MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrelbas2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrelbas2 26747
Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/n to the multiplicative monoid of , which is zero off the group of units of ℤ/n. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrval.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dchrelbas2 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dchrelbas2
StepHypRef Expression
1 dchrval.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrval.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑍)
4 dchrval.u . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5 dchrval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 dchrbas.b . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrelbas 26746 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋)))
8 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
98, 3mgpbas 19995 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
10 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
11 cnfldbas 20954 . . . . . . . . . 10 ℂ = (Base‘ℂfld)
1210, 11mgpbas 19995 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
139, 12mhmf 18679 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
1514ffund 6721 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → Fun 𝑋)
16 funssres 6592 . . . . . 6 ((Fun 𝑋 ∧ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = ((𝐵𝑈) × {0}))
1715, 16sylan 580 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = ((𝐵𝑈) × {0}))
18 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = ((𝐵𝑈) × {0})) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = ((𝐵𝑈) × {0}))
19 resss 6006 . . . . . 6 (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) ⊆ 𝑋
2018, 19eqsstrrdi 4037 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = ((𝐵𝑈) × {0})) → ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋)
2117, 20impbida 799 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = ((𝐵𝑈) × {0})))
22 0cn 11208 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
23 fconst6g 6780 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℂ → ((𝐵𝑈) × {0}):(𝐵𝑈)⟶ℂ)
2422, 23mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝐵𝑈) × {0}):(𝐵𝑈)⟶ℂ)
2524fdmd 6728 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → dom ((𝐵𝑈) × {0}) = (𝐵𝑈))
2625reseq2d 5981 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = (𝑋 ↾ (𝐵𝑈)))
2726eqeq1d 2734 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = ((𝐵𝑈) × {0}) ↔ (𝑋 ↾ (𝐵𝑈)) = ((𝐵𝑈) × {0})))
28 difss 4131 . . . . . . . 8 (𝐵𝑈) ⊆ 𝐵
29 fssres 6757 . . . . . . . 8 ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝐵𝑈) ⊆ 𝐵) → (𝑋 ↾ (𝐵𝑈)):(𝐵𝑈)⟶ℂ)
3014, 28, 29sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ (𝐵𝑈)):(𝐵𝑈)⟶ℂ)
3130ffnd 6718 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ (𝐵𝑈)) Fn (𝐵𝑈))
3224ffnd 6718 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝐵𝑈) × {0}) Fn (𝐵𝑈))
33 eqfnfv 7032 . . . . . 6 (((𝑋 ↾ (𝐵𝑈)) Fn (𝐵𝑈) ∧ ((𝐵𝑈) × {0}) Fn (𝐵𝑈)) → ((𝑋 ↾ (𝐵𝑈)) = ((𝐵𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵𝑈))‘𝑥) = (((𝐵𝑈) × {0})‘𝑥)))
3431, 32, 33syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ (𝐵𝑈)) = ((𝐵𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵𝑈))‘𝑥) = (((𝐵𝑈) × {0})‘𝑥)))
35 fvres 6910 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐵𝑈) → ((𝑋 ↾ (𝐵𝑈))‘𝑥) = (𝑋𝑥))
36 c0ex 11210 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
3736fvconst2 7207 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐵𝑈) → (((𝐵𝑈) × {0})‘𝑥) = 0)
3835, 37eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐵𝑈) → (((𝑋 ↾ (𝐵𝑈))‘𝑥) = (((𝐵𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ (𝑋𝑥) = 0))
3938ralbiia 3091 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝐵𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵𝑈))‘𝑥) = (((𝐵𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵𝑈)(𝑋𝑥) = 0)
40 eldif 3958 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐵𝑈) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝑈))
4140imbi1i 349 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐵𝑈) → (𝑋𝑥) = 0) ↔ ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝑈) → (𝑋𝑥) = 0))
42 impexp 451 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝑈) → (𝑋𝑥) = 0) ↔ (𝑥𝐵 → (¬ 𝑥𝑈 → (𝑋𝑥) = 0)))
43 con1b 358 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑥𝑈 → (𝑋𝑥) = 0) ↔ (¬ (𝑋𝑥) = 0 → 𝑥𝑈))
44 df-ne 2941 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋𝑥) = 0)
4544imbi1i 349 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈) ↔ (¬ (𝑋𝑥) = 0 → 𝑥𝑈))
4643, 45bitr4i 277 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑥𝑈 → (𝑋𝑥) = 0) ↔ ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))
4746imbi2i 335 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵 → (¬ 𝑥𝑈 → (𝑋𝑥) = 0)) ↔ (𝑥𝐵 → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))
4841, 42, 473bitri 296 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐵𝑈) → (𝑋𝑥) = 0) ↔ (𝑥𝐵 → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))
4948ralbii2 3089 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝐵𝑈)(𝑋𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))
5039, 49bitri 274 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐵𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵𝑈))‘𝑥) = (((𝐵𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))
5134, 50bitrdi 286 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ (𝐵𝑈)) = ((𝐵𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))
5221, 27, 513bitrd 304 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))
5352pm5.32da 579 . 2 (𝜑 → ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))))
547, 53bitrd 278 1 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  cdif 3945  wss 3948  {csn 4628   × cxp 5674  dom cdm 5676  cres 5678  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7411  cc 11110  0cc0 11112  cn 12214  Basecbs 17146   MndHom cmhm 18671  mulGrpcmgp 19989  Unitcui 20173  fldccnfld 20950  ℤ/nczn 21058  DChrcdchr 26742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-mhm 18673  df-mgp 19990  df-cnfld 20951  df-dchr 26743
This theorem is referenced by:  dchrelbas3  26748  dchrelbas4  26753  dchrmulcl  26759  dchrn0  26760  dchrmullid  26762
  Copyright terms: Public domain W3C validator