Theorem dchrelbas2 27218

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of ℂ, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrval.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrelbas2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dchrelbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrval.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
4		dchrval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5		dchrval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		dchrbas.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dchrelbas 27217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋)))
8		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
9	8, 3	mgpbas 20121	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
10		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
11		cnfldbas 21352	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
12	10, 11	mgpbas 20121	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
13	9, 12	mhmf 18752	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
15	14	ffund 6668	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → Fun 𝑋)
16		funssres 6538	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}))
17	15, 16	sylan 581	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}))
18		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}))
19		resss 5962	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) ⊆ 𝑋
20	18, 19	eqsstrrdi 3968	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) → ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋)
21	17, 20	impbida 801	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})))
22		0cn 11131	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
23		fconst6g 6725	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}):(𝐵 ∖ 𝑈)⟶ℂ)
24	22, 23	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}):(𝐵 ∖ 𝑈)⟶ℂ)
25	24	fdmd 6674	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) = (𝐵 ∖ 𝑈))
26	25	reseq2d 5940	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)))
27	26	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ↔ (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})))
28		difss 4077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝐵
29		fssres 6702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝐵) → (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)):(𝐵 ∖ 𝑈)⟶ℂ)
30	14, 28, 29	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)):(𝐵 ∖ 𝑈)⟶ℂ)
31	30	ffnd 6665	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) Fn (𝐵 ∖ 𝑈))
32	24	ffnd 6665	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) Fn (𝐵 ∖ 𝑈))
33		eqfnfv 6979	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) Fn (𝐵 ∖ 𝑈) ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) Fn (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥)))
34	31, 32, 33	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥)))
35		fvres 6855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → ((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (𝑋‘𝑥))
36		c0ex 11133	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
37	36	fvconst2 7154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥) = 0)
38	35, 37	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → (((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
39	38	ralbiia 3082	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)(𝑋‘𝑥) = 0)
40		eldif 3900	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈))
41	40	imbi1i 349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑋‘𝑥) = 0))
42		impexp 450	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑋‘𝑥) = 0)))
43		con1b 358	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ (¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
44		df-ne 2934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
45	44	imbi1i 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
46	43, 45	bitr4i 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
47	46	imbi2i 336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑋‘𝑥) = 0)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
48	41, 42, 47	3bitri 297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
49	48	ralbii2 3080	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)(𝑋‘𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
50	39, 49	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
51	34, 50	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
52	21, 27, 51	3bitrd 305	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
53	52	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
54	7, 53	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4568   × cxp 5624  dom cdm 5626   ↾ cres 5628  Fun wfun 6488   Fn wfn 6489  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℂcc 11031  0cc0 11033  ℕcn 12169  Basecbs 17174   MndHom cmhm 18744  mulGrpcmgp 20116  Unitcui 20330  ℂ_fldccnfld 21348  ℤ/nℤczn 21496  DChrcdchr 27213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-mhm 18746  df-mgp 20117  df-cnfld 21349  df-dchr 27214

This theorem is referenced by:  dchrelbas3  27219  dchrelbas4  27224  dchrmulcl  27230  dchrn0  27231  dchrmullid  27233