Theorem sdrgacs 21091

Description: Closure property of division subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sdrgacs	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem sdrgacs

Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
2		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	issdrg2 21085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
4		3anass 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
5	3, 4	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
6	5	baib 545	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
7		subrgacs.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	7	subrgss 20857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
9		velpw 4565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
10	8, 9	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
11	10	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
12		iftrue 4491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) = 𝑥)
13	12	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦))
14	13	biimprd 251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝑥 ∈ 𝑦 → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦))
15		eldifsni 4753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
16	15	necon2bi 2989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}))
17	16	pm2.21d 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
18	14, 17	2thd 268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → ((𝑥 ∈ 𝑦 → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)))
19		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)))
20	19	rbaibr 547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)})))
21		ifnefalse 4497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) = ((invr‘𝑅)‘𝑥))
22	21	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) → (if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
23	20, 22	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) → ((𝑥 ∈ 𝑦 → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)))
24	18, 23	pm2.61ine 3042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
25	24	ralbii2 3108	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)
26		difeq1 4059	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)}) = (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)}))
27		eleq2w 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
28	26, 27	raleqbidv 3338	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
29	25, 28	bitrid 286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
30	29	elrab3 3649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
31	11, 30	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
32	31	pm5.32da 590	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
33	6, 32	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦})))
34		elin 4096	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}))
35	33, 34	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ 𝑠 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦})))
36	35	eqrdv 2761	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) = ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}))
37	7	fvexi 6925	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
38		mreacs 17864	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
39	37, 38	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
40		drngring 21020	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
41	7	subrgacs 21090	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
42	40, 41	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
43		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
44		df-ne 2960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≠ (0g‘𝑅) ↔ ¬ 𝑥 = (0g‘𝑅))
45	7, 2, 1	drnginvrcl 21044	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
46	45	3expa 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
47	44, 46	sylan2br 607	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
48	43, 47	ifclda 4521	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵)
49	48	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵)
50		acsfn1 17867	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
51	37, 49, 50	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
52		mreincl 17801	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
53	39, 42, 51, 52	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 if(𝑥 = (0g‘𝑅), 𝑥, ((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
54	36, 53	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092  ifcif 4485  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  ‘cfv 6561  Basecbs 17419  0_gc0g 17642  Moorecmre 17784  ACScacs 17787  Ringcrg 20492  inv_rcinvr 20650  SubRingcsubrg 20854  DivRingcdr 21013  SubDRingcsdrg 21076

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-0g 17644  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-subg 19365  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-oppr 20600  df-dvdsr 20620  df-unit 20621  df-invr 20651  df-subrng 20831  df-subrg 20855  df-drng 21015  df-sdrg 21077

This theorem is used by: (None)