Theorem acnnum 9631

Description: A set 𝑋 which has choice sequences on it of length 𝒫 𝑋 is well-orderable (and hence has choice sequences of every length). (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnnum	⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 ↔ 𝑋 ∈ dom card)

Proof of Theorem acnnum

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 5256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
2		difss 4032	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ⊆ 𝒫 𝑋
3		ssdomg 8652	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ V → ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ⊆ 𝒫 𝑋 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋))
4	1, 2, 3	mpisyl 21	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋)
5		acndom 9630	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋 → (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → 𝑋 ∈ AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅})))
6	4, 5	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → 𝑋 ∈ AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
7		eldifsn 4686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
8		elpwi 4508	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑥 ⊆ 𝑋)
9	8	anim1i 618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
10	7, 9	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
11	10	rgen 3061	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅)
12		acni2 9625	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
13	6, 11, 12	sylancl 589	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → ∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
14		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
15	7	imbi1i 353	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
16		impexp 454	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
17	15, 16	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
18	17	ralbii2 3076	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
19	14, 18	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
20	19	eximi 1842	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
21	13, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
22		dfac8a 9609	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → (∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → 𝑋 ∈ dom card))
23	21, 22	mpd 15	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → 𝑋 ∈ dom card)
24		pwexg 5256	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ dom card → 𝒫 𝑋 ∈ V)
25		numacn 9628	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋))
26	24, 25	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋)
27	23, 26	impbii 212	1 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 ↔ 𝑋 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∃wex 1787   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3398   ∖ cdif 3850   ⊆ wss 3853  ∅c0 4223  𝒫 cpw 4499  {csn 4527   class class class wbr 5039  dom cdm 5536  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358   ≼ cdom 8602  cardccrd 9516  AC wacn 9519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-fin 8608  df-card 9520  df-acn 9523

This theorem is referenced by:  dfac13  9721