MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1pdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ig1pdvds 24227
Description: The monic generator of an ideal divides all elements of the ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pval.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ig1pval.g 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
ig1pcl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1pdvds.d = (∥r𝑃)
Assertion
Ref Expression
ig1pdvds ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) 𝑋)

Proof of Theorem ig1pdvds
StepHypRef Expression
1 drngring 19023 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 ig1pval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 19891 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
543ad2ant1 1163 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → 𝑃 ∈ Ring)
6 eqid 2765 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7 ig1pcl.u . . . . . . . 8 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
86, 7lidlss 19484 . . . . . . 7 (𝐼𝑈𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
983ad2ant2 1164 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
10 ig1pval.g . . . . . . . 8 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
112, 10, 7ig1pcl 24226 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
12113adant3 1162 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
139, 12sseldd 3762 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
14 ig1pdvds.d . . . . . 6 = (∥r𝑃)
15 eqid 2765 . . . . . 6 (0g𝑃) = (0g𝑃)
166, 14, 15dvdsr01 18922 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐺𝐼) (0g𝑃))
175, 13, 16syl2anc 579 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) (0g𝑃))
1817adantr 472 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) (0g𝑃))
19 eleq2 2833 . . . . . 6 (𝐼 = {(0g𝑃)} → (𝑋𝐼𝑋 ∈ {(0g𝑃)}))
2019biimpac 470 . . . . 5 ((𝑋𝐼𝐼 = {(0g𝑃)}) → 𝑋 ∈ {(0g𝑃)})
21203ad2antl3 1238 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g𝑃)}) → 𝑋 ∈ {(0g𝑃)})
22 elsni 4351 . . . 4 (𝑋 ∈ {(0g𝑃)} → 𝑋 = (0g𝑃))
2321, 22syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g𝑃)}) → 𝑋 = (0g𝑃))
2418, 23breqtrrd 4837 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) 𝑋)
25 simpl1 1242 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑅 ∈ DivRing)
2625, 1syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑅 ∈ Ring)
27 simpl2 1244 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝐼𝑈)
2827, 8syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
29 simpl3 1246 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑋𝐼)
3028, 29sseldd 3762 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
31 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝐼 ≠ {(0g𝑃)})
32 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
33 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
342, 10, 15, 7, 32, 33ig1pval3 24225 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)) = inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < )))
3525, 27, 31, 34syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)) = inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < )))
3635simp2d 1173 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅))
37 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
3837, 33mon1puc1p 24201 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅)) → (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅))
3926, 36, 38syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅))
40 eqid 2765 . . . . . . . 8 (rem1p𝑅) = (rem1p𝑅)
4140, 2, 6, 37, 32r1pdeglt 24209 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅)) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)))
4226, 30, 39, 41syl3anc 1490 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)))
4335simp3d 1174 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)) = inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ))
4442, 43breqtrd 4835 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ))
4532, 2, 6deg1xrf 24132 . . . . . . 7 ( deg1𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ*
4635simp1d 1172 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
4728, 46sseldd 3762 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
48 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
49 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑃) = (.r𝑃)
50 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (-g𝑃) = (-g𝑃)
5140, 2, 6, 48, 49, 50r1pval 24207 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (𝑋(-g𝑃)((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼))))
5230, 47, 51syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (𝑋(-g𝑃)((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼))))
5326, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑃 ∈ Ring)
5448, 2, 6, 37q1pcl 24206 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
5526, 30, 39, 54syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
567, 6, 49lidlmcl 19491 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ ((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)) → ((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)
5753, 27, 55, 46, 56syl22anc 867 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)
587, 50lidlsubcl 19490 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑋𝐼 ∧ ((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)) → (𝑋(-g𝑃)((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼))) ∈ 𝐼)
5953, 27, 29, 57, 58syl22anc 867 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(-g𝑃)((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼))) ∈ 𝐼)
6052, 59eqeltrd 2844 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)
6128, 60sseldd 3762 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
62 ffvelrn 6547 . . . . . . 7 ((( deg1𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ* ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃)) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ ℝ*)
6345, 61, 62sylancr 581 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ ℝ*)
6428ssdifd 3908 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)}))
65 imass2 5683 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})))
6732, 2, 15, 6deg1n0ima 24140 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ ℕ0)
6826, 67syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ ℕ0)
69 nn0uz 11922 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
7068, 69syl6sseq 3811 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0))
7166, 70sstrd 3771 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0))
72 uzssz 11906 . . . . . . . . 9 (ℤ‘0) ⊆ ℤ
73 zssre 11631 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
74 ressxr 10337 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
7573, 74sstri 3770 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ*
7672, 75sstri 3770 . . . . . . . 8 (ℤ‘0) ⊆ ℝ*
7771, 76syl6ss 3773 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ ℝ*)
787, 15lidl0cl 19486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (0g𝑃) ∈ 𝐼)
7953, 27, 78syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (0g𝑃) ∈ 𝐼)
8079snssd 4494 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → {(0g𝑃)} ⊆ 𝐼)
8131necomd 2992 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → {(0g𝑃)} ≠ 𝐼)
82 pssdifn0 4108 . . . . . . . . . 10 (({(0g𝑃)} ⊆ 𝐼 ∧ {(0g𝑃)} ≠ 𝐼) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ≠ ∅)
8380, 81, 82syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ≠ ∅)
84 ffn 6223 . . . . . . . . . . . 12 (( deg1𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ* → ( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃))
8545, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃)
8628ssdifssd 3910 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃))
87 fnimaeq0 6191 . . . . . . . . . . 11 ((( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃)) → ((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) = ∅))
8885, 86, 87sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) = ∅))
8988necon3bid 2981 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ≠ ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ≠ ∅))
9083, 89mpbird 248 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ≠ ∅)
91 infssuzcl 11973 . . . . . . . 8 (((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0) ∧ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ≠ ∅) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})))
9271, 90, 91syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})))
9377, 92sseldd 3762 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
94 xrltnle 10359 . . . . . 6 (((( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ ℝ* ∧ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ℝ*) → ((( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ↔ ¬ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)))))
9563, 93, 94syl2anc 579 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ↔ ¬ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)))))
9644, 95mpbid 223 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ¬ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))))
9771adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0))
9885a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → ( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃))
9986adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃))
10060adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)
101 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃))
102 eldifsn 4472 . . . . . . . . 9 ((𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ↔ ((𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)))
103100, 101, 102sylanbrc 578 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}))
104 fnfvima 6689 . . . . . . . 8 ((( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})))
10598, 99, 103, 104syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})))
106 infssuzle 11972 . . . . . . 7 (((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0) ∧ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}))) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))))
10797, 105, 106syl2anc 579 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))))
108107ex 401 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)))))
109108necon1bd 2955 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (¬ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (0g𝑃)))
11096, 109mpd 15 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (0g𝑃))
1112, 14, 6, 37, 15, 40dvdsr1p 24212 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅)) → ((𝐺𝐼) 𝑋 ↔ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (0g𝑃)))
11226, 30, 39, 111syl3anc 1490 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝐺𝐼) 𝑋 ↔ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (0g𝑃)))
113110, 112mpbird 248 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) 𝑋)
11424, 113pm2.61dane 3024 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  cdif 3729  wss 3732  c0 4079  {csn 4334   class class class wbr 4809  cima 5280   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  infcinf 8554  cr 10188  0cc0 10189  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  Basecbs 16130  .rcmulr 16215  0gc0g 16366  -gcsg 17691  Ringcrg 18814  rcdsr 18905  DivRingcdr 19016  LIdealclidl 19444  Poly1cpl1 19820   deg1 cdg1 24105  Monic1pcmn1 24176  Unic1pcuc1p 24177  quot1pcq1p 24178  rem1pcr1p 24179  idlGen1pcig1p 24180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-mhm 17601  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-mulg 17808  df-subg 17855  df-ghm 17922  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-drng 19018  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-lidl 19448  df-rlreg 19557  df-ascl 19588  df-psr 19630  df-mvr 19631  df-mpl 19632  df-opsr 19634  df-psr1 19823  df-vr1 19824  df-ply1 19825  df-coe1 19826  df-cnfld 20020  df-mdeg 24106  df-deg1 24107  df-mon1 24181  df-uc1p 24182  df-q1p 24183  df-r1p 24184  df-ig1p 24185
This theorem is referenced by:  ig1prsp  24228
  Copyright terms: Public domain W3C validator