Theorem ig1pdvds 26155

Description: The monic generator of an ideal divides all elements of the ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1pval.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
ig1pcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1pdvds.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ig1pdvds	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋)

Proof of Theorem ig1pdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20704	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		ig1pval.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22197	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑃 ∈ Ring)
6		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7		ig1pcl.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
8	6, 7	lidlss 21184	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
9	8	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
10		ig1pval.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
11	2, 10, 7	ig1pcl 26154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
12	11	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
13	9, 12	sseldd 3964	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
14		ig1pdvds.d	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)
15		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
16	6, 14, 15	dvdsr01 20339	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐺‘𝐼) ∥ (0g‘𝑃))
17	5, 13, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∥ (0g‘𝑃))
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∥ (0g‘𝑃))
19		eleq2 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = {(0g‘𝑃)} → (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ {(0g‘𝑃)}))
20	19	biimpac 478	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 ∈ {(0g‘𝑃)})
21	20	3ad2antl3 1187	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 ∈ {(0g‘𝑃)})
22		elsni 4623	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {(0g‘𝑃)} → 𝑋 = (0g‘𝑃))
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 = (0g‘𝑃))
24	18, 23	breqtrrd 5151	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋)
25		simpl1 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑅 ∈ DivRing)
26	25, 1	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑅 ∈ Ring)
27		simpl2 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝐼 ∈ 𝑈)
28	27, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
29		simpl3 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
30	28, 29	sseldd 3964	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
31		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)})
32		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
33		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
34	2, 10, 15, 7, 32, 33	ig1pval3 26153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)) = inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < )))
35	25, 27, 31, 34	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)) = inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < )))
36	35	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅))
37		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
38	37, 33	mon1puc1p 26126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅)) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅))
39	26, 36, 38	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅))
40		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (rem1p‘𝑅) = (rem1p‘𝑅)
41	40, 2, 6, 37, 32	r1pdeglt 26135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)))
42	26, 30, 39, 41	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)))
43	35	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)) = inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ))
44	42, 43	breqtrd 5149	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ))
45	32, 2, 6	deg1xrf 26056	. . . . . . 7 ⊢ (deg1‘𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ*
46	35	simp1d 1142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
47	28, 46	sseldd 3964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
48		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
49		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
50		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
51	40, 2, 6, 48, 49, 50	r1pval 26133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (𝑋(-g‘𝑃)((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼))))
52	30, 47, 51	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (𝑋(-g‘𝑃)((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼))))
53	26, 3	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑃 ∈ Ring)
54	48, 2, 6, 37	q1pcl 26132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
55	26, 30, 39, 54	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
56	7, 6, 49	lidlmcl 21197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)) → ((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)
57	53, 27, 55, 46, 56	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)
58	7, 50	lidlsubcl 21196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ ((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)) → (𝑋(-g‘𝑃)((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼))) ∈ 𝐼)
59	53, 27, 29, 57, 58	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(-g‘𝑃)((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼))) ∈ 𝐼)
60	52, 59	eqeltrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)
61	28, 60	sseldd 3964	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
62		ffvelcdm 7081	. . . . . . 7 ⊢ (((deg1‘𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ* ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ℝ*)
63	45, 61, 62	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ℝ*)
64	28	ssdifd 4125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}))
65		imass2 6100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ((deg1‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ((deg1‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})))
67	32, 2, 15, 6	deg1n0ima 26064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((deg1‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ℕ0)
68	26, 67	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ℕ0)
69		nn0uz 12902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
70	68, 69	sseqtrdi 4004	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0))
71	66, 70	sstrd 3974	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0))
72		uzssz 12881	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘0) ⊆ ℤ
73		zssre 12603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
74		ressxr 11287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
75	73, 74	sstri 3973	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ*
76	72, 75	sstri 3973	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘0) ⊆ ℝ*
77	71, 76	sstrdi 3976	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ℝ*)
78	7, 15	lidl0cl 21192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (0g‘𝑃) ∈ 𝐼)
79	53, 27, 78	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (0g‘𝑃) ∈ 𝐼)
80	79	snssd 4789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → {(0g‘𝑃)} ⊆ 𝐼)
81	31	necomd 2986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → {(0g‘𝑃)} ≠ 𝐼)
82		pssdifn0 4348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({(0g‘𝑃)} ⊆ 𝐼 ∧ {(0g‘𝑃)} ≠ 𝐼) → (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ≠ ∅)
83	80, 81, 82	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ≠ ∅)
84		ffn 6716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((deg1‘𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ* → (deg1‘𝑅) Fn (Base‘𝑃))
85	45, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (deg1‘𝑅) Fn (Base‘𝑃)
86	28	ssdifssd 4127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃))
87		fnimaeq0 6681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((deg1‘𝑅) Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃)) → (((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) = ∅))
88	85, 86, 87	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) = ∅))
89	88	necon3bid 2975	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ≠ ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ≠ ∅))
90	83, 89	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ≠ ∅)
91		infssuzcl 12956	. . . . . . . 8 ⊢ ((((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ≠ ∅) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})))
92	71, 90, 91	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})))
93	77, 92	sseldd 3964	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
94		xrltnle 11310	. . . . . 6 ⊢ ((((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ℝ* ∧ inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ℝ*) → (((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ↔ ¬ inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)))))
95	63, 93, 94	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ↔ ¬ inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)))))
96	44, 95	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ¬ inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))))
97	71	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0))
98	60	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)
99		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃))
100		eldifsn 4766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ↔ ((𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)))
101	98, 99, 100	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}))
102		fnfvima 7235	. . . . . . . 8 ⊢ (((deg1‘𝑅) Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})))
103	85, 86, 101, 102	mp3an2ani 1469	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})))
104		infssuzle 12955	. . . . . . 7 ⊢ ((((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}))) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))))
105	97, 103, 104	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))))
106	105	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃) → inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)))))
107	106	necon1bd 2949	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (¬ inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (0g‘𝑃)))
108	96, 107	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (0g‘𝑃))
109	2, 14, 6, 37, 15, 40	dvdsr1p 26139	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅)) → ((𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋 ↔ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (0g‘𝑃)))
110	26, 30, 39, 109	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋 ↔ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (0g‘𝑃)))
111	108, 110	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋)
112	24, 111	pm2.61dane 3018	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   ∖ cdif 3928   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  {csn 4606   class class class wbr 5123   “ cima 5668   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  infcinf 9463  ℝcr 11136  0cc0 11137  ℝ^*cxr 11276   < clt 11277   ≤ cle 11278  ℕ₀cn0 12509  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  Basecbs 17229  ._rcmulr 17274  0_gc0g 17455  -_gcsg 18922  Ringcrg 20198  ∥_rcdsr 20322  DivRingcdr 20697  LIdealclidl 21178  Poly₁cpl1 22126  deg₁cdg1 26029  Monic_1pcmn1 26101  Unic_1pcuc1p 26102  quot_1pcq1p 26103  rem_1pcr1p 26104  idlGen_1pcig1p 26105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215  ax-addf 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9532  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14352  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-starv 17288  df-sca 17289  df-vsca 17290  df-ip 17291  df-tset 17292  df-ple 17293  df-ds 17295  df-unif 17296  df-hom 17297  df-cco 17298  df-0g 17457  df-gsum 17458  df-prds 17463  df-pws 17465  df-mre 17600  df-mrc 17601  df-acs 17603  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-mhm 18765  df-submnd 18766  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-sbg 18925  df-mulg 19055  df-subg 19110  df-ghm 19200  df-cntz 19304  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-oppr 20302  df-dvdsr 20325  df-unit 20326  df-invr 20356  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-rlreg 20662  df-drng 20699  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-sra 21140  df-rgmod 21141  df-lidl 21180  df-cnfld 21327  df-ascl 21829  df-psr 21883  df-mvr 21884  df-mpl 21885  df-opsr 21887  df-psr1 22129  df-vr1 22130  df-ply1 22131  df-coe1 22132  df-mdeg 26030  df-deg1 26031  df-mon1 26106  df-uc1p 26107  df-q1p 26108  df-r1p 26109  df-ig1p 26110

This theorem is referenced by:  ig1prsp  26156