MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdrgacs Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sdrgacs 20694
Description: Closure property of division subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgacs.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
sdrgacs (𝑅 ∈ DivRing β†’ (SubDRingβ€˜π‘…) ∈ (ACSβ€˜π΅))
Proof of Theorem sdrgacs
Dummy variables π‘₯ 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . . . . . . 8 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
2 eqid 2727 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
31, 2issdrg2 20688 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
4 3anass 1092 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
53, 4bitri 274 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
65baib 534 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
7 subrgacs.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
87subrgss 20516 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
9 velpw 4609 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑠 βŠ† 𝐡)
108, 9sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
1110adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
12 iftrue 4536 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
1312eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ (if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦 ↔ π‘₯ ∈ 𝑦))
1413biimprd 247 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦))
15 eldifsni 4796 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…))
1615necon2bi 2967 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
1716pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦))
1814, 172thd 264 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦)))
19 eldifsn 4793 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…)))
2019rbaibr 536 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑦 ↔ π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
21 ifnefalse 4542 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))
2221eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ (if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦 ↔ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦))
2320, 22imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦)))
2418, 23pm2.61ine 3021 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦))
2524ralbii2 3085 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦)
26 difeq1 4113 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑠 β†’ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) = (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
27 eleq2w 2812 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑠 β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦 ↔ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
2826, 27raleqbidv 3338 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
2925, 28bitrid 282 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
3029elrab3 3683 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
3111, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
3231pm5.32da 577 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
336, 32bitr4d 281 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦})))
34 elin 3963 . . . 4 (𝑠 ∈ ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}))
3533, 34bitr4di 288 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ 𝑠 ∈ ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦})))
3635eqrdv 2725 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (SubDRingβ€˜π‘…) = ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}))
377fvexi 6914 . . . 4 𝐡 ∈ V
38 mreacs 17643 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
3937, 38mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
40 drngring 20636 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
417subrgacs 20693 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (SubRingβ€˜π‘…) ∈ (ACSβ€˜π΅))
4240, 41syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (SubRingβ€˜π‘…) ∈ (ACSβ€˜π΅))
43 simplr 767 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = (0gβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
44 df-ne 2937 . . . . . . 7 (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…) ↔ Β¬ π‘₯ = (0gβ€˜π‘…))
457, 2, 1drnginvrcl 20651 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
46453expa 1115 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
4744, 46sylan2br 593 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘₯ = (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
4843, 47ifclda 4565 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
4948ralrimiva 3142 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
50 acsfn1 17646 . . . 4 ((𝐡 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡) β†’ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦} ∈ (ACSβ€˜π΅))
5137, 49, 50sylancr 585 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦} ∈ (ACSβ€˜π΅))
52 mreincl 17584 . . 3 (((ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡) ∧ (SubRingβ€˜π‘…) ∈ (ACSβ€˜π΅) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦} ∈ (ACSβ€˜π΅)) β†’ ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACSβ€˜π΅))
5339, 42, 51, 52syl3anc 1368 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACSβ€˜π΅))
5436, 53eqeltrd 2828 1 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (SubDRingβ€˜π‘…) ∈ (ACSβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936  βˆ€wral 3057  {crab 3428  Vcvv 3471   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  ifcif 4530  π’« cpw 4604  {csn 4630  β€˜cfv 6551  Basecbs 17185  0gc0g 17426  Moorecmre 17567  ACScacs 17570  Ringcrg 20178  invrcinvr 20331  SubRingcsubrg 20511  DivRingcdr 20629  SubDRingcsdrg 20679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-0g 17428  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-subg 19083  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-drng 20631  df-sdrg 20680
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator