Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1pdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ig1pdvds 24766
 Description: The monic generator of an ideal divides all elements of the ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pval.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ig1pval.g 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
ig1pcl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1pdvds.d = (∥r𝑃)
Assertion
Ref Expression
ig1pdvds ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) 𝑋)

Proof of Theorem ig1pdvds
StepHypRef Expression
1 drngring 19495 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 ig1pval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 20402 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
543ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → 𝑃 ∈ Ring)
6 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7 ig1pcl.u . . . . . . . 8 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
86, 7lidlss 19969 . . . . . . 7 (𝐼𝑈𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
983ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
10 ig1pval.g . . . . . . . 8 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
112, 10, 7ig1pcl 24765 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
12113adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
139, 12sseldd 3952 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
14 ig1pdvds.d . . . . . 6 = (∥r𝑃)
15 eqid 2824 . . . . . 6 (0g𝑃) = (0g𝑃)
166, 14, 15dvdsr01 19394 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐺𝐼) (0g𝑃))
175, 13, 16syl2anc 587 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) (0g𝑃))
1817adantr 484 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) (0g𝑃))
19 eleq2 2904 . . . . . 6 (𝐼 = {(0g𝑃)} → (𝑋𝐼𝑋 ∈ {(0g𝑃)}))
2019biimpac 482 . . . . 5 ((𝑋𝐼𝐼 = {(0g𝑃)}) → 𝑋 ∈ {(0g𝑃)})
21203ad2antl3 1184 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g𝑃)}) → 𝑋 ∈ {(0g𝑃)})
22 elsni 4565 . . . 4 (𝑋 ∈ {(0g𝑃)} → 𝑋 = (0g𝑃))
2321, 22syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g𝑃)}) → 𝑋 = (0g𝑃))
2418, 23breqtrrd 5075 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) 𝑋)
25 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑅 ∈ DivRing)
2625, 1syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑅 ∈ Ring)
27 simpl2 1189 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝐼𝑈)
2827, 8syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
29 simpl3 1190 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑋𝐼)
3028, 29sseldd 3952 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
31 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝐼 ≠ {(0g𝑃)})
32 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
33 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
342, 10, 15, 7, 32, 33ig1pval3 24764 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)) = inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < )))
3525, 27, 31, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)) = inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < )))
3635simp2d 1140 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅))
37 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
3837, 33mon1puc1p 24740 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅)) → (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅))
3926, 36, 38syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅))
40 eqid 2824 . . . . . . . 8 (rem1p𝑅) = (rem1p𝑅)
4140, 2, 6, 37, 32r1pdeglt 24748 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅)) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)))
4226, 30, 39, 41syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)))
4335simp3d 1141 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)) = inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ))
4442, 43breqtrd 5073 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ))
4532, 2, 6deg1xrf 24671 . . . . . . 7 ( deg1𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ*
4635simp1d 1139 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
4728, 46sseldd 3952 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
48 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
49 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑃) = (.r𝑃)
50 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (-g𝑃) = (-g𝑃)
5140, 2, 6, 48, 49, 50r1pval 24746 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (𝑋(-g𝑃)((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼))))
5230, 47, 51syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (𝑋(-g𝑃)((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼))))
5326, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑃 ∈ Ring)
5448, 2, 6, 37q1pcl 24745 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
5526, 30, 39, 54syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
567, 6, 49lidlmcl 19976 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ ((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)) → ((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)
5753, 27, 55, 46, 56syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)
587, 50lidlsubcl 19975 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑋𝐼 ∧ ((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)) → (𝑋(-g𝑃)((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼))) ∈ 𝐼)
5953, 27, 29, 57, 58syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(-g𝑃)((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼))) ∈ 𝐼)
6052, 59eqeltrd 2916 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)
6128, 60sseldd 3952 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
62 ffvelrn 6830 . . . . . . 7 ((( deg1𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ* ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃)) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ ℝ*)
6345, 61, 62sylancr 590 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ ℝ*)
6428ssdifd 4101 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)}))
65 imass2 5946 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})))
6732, 2, 15, 6deg1n0ima 24679 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ ℕ0)
6826, 67syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ ℕ0)
69 nn0uz 12266 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
7068, 69sseqtrdi 4001 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0))
7166, 70sstrd 3961 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0))
72 uzssz 12250 . . . . . . . . 9 (ℤ‘0) ⊆ ℤ
73 zssre 11974 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
74 ressxr 10670 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
7573, 74sstri 3960 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ*
7672, 75sstri 3960 . . . . . . . 8 (ℤ‘0) ⊆ ℝ*
7771, 76sstrdi 3963 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ ℝ*)
787, 15lidl0cl 19971 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (0g𝑃) ∈ 𝐼)
7953, 27, 78syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (0g𝑃) ∈ 𝐼)
8079snssd 4723 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → {(0g𝑃)} ⊆ 𝐼)
8131necomd 3068 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → {(0g𝑃)} ≠ 𝐼)
82 pssdifn0 4306 . . . . . . . . . 10 (({(0g𝑃)} ⊆ 𝐼 ∧ {(0g𝑃)} ≠ 𝐼) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ≠ ∅)
8380, 81, 82syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ≠ ∅)
84 ffn 6495 . . . . . . . . . . . 12 (( deg1𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ* → ( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃))
8545, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃)
8628ssdifssd 4103 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃))
87 fnimaeq0 6462 . . . . . . . . . . 11 ((( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃)) → ((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) = ∅))
8885, 86, 87sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) = ∅))
8988necon3bid 3057 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ≠ ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ≠ ∅))
9083, 89mpbird 260 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ≠ ∅)
91 infssuzcl 12318 . . . . . . . 8 (((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0) ∧ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ≠ ∅) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})))
9271, 90, 91syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})))
9377, 92sseldd 3952 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
94 xrltnle 10693 . . . . . 6 (((( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ ℝ* ∧ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ℝ*) → ((( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ↔ ¬ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)))))
9563, 93, 94syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ↔ ¬ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)))))
9644, 95mpbid 235 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ¬ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))))
9771adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0))
9860adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)
99 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃))
100 eldifsn 4700 . . . . . . . . 9 ((𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ↔ ((𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)))
10198, 99, 100sylanbrc 586 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}))
102 fnfvima 6977 . . . . . . . 8 ((( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})))
10385, 86, 101, 102mp3an2ani 1465 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})))
104 infssuzle 12317 . . . . . . 7 (((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0) ∧ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}))) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))))
10597, 103, 104syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))))
106105ex 416 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)))))
107106necon1bd 3031 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (¬ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (0g𝑃)))
10896, 107mpd 15 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (0g𝑃))
1092, 14, 6, 37, 15, 40dvdsr1p 24751 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅)) → ((𝐺𝐼) 𝑋 ↔ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (0g𝑃)))
11026, 30, 39, 109syl3anc 1368 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝐺𝐼) 𝑋 ↔ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (0g𝑃)))
111108, 110mpbird 260 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) 𝑋)
11224, 111pm2.61dane 3100 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3013   ∖ cdif 3915   ⊆ wss 3918  ∅c0 4274  {csn 4548   class class class wbr 5047   “ cima 5539   Fn wfn 6331  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  infcinf 8889  ℝcr 10521  0cc0 10522  ℝ*cxr 10659   < clt 10660   ≤ cle 10661  ℕ0cn0 11883  ℤcz 11967  ℤ≥cuz 12229  Basecbs 16472  .rcmulr 16555  0gc0g 16702  -gcsg 18094  Ringcrg 19286  ∥rcdsr 19377  DivRingcdr 19488  LIdealclidl 19928  Poly1cpl1 20331   deg1 cdg1 24644  Monic1pcmn1 24715  Unic1pcuc1p 24716  quot1pcq1p 24717  rem1pcr1p 24718  idlGen1pcig1p 24719 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600  ax-addf 10601  ax-mulf 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-ofr 7393  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-hash 13685  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-0g 16704  df-gsum 16705  df-mre 16846  df-mrc 16847  df-acs 16849  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-mhm 17945  df-submnd 17946  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-sbg 18097  df-mulg 18214  df-subg 18265  df-ghm 18345  df-cntz 18436  df-cmn 18897  df-abl 18898  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-cring 19289  df-oppr 19362  df-dvdsr 19380  df-unit 19381  df-invr 19411  df-drng 19490  df-subrg 19519  df-lmod 19622  df-lss 19690  df-sra 19930  df-rgmod 19931  df-lidl 19932  df-rlreg 20042  df-ascl 20073  df-psr 20122  df-mvr 20123  df-mpl 20124  df-opsr 20126  df-psr1 20334  df-vr1 20335  df-ply1 20336  df-coe1 20337  df-cnfld 20532  df-mdeg 24645  df-deg1 24646  df-mon1 24720  df-uc1p 24721  df-q1p 24722  df-r1p 24723  df-ig1p 24724 This theorem is referenced by:  ig1prsp  24767
 Copyright terms: Public domain W3C validator