MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdrgacs Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sdrgacs 20416
Description: Closure property of division subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgacs.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
sdrgacs (𝑅 ∈ DivRing β†’ (SubDRingβ€˜π‘…) ∈ (ACSβ€˜π΅))
Proof of Theorem sdrgacs
Dummy variables π‘₯ 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . . . 8 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
2 eqid 2732 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
31, 2issdrg2 20410 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
4 3anass 1095 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
53, 4bitri 274 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
65baib 536 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
7 subrgacs.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
87subrgss 20319 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
9 velpw 4607 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑠 βŠ† 𝐡)
108, 9sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
1110adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
12 iftrue 4534 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
1312eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ (if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦 ↔ π‘₯ ∈ 𝑦))
1413biimprd 247 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦))
15 eldifsni 4793 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…))
1615necon2bi 2971 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
1716pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦))
1814, 172thd 264 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦)))
19 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…)))
2019rbaibr 538 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑦 ↔ π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
21 ifnefalse 4540 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))
2221eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ (if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦 ↔ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦))
2320, 22imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦)))
2418, 23pm2.61ine 3025 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦))
2524ralbii2 3089 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦)
26 difeq1 4115 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑠 β†’ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) = (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
27 eleq2w 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑠 β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦 ↔ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
2826, 27raleqbidv 3342 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
2925, 28bitrid 282 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
3029elrab3 3684 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
3111, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
3231pm5.32da 579 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
336, 32bitr4d 281 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦})))
34 elin 3964 . . . 4 (𝑠 ∈ ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}))
3533, 34bitr4di 288 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ 𝑠 ∈ ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦})))
3635eqrdv 2730 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (SubDRingβ€˜π‘…) = ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}))
377fvexi 6905 . . . 4 𝐡 ∈ V
38 mreacs 17601 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
3937, 38mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
40 drngring 20363 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
417subrgacs 20415 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (SubRingβ€˜π‘…) ∈ (ACSβ€˜π΅))
4240, 41syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (SubRingβ€˜π‘…) ∈ (ACSβ€˜π΅))
43 simplr 767 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = (0gβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
44 df-ne 2941 . . . . . . 7 (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…) ↔ Β¬ π‘₯ = (0gβ€˜π‘…))
457, 2, 1drnginvrcl 20378 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
46453expa 1118 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
4744, 46sylan2br 595 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘₯ = (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
4843, 47ifclda 4563 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
4948ralrimiva 3146 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
50 acsfn1 17604 . . . 4 ((𝐡 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡) β†’ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦} ∈ (ACSβ€˜π΅))
5137, 49, 50sylancr 587 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦} ∈ (ACSβ€˜π΅))
52 mreincl 17542 . . 3 (((ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡) ∧ (SubRingβ€˜π‘…) ∈ (ACSβ€˜π΅) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦} ∈ (ACSβ€˜π΅)) β†’ ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACSβ€˜π΅))
5339, 42, 51, 52syl3anc 1371 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACSβ€˜π΅))
5436, 53eqeltrd 2833 1 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (SubDRingβ€˜π‘…) ∈ (ACSβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  π’« cpw 4602  {csn 4628  β€˜cfv 6543  Basecbs 17143  0gc0g 17384  Moorecmre 17525  ACScacs 17528  Ringcrg 20055  invrcinvr 20200  SubRingcsubrg 20314  DivRingcdr 20356  SubDRingcsdrg 20401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-subg 19002  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-sdrg 20402
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator