 rsp 3235 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞)))
10199, 32, 100sylc 65 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
102 elxrge0 13464 . . . . . . . . 9 (inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )))
103101, 102sylib 217 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )))
104103simprd 494 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 0 ≀ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
105104adantlr 713 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 0 ≀ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
106 difeq2 4108 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝑋 βˆ– π‘˜) = (𝑋 βˆ– π‘š))
107106mpteq1d 5238 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)))
108107rneqd 5934 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)) = ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)))
109108infeq1d 9498 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘š β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11093, 94, 105, 109, 49fsumge1 15773 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11141, 66, 67, 92, 110ltletrd 11402 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 0 < Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11240, 111rexlimddv 3151 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 < Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11335, 112elrpd 13043 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ+)
114 lebnumlem1.f . 2 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
115113, 114fmptd 7118 1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βˆ– cdif 3937   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  ran crn 5673  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Fincfn 8960  infcinf 9462  β„cr 11135  0cc0 11136  +∞cpnf 11273  β„*cxr 11275   < clt 11276   ≀ cle 11277  β„+crp 13004  [,]cicc 13357  Ξ£csu 15662  βˆžMetcxmet 21266  Metcmet 21267  MetOpencmopn 21271  Topctop 22811  Clsdccld 22936  clsccl 22938  Compccmp 23306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-ec 8723  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-topgen 17422  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-top 22812  df-topon 22829  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941
This theorem is referenced by:  lebnumlem2  24904  lebnumlem3  24905
  Copyright terms: Public domain W3C validator