Theorem sdrgacs 20819

Description: Closure property of division subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sdrgacs	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem sdrgacs

Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
2		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	issdrg2 20813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
4		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
5	3, 4	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
6	5	baib 535	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
7		subrgacs.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	7	subrgss 20589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
9		velpw 4610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
10	8, 9	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
12		iftrue 4537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) = 𝑥)
13	12	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦))
14	13	biimprd 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝑥 ∈ 𝑦 → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦))
15		eldifsni 4795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
16	15	necon2bi 2969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}))
17	16	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
18	14, 17	2thd 265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → ((𝑥 ∈ 𝑦 → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)))
19		eldifsn 4791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)))
20	19	rbaibr 537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)})))
21		ifnefalse 4543	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) = ((invr‘𝑅)‘𝑥))
22	21	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) → (if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
23	20, 22	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) → ((𝑥 ∈ 𝑦 → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)))
24	18, 23	pm2.61ine 3023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
25	24	ralbii2 3087	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)
26		difeq1 4129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) = (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)}))
27		eleq2w 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
28	26, 27	raleqbidv 3344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
29	25, 28	bitrid 283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
30	29	elrab3 3696	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
31	11, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
32	31	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
33	6, 32	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦})))
34		elin 3979	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}))
35	33, 34	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ 𝑠 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦})))
36	35	eqrdv 2733	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) = ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}))
37	7	fvexi 6921	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
38		mreacs 17703	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
39	37, 38	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
40		drngring 20753	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
41	7	subrgacs 20818	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
42	40, 41	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
43		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
44		df-ne 2939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) ↔ ¬ 𝑥 = (0g‘𝑅))
45	7, 2, 1	drnginvrcl 20770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
46	45	3expa 1117	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
47	44, 46	sylan2br 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
48	43, 47	ifclda 4566	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵)
49	48	ralrimiva 3144	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵)
50		acsfn1 17706	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
51	37, 49, 50	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
52		mreincl 17644	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
53	39, 42, 51, 52	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
54	36, 53	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ifcif 4531  𝒫 cpw 4605  {csn 4631  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  Moorecmre 17627  ACScacs 17630  Ringcrg 20251  inv_rcinvr 20404  SubRingcsubrg 20586  DivRingcdr 20746  SubDRingcsdrg 20804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-sdrg 20805

This theorem is referenced by: (None)