MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrelbas2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrelbas2 27290
Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/n to the multiplicative monoid of , which is zero off the group of units of ℤ/n. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrval.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dchrelbas2 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dchrelbas2
StepHypRef Expression
1 dchrval.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrval.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑍)
4 dchrval.u . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5 dchrval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 dchrbas.b . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrelbas 27289 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋)))
8 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
98, 3mgpbas 20162 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
10 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
11 cnfldbas 21386 . . . . . . . . . 10 ℂ = (Base‘ℂfld)
1210, 11mgpbas 20162 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
139, 12mhmf 18819 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
1514ffund 6750 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → Fun 𝑋)
16 funssres 6621 . . . . . 6 ((Fun 𝑋 ∧ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = ((𝐵𝑈) × {0}))
1715, 16sylan 579 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = ((𝐵𝑈) × {0}))
18 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = ((𝐵𝑈) × {0})) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = ((𝐵𝑈) × {0}))
19 resss 6030 . . . . . 6 (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) ⊆ 𝑋
2018, 19eqsstrrdi 4058 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = ((𝐵𝑈) × {0})) → ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋)
2117, 20impbida 800 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = ((𝐵𝑈) × {0})))
22 0cn 11278 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
23 fconst6g 6809 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℂ → ((𝐵𝑈) × {0}):(𝐵𝑈)⟶ℂ)
2422, 23mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝐵𝑈) × {0}):(𝐵𝑈)⟶ℂ)
2524fdmd 6756 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → dom ((𝐵𝑈) × {0}) = (𝐵𝑈))
2625reseq2d 6008 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = (𝑋 ↾ (𝐵𝑈)))
2726eqeq1d 2736 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ dom ((𝐵𝑈) × {0})) = ((𝐵𝑈) × {0}) ↔ (𝑋 ↾ (𝐵𝑈)) = ((𝐵𝑈) × {0})))
28 difss 4153 . . . . . . . 8 (𝐵𝑈) ⊆ 𝐵
29 fssres 6786 . . . . . . . 8 ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝐵𝑈) ⊆ 𝐵) → (𝑋 ↾ (𝐵𝑈)):(𝐵𝑈)⟶ℂ)
3014, 28, 29sylancl 585 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ (𝐵𝑈)):(𝐵𝑈)⟶ℂ)
3130ffnd 6747 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ (𝐵𝑈)) Fn (𝐵𝑈))
3224ffnd 6747 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝐵𝑈) × {0}) Fn (𝐵𝑈))
33 eqfnfv 7062 . . . . . 6 (((𝑋 ↾ (𝐵𝑈)) Fn (𝐵𝑈) ∧ ((𝐵𝑈) × {0}) Fn (𝐵𝑈)) → ((𝑋 ↾ (𝐵𝑈)) = ((𝐵𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵𝑈))‘𝑥) = (((𝐵𝑈) × {0})‘𝑥)))
3431, 32, 33syl2anc 583 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ (𝐵𝑈)) = ((𝐵𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵𝑈))‘𝑥) = (((𝐵𝑈) × {0})‘𝑥)))
35 fvres 6938 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐵𝑈) → ((𝑋 ↾ (𝐵𝑈))‘𝑥) = (𝑋𝑥))
36 c0ex 11280 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
3736fvconst2 7239 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐵𝑈) → (((𝐵𝑈) × {0})‘𝑥) = 0)
3835, 37eqeq12d 2750 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐵𝑈) → (((𝑋 ↾ (𝐵𝑈))‘𝑥) = (((𝐵𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ (𝑋𝑥) = 0))
3938ralbiia 3093 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝐵𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵𝑈))‘𝑥) = (((𝐵𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵𝑈)(𝑋𝑥) = 0)
40 eldif 3980 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐵𝑈) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝑈))
4140imbi1i 349 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐵𝑈) → (𝑋𝑥) = 0) ↔ ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝑈) → (𝑋𝑥) = 0))
42 impexp 450 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝑈) → (𝑋𝑥) = 0) ↔ (𝑥𝐵 → (¬ 𝑥𝑈 → (𝑋𝑥) = 0)))
43 con1b 358 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑥𝑈 → (𝑋𝑥) = 0) ↔ (¬ (𝑋𝑥) = 0 → 𝑥𝑈))
44 df-ne 2943 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋𝑥) = 0)
4544imbi1i 349 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈) ↔ (¬ (𝑋𝑥) = 0 → 𝑥𝑈))
4643, 45bitr4i 278 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑥𝑈 → (𝑋𝑥) = 0) ↔ ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))
4746imbi2i 336 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵 → (¬ 𝑥𝑈 → (𝑋𝑥) = 0)) ↔ (𝑥𝐵 → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))
4841, 42, 473bitri 297 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐵𝑈) → (𝑋𝑥) = 0) ↔ (𝑥𝐵 → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))
4948ralbii2 3091 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝐵𝑈)(𝑋𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))
5039, 49bitri 275 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐵𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵𝑈))‘𝑥) = (((𝐵𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))
5134, 50bitrdi 287 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ (𝐵𝑈)) = ((𝐵𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))
5221, 27, 513bitrd 305 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))
5352pm5.32da 578 . 2 (𝜑 → ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))))
547, 53bitrd 279 1 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  wne 2942  wral 3063  cdif 3967  wss 3970  {csn 4648   × cxp 5697  dom cdm 5699  cres 5701  Fun wfun 6566   Fn wfn 6567  wf 6568  cfv 6572  (class class class)co 7445  cc 11178  0cc0 11180  cn 12289  Basecbs 17253   MndHom cmhm 18811  mulGrpcmgp 20156  Unitcui 20376  fldccnfld 21382  ℤ/nczn 21531  DChrcdchr 27285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-er 8759  df-map 8882  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-fz 13564  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-mhm 18813  df-mgp 20157  df-cnfld 21383  df-dchr 27286
This theorem is referenced by:  dchrelbas3  27291  dchrelbas4  27296  dchrmulcl  27302  dchrn0  27303  dchrmullid  27305
  Copyright terms: Public domain W3C validator