Theorem acnnum 10093

Description: A set 𝑋 which has choice sequences on it of length 𝒫 𝑋 is well-orderable (and hence has choice sequences of every length). (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnnum	⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 ↔ 𝑋 ∈ dom card)

Proof of Theorem acnnum

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 5377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
2		difss 4135	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ⊆ 𝒫 𝑋
3		ssdomg 9041	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ V → ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ⊆ 𝒫 𝑋 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋))
4	1, 2, 3	mpisyl 21	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋)
5		acndom 10092	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋 → (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → 𝑋 ∈ AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅})))
6	4, 5	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → 𝑋 ∈ AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
7		eldifsn 4785	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
8		elpwi 4606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑥 ⊆ 𝑋)
9	8	anim1i 615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
10	7, 9	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
11	10	rgen 3062	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅)
12		acni2 10087	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
13	6, 11, 12	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → ∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
15	7	imbi1i 349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
16		impexp 450	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
17	15, 16	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
18	17	ralbii2 3088	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
19	14, 18	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
20	19	eximi 1834	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
21	13, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
22		dfac8a 10071	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → (∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → 𝑋 ∈ dom card))
23	21, 22	mpd 15	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → 𝑋 ∈ dom card)
24		pwexg 5377	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ dom card → 𝒫 𝑋 ∈ V)
25		numacn 10090	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋))
26	24, 25	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋)
27	23, 26	impbii 209	1 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 ↔ 𝑋 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  Vcvv 3479   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  𝒫 cpw 4599  {csn 4625   class class class wbr 5142  dom cdm 5684  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560   ≼ cdom 8984  cardccrd 9976  AC wacn 9979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-fin 8990  df-card 9980  df-acn 9983

This theorem is referenced by:  dfac13  10184