Theorem acnnum 9962

Description: A set 𝑋 which has choice sequences on it of length 𝒫 𝑋 is well-orderable (and hence has choice sequences of every length). (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnnum	⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 ↔ 𝑋 ∈ dom card)

Proof of Theorem acnnum

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 5323	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
2		difss 4088	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ⊆ 𝒫 𝑋
3		ssdomg 8937	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ V → ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ⊆ 𝒫 𝑋 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋))
4	1, 2, 3	mpisyl 21	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋)
5		acndom 9961	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋 → (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → 𝑋 ∈ AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅})))
6	4, 5	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → 𝑋 ∈ AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
7		eldifsn 4742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
8		elpwi 4561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑥 ⊆ 𝑋)
9	8	anim1i 615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
10	7, 9	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
11	10	rgen 3053	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅)
12		acni2 9956	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
13	6, 11, 12	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → ∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
15	7	imbi1i 349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
16		impexp 450	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
17	15, 16	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
18	17	ralbii2 3078	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
19	14, 18	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
20	19	eximi 1836	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
21	13, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
22		dfac8a 9940	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → (∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → 𝑋 ∈ dom card))
23	21, 22	mpd 15	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → 𝑋 ∈ dom card)
24		pwexg 5323	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ dom card → 𝒫 𝑋 ∈ V)
25		numacn 9959	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋))
26	24, 25	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋)
27	23, 26	impbii 209	1 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 ↔ 𝑋 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  {csn 4580   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492   ≼ cdom 8881  cardccrd 9847  AC wacn 9850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-fin 8887  df-card 9851  df-acn 9854

This theorem is referenced by:  dfac13  10053