Theorem sdrgacs 20941

Description: Closure property of division subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sdrgacs	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem sdrgacs

Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
2		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	issdrg2 20935	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
4		3anass 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
5	3, 4	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
6	5	baib 545	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
7		subrgacs.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	7	subrgss 20708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
9		velpw 4572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
10	8, 9	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
11	10	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
12		iftrue 4498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) = 𝑥)
13	12	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦))
14	13	biimprd 251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝑥 ∈ 𝑦 → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦))
15		eldifsni 4763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
16	15	necon2bi 2991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}))
17	16	pm2.21d 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
18	14, 17	2thd 268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → ((𝑥 ∈ 𝑦 → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)))
19		eldifsn 4758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)))
20	19	rbaibr 547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)})))
21		ifnefalse 4504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) = ((invr‘𝑅)‘𝑥))
22	21	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) → (if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
23	20, 22	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) → ((𝑥 ∈ 𝑦 → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)))
24	18, 23	pm2.61ine 3044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
25	24	ralbii2 3110	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)
26		difeq1 4077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) = (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)}))
27		eleq2w 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
28	26, 27	raleqbidv 3341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
29	25, 28	bitrid 286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
30	29	elrab3 3654	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
31	11, 30	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
32	31	pm5.32da 590	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
33	6, 32	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦})))
34		elin 3924	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}))
35	33, 34	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ 𝑠 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦})))
36	35	eqrdv 2764	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) = ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}))
37	7	fvexi 6902	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
38		mreacs 17739	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
39	37, 38	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
40		drngring 20871	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
41	7	subrgacs 20940	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
42	40, 41	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
43		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
44		df-ne 2962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) ↔ ¬ 𝑥 = (0g‘𝑅))
45	7, 2, 1	drnginvrcl 20894	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
46	45	3expa 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
47	44, 46	sylan2br 607	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
48	43, 47	ifclda 4528	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵)
49	48	ralrimiva 3160	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵)
50		acsfn1 17742	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
51	37, 49, 50	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
52		mreincl 17676	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
53	39, 42, 51, 52	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
54	36, 53	eqeltrd 2866	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  {crab 3419  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ifcif 4492  𝒫 cpw 4567  {csn 4594  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  0_gc0g 17517  Moorecmre 17659  ACScacs 17662  Ringcrg 20346  inv_rcinvr 20502  SubRingcsubrg 20705  DivRingcdr 20864  SubDRingcsdrg 20926

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-0g 17519  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-subg 19220  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-drng 20866  df-sdrg 20927

This theorem is used by: (None)