MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdrgacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdrgacs 19572
Description: Closure property of division subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgacs.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
sdrgacs (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem sdrgacs
Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2819 . . . . . . . 8 (invr𝑅) = (invr𝑅)
2 eqid 2819 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
31, 2issdrg2 19569 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
4 3anass 1089 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
53, 4bitri 277 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
65baib 538 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
7 subrgacs.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑅)
87subrgss 19528 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑠𝐵)
9 velpw 4545 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
108, 9sylibr 236 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
1110adantl 484 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
12 iftrue 4471 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (0g𝑅) → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) = 𝑥)
1312eleq1d 2895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (0g𝑅) → (if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦𝑥𝑦))
1413biimprd 250 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (0g𝑅) → (𝑥𝑦 → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦))
15 eldifsni 4714 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) → 𝑥 ≠ (0g𝑅))
1615necon2bi 3044 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (0g𝑅) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}))
1716pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (0g𝑅) → (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
1814, 172thd 267 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (0g𝑅) → ((𝑥𝑦 → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)))
19 eldifsn 4711 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) ↔ (𝑥𝑦𝑥 ≠ (0g𝑅)))
2019rbaibr 540 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ≠ (0g𝑅) → (𝑥𝑦𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)})))
21 ifnefalse 4477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ≠ (0g𝑅) → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) = ((invr𝑅)‘𝑥))
2221eleq1d 2895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ≠ (0g𝑅) → (if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
2320, 22imbi12d 347 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ≠ (0g𝑅) → ((𝑥𝑦 → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)))
2418, 23pm2.61ine 3098 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑦 → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
2524ralbii2 3161 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)
26 difeq1 4090 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) = (𝑠 ∖ {(0g𝑅)}))
27 eleq2w 2894 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑠 → (((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
2826, 27raleqbidv 3400 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
2925, 28syl5bb 285 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
3029elrab3 3679 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
3111, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
3231pm5.32da 581 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
336, 32bitr4d 284 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦})))
34 elin 4167 . . . 4 (𝑠 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}))
3533, 34syl6bbr 291 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ 𝑠 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦})))
3635eqrdv 2817 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) = ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}))
377fvexi 6677 . . . 4 𝐵 ∈ V
38 mreacs 16921 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
3937, 38mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
40 drngring 19501 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
417subrgacs 19571 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
4240, 41syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
43 simplr 767 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥 = (0g𝑅)) → 𝑥𝐵)
44 df-ne 3015 . . . . . . 7 (𝑥 ≠ (0g𝑅) ↔ ¬ 𝑥 = (0g𝑅))
457, 2, 1drnginvrcl 19511 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
46453expa 1112 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
4744, 46sylan2br 596 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ ¬ 𝑥 = (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
4843, 47ifclda 4499 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵)
4948ralrimiva 3180 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → ∀𝑥𝐵 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵)
50 acsfn1 16924 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
5137, 49, 50sylancr 589 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
52 mreincl 16862 . . 3 (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
5339, 42, 51, 52syl3anc 1365 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
5436, 53eqeltrd 2911 1 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  wral 3136  {crab 3140  Vcvv 3493  cdif 3931  cin 3933  wss 3934  ifcif 4465  𝒫 cpw 4537  {csn 4559  cfv 6348  Basecbs 16475  0gc0g 16705  Moorecmre 16845  ACScacs 16848  Ringcrg 19289  invrcinvr 19413  DivRingcdr 19494  SubRingcsubrg 19523  SubDRingcsdrg 19564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-subg 18268  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-drng 19496  df-subrg 19525  df-sdrg 19565
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator