Theorem sdrgacs 20746

Description: Closure property of division subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sdrgacs	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem sdrgacs

Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	issdrg2 20740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
4		3anass 1095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
5	3, 4	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
6	5	baib 535	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
7		subrgacs.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	7	subrgss 20517	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
9		velpw 4561	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
10	8, 9	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
12		iftrue 4487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) = 𝑥)
13	12	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦))
14	13	biimprd 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝑥 ∈ 𝑦 → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦))
15		eldifsni 4748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
16	15	necon2bi 2963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}))
17	16	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
18	14, 17	2thd 265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → ((𝑥 ∈ 𝑦 → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)))
19		eldifsn 4744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)))
20	19	rbaibr 537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)})))
21		ifnefalse 4493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) = ((invr‘𝑅)‘𝑥))
22	21	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) → (if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
23	20, 22	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) → ((𝑥 ∈ 𝑦 → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)))
24	18, 23	pm2.61ine 3016	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
25	24	ralbii2 3080	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)
26		difeq1 4073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) = (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)}))
27		eleq2w 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
28	26, 27	raleqbidv 3318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
29	25, 28	bitrid 283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
30	29	elrab3 3649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
31	11, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
32	31	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
33	6, 32	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦})))
34		elin 3919	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}))
35	33, 34	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ 𝑠 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦})))
36	35	eqrdv 2735	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) = ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}))
37	7	fvexi 6856	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
38		mreacs 17593	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
39	37, 38	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
40		drngring 20681	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
41	7	subrgacs 20745	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
42	40, 41	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
43		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
44		df-ne 2934	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) ↔ ¬ 𝑥 = (0g‘𝑅))
45	7, 2, 1	drnginvrcl 20698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
46	45	3expa 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
47	44, 46	sylan2br 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
48	43, 47	ifclda 4517	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵)
49	48	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵)
50		acsfn1 17596	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
51	37, 49, 50	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
52		mreincl 17530	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
53	39, 42, 51, 52	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
54	36, 53	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3401  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556  {csn 4582  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  0_gc0g 17371  Moorecmre 17513  ACScacs 17516  Ringcrg 20180  inv_rcinvr 20335  SubRingcsubrg 20514  DivRingcdr 20674  SubDRingcsdrg 20731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-0g 17373  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-subg 19065  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-drng 20676  df-sdrg 20732

This theorem is referenced by: (None)