MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnumlem1 24842
Description: Lemma for lebnum 24845. The function 𝐹 measures the sum of all of the distances to escape the sets of the cover. Since by assumption it is a cover, there is at least one set which covers a given point, and since it is open, the point is a positive distance from the edge of the set. Thus, the sum is a strictly positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
lebnum.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
lebnum.c (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
lebnum.u (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
lebnumlem1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
lebnumlem1.n (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
lebnumlem1.f 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
lebnumlem1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„+)
Distinct variable groups:   𝑦,π‘˜,𝑧,𝐷   π‘˜,𝐽,𝑦,𝑧   π‘ˆ,π‘˜,𝑦,𝑧   πœ‘,π‘˜,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem lebnumlem1
Dummy variables π‘š 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
21adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
3 lebnum.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
43ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
5 difssd 4127 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 βˆ– π‘˜) βŠ† 𝑋)
6 lebnum.s . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
76adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
87sselda 3977 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ 𝐽)
9 elssuni 4934 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝐽 β†’ π‘˜ βŠ† βˆͺ 𝐽)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ βŠ† βˆͺ 𝐽)
11 metxmet 24195 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
123, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
13 lebnum.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
1413mopnuni 24302 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1615ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1710, 16sseqtrrd 4018 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
18 lebnumlem1.n . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
19 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑋 β†’ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2019notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑋 β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ ↔ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2118, 20syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ = 𝑋 β†’ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
2221necon2ad 2949 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ π‘˜ β‰  𝑋))
2322adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ π‘˜ β‰  𝑋))
2423imp 406 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ β‰  𝑋)
25 pssdifn0 4360 . . . . . . . 8 ((π‘˜ βŠ† 𝑋 ∧ π‘˜ β‰  𝑋) β†’ (𝑋 βˆ– π‘˜) β‰  βˆ…)
2617, 24, 25syl2anc 583 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 βˆ– π‘˜) β‰  βˆ…)
27 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
2827metdsre 24724 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– π‘˜) βŠ† 𝑋 ∧ (𝑋 βˆ– π‘˜) β‰  βˆ…) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆβ„)
294, 5, 26, 28syl3anc 1368 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆβ„)
3027fmpt 7105 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆβ„)
3129, 30sylibr 233 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
32 simplr 766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
33 rsp 3238 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
3431, 32, 33sylc 65 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
352, 34fsumrecl 15686 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
36 lebnum.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
3736eleq2d 2813 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↔ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘ˆ))
3837biimpa 476 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘ˆ)
39 eluni2 4906 . . . . 5 (𝑦 ∈ βˆͺ π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘š ∈ π‘ˆ 𝑦 ∈ π‘š)
4038, 39sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘š ∈ π‘ˆ 𝑦 ∈ π‘š)
41 0red 11221 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 0 ∈ ℝ)
42 simplr 766 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
43 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
4443metdsval 24718 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
4542, 44syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
463ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
47 difssd 4127 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (𝑋 βˆ– π‘š) βŠ† 𝑋)
486ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
49 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ π‘š ∈ π‘ˆ)
5048, 49sseldd 3978 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ π‘š ∈ 𝐽)
51 elssuni 4934 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ 𝐽 β†’ π‘š βŠ† βˆͺ 𝐽)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ π‘š βŠ† βˆͺ 𝐽)
5346, 11, 143syl 18 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
5452, 53sseqtrrd 4018 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ π‘š βŠ† 𝑋)
55 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑋 β†’ (π‘š ∈ π‘ˆ ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
5655notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑋 β†’ (Β¬ π‘š ∈ π‘ˆ ↔ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
5718, 56syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘š = 𝑋 β†’ Β¬ π‘š ∈ π‘ˆ))
5857necon2ad 2949 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ π‘ˆ β†’ π‘š β‰  𝑋))
5958ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (π‘š ∈ π‘ˆ β†’ π‘š β‰  𝑋))
6049, 59mpd 15 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ π‘š β‰  𝑋)
61 pssdifn0 4360 . . . . . . . . 9 ((π‘š βŠ† 𝑋 ∧ π‘š β‰  𝑋) β†’ (𝑋 βˆ– π‘š) β‰  βˆ…)
6254, 60, 61syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (𝑋 βˆ– π‘š) β‰  βˆ…)
6343metdsre 24724 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– π‘š) βŠ† 𝑋 ∧ (𝑋 βˆ– π‘š) β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆβ„)
6446, 47, 62, 63syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆβ„)
6564, 42ffvelcdmd 7081 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
6645, 65eqeltrrd 2828 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
6735adantr 480 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
6812ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
6943metdsf 24719 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– π‘š) βŠ† 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
7068, 47, 69syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
7170, 42ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
72 elxrge0 13440 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦)))
7371, 72sylib 217 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦)))
7473simprd 495 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 0 ≀ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦))
75 elndif 4123 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ π‘š β†’ Β¬ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š))
7675ad2antll 726 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š))
7753difeq1d 4116 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (𝑋 βˆ– π‘š) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘š))
7813mopntop 24301 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
7968, 78syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
80 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
8180opncld 22892 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘š ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘š) ∈ (Clsdβ€˜π½))
8279, 50, 81syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘š) ∈ (Clsdβ€˜π½))
8377, 82eqeltrd 2827 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (𝑋 βˆ– π‘š) ∈ (Clsdβ€˜π½))
84 cldcls 22901 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 βˆ– π‘š) ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– π‘š)) = (𝑋 βˆ– π‘š))
8583, 84syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– π‘š)) = (𝑋 βˆ– π‘š))
8676, 85neleqtrrd 2850 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– π‘š)))
8743, 13metdseq0 24725 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– π‘š) βŠ† 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) = 0 ↔ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– π‘š))))
8868, 47, 42, 87syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) = 0 ↔ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– π‘š))))
8988necon3abid 2971 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ (((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) β‰  0 ↔ Β¬ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– π‘š))))
9086, 89mpbird 257 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦) β‰  0)
9165, 74, 90ne0gt0d 11355 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 0 < ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑀𝐷𝑧)), ℝ*, < ))β€˜π‘¦))
9291, 45breqtrd 5167 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 0 < inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
931ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
9434adantlr 712 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
9512ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
9627metdsf 24719 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 βˆ– π‘˜) βŠ† 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
9795, 5, 96syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
9827fmpt 7105 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
9997, 98sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
100 rsp 3238 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞)))
10199, 32, 100sylc 65 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
102 elxrge0 13440 . . . . . . . . 9 (inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )))
103101, 102sylib 217 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )))
104103simprd 495 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 0 ≀ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
105104adantlr 712 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 0 ≀ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
106 difeq2 4111 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝑋 βˆ– π‘˜) = (𝑋 βˆ– π‘š))
107106mpteq1d 5236 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)))
108107rneqd 5931 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)) = ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)))
109108infeq1d 9474 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘š β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11093, 94, 105, 109, 49fsumge1 15749 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘š) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11141, 66, 67, 92, 110ltletrd 11378 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘š ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘š)) β†’ 0 < Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11240, 111rexlimddv 3155 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 < Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11335, 112elrpd 13019 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ+)
114 lebnumlem1.f . 2 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ π‘ˆ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘˜) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
115113, 114fmptd 7109 1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  infcinf 9438  β„cr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„+crp 12980  [,]cicc 13333  Ξ£csu 15638  βˆžMetcxmet 21225  Metcmet 21226  MetOpencmopn 21230  Topctop 22750  Clsdccld 22875  clsccl 22877  Compccmp 23245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880
This theorem is referenced by:  lebnumlem2  24843  lebnumlem3  24844
  Copyright terms: Public domain W3C validator