Theorem ig1pdvds 26153

Description: The monic generator of an ideal divides all elements of the ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1pval.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
ig1pcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1pdvds.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ig1pdvds	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋)

Proof of Theorem ig1pdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20681	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		ig1pval.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
5	4	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑃 ∈ Ring)
6		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7		ig1pcl.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
8	6, 7	lidlss 21179	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
9	8	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
10		ig1pval.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
11	2, 10, 7	ig1pcl 26152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
12	11	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
13	9, 12	sseldd 3936	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
14		ig1pdvds.d	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)
15		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
16	6, 14, 15	dvdsr01 20319	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐺‘𝐼) ∥ (0g‘𝑃))
17	5, 13, 16	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∥ (0g‘𝑃))
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∥ (0g‘𝑃))
19		eleq2 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = {(0g‘𝑃)} → (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ {(0g‘𝑃)}))
20	19	biimpac 478	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 ∈ {(0g‘𝑃)})
21	20	3ad2antl3 1189	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 ∈ {(0g‘𝑃)})
22		elsni 4599	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {(0g‘𝑃)} → 𝑋 = (0g‘𝑃))
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 = (0g‘𝑃))
24	18, 23	breqtrrd 5128	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋)
25		simpl1 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑅 ∈ DivRing)
26	25, 1	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑅 ∈ Ring)
27		simpl2 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝐼 ∈ 𝑈)
28	27, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
29		simpl3 1195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
30	28, 29	sseldd 3936	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
31		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)})
32		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
33		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
34	2, 10, 15, 7, 32, 33	ig1pval3 26151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)) = inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < )))
35	25, 27, 31, 34	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)) = inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < )))
36	35	simp2d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅))
37		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
38	37, 33	mon1puc1p 26124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅)) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅))
39	26, 36, 38	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅))
40		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (rem1p‘𝑅) = (rem1p‘𝑅)
41	40, 2, 6, 37, 32	r1pdeglt 26133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)))
42	26, 30, 39, 41	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)))
43	35	simp3d 1145	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)) = inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ))
44	42, 43	breqtrd 5126	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ))
45	32, 2, 6	deg1xrf 26054	. . . . . . 7 ⊢ (deg1‘𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ*
46	35	simp1d 1143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
47	28, 46	sseldd 3936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
48		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
49		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
50		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
51	40, 2, 6, 48, 49, 50	r1pval 26131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (𝑋(-g‘𝑃)((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼))))
52	30, 47, 51	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (𝑋(-g‘𝑃)((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼))))
53	26, 3	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑃 ∈ Ring)
54	48, 2, 6, 37	q1pcl 26130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
55	26, 30, 39, 54	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
56	7, 6, 49	lidlmcl 21192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)) → ((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)
57	53, 27, 55, 46, 56	syl22anc 839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)
58	7, 50	lidlsubcl 21191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ ((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)) → (𝑋(-g‘𝑃)((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼))) ∈ 𝐼)
59	53, 27, 29, 57, 58	syl22anc 839	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(-g‘𝑃)((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼))) ∈ 𝐼)
60	52, 59	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)
61	28, 60	sseldd 3936	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
62		ffvelcdm 7035	. . . . . . 7 ⊢ (((deg1‘𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ* ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ℝ*)
63	45, 61, 62	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ℝ*)
64	28	ssdifd 4099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}))
65		imass2 6069	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ((deg1‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ((deg1‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})))
67	32, 2, 15, 6	deg1n0ima 26062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((deg1‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ℕ0)
68	26, 67	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ℕ0)
69		nn0uz 12801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
70	68, 69	sseqtrdi 3976	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0))
71	66, 70	sstrd 3946	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0))
72		uzssz 12784	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘0) ⊆ ℤ
73		zssre 12507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
74		ressxr 11188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
75	73, 74	sstri 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ*
76	72, 75	sstri 3945	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘0) ⊆ ℝ*
77	71, 76	sstrdi 3948	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ℝ*)
78	7, 15	lidl0cl 21187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (0g‘𝑃) ∈ 𝐼)
79	53, 27, 78	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (0g‘𝑃) ∈ 𝐼)
80	79	snssd 4767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → {(0g‘𝑃)} ⊆ 𝐼)
81	31	necomd 2988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → {(0g‘𝑃)} ≠ 𝐼)
82		pssdifn0 4322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({(0g‘𝑃)} ⊆ 𝐼 ∧ {(0g‘𝑃)} ≠ 𝐼) → (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ≠ ∅)
83	80, 81, 82	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ≠ ∅)
84		ffn 6670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((deg1‘𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ* → (deg1‘𝑅) Fn (Base‘𝑃))
85	45, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (deg1‘𝑅) Fn (Base‘𝑃)
86	28	ssdifssd 4101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃))
87		fnimaeq0 6633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((deg1‘𝑅) Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃)) → (((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) = ∅))
88	85, 86, 87	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) = ∅))
89	88	necon3bid 2977	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ≠ ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ≠ ∅))
90	83, 89	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ≠ ∅)
91		infssuzcl 12857	. . . . . . . 8 ⊢ ((((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ≠ ∅) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})))
92	71, 90, 91	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})))
93	77, 92	sseldd 3936	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
94		xrltnle 11211	. . . . . 6 ⊢ ((((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ℝ* ∧ inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ℝ*) → (((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ↔ ¬ inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)))))
95	63, 93, 94	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ↔ ¬ inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)))))
96	44, 95	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ¬ inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))))
97	71	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0))
98	60	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)
99		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃))
100		eldifsn 4744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ↔ ((𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)))
101	98, 99, 100	sylanbrc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}))
102		fnfvima 7189	. . . . . . . 8 ⊢ (((deg1‘𝑅) Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})))
103	85, 86, 101, 102	mp3an2ani 1471	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})))
104		infssuzle 12856	. . . . . . 7 ⊢ ((((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}))) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))))
105	97, 103, 104	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))))
106	105	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)))))
107	106	necon1bd 2951	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (¬ inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (0g‘𝑃)))
108	96, 107	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (0g‘𝑃))
109	2, 14, 6, 37, 15, 40	dvdsr1p 26137	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅)) → ((𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋 ↔ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (0g‘𝑃)))
110	26, 30, 39, 109	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋 ↔ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (0g‘𝑃)))
111	108, 110	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋)
112	24, 111	pm2.61dane 3020	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {csn 4582   class class class wbr 5100   “ cima 5635   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  infcinf 9356  ℝcr 11037  0cc0 11038  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  0_gc0g 17371  -_gcsg 18877  Ringcrg 20180  ∥_rcdsr 20302  DivRingcdr 20674  LIdealclidl 21173  Poly₁cpl1 22129  deg₁cdg1 26027  Monic_1pcmn1 26099  Unic_1pcuc1p 26100  quot_1pcq1p 26101  rem_1pcr1p 26102  idlGen_1pcig1p 26103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-rlreg 20639  df-drng 20676  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-lidl 21175  df-cnfld 21322  df-ascl 21822  df-psr 21877  df-mvr 21878  df-mpl 21879  df-opsr 21881  df-psr1 22132  df-vr1 22133  df-ply1 22134  df-coe1 22135  df-mdeg 26028  df-deg1 26029  df-mon1 26104  df-uc1p 26105  df-q1p 26106  df-r1p 26107  df-ig1p 26108

This theorem is referenced by:  ig1prsp  26154