Theorem ig1pdvds 26374

Description: The monic generator of an ideal divides all elements of the ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1pval.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
ig1pcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1pdvds.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ig1pdvds	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋)

Proof of Theorem ig1pdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		ig1pval.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22444	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
5	4	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑃 ∈ Ring)
6		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7		ig1pcl.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
8	6, 7	lidlss 21373	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
9	8	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
10		ig1pval.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
11	2, 10, 7	ig1pcl 26373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
12	11	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
13	9, 12	sseldd 3941	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
14		ig1pdvds.d	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)
15		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
16	6, 14, 15	dvdsr01 20486	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐺‘𝐼) ∥ (0g‘𝑃))
17	5, 13, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∥ (0g‘𝑃))
18	17	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∥ (0g‘𝑃))
19		eleq2 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = {(0g‘𝑃)} → (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ {(0g‘𝑃)}))
20	19	biimpac 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 ∈ {(0g‘𝑃)})
21	20	3ad2antl3 1206	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 ∈ {(0g‘𝑃)})
22		elsni 4611	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {(0g‘𝑃)} → 𝑋 = (0g‘𝑃))
23	21, 22	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 = (0g‘𝑃))
24	18, 23	breqtrrd 5144	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋)
25		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑅 ∈ DivRing)
26	25, 1	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑅 ∈ Ring)
27		simpl2 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝐼 ∈ 𝑈)
28	27, 8	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
29		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
30	28, 29	sseldd 3941	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
31		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)})
32		eqid 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
33		eqid 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
34	2, 10, 15, 7, 32, 33	ig1pval3 26372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)) = inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < )))
35	25, 27, 31, 34	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)) = inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < )))
36	35	simp2d 1161	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅))
37		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
38	37, 33	mon1puc1p 26345	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅)) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅))
39	26, 36, 38	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅))
40		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (rem1p‘𝑅) = (rem1p‘𝑅)
41	40, 2, 6, 37, 32	r1pdeglt 26354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)))
42	26, 30, 39, 41	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)))
43	35	simp3d 1162	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)) = inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ))
44	42, 43	breqtrd 5142	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ))
45	32, 2, 6	deg1xrf 26275	. . . . . . 7 ⊢ (deg1‘𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ*
46	35	simp1d 1160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
47	28, 46	sseldd 3941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
48		eqid 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
49		eqid 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
50		eqid 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
51	40, 2, 6, 48, 49, 50	r1pval 26352	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (𝑋(-g‘𝑃)((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼))))
52	30, 47, 51	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (𝑋(-g‘𝑃)((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼))))
53	26, 3	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑃 ∈ Ring)
54	48, 2, 6, 37	q1pcl 26351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
55	26, 30, 39, 54	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
56	7, 6, 49	lidlmcl 21387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)) → ((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)
57	53, 27, 55, 46, 56	syl22anc 852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)
58	7, 50	lidlsubcl 21386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ ((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)) → (𝑋(-g‘𝑃)((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼))) ∈ 𝐼)
59	53, 27, 29, 57, 58	syl22anc 852	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(-g‘𝑃)((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼))) ∈ 𝐼)
60	52, 59	eqeltrd 2866	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)
61	28, 60	sseldd 3941	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
62		ffvelcdm 7083	. . . . . . 7 ⊢ (((deg1‘𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ* ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ℝ*)
63	45, 61, 62	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ℝ*)
64	28	ssdifd 4102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}))
65		imass2 6109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ((deg1‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})))
66	64, 65	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ((deg1‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})))
67	32, 2, 15, 6	deg1n0ima 26283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((deg1‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ℕ0)
68	26, 67	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ℕ0)
69		nn0uz 12918	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
70	68, 69	sseqtrdi 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0))
71	66, 70	sstrd 3950	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0))
72		uzssz 12901	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘0) ⊆ ℤ
73		zssre 12616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
74		ressxr 11271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
75	73, 74	sstri 3949	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ*
76	72, 75	sstri 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘0) ⊆ ℝ*
77	71, 76	sstrdi 3952	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ℝ*)
78	7, 15	lidl0cl 21382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (0g‘𝑃) ∈ 𝐼)
79	53, 27, 78	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (0g‘𝑃) ∈ 𝐼)
80	79	snssd 4757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → {(0g‘𝑃)} ⊆ 𝐼)
81	31	necomd 3016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → {(0g‘𝑃)} ≠ 𝐼)
82		pssdifn0 4326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({(0g‘𝑃)} ⊆ 𝐼 ∧ {(0g‘𝑃)} ≠ 𝐼) → (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ≠ ∅)
83	80, 81, 82	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ≠ ∅)
84		ffn 6712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((deg1‘𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ* → (deg1‘𝑅) Fn (Base‘𝑃))
85	45, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (deg1‘𝑅) Fn (Base‘𝑃)
86	28	ssdifssd 4104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃))
87		fnimaeq0 6675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((deg1‘𝑅) Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃)) → (((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) = ∅))
88	85, 86, 87	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) = ∅))
89	88	necon3bid 3005	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ≠ ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ≠ ∅))
90	83, 89	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ≠ ∅)
91		infssuzcl 12974	. . . . . . . 8 ⊢ ((((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ≠ ∅) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})))
92	71, 90, 91	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})))
93	77, 92	sseldd 3941	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
94		xrltnle 11294	. . . . . 6 ⊢ ((((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ℝ* ∧ inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ℝ*) → (((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ↔ ¬ inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)))))
95	63, 93, 94	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ↔ ¬ inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)))))
96	44, 95	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ¬ inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))))
97	71	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0))
98	60	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)
99		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃))
100		eldifsn 4758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ↔ ((𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)))
101	98, 99, 100	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}))
102		fnfvima 7238	. . . . . . . 8 ⊢ (((deg1‘𝑅) Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})))
103	85, 86, 101, 102	mp3an2ani 1497	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})))
104		infssuzle 12973	. . . . . . 7 ⊢ ((((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}))) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))))
105	97, 103, 104	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))))
106	105	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)))))
107	106	necon1bd 2979	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (¬ inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (0g‘𝑃)))
108	96, 107	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (0g‘𝑃))
109	2, 14, 6, 37, 15, 40	dvdsr1p 26358	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅)) → ((𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋 ↔ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (0g‘𝑃)))
110	26, 30, 39, 109	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋 ↔ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (0g‘𝑃)))
111	108, 110	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋)
112	24, 111	pm2.61dane 3048	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ∖ cdif 3905   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  {csn 4594   class class class wbr 5114   “ cima 5669   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  infcinf 9411  ℝcr 11117  0cc0 11118  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261   ≤ cle 11262  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336  0_gc0g 17517  -_gcsg 19033  Ringcrg 20346  ∥_rcdsr 20469  DivRingcdr 20864  LIdealclidl 21367  Poly₁cpl1 22374  deg₁cdg1 26248  Monic_1pcmn1 26320  Unic_1pcuc1p 26321  quot_1pcq1p 26322  rem_1pcr1p 26323  idlGen_1pcig1p 26324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-cring 20349  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-rlreg 20830  df-drng 20866  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-sra 21331  df-rgmod 21332  df-lidl 21369  df-cnfld 21560  df-ascl 22042  df-psr 22096  df-mvr 22097  df-mpl 22098  df-opsr 22100  df-psr1 22377  df-vr1 22378  df-ply1 22379  df-coe1 22380  df-mdeg 26249  df-deg1 26250  df-mon1 26325  df-uc1p 26326  df-q1p 26327  df-r1p 26328  df-ig1p 26329

This theorem is used by:  ig1prsp  26375