Theorem isdomn2 20847

Description: A ring is a domain iff all nonzero elements are regular elements. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdomn2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn2.t	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
isdomn2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdomn2	⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸))

Proof of Theorem isdomn2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdomn2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2766	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		isdomn2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdomn 20841	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
5		eldifi 4088	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝐵)
6		isdomn2.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
7	6, 1, 2, 3	isrrg 20834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 )))
8	7	baib 545	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 )))
9	5, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝑥 ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 )))
10	9	ralbiia 3112	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 ))
11		dfss3 3929	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝐸)
12		isdomn5 20846	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 ))
13	10, 11, 12	3bitr4ri 307	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸)
14	13	anbi2i 635	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸))
15	4, 14	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   ∖ cdif 3905   ⊆ wss 3908  {csn 4594  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336  0_gc0g 17517  NzRingcnzr 20646  RLRegcrlreg 20827  Domncdomn 20828

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7426  df-rlreg 20830  df-domn 20831

This theorem is used by:  domnrrg  20848  isdomn6  20849  drngdomn  20886  zringidom  33872