Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1pdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ig1pdvds 24342
 Description: The monic generator of an ideal divides all elements of the ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pval.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ig1pval.g 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
ig1pcl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1pdvds.d = (∥r𝑃)
Assertion
Ref Expression
ig1pdvds ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) 𝑋)

Proof of Theorem ig1pdvds
StepHypRef Expression
1 drngring 19117 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 ig1pval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 19985 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
543ad2ant1 1167 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → 𝑃 ∈ Ring)
6 eqid 2825 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7 ig1pcl.u . . . . . . . 8 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
86, 7lidlss 19578 . . . . . . 7 (𝐼𝑈𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
983ad2ant2 1168 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
10 ig1pval.g . . . . . . . 8 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
112, 10, 7ig1pcl 24341 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
12113adant3 1166 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
139, 12sseldd 3828 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
14 ig1pdvds.d . . . . . 6 = (∥r𝑃)
15 eqid 2825 . . . . . 6 (0g𝑃) = (0g𝑃)
166, 14, 15dvdsr01 19016 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐺𝐼) (0g𝑃))
175, 13, 16syl2anc 579 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) (0g𝑃))
1817adantr 474 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) (0g𝑃))
19 eleq2 2895 . . . . . 6 (𝐼 = {(0g𝑃)} → (𝑋𝐼𝑋 ∈ {(0g𝑃)}))
2019biimpac 472 . . . . 5 ((𝑋𝐼𝐼 = {(0g𝑃)}) → 𝑋 ∈ {(0g𝑃)})
21203ad2antl3 1242 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g𝑃)}) → 𝑋 ∈ {(0g𝑃)})
22 elsni 4416 . . . 4 (𝑋 ∈ {(0g𝑃)} → 𝑋 = (0g𝑃))
2321, 22syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g𝑃)}) → 𝑋 = (0g𝑃))
2418, 23breqtrrd 4903 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 = {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) 𝑋)
25 simpl1 1246 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑅 ∈ DivRing)
2625, 1syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑅 ∈ Ring)
27 simpl2 1248 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝐼𝑈)
2827, 8syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
29 simpl3 1250 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑋𝐼)
3028, 29sseldd 3828 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
31 simpr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝐼 ≠ {(0g𝑃)})
32 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
33 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
342, 10, 15, 7, 32, 33ig1pval3 24340 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)) = inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < )))
3525, 27, 31, 34syl3anc 1494 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)) = inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < )))
3635simp2d 1177 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅))
37 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
3837, 33mon1puc1p 24316 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅)) → (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅))
3926, 36, 38syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅))
40 eqid 2825 . . . . . . . 8 (rem1p𝑅) = (rem1p𝑅)
4140, 2, 6, 37, 32r1pdeglt 24324 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅)) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)))
4226, 30, 39, 41syl3anc 1494 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)))
4335simp3d 1178 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)) = inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ))
4442, 43breqtrd 4901 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ))
4532, 2, 6deg1xrf 24247 . . . . . . 7 ( deg1𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ*
4635simp1d 1176 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
4728, 46sseldd 3828 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
48 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
49 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑃) = (.r𝑃)
50 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 (-g𝑃) = (-g𝑃)
5140, 2, 6, 48, 49, 50r1pval 24322 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (𝑋(-g𝑃)((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼))))
5230, 47, 51syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (𝑋(-g𝑃)((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼))))
5326, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → 𝑃 ∈ Ring)
5448, 2, 6, 37q1pcl 24321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
5526, 30, 39, 54syl3anc 1494 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
567, 6, 49lidlmcl 19585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ ((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)) → ((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)
5753, 27, 55, 46, 56syl22anc 872 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)
587, 50lidlsubcl 19584 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑋𝐼 ∧ ((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)) → (𝑋(-g𝑃)((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼))) ∈ 𝐼)
5953, 27, 29, 57, 58syl22anc 872 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(-g𝑃)((𝑋(quot1p𝑅)(𝐺𝐼))(.r𝑃)(𝐺𝐼))) ∈ 𝐼)
6052, 59eqeltrd 2906 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)
6128, 60sseldd 3828 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃))
62 ffvelrn 6611 . . . . . . 7 ((( deg1𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ* ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (Base‘𝑃)) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ ℝ*)
6345, 61, 62sylancr 581 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ ℝ*)
6428ssdifd 3975 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)}))
65 imass2 5746 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})))
6732, 2, 15, 6deg1n0ima 24255 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ ℕ0)
6826, 67syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ ℕ0)
69 nn0uz 12011 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
7068, 69syl6sseq 3876 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0))
7166, 70sstrd 3837 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0))
72 uzssz 11995 . . . . . . . . 9 (ℤ‘0) ⊆ ℤ
73 zssre 11718 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
74 ressxr 10407 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
7573, 74sstri 3836 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ*
7672, 75sstri 3836 . . . . . . . 8 (ℤ‘0) ⊆ ℝ*
7771, 76syl6ss 3839 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ ℝ*)
787, 15lidl0cl 19580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (0g𝑃) ∈ 𝐼)
7953, 27, 78syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (0g𝑃) ∈ 𝐼)
8079snssd 4560 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → {(0g𝑃)} ⊆ 𝐼)
8131necomd 3054 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → {(0g𝑃)} ≠ 𝐼)
82 pssdifn0 4175 . . . . . . . . . 10 (({(0g𝑃)} ⊆ 𝐼 ∧ {(0g𝑃)} ≠ 𝐼) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ≠ ∅)
8380, 81, 82syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ≠ ∅)
84 ffn 6282 . . . . . . . . . . . 12 (( deg1𝑅):(Base‘𝑃)⟶ℝ* → ( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃))
8545, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃)
8628ssdifssd 3977 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃))
87 fnimaeq0 6250 . . . . . . . . . . 11 ((( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃)) → ((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) = ∅))
8885, 86, 87sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) = ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) = ∅))
8988necon3bid 3043 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ≠ ∅ ↔ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ≠ ∅))
9083, 89mpbird 249 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ≠ ∅)
91 infssuzcl 12062 . . . . . . . 8 (((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0) ∧ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ≠ ∅) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})))
9271, 90, 91syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})))
9377, 92sseldd 3828 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
94 xrltnle 10431 . . . . . 6 (((( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ ℝ* ∧ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ∈ ℝ*) → ((( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ↔ ¬ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)))))
9563, 93, 94syl2anc 579 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) < inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ↔ ¬ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)))))
9644, 95mpbid 224 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ¬ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))))
9771adantr 474 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0))
9885a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → ( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃))
9986adantr 474 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃))
10060adantr 474 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼)
101 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃))
102 eldifsn 4538 . . . . . . . . 9 ((𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ↔ ((𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)))
103100, 101, 102sylanbrc 578 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}))
104 fnfvima 6757 . . . . . . . 8 ((( deg1𝑅) Fn (Base‘𝑃) ∧ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ∈ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})))
10598, 99, 103, 104syl3anc 1494 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})))
106 infssuzle 12061 . . . . . . 7 (((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})) ⊆ (ℤ‘0) ∧ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) ∈ (( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)}))) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))))
10797, 105, 106syl2anc 579 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) ∧ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃)) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))))
108107ex 403 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) ≠ (0g𝑃) → inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)))))
109108necon1bd 3017 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (¬ inf((( deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < ) ≤ (( deg1𝑅)‘(𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼))) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (0g𝑃)))
11096, 109mpd 15 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (0g𝑃))
1112, 14, 6, 37, 15, 40dvdsr1p 24327 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Unic1p𝑅)) → ((𝐺𝐼) 𝑋 ↔ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (0g𝑃)))
11226, 30, 39, 111syl3anc 1494 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝐺𝐼) 𝑋 ↔ (𝑋(rem1p𝑅)(𝐺𝐼)) = (0g𝑃)))
113110, 112mpbird 249 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) 𝑋)
11424, 113pm2.61dane 3086 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝐺𝐼) 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999   ∖ cdif 3795   ⊆ wss 3798  ∅c0 4146  {csn 4399   class class class wbr 4875   “ cima 5349   Fn wfn 6122  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  infcinf 8622  ℝcr 10258  0cc0 10259  ℝ*cxr 10397   < clt 10398   ≤ cle 10399  ℕ0cn0 11625  ℤcz 11711  ℤ≥cuz 11975  Basecbs 16229  .rcmulr 16313  0gc0g 16460  -gcsg 17785  Ringcrg 18908  ∥rcdsr 18999  DivRingcdr 19110  LIdealclidl 19538  Poly1cpl1 19914   deg1 cdg1 24220  Monic1pcmn1 24291  Unic1pcuc1p 24292  quot1pcq1p 24293  rem1pcr1p 24294  idlGen1pcig1p 24295 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-ofr 7163  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-hash 13418  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-drng 19112  df-subrg 19141  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-sra 19540  df-rgmod 19541  df-lidl 19542  df-rlreg 19651  df-ascl 19682  df-psr 19724  df-mvr 19725  df-mpl 19726  df-opsr 19728  df-psr1 19917  df-vr1 19918  df-ply1 19919  df-coe1 19920  df-cnfld 20114  df-mdeg 24221  df-deg1 24222  df-mon1 24296  df-uc1p 24297  df-q1p 24298  df-r1p 24299  df-ig1p 24300 This theorem is referenced by:  ig1prsp  24343
 Copyright terms: Public domain W3C validator