MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acnnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acnnum 9467
Description: A set 𝑋 which has choice sequences on it of length 𝒫 𝑋 is well-orderable (and hence has choice sequences of every length). (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnnum (𝑋AC 𝒫 𝑋𝑋 ∈ dom card)

Proof of Theorem acnnum
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 5247 . . . . . . 7 (𝑋AC 𝒫 𝑋 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
2 difss 4062 . . . . . . 7 (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ⊆ 𝒫 𝑋
3 ssdomg 8542 . . . . . . 7 (𝒫 𝑋 ∈ V → ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ⊆ 𝒫 𝑋 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋))
41, 2, 3mpisyl 21 . . . . . 6 (𝑋AC 𝒫 𝑋 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋)
5 acndom 9466 . . . . . 6 ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋 → (𝑋AC 𝒫 𝑋𝑋AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅})))
64, 5mpcom 38 . . . . 5 (𝑋AC 𝒫 𝑋𝑋AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
7 eldifsn 4683 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥 ≠ ∅))
8 elpwi 4509 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
98anim1i 617 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥 ≠ ∅) → (𝑥𝑋𝑥 ≠ ∅))
107, 9sylbi 220 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑥𝑋𝑥 ≠ ∅))
1110rgen 3119 . . . . 5 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑥𝑋𝑥 ≠ ∅)
12 acni2 9461 . . . . 5 ((𝑋AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑥𝑋𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
136, 11, 12sylancl 589 . . . 4 (𝑋AC 𝒫 𝑋 → ∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
14 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
157imbi1i 353 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥 ≠ ∅) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
16 impexp 454 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥 ≠ ∅) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
1715, 16bitri 278 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
1817ralbii2 3134 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓𝑥) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
1914, 18sylib 221 . . . . 5 ((𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2019eximi 1836 . . . 4 (∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2113, 20syl 17 . . 3 (𝑋AC 𝒫 𝑋 → ∃𝑓𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
22 dfac8a 9445 . . 3 (𝑋AC 𝒫 𝑋 → (∃𝑓𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → 𝑋 ∈ dom card))
2321, 22mpd 15 . 2 (𝑋AC 𝒫 𝑋𝑋 ∈ dom card)
24 pwexg 5247 . . 3 (𝑋 ∈ dom card → 𝒫 𝑋 ∈ V)
25 numacn 9464 . . 3 (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ dom card → 𝑋AC 𝒫 𝑋))
2624, 25mpcom 38 . 2 (𝑋 ∈ dom card → 𝑋AC 𝒫 𝑋)
2723, 26impbii 212 1 (𝑋AC 𝒫 𝑋𝑋 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wex 1781  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  Vcvv 3444  cdif 3881  wss 3884  c0 4246  𝒫 cpw 4500  {csn 4528   class class class wbr 5033  dom cdm 5523  wf 6324  cfv 6328  cdom 8494  cardccrd 9352  AC wacn 9355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-1o 8089  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-fin 8500  df-card 9356  df-acn 9359
This theorem is referenced by:  dfac13  9557
  Copyright terms: Public domain W3C validator