Theorem acnnum 10168

Description: A set 𝑋 which has choice sequences on it of length 𝒫 𝑋 is well-orderable (and hence has choice sequences of every length). (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnnum	⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 ↔ 𝑋 ∈ dom card)

Proof of Theorem acnnum

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 5345	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
2		difss 4075	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ⊆ 𝒫 𝑋
3		ssdomg 9063	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ V → ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ⊆ 𝒫 𝑋 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋))
4	1, 2, 3	mpisyl 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋)
5		acndom 10167	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋 → (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → 𝑋 ∈ AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅})))
6	4, 5	mpcom 39	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → 𝑋 ∈ AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
7		eldifsn 4748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
8		elpwi 4567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑥 ⊆ 𝑋)
9	8	anim1i 627	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
10	7, 9	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
11	10	rgen 3082	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅)
12		acni2 10162	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
13	6, 11, 12	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → ∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
14	7	imbi1i 352	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
15		impexp 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
16	14, 15	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
17	16	ralbii2 3108	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
18	17	bilani 510	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
19	18	eximi 1868	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
20	13, 19	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
21		dfac8a 10146	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → (∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → 𝑋 ∈ dom card))
22	20, 21	mpd 16	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 → 𝑋 ∈ dom card)
23		pwexg 5345	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ dom card → 𝒫 𝑋 ∈ V)
24		numacn 10165	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋))
25	23, 24	mpcom 39	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋)
26	22, 25	impbii 212	1 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝒫 𝑋 ↔ 𝑋 ∈ dom card)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588   class class class wbr 5106  dom cdm 5656  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564   ≼ cdom 9007  cardccrd 10051  AC wacn 10054

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-er 8753  df-map 8885  df-en 9010  df-dom 9011  df-fin 9013  df-card 10055  df-acn 10058

This theorem is used by:  dfac13  10258