Theorem acnnum 9270

Description: A set 𝑋 which has choice sequences on it of length 𝒫 𝑋 is well-orderable (and hence has choice sequences of every length). (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnnum	⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 ↔ 𝑋 ∈ dom card)

Proof of Theorem acnnum

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 5128	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
2		difss 3991	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ⊆ 𝒫 𝑋
3		ssdomg 8350	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ V → ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ⊆ 𝒫 𝑋 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋))
4	1, 2, 3	mpisyl 21	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋)
5		acndom 9269	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋 → (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → 𝑋 ∈ AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅})))
6	4, 5	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → 𝑋 ∈ AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
7		eldifsn 4589	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
8		elpwi 4426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑥 ⊆ 𝑋)
9	8	anim1i 606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
10	7, 9	sylbi 209	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
11	10	rgen 3091	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅)
12		acni2 9264	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
13	6, 11, 12	sylancl 578	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → ∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
14		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
15	7	imbi1i 342	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
16		impexp 443	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
17	15, 16	bitri 267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
18	17	ralbii2 3106	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
19	14, 18	sylib 210	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
20	19	eximi 1798	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
21	13, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
22		dfac8a 9248	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → (∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → 𝑋 ∈ dom card))
23	21, 22	mpd 15	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → 𝑋 ∈ dom card)
24		pwexg 5128	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ dom card → 𝒫 𝑋 ∈ V)
25		numacn 9267	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋))
26	24, 25	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋)
27	23, 26	impbii 201	1 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 ↔ 𝑋 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387  ∃wex 1743   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  Vcvv 3408   ∖ cdif 3819   ⊆ wss 3822  ∅c0 4172  𝒫 cpw 4416  {csn 4435   class class class wbr 4925  dom cdm 5403  ⟶wf 6181  ‘cfv 6185   ≼ cdom 8302  cardccrd 9156  AC wacn 9159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-1o 7903  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-fin 8308  df-card 9160  df-acn 9163

This theorem is referenced by:  dfac13  9360