Theorem sdrgacs 20830

Description: Closure property of division subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sdrgacs	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem sdrgacs

Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
2		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	issdrg2 20824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
4		3anass 1105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
5	3, 4	bitri 277	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
6	5	baib 543	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
7		subrgacs.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	7	subrgss 20601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
9		velpw 4559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
10	8, 9	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
11	10	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
12		iftrue 4485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) = 𝑥)
13	12	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦))
14	13	biimprd 250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝑥 ∈ 𝑦 → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦))
15		eldifsni 4749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
16	15	necon2bi 2986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}))
17	16	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
18	14, 17	2thd 267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → ((𝑥 ∈ 𝑦 → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)))
19		eldifsn 4745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)))
20	19	rbaibr 545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)})))
21		ifnefalse 4491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) = ((invr‘𝑅)‘𝑥))
22	21	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) → (if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
23	20, 22	imbi12d 346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) → ((𝑥 ∈ 𝑦 → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)))
24	18, 23	pm2.61ine 3039	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
25	24	ralbii2 3103	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)
26		difeq1 4073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) = (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)}))
27		eleq2w 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
28	26, 27	raleqbidv 3335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
29	25, 28	bitrid 285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
30	29	elrab3 3651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
31	11, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
32	31	pm5.32da 587	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
33	6, 32	bitr4d 284	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦})))
34		elin 3920	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}))
35	33, 34	bitr4di 291	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ 𝑠 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦})))
36	35	eqrdv 2759	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) = ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}))
37	7	fvexi 6877	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
38		mreacs 17673	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
39	37, 38	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
40		drngring 20765	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
41	7	subrgacs 20829	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
42	40, 41	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
43		simplr 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
44		df-ne 2957	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) ↔ ¬ 𝑥 = (0g‘𝑅))
45	7, 2, 1	drnginvrcl 20782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
46	45	3expa 1130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
47	44, 46	sylan2br 604	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
48	43, 47	ifclda 4515	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵)
49	48	ralrimiva 3153	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵)
50		acsfn1 17676	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
51	37, 49, 50	sylancr 596	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
52		mreincl 17610	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
53	39, 42, 51, 52	syl3anc 1389	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
54	36, 53	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  {crab 3413  Vcvv 3453   ∖ cdif 3901   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ifcif 4479  𝒫 cpw 4554  {csn 4581  ‘cfv 6517  Basecbs 17228  0_gc0g 17451  Moorecmre 17593  ACScacs 17596  Ringcrg 20262  inv_rcinvr 20415  SubRingcsubrg 20598  DivRingcdr 20758  SubDRingcsdrg 20815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-0g 17453  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-subg 19148  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-subrng 20575  df-subrg 20599  df-drng 20760  df-sdrg 20816

This theorem is referenced by: (None)