Theorem dchrelbas2 27579

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of ℂ, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrval.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrelbas2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dchrelbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrval.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
4		dchrval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5		dchrval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		dchrbas.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dchrelbas 27578	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋)))
8		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
9	8, 3	mgpbas 20380	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
10		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
11		cnfldbas 21697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
12	10, 11	mgpbas 20380	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
13	9, 12	mhmf 18999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
14	13	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
15	14	ffund 6725	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → Fun 𝑋)
16		funssres 6593	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}))
17	15, 16	sylan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}))
18		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}))
19		resss 5997	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) ⊆ 𝑋
20	18, 19	eqsstrrdi 3958	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) → ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋)
21	17, 20	impbida 813	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})))
22		0cn 11311	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
23		fconst6g 6782	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}):(𝐵 ∖ 𝑈)⟶ℂ)
24	22, 23	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}):(𝐵 ∖ 𝑈)⟶ℂ)
25	24	fdmd 6731	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) = (𝐵 ∖ 𝑈))
26	25	reseq2d 5975	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)))
27	26	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ↔ (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})))
28		difss 4075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝐵
29		fssres 6759	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝐵) → (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)):(𝐵 ∖ 𝑈)⟶ℂ)
30	14, 28, 29	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)):(𝐵 ∖ 𝑈)⟶ℂ)
31	30	ffnd 6721	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) Fn (𝐵 ∖ 𝑈))
32	24	ffnd 6721	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) Fn (𝐵 ∖ 𝑈))
33		eqfnfv 7040	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) Fn (𝐵 ∖ 𝑈) ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) Fn (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥)))
34	31, 32, 33	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥)))
35		fvres 6915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → ((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (𝑋‘𝑥))
36		c0ex 11313	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
37	36	fvconst2 7220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥) = 0)
38	35, 37	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → (((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
39	38	ralbiia 3110	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)(𝑋‘𝑥) = 0)
40		eldif 4052	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈))
41	40	imbi1i 352	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑋‘𝑥) = 0))
42		impexp 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑋‘𝑥) = 0)))
43		con1b 361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ (¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
44		df-ne 2960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
45	44	imbi1i 352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
46	43, 45	bitr4i 281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
47	46	imbi2i 339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑋‘𝑥) = 0)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
48	41, 42, 47	3bitri 300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
49	48	ralbii2 3108	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)(𝑋‘𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
50	39, 49	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
51	34, 50	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
52	21, 27, 51	3bitrd 308	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
53	52	pm5.32da 590	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
54	7, 53	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588   × cxp 5653  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  Fun wfun 6541   Fn wfn 6542  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℂcc 11211  0cc0 11213  ℕcn 12348  Basecbs 17402   MndHom cmhm 18991  mulGrpcmgp 20375  Unitcui 20600  ℂ_fldccnfld 21693  ℤ/nℤczn 21823  DChrcdchr 27574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-mhm 18993  df-mgp 20376  df-cnfld 21694  df-dchr 27575

This theorem is used by:  dchrelbas3  27580  dchrelbas4  27585  dchrmulcl  27591  dchrn0  27592  dchrmullid  27594