MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1pdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ig1pdvds 24342
Description: The monic generator of an ideal divides all elements of the ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pval.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ig1pval.g 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
ig1pcl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1pdvds.d = (∥r𝑃)
Assertion
Ref Expression
ig1pdvds ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) 𝑋)

Proof of Theorem ig1pdvds
StepHypRef Expression
1 drngring 19117 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 ig1pval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 19985 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
543ad2ant1 1167 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → 𝑃 ∈ Ring)
6 eqid 2825 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7 ig1pcl.u . . . . . . . 8 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
86, 7lidlss 19578 . . . . . . 7 (𝐼𝑈𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
983ad2ant2 1168 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
10 ig1pval.g . . . . . . . 8 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
112, 10, 7ig1pcl 24341 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
12113adant3 1166 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
139, 12sseldd 3828 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
14 ig1pdvds.d . . . . . 6 = (∥r𝑃)
15 eqid 2825 . . . . . 6 (0g𝑃) = (0g𝑃)
166, 14, 15dvdsr01 19016 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐺𝐼) (0g𝑃))
175, 13, 16syl2anc 579 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) (0g𝑃))
1817adantr 474 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) (0g𝑃))
19 eleq2 2895 . . . . . 6 (𝐼 = {(0g𝑃)} → (𝑋𝐼𝑋 ∈ {(0g𝑃)}))
2019biimpac 472 . . . . 5 ((𝑋𝐼𝐼 = {(0g𝑃)}) → 𝑋 ∈ {(0g𝑃)})
21203ad2antl3 1242 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g𝑃)}) → 𝑋 ∈ {(0g𝑃)})
22 elsni 4416 . . . 4 (𝑋 ∈ {(0g𝑃)} → 𝑋 = (0g𝑃))
2321, 22syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g𝑃)}) → 𝑋 = (0g𝑃))
2418, 23breqtrrd 4903 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) 𝑋)
25 simpl1 1246 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑅 ∈ DivRing)
2625, 1syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑅 ∈ Ring)
27 simpl2 1248 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝐼𝑈)
2827, 8syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
29 simpl3 1250 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑋𝐼)
3028, 29sseldd 3828 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
31 simpr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝐼 ≠ {(0g𝑃)})
32 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
33 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
342, 10, 15, 7, 32, 33ig1pval3 24340 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)) = inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < )))
3525, 27, 31, 34syl3anc 1494 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)) = inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < )))
3635simp2d 1177 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅))
37 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
3837, 33mon1puc1p 24316 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅)) → (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅))
3926, 36, 38syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅))
40 eqid 2825 . . . . . . . 8 (rem1p𝑅) = (rem1p𝑅)
4140, 2, 6, 37, 32r1pdeglt 24324 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅)) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)))
4226, 30, 39, 41syl3anc 1494 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)))
4335simp3d 1178 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)) = inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ))
4442, 43breqtrd 4901 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ))
4532, 2, 6deg1xrf 24247 . . . . . . 7 ( deg1𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ*
4635simp1d 1176 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
4728, 46sseldd 3828 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
48 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
49 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑃) = (.r𝑃)
50 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 (-g𝑃) = (-g𝑃)
5140, 2, 6, 48, 49, 50r1pval 24322 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (𝑋(-g𝑃)((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼))))
5230, 47, 51syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (𝑋(-g𝑃)((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼))))
5326, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑃 ∈ Ring)
5448, 2, 6, 37q1pcl 24321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
5526, 30, 39, 54syl3anc 1494 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
567, 6, 49lidlmcl 19585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ ((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)) → ((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)
5753, 27, 55, 46, 56syl22anc 872 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)
587, 50lidlsubcl 19584 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑋𝐼 ∧ ((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)) → (𝑋(-g𝑃)((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼))) ∈ 𝐼)
5953, 27, 29, 57, 58syl22anc 872 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(-g𝑃)((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼))) ∈ 𝐼)
6052, 59eqeltrd 2906 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)
6128, 60sseldd 3828 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
62 ffvelrn 6611 . . . . . . 7 ((( deg1𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ* ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃)) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ ℝ*)
6345, 61, 62sylancr 581 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ ℝ*)
6428ssdifd 3975 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)}))
65 imass2 5746 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})))
6732, 2, 15, 6deg1n0ima 24255 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ ℕ0)
6826, 67syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ ℕ0)
69 nn0uz 12011 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
7068, 69syl6sseq 3876 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0))
7166, 70sstrd 3837 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0))
72 uzssz 11995 . . . . . . . . 9 (ℤ‘0) ⊆ ℤ
73 zssre 11718 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
74 ressxr 10407 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
7573, 74sstri 3836 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ*
7672, 75sstri 3836 . . . . . . . 8 (ℤ‘0) ⊆ ℝ*
7771, 76syl6ss 3839 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ ℝ*)
787, 15lidl0cl 19580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (0g𝑃) ∈ 𝐼)
7953, 27, 78syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (0g𝑃) ∈ 𝐼)
8079snssd 4560 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → {(0g𝑃)} ⊆ 𝐼)
8131necomd 3054 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → {(0g𝑃)} ≠ 𝐼)
82 pssdifn0 4175 . . . . . . . . . 10 (({(0g𝑃)} ⊆ 𝐼 ∧ {(0g𝑃)} ≠ 𝐼) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ≠ ∅)
8380, 81, 82syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ≠ ∅)
84 ffn 6282 . . . . . . . . . . . 12 (( deg1𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ* → ( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃))
8545, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃)
8628ssdifssd 3977 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃))
87 fnimaeq0 6250 . . . . . . . . . . 11 ((( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃)) → ((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) = ∅))
8885, 86, 87sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) = ∅))
8988necon3bid 3043 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ≠ ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ≠ ∅))
9083, 89mpbird 249 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ≠ ∅)
91 infssuzcl 12062 . . . . . . . 8 (((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0) ∧ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ≠ ∅) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})))
9271, 90, 91syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})))
9377, 92sseldd 3828 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
94 xrltnle 10431 . . . . . 6 (((( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ ℝ* ∧ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ℝ*) → ((( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ↔ ¬ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)))))
9563, 93, 94syl2anc 579 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ↔ ¬ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)))))
9644, 95mpbid 224 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ¬ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))))
9771adantr 474 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0))
9885a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → ( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃))
9986adantr 474 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃))
10060adantr 474 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)
101 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃))
102 eldifsn 4538 . . . . . . . . 9 ((𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ↔ ((𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)))
103100, 101, 102sylanbrc 578 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}))
104 fnfvima 6757 . . . . . . . 8 ((( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})))
10598, 99, 103, 104syl3anc 1494 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})))
106 infssuzle 12061 . . . . . . 7 (((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0) ∧ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}))) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))))
10797, 105, 106syl2anc 579 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))))
108107ex 403 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)))))
109108necon1bd 3017 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (¬ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (0g𝑃)))
11096, 109mpd 15 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (0g𝑃))
1112, 14, 6, 37, 15, 40dvdsr1p 24327 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅)) → ((𝐺𝐼) 𝑋 ↔ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (0g𝑃)))
11226, 30, 39, 111syl3anc 1494 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝐺𝐼) 𝑋 ↔ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (0g𝑃)))
113110, 112mpbird 249 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) 𝑋)
11424, 113pm2.61dane 3086 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  cdif 3795  wss 3798  c0 4146  {csn 4399   class class class wbr 4875  cima 5349   Fn wfn 6122  wf 6123  cfv 6127  (class class class)co 6910  infcinf 8622  cr 10258  0cc0 10259  *cxr 10397   < clt 10398  cle 10399  0cn0 11625  cz 11711  cuz 11975  Basecbs 16229  .rcmulr 16313  0gc0g 16460  -gcsg 17785  Ringcrg 18908  rcdsr 18999  DivRingcdr 19110  LIdealclidl 19538  Poly1cpl1 19914   deg1 cdg1 24220  Monic1pcmn1 24291  Unic1pcuc1p 24292  quot1pcq1p 24293  rem1pcr1p 24294  idlGen1pcig1p 24295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-ofr 7163  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-hash 13418  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-drng 19112  df-subrg 19141  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-sra 19540  df-rgmod 19541  df-lidl 19542  df-rlreg 19651  df-ascl 19682  df-psr 19724  df-mvr 19725  df-mpl 19726  df-opsr 19728  df-psr1 19917  df-vr1 19918  df-ply1 19919  df-coe1 19920  df-cnfld 20114  df-mdeg 24221  df-deg1 24222  df-mon1 24296  df-uc1p 24297  df-q1p 24298  df-r1p 24299  df-ig1p 24300
This theorem is referenced by:  ig1prsp  24343
  Copyright terms: Public domain W3C validator