Theorem ig1pdvds 25578

Description: The monic generator of an ideal divides all elements of the ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1pval.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
ig1pcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1pdvds.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ig1pdvds	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋)

Proof of Theorem ig1pdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		ig1pval.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 21656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑃 ∈ Ring)
6		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7		ig1pcl.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
8	6, 7	lidlss 20739	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
9	8	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
10		ig1pval.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
11	2, 10, 7	ig1pcl 25577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
12	11	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
13	9, 12	sseldd 3948	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
14		ig1pdvds.d	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)
15		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
16	6, 14, 15	dvdsr01 20098	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐺‘𝐼) ∥ (0g‘𝑃))
17	5, 13, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∥ (0g‘𝑃))
18	17	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∥ (0g‘𝑃))
19		eleq2 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = {(0g‘𝑃)} → (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ {(0g‘𝑃)}))
20	19	biimpac 479	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 ∈ {(0g‘𝑃)})
21	20	3ad2antl3 1187	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 ∈ {(0g‘𝑃)})
22		elsni 4608	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {(0g‘𝑃)} → 𝑋 = (0g‘𝑃))
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 = (0g‘𝑃))
24	18, 23	breqtrrd 5138	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋)
25		simpl1 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑅 ∈ DivRing)
26	25, 1	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑅 ∈ Ring)
27		simpl2 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝐼 ∈ 𝑈)
28	27, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
29		simpl3 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
30	28, 29	sseldd 3948	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
31		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)})
32		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) = ( deg1 ‘𝑅)
33		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
34	2, 10, 15, 7, 32, 33	ig1pval3 25576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)) = inf((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < )))
35	25, 27, 31, 34	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)) = inf((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < )))
36	35	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅))
37		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
38	37, 33	mon1puc1p 25552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅)) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅))
39	26, 36, 38	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅))
40		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (rem1p‘𝑅) = (rem1p‘𝑅)
41	40, 2, 6, 37, 32	r1pdeglt 25560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)))
42	26, 30, 39, 41	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)))
43	35	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)) = inf((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ))
44	42, 43	breqtrd 5136	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < inf((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ))
45	32, 2, 6	deg1xrf 25483	. . . . . . 7 ⊢ ( deg1 ‘𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ*
46	35	simp1d 1142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
47	28, 46	sseldd 3948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
48		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
49		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
50		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
51	40, 2, 6, 48, 49, 50	r1pval 25558	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (𝑋(-g‘𝑃)((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼))))
52	30, 47, 51	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (𝑋(-g‘𝑃)((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼))))
53	26, 3	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → 𝑃 ∈ Ring)
54	48, 2, 6, 37	q1pcl 25557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
55	26, 30, 39, 54	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
56	7, 6, 49	lidlmcl 20746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)) → ((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)
57	53, 27, 55, 46, 56	syl22anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)
58	7, 50	lidlsubcl 20745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ ((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)) → (𝑋(-g‘𝑃)((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼))) ∈ 𝐼)
59	53, 27, 29, 57, 58	syl22anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(-g‘𝑃)((𝑋(quot1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))(.r‘𝑃)(𝐺‘𝐼))) ∈ 𝐼)
60	52, 59	eqeltrd 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)
61	28, 60	sseldd 3948	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
62		ffvelcdm 7037	. . . . . . 7 ⊢ ((( deg1 ‘𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ* ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑃)) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ℝ*)
63	45, 61, 62	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ℝ*)
64	28	ssdifd 4105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}))
65		imass2 6059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}) → (( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (( deg1 ‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (( deg1 ‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})))
67	32, 2, 15, 6	deg1n0ima 25491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (( deg1 ‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ℕ0)
68	26, 67	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (( deg1 ‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ℕ0)
69		nn0uz 12814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
70	68, 69	sseqtrdi 3997	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (( deg1 ‘𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0))
71	66, 70	sstrd 3957	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0))
72		uzssz 12793	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘0) ⊆ ℤ
73		zssre 12515	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
74		ressxr 11208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
75	73, 74	sstri 3956	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ*
76	72, 75	sstri 3956	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘0) ⊆ ℝ*
77	71, 76	sstrdi 3959	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ ℝ*)
78	7, 15	lidl0cl 20741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (0g‘𝑃) ∈ 𝐼)
79	53, 27, 78	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (0g‘𝑃) ∈ 𝐼)
80	79	snssd 4774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → {(0g‘𝑃)} ⊆ 𝐼)
81	31	necomd 2995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → {(0g‘𝑃)} ≠ 𝐼)
82		pssdifn0 4330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({(0g‘𝑃)} ⊆ 𝐼 ∧ {(0g‘𝑃)} ≠ 𝐼) → (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ≠ ∅)
83	80, 81, 82	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ≠ ∅)
84		ffn 6673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( deg1 ‘𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ* → ( deg1 ‘𝑅) Fn (Base‘𝑃))
85	45, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) Fn (Base‘𝑃)
86	28	ssdifssd 4107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃))
87		fnimaeq0 6639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( deg1 ‘𝑅) Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃)) → ((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) = ∅))
88	85, 86, 87	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) = ∅))
89	88	necon3bid 2984	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ≠ ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ≠ ∅))
90	83, 89	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ≠ ∅)
91		infssuzcl 12866	. . . . . . . 8 ⊢ (((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ (( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ≠ ∅) → inf((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ∈ (( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})))
92	71, 90, 91	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → inf((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ∈ (( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})))
93	77, 92	sseldd 3948	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → inf((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
94		xrltnle 11231	. . . . . 6 ⊢ (((( deg1 ‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ ℝ* ∧ inf((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ℝ*) → ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < inf((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ↔ ¬ inf((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)))))
95	63, 93, 94	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((( deg1 ‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) < inf((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ↔ ¬ inf((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)))))
96	44, 95	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ¬ inf((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))))
97	71	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → (( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0))
98	60	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼)
99		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃))
100		eldifsn 4752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ↔ ((𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)))
101	98, 99, 100	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}))
102		fnfvima 7188	. . . . . . . 8 ⊢ ((( deg1 ‘𝑅) Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ (( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})))
103	85, 86, 101, 102	mp3an2ani 1468	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ (( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})))
104		infssuzle 12865	. . . . . . 7 ⊢ (((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})) ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) ∈ (( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)}))) → inf((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))))
105	97, 103, 104	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃)) → inf((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))))
106	105	ex 413	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) ≠ (0g‘𝑃) → inf((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)))))
107	106	necon1bd 2957	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (¬ inf((( deg1 ‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼))) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (0g‘𝑃)))
108	96, 107	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (0g‘𝑃))
109	2, 14, 6, 37, 15, 40	dvdsr1p 25563	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unic1p‘𝑅)) → ((𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋 ↔ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (0g‘𝑃)))
110	26, 30, 39, 109	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋 ↔ (𝑋(rem1p‘𝑅)(𝐺‘𝐼)) = (0g‘𝑃)))
111	108, 110	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋)
112	24, 111	pm2.61dane 3028	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼) ∥ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  ∅c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110   “ cima 5641   Fn wfn 6496  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  infcinf 9386  ℝcr 11059  0cc0 11060  ℝ^*cxr 11197   < clt 11198   ≤ cle 11199  ℕ₀cn0 12422  ℤcz 12508  ℤ_≥cuz 12772  Basecbs 17094  ._rcmulr 17148  0_gc0g 17335  -_gcsg 18764  Ringcrg 19978  ∥_rcdsr 20081  DivRingcdr 20225  LIdealclidl 20690  Poly₁cpl1 21585   deg₁ cdg1 25453  Monic_1pcmn1 25527  Unic_1pcuc1p 25528  quot_1pcq1p 25529  rem_1pcr1p 25530  idlGen_1pcig1p 25531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138  ax-addf 11139  ax-mulf 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-seq 13917  df-hash 14241  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-starv 17162  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-unif 17170  df-hom 17171  df-cco 17172  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-prds 17343  df-pws 17345  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-mhm 18615  df-submnd 18616  df-grp 18765  df-minusg 18766  df-sbg 18767  df-mulg 18887  df-subg 18939  df-ghm 19020  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-abl 19579  df-mgp 19911  df-ur 19928  df-ring 19980  df-cring 19981  df-oppr 20063  df-dvdsr 20084  df-unit 20085  df-invr 20115  df-drng 20227  df-subrg 20268  df-lmod 20380  df-lss 20450  df-sra 20692  df-rgmod 20693  df-lidl 20694  df-rlreg 20790  df-cnfld 20834  df-ascl 21298  df-psr 21348  df-mvr 21349  df-mpl 21350  df-opsr 21352  df-psr1 21588  df-vr1 21589  df-ply1 21590  df-coe1 21591  df-mdeg 25454  df-deg1 25455  df-mon1 25532  df-uc1p 25533  df-q1p 25534  df-r1p 25535  df-ig1p 25536

This theorem is referenced by:  ig1prsp  25579