Theorem dchrelbas2 27202

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of ℂ, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrval.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrelbas2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dchrelbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrval.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
4		dchrval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5		dchrval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		dchrbas.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dchrelbas 27201	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋)))
8		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
9	8, 3	mgpbas 20078	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
10		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
11		cnfldbas 21311	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
12	10, 11	mgpbas 20078	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
13	9, 12	mhmf 18712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
15	14	ffund 6664	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → Fun 𝑋)
16		funssres 6534	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}))
17	15, 16	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}))
18		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}))
19		resss 5958	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) ⊆ 𝑋
20	18, 19	eqsstrrdi 3977	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) → ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋)
21	17, 20	impbida 800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})))
22		0cn 11122	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
23		fconst6g 6721	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}):(𝐵 ∖ 𝑈)⟶ℂ)
24	22, 23	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}):(𝐵 ∖ 𝑈)⟶ℂ)
25	24	fdmd 6670	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) = (𝐵 ∖ 𝑈))
26	25	reseq2d 5936	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)))
27	26	eqeq1d 2736	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ dom ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ↔ (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})))
28		difss 4086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝐵
29		fssres 6698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝐵) → (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)):(𝐵 ∖ 𝑈)⟶ℂ)
30	14, 28, 29	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)):(𝐵 ∖ 𝑈)⟶ℂ)
31	30	ffnd 6661	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) Fn (𝐵 ∖ 𝑈))
32	24	ffnd 6661	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) Fn (𝐵 ∖ 𝑈))
33		eqfnfv 6974	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) Fn (𝐵 ∖ 𝑈) ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) Fn (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥)))
34	31, 32, 33	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥)))
35		fvres 6851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → ((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (𝑋‘𝑥))
36		c0ex 11124	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
37	36	fvconst2 7148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥) = 0)
38	35, 37	eqeq12d 2750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → (((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
39	38	ralbiia 3078	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)(𝑋‘𝑥) = 0)
40		eldif 3909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈))
41	40	imbi1i 349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑋‘𝑥) = 0))
42		impexp 450	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑋‘𝑥) = 0)))
43		con1b 358	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ (¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
44		df-ne 2931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
45	44	imbi1i 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
46	43, 45	bitr4i 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
47	46	imbi2i 336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑋‘𝑥) = 0)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
48	41, 42, 47	3bitri 297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈) → (𝑋‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
49	48	ralbii2 3076	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)(𝑋‘𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
50	39, 49	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈))‘𝑥) = (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
51	34, 50	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → ((𝑋 ↾ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
52	21, 27, 51	3bitrd 305	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
53	52	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
54	7, 53	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4578   × cxp 5620  dom cdm 5622   ↾ cres 5624  Fun wfun 6484   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  0cc0 11024  ℕcn 12143  Basecbs 17134   MndHom cmhm 18704  mulGrpcmgp 20073  Unitcui 20289  ℂ_fldccnfld 21307  ℤ/nℤczn 21455  DChrcdchr 27197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-mhm 18706  df-mgp 20074  df-cnfld 21308  df-dchr 27198

This theorem is referenced by:  dchrelbas3  27203  dchrelbas4  27208  dchrmulcl  27214  dchrn0  27215  dchrmullid  27217