MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdrgacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdrgacs 20268
Description: Closure property of division subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgacs.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
sdrgacs (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem sdrgacs
Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . . . . 8 (invr𝑅) = (invr𝑅)
2 eqid 2736 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
31, 2issdrg2 20264 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
4 3anass 1095 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
53, 4bitri 274 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
65baib 536 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
7 subrgacs.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑅)
87subrgss 20223 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑠𝐵)
9 velpw 4565 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
108, 9sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
1110adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
12 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (0g𝑅) → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) = 𝑥)
1312eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (0g𝑅) → (if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦𝑥𝑦))
1413biimprd 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (0g𝑅) → (𝑥𝑦 → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦))
15 eldifsni 4750 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) → 𝑥 ≠ (0g𝑅))
1615necon2bi 2974 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (0g𝑅) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}))
1716pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (0g𝑅) → (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
1814, 172thd 264 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (0g𝑅) → ((𝑥𝑦 → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)))
19 eldifsn 4747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) ↔ (𝑥𝑦𝑥 ≠ (0g𝑅)))
2019rbaibr 538 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ≠ (0g𝑅) → (𝑥𝑦𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)})))
21 ifnefalse 4498 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ≠ (0g𝑅) → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) = ((invr𝑅)‘𝑥))
2221eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ≠ (0g𝑅) → (if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
2320, 22imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ≠ (0g𝑅) → ((𝑥𝑦 → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)))
2418, 23pm2.61ine 3028 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑦 → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
2524ralbii2 3092 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)
26 difeq1 4075 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) = (𝑠 ∖ {(0g𝑅)}))
27 eleq2w 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑠 → (((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
2826, 27raleqbidv 3319 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
2925, 28bitrid 282 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
3029elrab3 3646 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
3111, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
3231pm5.32da 579 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
336, 32bitr4d 281 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦})))
34 elin 3926 . . . 4 (𝑠 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}))
3533, 34bitr4di 288 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ 𝑠 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦})))
3635eqrdv 2734 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) = ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}))
377fvexi 6856 . . . 4 𝐵 ∈ V
38 mreacs 17538 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
3937, 38mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
40 drngring 20192 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
417subrgacs 20267 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
4240, 41syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
43 simplr 767 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥 = (0g𝑅)) → 𝑥𝐵)
44 df-ne 2944 . . . . . . 7 (𝑥 ≠ (0g𝑅) ↔ ¬ 𝑥 = (0g𝑅))
457, 2, 1drnginvrcl 20205 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
46453expa 1118 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
4744, 46sylan2br 595 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ ¬ 𝑥 = (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
4843, 47ifclda 4521 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵)
4948ralrimiva 3143 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → ∀𝑥𝐵 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵)
50 acsfn1 17541 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
5137, 49, 50sylancr 587 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
52 mreincl 17479 . . 3 (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
5339, 42, 51, 52syl3anc 1371 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
5436, 53eqeltrd 2838 1 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  ifcif 4486  𝒫 cpw 4560  {csn 4586  cfv 6496  Basecbs 17083  0gc0g 17321  Moorecmre 17462  ACScacs 17465  Ringcrg 19964  invrcinvr 20100  DivRingcdr 20185  SubRingcsubrg 20218  SubDRingcsdrg 20259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-subg 18925  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-sdrg 20260
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator