MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdrgacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdrgacs 20311
Description: Closure property of division subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgacs.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
sdrgacs (𝑅 ∈ DivRing β†’ (SubDRingβ€˜π‘…) ∈ (ACSβ€˜π΅))

Proof of Theorem sdrgacs
Dummy variables π‘₯ 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . . . 8 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
2 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
31, 2issdrg2 20307 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
4 3anass 1096 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
53, 4bitri 275 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
65baib 537 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
7 subrgacs.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
87subrgss 20265 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
9 velpw 4569 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑠 βŠ† 𝐡)
108, 9sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
1110adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
12 iftrue 4496 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
1312eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ (if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦 ↔ π‘₯ ∈ 𝑦))
1413biimprd 248 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦))
15 eldifsni 4754 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…))
1615necon2bi 2971 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
1716pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦))
1814, 172thd 265 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦)))
19 eldifsn 4751 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…)))
2019rbaibr 539 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑦 ↔ π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
21 ifnefalse 4502 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))
2221eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ (if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦 ↔ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦))
2320, 22imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦)))
2418, 23pm2.61ine 3025 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦))
2524ralbii2 3089 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦)
26 difeq1 4079 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑠 β†’ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) = (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
27 eleq2w 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑠 β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦 ↔ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
2826, 27raleqbidv 3318 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
2925, 28bitrid 283 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
3029elrab3 3650 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
3111, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
3231pm5.32da 580 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
336, 32bitr4d 282 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦})))
34 elin 3930 . . . 4 (𝑠 ∈ ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}))
3533, 34bitr4di 289 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ 𝑠 ∈ ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦})))
3635eqrdv 2731 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (SubDRingβ€˜π‘…) = ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}))
377fvexi 6860 . . . 4 𝐡 ∈ V
38 mreacs 17546 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
3937, 38mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
40 drngring 20226 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
417subrgacs 20310 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (SubRingβ€˜π‘…) ∈ (ACSβ€˜π΅))
4240, 41syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (SubRingβ€˜π‘…) ∈ (ACSβ€˜π΅))
43 simplr 768 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = (0gβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
44 df-ne 2941 . . . . . . 7 (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…) ↔ Β¬ π‘₯ = (0gβ€˜π‘…))
457, 2, 1drnginvrcl 20240 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
46453expa 1119 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
4744, 46sylan2br 596 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘₯ = (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
4843, 47ifclda 4525 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
4948ralrimiva 3140 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
50 acsfn1 17549 . . . 4 ((𝐡 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡) β†’ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦} ∈ (ACSβ€˜π΅))
5137, 49, 50sylancr 588 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦} ∈ (ACSβ€˜π΅))
52 mreincl 17487 . . 3 (((ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡) ∧ (SubRingβ€˜π‘…) ∈ (ACSβ€˜π΅) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦} ∈ (ACSβ€˜π΅)) β†’ ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACSβ€˜π΅))
5339, 42, 51, 52syl3anc 1372 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACSβ€˜π΅))
5436, 53eqeltrd 2834 1 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (SubDRingβ€˜π‘…) ∈ (ACSβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  ifcif 4490  π’« cpw 4564  {csn 4590  β€˜cfv 6500  Basecbs 17091  0gc0g 17329  Moorecmre 17470  ACScacs 17473  Ringcrg 19972  invrcinvr 20108  DivRingcdr 20219  SubRingcsubrg 20260  SubDRingcsdrg 20302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-subg 18933  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-sdrg 20303
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator