MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdrgacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdrgacs 20803
Description: Closure property of division subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgacs.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
sdrgacs (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem sdrgacs
Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . . . . 8 (invr𝑅) = (invr𝑅)
2 eqid 2736 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
31, 2issdrg2 20797 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
4 3anass 1094 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
53, 4bitri 275 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
65baib 535 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
7 subrgacs.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑅)
87subrgss 20573 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑠𝐵)
9 velpw 4604 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
108, 9sylibr 234 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
1110adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
12 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (0g𝑅) → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) = 𝑥)
1312eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (0g𝑅) → (if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦𝑥𝑦))
1413biimprd 248 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (0g𝑅) → (𝑥𝑦 → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦))
15 eldifsni 4789 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) → 𝑥 ≠ (0g𝑅))
1615necon2bi 2970 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (0g𝑅) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}))
1716pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (0g𝑅) → (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
1814, 172thd 265 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (0g𝑅) → ((𝑥𝑦 → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)))
19 eldifsn 4785 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) ↔ (𝑥𝑦𝑥 ≠ (0g𝑅)))
2019rbaibr 537 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ≠ (0g𝑅) → (𝑥𝑦𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)})))
21 ifnefalse 4536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ≠ (0g𝑅) → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) = ((invr𝑅)‘𝑥))
2221eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ≠ (0g𝑅) → (if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
2320, 22imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ≠ (0g𝑅) → ((𝑥𝑦 → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)))
2418, 23pm2.61ine 3024 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑦 → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
2524ralbii2 3088 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)
26 difeq1 4118 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) = (𝑠 ∖ {(0g𝑅)}))
27 eleq2w 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑠 → (((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
2826, 27raleqbidv 3345 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
2925, 28bitrid 283 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
3029elrab3 3692 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
3111, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
3231pm5.32da 579 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
336, 32bitr4d 282 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦})))
34 elin 3966 . . . 4 (𝑠 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}))
3533, 34bitr4di 289 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ 𝑠 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦})))
3635eqrdv 2734 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) = ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}))
377fvexi 6919 . . . 4 𝐵 ∈ V
38 mreacs 17702 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
3937, 38mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
40 drngring 20737 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
417subrgacs 20802 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
4240, 41syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
43 simplr 768 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥 = (0g𝑅)) → 𝑥𝐵)
44 df-ne 2940 . . . . . . 7 (𝑥 ≠ (0g𝑅) ↔ ¬ 𝑥 = (0g𝑅))
457, 2, 1drnginvrcl 20754 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
46453expa 1118 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
4744, 46sylan2br 595 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ ¬ 𝑥 = (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
4843, 47ifclda 4560 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵)
4948ralrimiva 3145 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → ∀𝑥𝐵 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵)
50 acsfn1 17705 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
5137, 49, 50sylancr 587 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
52 mreincl 17643 . . 3 (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
5339, 42, 51, 52syl3anc 1372 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
5436, 53eqeltrd 2840 1 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  {crab 3435  Vcvv 3479  cdif 3947  cin 3949  wss 3950  ifcif 4524  𝒫 cpw 4599  {csn 4625  cfv 6560  Basecbs 17248  0gc0g 17485  Moorecmre 17626  ACScacs 17629  Ringcrg 20231  invrcinvr 20388  SubRingcsubrg 20570  DivRingcdr 20730  SubDRingcsdrg 20788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17487  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-subg 19142  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-drng 20732  df-sdrg 20789
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator