Theorem ig1pdvds 26478

Description: The monic generator of an ideal divides all elements of the ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1pval.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
ig1pcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1pdvds.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ig1pdvds	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋)

Proof of Theorem ig1pdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20967	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		ig1pval.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22545	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
5	4	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑃 ∈ Ring)
6		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7		ig1pcl.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
8	6, 7	lidlss 21470	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
9	8	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
10		ig1pval.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
11	2, 10, 7	ig1pcl 26477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
12	11	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
13	9, 12	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
14		ig1pdvds.d	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)
15		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
16	6, 14, 15	dvdsr01 20581	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐺‘𝐼) ∥ (0g‘𝑃))
17	5, 13, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∥ (0g‘𝑃))
18	17	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∥ (0g‘𝑃))
19		eleq2 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = {(0g‘𝑃)} → (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ {(0g‘𝑃)}))
20	19	biimpac 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 ∈ {(0g‘𝑃)})
21	20	3ad2antl3 1206	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 ∈ {(0g‘𝑃)})
22		elsni 4601	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {(0g‘𝑃)} → 𝑋 = (0g‘𝑃))
23	21, 22	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 = (0g‘𝑃))
24	18, 23	breqtrrd 5133	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋)
25		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑅 ∈ DivRing)
26	25, 1	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑅 ∈ Ring)
27		simpl2 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝐼 ∈ 𝑈)
28	27, 8	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
29		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
30	28, 29	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
31		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)})
32		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
33		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
34	2, 10, 15, 7, 32, 33	ig1pval3 26476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)) = inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < )))
35	25, 27, 31, 34	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)) = inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < )))
36	35	simp2d 1161	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅))
37		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
38	37, 33	mon1puc1p 26449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅)) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅))
39	26, 36, 38	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅))
40		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (rem1p‘𝑅) = (rem1p‘𝑅)
41	40, 2, 6, 37, 32	r1pdeglt 26458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)))
42	26, 30, 39, 41	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)))
43	35	simp3d 1162	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)) = inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ))
44	42, 43	breqtrd 5131	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ))
45	32, 2, 6	deg1xrf 26379	. . . . . . 7 ⊢ (deg1‘𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ*
46	35	simp1d 1160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
47	28, 46	sseldd 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
48		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
49		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
50		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
51	40, 2, 6, 48, 49, 50	r1pval 26456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (𝑋(-g‘𝑃)((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼))))
52	30, 47, 51	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (𝑋(-g‘𝑃)((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼))))
53	26, 3	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑃 ∈ Ring)
54	48, 2, 6, 37	q1pcl 26455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
55	26, 30, 39, 54	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
56	7, 6, 49	lidlmcl 21484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)) → ((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)
57	53, 27, 55, 46, 56	syl22anc 852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)
58	7, 50	lidlsubcl 21483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ ((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)) → (𝑋(-g‘𝑃)((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼))) ∈ 𝐼)
59	53, 27, 29, 57, 58	syl22anc 852	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(-g‘𝑃)((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼))) ∈ 𝐼)
60	52, 59	eqeltrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)
61	28, 60	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
62		ffvelcdm 7073	. . . . . . 7 ⊢ (((deg1‘𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ* ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ℝ*)
63	45, 61, 62	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ℝ*)
64	28	ssdifd 4092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}))
65		imass2 6096	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ((deg1‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})))
66	64, 65	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ((deg1‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})))
67	32, 2, 15, 6	deg1n0ima 26387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((deg1‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ℕ0)
68	26, 67	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ℕ0)
69		nn0uz 12984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
70	68, 69	sseqtrdi 3971	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0))
71	66, 70	sstrd 3941	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0))
72		uzssz 12967	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘0) ⊆ ℤ
73		zssre 12681	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
74		ressxr 11334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
75	73, 74	sstri 3940	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ*
76	72, 75	sstri 3940	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘0) ⊆ ℝ*
77	71, 76	sstrdi 3943	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ℝ*)
78	7, 15	lidl0cl 21479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (0g‘𝑃) ∈ 𝐼)
79	53, 27, 78	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (0g‘𝑃) ∈ 𝐼)
80	79	snssd 4747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → {(0g‘𝑃)} ⊆ 𝐼)
81	31	necomd 3011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → {(0g‘𝑃)} ≠ 𝐼)
82		pssdifn0 4316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({(0g‘𝑃)} ⊆ 𝐼 ∧ {(0g‘𝑃)} ≠ 𝐼) → (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ≠ ∅)
83	80, 81, 82	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ≠ ∅)
84		ffn 6701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((deg1‘𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ* → (deg1‘𝑅) Fn (Base‘𝑃))
85	45, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (deg1‘𝑅) Fn (Base‘𝑃)
86	28	ssdifssd 4094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃))
87		fnimaeq0 6664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((deg1‘𝑅) Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃)) → (((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) = ∅))
88	85, 86, 87	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) = ∅))
89	88	necon3bid 3000	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ≠ ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ≠ ∅))
90	83, 89	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ≠ ∅)
91		infssuzcl 13040	. . . . . . . 8 ⊢ ((((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ≠ ∅) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})))
92	71, 90, 91	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})))
93	77, 92	sseldd 3932	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
94		xrltnle 11357	. . . . . 6 ⊢ ((((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ℝ* ∧ inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ℝ*) → (((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ↔ ¬ inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)))))
95	63, 93, 94	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ↔ ¬ inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)))))
96	44, 95	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ¬ inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))))
97	71	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0))
98	60	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)
99		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃))
100		eldifsn 4748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ↔ ((𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)))
101	98, 99, 100	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}))
102		fnfvima 7231	. . . . . . . 8 ⊢ (((deg1‘𝑅) Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})))
103	85, 86, 101, 102	mp3an2ani 1497	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})))
104		infssuzle 13039	. . . . . . 7 ⊢ ((((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}))) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))))
105	97, 103, 104	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))))
106	105	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)))))
107	106	necon1bd 2974	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (¬ inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (0g‘𝑃)))
108	96, 107	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (0g‘𝑃))
109	2, 14, 6, 37, 15, 40	dvdsr1p 26462	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅)) → ((𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋 ↔ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (0g‘𝑃)))
110	26, 30, 39, 109	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋 ↔ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (0g‘𝑃)))
111	108, 110	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋)
112	24, 111	pm2.61dane 3043	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103   “ cima 5654   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  infcinf 9417  ℝcr 11180  0cc0 11181  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946  Basecbs 17367  ._rcmulr 17409  0_gc0g 17590  -_gcsg 19126  Ringcrg 20439  ∥_rcdsr 20564  DivRingcdr 20960  LIdealclidl 21464  Poly₁cpl1 22475  deg₁cdg1 26352  Monic_1pcmn1 26424  Unic_1pcuc1p 26425  quot_1pcq1p 26426  rem_1pcr1p 26427  idlGen_1pcig1p 26428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-hash 14455  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-prds 17598  df-pws 17600  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-ghm 19408  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-rlreg 20926  df-drng 20962  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-lidl 21466  df-cnfld 21659  df-ascl 22143  df-psr 22197  df-mvr 22198  df-mpl 22199  df-opsr 22201  df-psr1 22478  df-vr1 22479  df-ply1 22480  df-coe1 22481  df-mdeg 26353  df-deg1 26354  df-mon1 26429  df-uc1p 26430  df-q1p 26431  df-r1p 26432  df-ig1p 26433

This theorem is used by:  ig1prsp  26479