Theorem ralrab 3654

Description: Universal quantification over a restricted class abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralab.1	⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ralrab	⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}𝜒 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 → 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ralrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralab.1	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2	1	elrab 3648	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓))
3	2	imbi1i 349	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} → 𝜒) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → 𝜒))
4		impexp 450	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → 𝜒) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜓 → 𝜒)))
5	3, 4	bitri 275	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} → 𝜒) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜓 → 𝜒)))
6	5	ralbii2 3080	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}𝜒 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 → 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1545  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rab 3402  df-v 3444

This theorem is referenced by:  frminex  5611  wereu2  5629  frpomin  6306  weniso  7310  zmin  12869  prmreclem1  16856  lublecllem  18293  mgmhmeql  18653  mhmeql  18763  ghmeql  19180  pgpfac1lem5  20022  lmhmeql  21019  islindf4  21805  1stcfb  23401  fbssfi  23793  filssufilg  23867  txflf  23962  ptcmplem3  24010  symgtgp  24062  tgpconncompeqg  24068  cnllycmp  24923  ovolgelb  25449  dyadmax  25567  lhop1  25987  radcnvlt1  26395  noextenddif  27648  conway  27787  madebdaylemlrcut  27907  oncutlt  28272  oniso  28279  bdayons  28284  bdayn0p1  28377  poimirlem4  37875  poimirlem32  37903  ismblfin  37912  igenval2  38317  glbconN  39753  nadd2rabtr  43741  isubgruhgr  48228  intubeu  49343  unilbeu  49344