Theorem refrelcosslem 39676

Description: Lemma for the left side of the refrelcoss3 39677 reflexivity theorem. (Contributed by Peter Mazsa, 1-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
refrelcosslem	⊢ ∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥

Proof of Theorem refrelcosslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralel 3083	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅
2		eldmcoss2 39673	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ 𝑥 ≀ 𝑅𝑥))
3	2	elv 3459	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ 𝑥 ≀ 𝑅𝑥)
4	3	ralbii 3112	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥)
5	1, 4	mpbi 233	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   class class class wbr 5106  dom cdm 5655   ≀ ccoss 39307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-coss 39625

This theorem is used by:  refrelcoss3  39677  eqvrelcoss3  39826