Theorem dchrelbas2 27367

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of ℂ, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrval.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrelbas2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dchrelbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrval.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
4		dchrval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5		dchrval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		dchrbas.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dchrelbas 27366	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋)))
8		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
9	8, 3	mgpbas 20221	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
10		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
11		cnfldbas 21495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
12	10, 11	mgpbas 20221	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
13	9, 12	mhmf 18847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
14	13	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
15	14	ffund 6711	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → Fun 𝑋)
16		funssres 6581	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}))
17	15, 16	sylan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}))
18		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}))
19		resss 6001	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) ⊆ 𝑋
20	18, 19	eqsstrrdi 3990	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) → ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋)
21	17, 20	impbida 812	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})))
22		0cn 11198	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
23		fconst6g 6768	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}):(𝐵 ∖ 𝑈)⟶ℂ)
24	22, 23	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}):(𝐵 ∖ 𝑈)⟶ℂ)
25	24	fdmd 6717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) = (𝐵 ∖ 𝑈))
26	25	reseq2d 5979	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)))
27	26	eqeq1d 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ↔ (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})))
28		difss 4098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝐵
29		fssres 6745	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝐵) → (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)):(𝐵 ∖ 𝑈)⟶ℂ)
30	14, 28, 29	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)):(𝐵 ∖ 𝑈)⟶ℂ)
31	30	ffnd 6707	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) Fn (𝐵 ∖ 𝑈))
32	24	ffnd 6707	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) Fn (𝐵 ∖ 𝑈))
33		eqfnfv 7026	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) Fn (𝐵 ∖ 𝑈) ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) Fn (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥)))
34	31, 32, 33	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥)))
35		fvres 6901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → ((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (𝑋‘𝑥))
36		c0ex 11200	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
37	36	fvconst2 7203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥) = 0)
38	35, 37	eqeq12d 2785	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → (((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
39	38	ralbiia 3115	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)(𝑋‘𝑥) = 0)
40		eldif 3923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈))
41	40	imbi1i 352	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑋‘𝑥) = 0))
42		impexp 455	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑋‘𝑥) = 0)))
43		con1b 361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ (¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
44		df-ne 2965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
45	44	imbi1i 352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
46	43, 45	bitr4i 281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
47	46	imbi2i 339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑋‘𝑥) = 0)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
48	41, 42, 47	3bitri 300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
49	48	ralbii2 3113	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)(𝑋‘𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
50	39, 49	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
51	34, 50	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
52	21, 27, 51	3bitrd 308	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
53	52	pm5.32da 589	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
54	7, 53	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  {csn 4594   × cxp 5660  dom cdm 5662   ↾ cres 5664  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  0cc0 11100  ℕcn 12233  Basecbs 17269   MndHom cmhm 18839  mulGrpcmgp 20216  Unitcui 20437  ℂ_fldccnfld 21491  ℤ/nℤczn 21621  DChrcdchr 27362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-mhm 18841  df-mgp 20217  df-cnfld 21492  df-dchr 27363

This theorem is referenced by:  dchrelbas3  27368  dchrelbas4  27373  dchrmulcl  27379  dchrn0  27380  dchrmullid  27382