Theorem ralrab 3652

Description: Universal quantification over a restricted class abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralab.1	⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ralrab	⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}𝜒 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 → 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ralrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralab.1	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2	1	elrab 3646	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓))
3	2	imbi1i 349	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} → 𝜒) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → 𝜒))
4		impexp 450	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → 𝜒) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜓 → 𝜒)))
5	3, 4	bitri 275	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} → 𝜒) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜓 → 𝜒)))
6	5	ralbii2 3078	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}𝜒 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 → 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  {crab 3399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1544  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rab 3400  df-v 3442

This theorem is referenced by:  frminex  5603  wereu2  5621  frpomin  6298  weniso  7300  zmin  12857  prmreclem1  16844  lublecllem  18281  mgmhmeql  18641  mhmeql  18751  ghmeql  19168  pgpfac1lem5  20010  lmhmeql  21007  islindf4  21793  1stcfb  23389  fbssfi  23781  filssufilg  23855  txflf  23950  ptcmplem3  23998  symgtgp  24050  tgpconncompeqg  24056  cnllycmp  24911  ovolgelb  25437  dyadmax  25555  lhop1  25975  radcnvlt1  26383  noextenddif  27636  conway  27775  madebdaylemlrcut  27895  oncutlt  28260  oniso  28267  bdayons  28272  bdayn0p1  28365  poimirlem4  37825  poimirlem32  37853  ismblfin  37862  igenval2  38267  glbconN  39637  nadd2rabtr  43626  isubgruhgr  48114  intubeu  49229  unilbeu  49230