Theorem ralrab 3654

Description: Universal quantification over a restricted class abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralab.1	⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ralrab	⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}𝜒 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 → 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ralrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralab.1	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2	1	elrab 3648	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓))
3	2	imbi1i 349	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} → 𝜒) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → 𝜒))
4		impexp 450	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → 𝜒) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜓 → 𝜒)))
5	3, 4	bitri 275	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} → 𝜒) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜓 → 𝜒)))
6	5	ralbii2 3071	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}𝜒 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 → 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1543  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rab 3395  df-v 3438

This theorem is referenced by:  frminex  5598  wereu2  5616  frpomin  6288  weniso  7291  zmin  12845  prmreclem1  16828  lublecllem  18264  mgmhmeql  18590  mhmeql  18700  ghmeql  19118  pgpfac1lem5  19960  lmhmeql  20959  islindf4  21745  1stcfb  23330  fbssfi  23722  filssufilg  23796  txflf  23891  ptcmplem3  23939  symgtgp  23991  tgpconncompeqg  23997  cnllycmp  24853  ovolgelb  25379  dyadmax  25497  lhop1  25917  radcnvlt1  26325  noextenddif  27578  conway  27710  madebdaylemlrcut  27813  onscutlt  28170  onsiso  28174  bdayon  28178  bdayn0p1  28263  poimirlem4  37608  poimirlem32  37636  ismblfin  37645  igenval2  38050  glbconN  39360  nadd2rabtr  43361  isubgruhgr  47856  intubeu  48972  unilbeu  48973