MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acnnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acnnum 9996
Description: A set 𝑋 which has choice sequences on it of length 𝒫 𝑋 is well-orderable (and hence has choice sequences of every length). (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnnum (𝑋AC 𝒫 𝑋𝑋 ∈ dom card)

Proof of Theorem acnnum
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 5337 . . . . . . 7 (𝑋AC 𝒫 𝑋 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
2 difss 4095 . . . . . . 7 (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ⊆ 𝒫 𝑋
3 ssdomg 8946 . . . . . . 7 (𝒫 𝑋 ∈ V → ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ⊆ 𝒫 𝑋 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋))
41, 2, 3mpisyl 21 . . . . . 6 (𝑋AC 𝒫 𝑋 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋)
5 acndom 9995 . . . . . 6 ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋 → (𝑋AC 𝒫 𝑋𝑋AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅})))
64, 5mpcom 38 . . . . 5 (𝑋AC 𝒫 𝑋𝑋AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
7 eldifsn 4751 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥 ≠ ∅))
8 elpwi 4571 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
98anim1i 616 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥 ≠ ∅) → (𝑥𝑋𝑥 ≠ ∅))
107, 9sylbi 216 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑥𝑋𝑥 ≠ ∅))
1110rgen 3063 . . . . 5 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑥𝑋𝑥 ≠ ∅)
12 acni2 9990 . . . . 5 ((𝑋AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑥𝑋𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
136, 11, 12sylancl 587 . . . 4 (𝑋AC 𝒫 𝑋 → ∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
14 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
157imbi1i 350 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥 ≠ ∅) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
16 impexp 452 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥 ≠ ∅) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
1715, 16bitri 275 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
1817ralbii2 3089 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓𝑥) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
1914, 18sylib 217 . . . . 5 ((𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2019eximi 1838 . . . 4 (∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2113, 20syl 17 . . 3 (𝑋AC 𝒫 𝑋 → ∃𝑓𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
22 dfac8a 9974 . . 3 (𝑋AC 𝒫 𝑋 → (∃𝑓𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → 𝑋 ∈ dom card))
2321, 22mpd 15 . 2 (𝑋AC 𝒫 𝑋𝑋 ∈ dom card)
24 pwexg 5337 . . 3 (𝑋 ∈ dom card → 𝒫 𝑋 ∈ V)
25 numacn 9993 . . 3 (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ dom card → 𝑋AC 𝒫 𝑋))
2624, 25mpcom 38 . 2 (𝑋 ∈ dom card → 𝑋AC 𝒫 𝑋)
2723, 26impbii 208 1 (𝑋AC 𝒫 𝑋𝑋 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wex 1782  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3447  cdif 3911  wss 3914  c0 4286  𝒫 cpw 4564  {csn 4590   class class class wbr 5109  dom cdm 5637  wf 6496  cfv 6500  cdom 8887  cardccrd 9879  AC wacn 9882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-fin 8893  df-card 9883  df-acn 9886
This theorem is referenced by:  dfac13  10086
  Copyright terms: Public domain W3C validator