MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfacacn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfacacn 10138
Description: A choice equivalent: every set has choice sets of every length. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfacacn (CHOICE ↔ ∀𝑥AC 𝑥 = V)

Proof of Theorem dfacacn
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acacni 10137 . . . 4 ((CHOICE𝑥 ∈ V) → AC 𝑥 = V)
21elvd 3481 . . 3 (CHOICEAC 𝑥 = V)
32alrimiv 1930 . 2 (CHOICE → ∀𝑥AC 𝑥 = V)
4 vex 3478 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
54difexi 5328 . . . . . 6 (𝑦 ∖ {∅}) ∈ V
6 acneq 10040 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∖ {∅}) → AC 𝑥 = AC (𝑦 ∖ {∅}))
76eqeq1d 2734 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∖ {∅}) → (AC 𝑥 = V ↔ AC (𝑦 ∖ {∅}) = V))
85, 7spcv 3595 . . . . 5 (∀𝑥AC 𝑥 = V → AC (𝑦 ∖ {∅}) = V)
9 vuniex 7731 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
10 id 22 . . . . . . 7 (AC (𝑦 ∖ {∅}) = V → AC (𝑦 ∖ {∅}) = V)
119, 10eleqtrrid 2840 . . . . . 6 (AC (𝑦 ∖ {∅}) = V → 𝑦AC (𝑦 ∖ {∅}))
12 eldifi 4126 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅}) → 𝑧𝑦)
13 elssuni 4941 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑦𝑧 𝑦)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅}) → 𝑧 𝑦)
15 eldifsni 4793 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅}) → 𝑧 ≠ ∅)
1614, 15jca 512 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅}) → (𝑧 𝑦𝑧 ≠ ∅))
1716rgen 3063 . . . . . 6 𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅})(𝑧 𝑦𝑧 ≠ ∅)
18 acni2 10043 . . . . . 6 (( 𝑦AC (𝑦 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅})(𝑧 𝑦𝑧 ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:(𝑦 ∖ {∅})⟶ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅})(𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
1911, 17, 18sylancl 586 . . . . 5 (AC (𝑦 ∖ {∅}) = V → ∃𝑔(𝑔:(𝑦 ∖ {∅})⟶ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅})(𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
204mptex 7227 . . . . . . 7 (𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥)) ∈ V
21 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑔:(𝑦 ∖ {∅})⟶ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅})(𝑔𝑧) ∈ 𝑧) → ∀𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅})(𝑔𝑧) ∈ 𝑧)
22 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅}) ↔ (𝑧𝑦𝑧 ≠ ∅))
2322imbi1i 349 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅}) → ((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥))‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ((𝑧𝑦𝑧 ≠ ∅) → ((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥))‘𝑧) ∈ 𝑧))
24 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑧))
25 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥)) = (𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥))
26 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔𝑧) ∈ V
2724, 25, 26fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑦 → ((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥))‘𝑧) = (𝑔𝑧))
2812, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅}) → ((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥))‘𝑧) = (𝑔𝑧))
2928eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅}) → (((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥))‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
3029pm5.74i 270 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅}) → ((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥))‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅}) → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
31 impexp 451 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧𝑦𝑧 ≠ ∅) → ((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥))‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥))‘𝑧) ∈ 𝑧)))
3223, 30, 313bitr3i 300 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅}) → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥))‘𝑧) ∈ 𝑧)))
3332ralbii2 3089 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅})(𝑔𝑧) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥))‘𝑧) ∈ 𝑧))
3421, 33sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝑔:(𝑦 ∖ {∅})⟶ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅})(𝑔𝑧) ∈ 𝑧) → ∀𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥))‘𝑧) ∈ 𝑧))
35 fvrn0 6921 . . . . . . . . . . 11 (𝑔𝑥) ∈ (ran 𝑔 ∪ {∅})
3635rgenw 3065 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦 (𝑔𝑥) ∈ (ran 𝑔 ∪ {∅})
3725fmpt 7111 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑦 (𝑔𝑥) ∈ (ran 𝑔 ∪ {∅}) ↔ (𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥)):𝑦⟶(ran 𝑔 ∪ {∅}))
3836, 37mpbi 229 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥)):𝑦⟶(ran 𝑔 ∪ {∅})
39 ffn 6717 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥)):𝑦⟶(ran 𝑔 ∪ {∅}) → (𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥)) Fn 𝑦)
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥)) Fn 𝑦
4134, 40jctil 520 . . . . . . 7 ((𝑔:(𝑦 ∖ {∅})⟶ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅})(𝑔𝑧) ∈ 𝑧) → ((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥)) Fn 𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥))‘𝑧) ∈ 𝑧)))
42 fneq1 6640 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥)) → (𝑓 Fn 𝑦 ↔ (𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥)) Fn 𝑦))
43 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥)) → (𝑓𝑧) = ((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥))‘𝑧))
4443eleq1d 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥)) → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥))‘𝑧) ∈ 𝑧))
4544imbi2d 340 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥)) → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥))‘𝑧) ∈ 𝑧)))
4645ralbidv 3177 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥)) → (∀𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥))‘𝑧) ∈ 𝑧)))
4742, 46anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥)) → ((𝑓 Fn 𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ ((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥)) Fn 𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥))‘𝑧) ∈ 𝑧))))
4847spcegv 3587 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥)) ∈ V → (((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥)) Fn 𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑥𝑦 ↦ (𝑔𝑥))‘𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))))
4920, 41, 48mpsyl 68 . . . . . 6 ((𝑔:(𝑦 ∖ {∅})⟶ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅})(𝑔𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
5049exlimiv 1933 . . . . 5 (∃𝑔(𝑔:(𝑦 ∖ {∅})⟶ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑦 ∖ {∅})(𝑔𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
518, 19, 503syl 18 . . . 4 (∀𝑥AC 𝑥 = V → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
5251alrimiv 1930 . . 3 (∀𝑥AC 𝑥 = V → ∀𝑦𝑓(𝑓 Fn 𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
53 dfac4 10119 . . 3 (CHOICE ↔ ∀𝑦𝑓(𝑓 Fn 𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
5452, 53sylibr 233 . 2 (∀𝑥AC 𝑥 = V → CHOICE)
553, 54impbii 208 1 (CHOICE ↔ ∀𝑥AC 𝑥 = V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3474  cdif 3945  cun 3946  wss 3948  c0 4322  {csn 4628   cuni 4908  cmpt 5231  ran crn 5677   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  AC wacn 9935  CHOICEwac 10112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113
This theorem is referenced by:  dfac13  10139
  Copyright terms: Public domain W3C validator