MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdrgacs Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sdrgacs 20650
Description: Closure property of division subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgacs.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
sdrgacs (𝑅 ∈ DivRing β†’ (SubDRingβ€˜π‘…) ∈ (ACSβ€˜π΅))
Proof of Theorem sdrgacs
Dummy variables π‘₯ 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . . . . 8 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
2 eqid 2726 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
31, 2issdrg2 20644 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
4 3anass 1092 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
53, 4bitri 275 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
65baib 535 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
7 subrgacs.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
87subrgss 20472 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
9 velpw 4602 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑠 βŠ† 𝐡)
108, 9sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
1110adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
12 iftrue 4529 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
1312eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ (if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦 ↔ π‘₯ ∈ 𝑦))
1413biimprd 247 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦))
15 eldifsni 4788 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…))
1615necon2bi 2965 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
1716pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦))
1814, 172thd 265 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦)))
19 eldifsn 4785 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…)))
2019rbaibr 537 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑦 ↔ π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
21 ifnefalse 4535 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))
2221eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ (if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦 ↔ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦))
2320, 22imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦)))
2418, 23pm2.61ine 3019 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦))
2524ralbii2 3083 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦)
26 difeq1 4110 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑠 β†’ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) = (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
27 eleq2w 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑠 β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦 ↔ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
2826, 27raleqbidv 3336 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
2925, 28bitrid 283 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
3029elrab3 3679 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
3111, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
3231pm5.32da 578 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
336, 32bitr4d 282 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦})))
34 elin 3959 . . . 4 (𝑠 ∈ ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}))
3533, 34bitr4di 289 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ 𝑠 ∈ ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦})))
3635eqrdv 2724 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (SubDRingβ€˜π‘…) = ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}))
377fvexi 6898 . . . 4 𝐡 ∈ V
38 mreacs 17609 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
3937, 38mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
40 drngring 20592 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
417subrgacs 20649 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (SubRingβ€˜π‘…) ∈ (ACSβ€˜π΅))
4240, 41syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (SubRingβ€˜π‘…) ∈ (ACSβ€˜π΅))
43 simplr 766 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = (0gβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
44 df-ne 2935 . . . . . . 7 (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…) ↔ Β¬ π‘₯ = (0gβ€˜π‘…))
457, 2, 1drnginvrcl 20607 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
46453expa 1115 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
4744, 46sylan2br 594 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘₯ = (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
4843, 47ifclda 4558 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
4948ralrimiva 3140 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
50 acsfn1 17612 . . . 4 ((𝐡 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡) β†’ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦} ∈ (ACSβ€˜π΅))
5137, 49, 50sylancr 586 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦} ∈ (ACSβ€˜π΅))
52 mreincl 17550 . . 3 (((ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡) ∧ (SubRingβ€˜π‘…) ∈ (ACSβ€˜π΅) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦} ∈ (ACSβ€˜π΅)) β†’ ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACSβ€˜π΅))
5339, 42, 51, 52syl3anc 1368 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), π‘₯, ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACSβ€˜π΅))
5436, 53eqeltrd 2827 1 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (SubDRingβ€˜π‘…) ∈ (ACSβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  π’« cpw 4597  {csn 4623  β€˜cfv 6536  Basecbs 17151  0gc0g 17392  Moorecmre 17533  ACScacs 17536  Ringcrg 20136  invrcinvr 20287  SubRingcsubrg 20467  DivRingcdr 20585  SubDRingcsdrg 20635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19048  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-drng 20587  df-sdrg 20636
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator