MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnumlem1 24246
Description: Lemma for lebnum 24249. The function 𝐹 measures the sum of all of the distances to escape the sets of the cover. Since by assumption it is a cover, there is at least one set which covers a given point, and since it is open, the point is a positive distance from the edge of the set. Thus, the sum is a strictly positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
lebnum.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
lebnum.c (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
lebnum.u (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
lebnumlem1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
lebnumlem1.n (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
lebnumlem1.f 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
lebnumlem1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„+)
Distinct variable groups:   𝑦,π‘˜,𝑧,𝐷   π‘˜,𝐽,𝑦,𝑧   π‘ˆ,π‘˜,𝑦,𝑧   πœ‘,π‘˜,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem lebnumlem1
Dummy variables π‘š 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
21adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
3 lebnum.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
43ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
5 difssd 4090 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 βˆ– π‘˜) βŠ† 𝑋)
6 lebnum.s . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
76adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
87sselda 3942 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ 𝐽)
9 elssuni 4896 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝐽 β†’ π‘˜ βŠ† βˆͺ 𝐽)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ βŠ† βˆͺ 𝐽)
11 metxmet 23609 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
123, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
13 lebnum.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
1413mopnuni 23716 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1615ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1710, 16sseqtrrd 3983 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
18 lebnumlem1.n . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
19 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑋 β†’ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2019notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑋 β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ ↔ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2118, 20syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ = 𝑋 β†’ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
2221necon2ad 2956 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ π‘˜ β‰  𝑋))
2322adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ π‘˜ β‰  𝑋))
2423imp 407 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ β‰  𝑋)
25 pssdifn0 4323 . . . . . . . 8 ((π‘˜ βŠ† 𝑋 ∧ π‘˜ β‰  𝑋) β†’ (𝑋 βˆ– π‘˜) β‰  βˆ…)
2617, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 βˆ– π‘˜) β‰  βˆ…)
27 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
2827metdsre 24138 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– π‘˜) βŠ† 𝑋 ∧ (𝑋 βˆ– π‘˜) β‰  βˆ…) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆβ„)
294, 5, 26, 28syl3anc 1371 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆβ„)
3027fmpt 7052 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆβ„)
3129, 30sylibr 233 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
32 simplr 767 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
33 rsp 3228 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
3431, 32, 33sylc 65 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
352, 34fsumrecl 15553 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
36 lebnum.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
3736eleq2d 2823 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↔ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘ˆ))
3837biimpa 477 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘ˆ)
39 eluni2 4867 . . . . 5 (𝑦 ∈ βˆͺ π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘š ∈ π‘ˆ 𝑦 ∈ π‘š)
4038, 39sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘š ∈ π‘ˆ 𝑦 ∈ π‘š)
41 0red 11091 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 0 ∈ ℝ)
42 simplr 767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
43 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
4443metdsval 24132 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
4542, 44syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
463ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
47 difssd 4090 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (𝑋 βˆ– π‘š) βŠ† 𝑋)
486ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
49 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ π‘š ∈ π‘ˆ)
5048, 49sseldd 3943 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ π‘š ∈ 𝐽)
51 elssuni 4896 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ 𝐽 β†’ π‘š βŠ† βˆͺ 𝐽)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ π‘š βŠ† βˆͺ 𝐽)
5346, 11, 143syl 18 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
5452, 53sseqtrrd 3983 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ π‘š βŠ† 𝑋)
55 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑋 β†’ (π‘š ∈ π‘ˆ ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
5655notbid 317 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑋 β†’ (Β¬ π‘š ∈ π‘ˆ ↔ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
5718, 56syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘š = 𝑋 β†’ Β¬ π‘š ∈ π‘ˆ))
5857necon2ad 2956 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ π‘ˆ β†’ π‘š β‰  𝑋))
5958ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (π‘š ∈ π‘ˆ β†’ π‘š β‰  𝑋))
6049, 59mpd 15 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ π‘š β‰  𝑋)
61 pssdifn0 4323 . . . . . . . . 9 ((π‘š βŠ† 𝑋 ∧ π‘š β‰  𝑋) β†’ (𝑋 βˆ– π‘š) β‰  βˆ…)
6254, 60, 61syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (𝑋 βˆ– π‘š) β‰  βˆ…)
6343metdsre 24138 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– π‘š) βŠ† 𝑋 ∧ (𝑋 βˆ– π‘š) β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆβ„)
6446, 47, 62, 63syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆβ„)
6564, 42ffvelcdmd 7030 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
6645, 65eqeltrrd 2839 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
6735adantr 481 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
6812ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
6943metdsf 24133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– π‘š) βŠ† 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
7068, 47, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
7170, 42ffvelcdmd 7030 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
72 elxrge0 13302 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦)))
7371, 72sylib 217 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦)))
7473simprd 496 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 0 ≀ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦))
75 elndif 4086 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ π‘š β†’ Β¬ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š))
7675ad2antll 727 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š))
7753difeq1d 4079 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (𝑋 βˆ– π‘š) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘š))
7813mopntop 23715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
7968, 78syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
80 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
8180opncld 22306 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘š ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘š) ∈ (Clsdβ€˜π½))
8279, 50, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘š) ∈ (Clsdβ€˜π½))
8377, 82eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (𝑋 βˆ– π‘š) ∈ (Clsdβ€˜π½))
84 cldcls 22315 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 βˆ– π‘š) ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– π‘š)) = (𝑋 βˆ– π‘š))
8583, 84syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– π‘š)) = (𝑋 βˆ– π‘š))
8676, 85neleqtrrd 2860 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– π‘š)))
8743, 13metdseq0 24139 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– π‘š) βŠ† 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) = 0 ↔ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– π‘š))))
8868, 47, 42, 87syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) = 0 ↔ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– π‘š))))
8988necon3abid 2978 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) β‰  0 ↔ Β¬ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– π‘š))))
9086, 89mpbird 256 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) β‰  0)
9165, 74, 90ne0gt0d 11225 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 0 < ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦))
9291, 45breqtrd 5129 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 0 < inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
931ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
9434adantlr 713 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
9512ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
9627metdsf 24133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– π‘˜) βŠ† 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
9795, 5, 96syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
9827fmpt 7052 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
9997, 98sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
100 rsp 3228 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞)))
10199, 32, 100sylc 65 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
102 elxrge0 13302 . . . . . . . . 9 (inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )))
103101, 102sylib 217 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )))
104103simprd 496 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 0 ≀ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
105104adantlr 713 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 0 ≀ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
106 difeq2 4074 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝑋 βˆ– π‘˜) = (𝑋 βˆ– π‘š))
107106mpteq1d 5198 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)))
108107rneqd 5889 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)) = ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)))
109108infeq1d 9346 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘š β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11093, 94, 105, 109, 49fsumge1 15616 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11141, 66, 67, 92, 110ltletrd 11248 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 0 < Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11240, 111rexlimddv 3156 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 < Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11335, 112elrpd 12882 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ+)
114 lebnumlem1.f . 2 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
115113, 114fmptd 7056 1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3905   βŠ† wss 3908  βˆ…c0 4280  βˆͺ cuni 4863   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5631  βŸΆwf 6487  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  Fincfn 8816  infcinf 9310  β„cr 10983  0cc0 10984  +∞cpnf 11119  β„*cxr 11121   < clt 11122   ≀ cle 11123  β„+crp 12843  [,]cicc 13195  Ξ£csu 15504  βˆžMetcxmet 20704  Metcmet 20705  MetOpencmopn 20709  Topctop 22164  Clsdccld 22289  clsccl 22291  Compccmp 22659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-inf2 9510  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8581  df-ec 8583  df-map 8700  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-sup 9311  df-inf 9312  df-oi 9379  df-card 9808  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-q 12802  df-rp 12844  df-xneg 12961  df-xadd 12962  df-xmul 12963  df-ico 13198  df-icc 13199  df-fz 13353  df-fzo 13496  df-seq 13835  df-exp 13896  df-hash 14158  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-clim 15304  df-sum 15505  df-topgen 17259  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-met 20713  df-bl 20714  df-mopn 20715  df-top 22165  df-topon 22182  df-bases 22218  df-cld 22292  df-ntr 22293  df-cls 22294
This theorem is referenced by:  lebnumlem2  24247  lebnumlem3  24248
  Copyright terms: Public domain W3C validator