MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrelbas2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrelbas2 25805
Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/n to the multiplicative monoid of , which is zero off the group of units of ℤ/n. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrval.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dchrelbas2 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dchrelbas2
StepHypRef Expression
1 dchrval.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrval.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑍)
4 dchrval.u . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5 dchrval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 dchrbas.b . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrelbas 25804 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋)))
8 eqid 2819 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
98, 3mgpbas 19237 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
10 eqid 2819 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
11 cnfldbas 20541 . . . . . . . . . 10 ℂ = (Base‘ℂfld)
1210, 11mgpbas 19237 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
139, 12mhmf 17953 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
1413adantl 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
1514ffund 6511 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → Fun 𝑋)
16 funssres 6391 . . . . . 6 ((Fun 𝑋 ∧ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = ((𝐵𝑈) × {0}))
1715, 16sylan 582 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = ((𝐵𝑈) × {0}))
18 simpr 487 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = ((𝐵𝑈) × {0})) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = ((𝐵𝑈) × {0}))
19 resss 5871 . . . . . 6 (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) ⊆ 𝑋
2018, 19eqsstrrdi 4020 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = ((𝐵𝑈) × {0})) → ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋)
2117, 20impbida 799 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = ((𝐵𝑈) × {0})))
22 0cn 10625 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
23 fconst6g 6561 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℂ → ((𝐵𝑈) × {0}):(𝐵𝑈)⟶ℂ)
2422, 23mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝐵𝑈) × {0}):(𝐵𝑈)⟶ℂ)
2524fdmd 6516 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → dom ((𝐵𝑈) × {0}) = (𝐵𝑈))
2625reseq2d 5846 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = (𝑋 ↾ (𝐵𝑈)))
2726eqeq1d 2821 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = ((𝐵𝑈) × {0}) ↔ (𝑋 ↾ (𝐵𝑈)) = ((𝐵𝑈) × {0})))
28 difss 4106 . . . . . . . 8 (𝐵𝑈) ⊆ 𝐵
29 fssres 6537 . . . . . . . 8 ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝐵𝑈) ⊆ 𝐵) → (𝑋 ↾ (𝐵𝑈)):(𝐵𝑈)⟶ℂ)
3014, 28, 29sylancl 588 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ (𝐵𝑈)):(𝐵𝑈)⟶ℂ)
3130ffnd 6508 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ (𝐵𝑈)) Fn (𝐵𝑈))
3224ffnd 6508 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝐵𝑈) × {0}) Fn (𝐵𝑈))
33 eqfnfv 6795 . . . . . 6 (((𝑋 ↾ (𝐵𝑈)) Fn (𝐵𝑈) ∧ ((𝐵𝑈) × {0}) Fn (𝐵𝑈)) → ((𝑋 ↾ (𝐵𝑈)) = ((𝐵𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵𝑈))‘𝑥) = (((𝐵𝑈) × {0})‘𝑥)))
3431, 32, 33syl2anc 586 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ (𝐵𝑈)) = ((𝐵𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵𝑈))‘𝑥) = (((𝐵𝑈) × {0})‘𝑥)))
35 fvres 6682 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐵𝑈) → ((𝑋 ↾ (𝐵𝑈))‘𝑥) = (𝑋𝑥))
36 c0ex 10627 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
3736fvconst2 6959 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐵𝑈) → (((𝐵𝑈) × {0})‘𝑥) = 0)
3835, 37eqeq12d 2835 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐵𝑈) → (((𝑋 ↾ (𝐵𝑈))‘𝑥) = (((𝐵𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ (𝑋𝑥) = 0))
3938ralbiia 3162 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝐵𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵𝑈))‘𝑥) = (((𝐵𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵𝑈)(𝑋𝑥) = 0)
40 eldif 3944 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐵𝑈) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝑈))
4140imbi1i 352 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐵𝑈) → (𝑋𝑥) = 0) ↔ ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝑈) → (𝑋𝑥) = 0))
42 impexp 453 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝑈) → (𝑋𝑥) = 0) ↔ (𝑥𝐵 → (¬ 𝑥𝑈 → (𝑋𝑥) = 0)))
43 con1b 361 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑥𝑈 → (𝑋𝑥) = 0) ↔ (¬ (𝑋𝑥) = 0 → 𝑥𝑈))
44 df-ne 3015 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋𝑥) = 0)
4544imbi1i 352 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈) ↔ (¬ (𝑋𝑥) = 0 → 𝑥𝑈))
4643, 45bitr4i 280 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑥𝑈 → (𝑋𝑥) = 0) ↔ ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))
4746imbi2i 338 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵 → (¬ 𝑥𝑈 → (𝑋𝑥) = 0)) ↔ (𝑥𝐵 → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))
4841, 42, 473bitri 299 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐵𝑈) → (𝑋𝑥) = 0) ↔ (𝑥𝐵 → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))
4948ralbii2 3161 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝐵𝑈)(𝑋𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))
5039, 49bitri 277 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐵𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵𝑈))‘𝑥) = (((𝐵𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))
5134, 50syl6bb 289 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ (𝐵𝑈)) = ((𝐵𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))
5221, 27, 513bitrd 307 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))
5352pm5.32da 581 . 2 (𝜑 → ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))))
547, 53bitrd 281 1 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  wne 3014  wral 3136  cdif 3931  wss 3934  {csn 4559   × cxp 5546  dom cdm 5548  cres 5550  Fun wfun 6342   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  cc 10527  0cc0 10529  cn 11630  Basecbs 16475   MndHom cmhm 17946  mulGrpcmgp 19231  Unitcui 19381  fldccnfld 20537  ℤ/nczn 20642  DChrcdchr 25800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-mhm 17948  df-mgp 19232  df-cnfld 20538  df-dchr 25801
This theorem is referenced by:  dchrelbas3  25806  dchrelbas4  25811  dchrmulcl  25817  dchrn0  25818  dchrmulid2  25820
  Copyright terms: Public domain W3C validator