Theorem dchrelbas2 27410

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of ℂ, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrval.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrelbas2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dchrelbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrval.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
4		dchrval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5		dchrval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		dchrbas.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dchrelbas 27409	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋)))
8		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
9	8, 3	mgpbas 20225	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
10		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
11		cnfldbas 21535	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
12	10, 11	mgpbas 20225	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
13	9, 12	mhmf 18851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
14	13	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
15	14	ffund 6710	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → Fun 𝑋)
16		funssres 6580	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}))
17	15, 16	sylan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}))
18		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}))
19		resss 6000	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) ⊆ 𝑋
20	18, 19	eqsstrrdi 3982	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) → ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋)
21	17, 20	impbida 812	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})))
22		0cn 11202	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
23		fconst6g 6767	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}):(𝐵 ∖ 𝑈)⟶ℂ)
24	22, 23	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}):(𝐵 ∖ 𝑈)⟶ℂ)
25	24	fdmd 6716	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) = (𝐵 ∖ 𝑈))
26	25	reseq2d 5978	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)))
27	26	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ↔ (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})))
28		difss 4090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝐵
29		fssres 6744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝐵) → (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)):(𝐵 ∖ 𝑈)⟶ℂ)
30	14, 28, 29	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)):(𝐵 ∖ 𝑈)⟶ℂ)
31	30	ffnd 6706	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) Fn (𝐵 ∖ 𝑈))
32	24	ffnd 6706	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) Fn (𝐵 ∖ 𝑈))
33		eqfnfv 7025	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) Fn (𝐵 ∖ 𝑈) ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) Fn (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥)))
34	31, 32, 33	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥)))
35		fvres 6900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → ((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (𝑋‘𝑥))
36		c0ex 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
37	36	fvconst2 7202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥) = 0)
38	35, 37	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → (((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
39	38	ralbiia 3109	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)(𝑋‘𝑥) = 0)
40		eldif 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈))
41	40	imbi1i 352	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑋‘𝑥) = 0))
42		impexp 455	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑋‘𝑥) = 0)))
43		con1b 361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ (¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
44		df-ne 2959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
45	44	imbi1i 352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
46	43, 45	bitr4i 281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
47	46	imbi2i 339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑋‘𝑥) = 0)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
48	41, 42, 47	3bitri 300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
49	48	ralbii2 3107	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)(𝑋‘𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
50	39, 49	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
51	34, 50	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
52	21, 27, 51	3bitrd 308	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
53	52	pm5.32da 589	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
54	7, 53	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4589   × cxp 5659  dom cdm 5661   ↾ cres 5663  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  0cc0 11104  ℕcn 12237  Basecbs 17273   MndHom cmhm 18843  mulGrpcmgp 20220  Unitcui 20442  ℂ_fldccnfld 21531  ℤ/nℤczn 21661  DChrcdchr 27405

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-mhm 18845  df-mgp 20221  df-cnfld 21532  df-dchr 27406

This theorem is used by:  dchrelbas3  27411  dchrelbas4  27416  dchrmulcl  27422  dchrn0  27423  dchrmullid  27425