MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1pdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ig1pdvds 25541
Description: The monic generator of an ideal divides all elements of the ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pval.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ig1pval.g 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
ig1pcl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1pdvds.d = (∥r𝑃)
Assertion
Ref Expression
ig1pdvds ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) 𝑋)

Proof of Theorem ig1pdvds
StepHypRef Expression
1 drngring 20192 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 ig1pval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 21619 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
543ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → 𝑃 ∈ Ring)
6 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7 ig1pcl.u . . . . . . . 8 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
86, 7lidlss 20680 . . . . . . 7 (𝐼𝑈𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
983ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
10 ig1pval.g . . . . . . . 8 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
112, 10, 7ig1pcl 25540 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
12113adant3 1132 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
139, 12sseldd 3945 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
14 ig1pdvds.d . . . . . 6 = (∥r𝑃)
15 eqid 2736 . . . . . 6 (0g𝑃) = (0g𝑃)
166, 14, 15dvdsr01 20084 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐺𝐼) (0g𝑃))
175, 13, 16syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) (0g𝑃))
1817adantr 481 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) (0g𝑃))
19 eleq2 2826 . . . . . 6 (𝐼 = {(0g𝑃)} → (𝑋𝐼𝑋 ∈ {(0g𝑃)}))
2019biimpac 479 . . . . 5 ((𝑋𝐼𝐼 = {(0g𝑃)}) → 𝑋 ∈ {(0g𝑃)})
21203ad2antl3 1187 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g𝑃)}) → 𝑋 ∈ {(0g𝑃)})
22 elsni 4603 . . . 4 (𝑋 ∈ {(0g𝑃)} → 𝑋 = (0g𝑃))
2321, 22syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g𝑃)}) → 𝑋 = (0g𝑃))
2418, 23breqtrrd 5133 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) 𝑋)
25 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑅 ∈ DivRing)
2625, 1syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑅 ∈ Ring)
27 simpl2 1192 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝐼𝑈)
2827, 8syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
29 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑋𝐼)
3028, 29sseldd 3945 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
31 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝐼 ≠ {(0g𝑃)})
32 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
33 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
342, 10, 15, 7, 32, 33ig1pval3 25539 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)) = inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < )))
3525, 27, 31, 34syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)) = inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < )))
3635simp2d 1143 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅))
37 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
3837, 33mon1puc1p 25515 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅)) → (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅))
3926, 36, 38syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅))
40 eqid 2736 . . . . . . . 8 (rem1p𝑅) = (rem1p𝑅)
4140, 2, 6, 37, 32r1pdeglt 25523 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅)) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)))
4226, 30, 39, 41syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)))
4335simp3d 1144 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)) = inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ))
4442, 43breqtrd 5131 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ))
4532, 2, 6deg1xrf 25446 . . . . . . 7 ( deg1𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ*
4635simp1d 1142 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
4728, 46sseldd 3945 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
48 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
49 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑃) = (.r𝑃)
50 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (-g𝑃) = (-g𝑃)
5140, 2, 6, 48, 49, 50r1pval 25521 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (𝑋(-g𝑃)((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼))))
5230, 47, 51syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (𝑋(-g𝑃)((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼))))
5326, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑃 ∈ Ring)
5448, 2, 6, 37q1pcl 25520 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
5526, 30, 39, 54syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
567, 6, 49lidlmcl 20687 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ ((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)) → ((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)
5753, 27, 55, 46, 56syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)
587, 50lidlsubcl 20686 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑋𝐼 ∧ ((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)) → (𝑋(-g𝑃)((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼))) ∈ 𝐼)
5953, 27, 29, 57, 58syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(-g𝑃)((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼))) ∈ 𝐼)
6052, 59eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)
6128, 60sseldd 3945 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
62 ffvelcdm 7032 . . . . . . 7 ((( deg1𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ* ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃)) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ ℝ*)
6345, 61, 62sylancr 587 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ ℝ*)
6428ssdifd 4100 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)}))
65 imass2 6054 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})))
6732, 2, 15, 6deg1n0ima 25454 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ ℕ0)
6826, 67syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ ℕ0)
69 nn0uz 12805 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
7068, 69sseqtrdi 3994 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0))
7166, 70sstrd 3954 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0))
72 uzssz 12784 . . . . . . . . 9 (ℤ‘0) ⊆ ℤ
73 zssre 12506 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
74 ressxr 11199 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
7573, 74sstri 3953 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ*
7672, 75sstri 3953 . . . . . . . 8 (ℤ‘0) ⊆ ℝ*
7771, 76sstrdi 3956 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ ℝ*)
787, 15lidl0cl 20682 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (0g𝑃) ∈ 𝐼)
7953, 27, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (0g𝑃) ∈ 𝐼)
8079snssd 4769 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → {(0g𝑃)} ⊆ 𝐼)
8131necomd 2999 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → {(0g𝑃)} ≠ 𝐼)
82 pssdifn0 4325 . . . . . . . . . 10 (({(0g𝑃)} ⊆ 𝐼 ∧ {(0g𝑃)} ≠ 𝐼) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ≠ ∅)
8380, 81, 82syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ≠ ∅)
84 ffn 6668 . . . . . . . . . . . 12 (( deg1𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ* → ( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃))
8545, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃)
8628ssdifssd 4102 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃))
87 fnimaeq0 6634 . . . . . . . . . . 11 ((( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃)) → ((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) = ∅))
8885, 86, 87sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) = ∅))
8988necon3bid 2988 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ≠ ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ≠ ∅))
9083, 89mpbird 256 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ≠ ∅)
91 infssuzcl 12857 . . . . . . . 8 (((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0) ∧ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ≠ ∅) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})))
9271, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})))
9377, 92sseldd 3945 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
94 xrltnle 11222 . . . . . 6 (((( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ ℝ* ∧ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ℝ*) → ((( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ↔ ¬ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)))))
9563, 93, 94syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ↔ ¬ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)))))
9644, 95mpbid 231 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ¬ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))))
9771adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0))
9860adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)
99 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃))
100 eldifsn 4747 . . . . . . . . 9 ((𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ↔ ((𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)))
10198, 99, 100sylanbrc 583 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}))
102 fnfvima 7183 . . . . . . . 8 ((( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})))
10385, 86, 101, 102mp3an2ani 1468 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})))
104 infssuzle 12856 . . . . . . 7 (((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0) ∧ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}))) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))))
10597, 103, 104syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))))
106105ex 413 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)))))
107106necon1bd 2961 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (¬ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (0g𝑃)))
10896, 107mpd 15 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (0g𝑃))
1092, 14, 6, 37, 15, 40dvdsr1p 25526 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅)) → ((𝐺𝐼) 𝑋 ↔ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (0g𝑃)))
11026, 30, 39, 109syl3anc 1371 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝐺𝐼) 𝑋 ↔ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (0g𝑃)))
111108, 110mpbird 256 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) 𝑋)
11224, 111pm2.61dane 3032 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  wss 3910  c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  cr 11050  0cc0 11051  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  -gcsg 18750  Ringcrg 19964  rcdsr 20067  DivRingcdr 20185  LIdealclidl 20631  Poly1cpl1 21548   deg1 cdg1 25416  Monic1pcmn1 25490  Unic1pcuc1p 25491  quot1pcq1p 25492  rem1pcr1p 25493  idlGen1pcig1p 25494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rlreg 20753  df-cnfld 20797  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-coe1 21554  df-mdeg 25417  df-deg1 25418  df-mon1 25495  df-uc1p 25496  df-q1p 25497  df-r1p 25498  df-ig1p 25499
This theorem is referenced by:  ig1prsp  25542
  Copyright terms: Public domain W3C validator