Theorem refrelcosslem 39229

Description: Lemma for the left side of the refrelcoss3 39230 reflexivity theorem. (Contributed by Peter Mazsa, 1-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
refrelcosslem	⊢ ∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥

Proof of Theorem refrelcosslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralel 3081	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅
2		eldmcoss2 39226	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ 𝑥 ≀ 𝑅𝑥))
3	2	elv 3459	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ 𝑥 ≀ 𝑅𝑥)
4	3	ralbii 3110	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥)
5	1, 4	mpbi 233	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  Vcvv 3454   class class class wbr 5108  dom cdm 5660   ≀ ccoss 38860

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-coss 39178

This theorem is used by:  refrelcoss3  39230  eqvrelcoss3  39379