Theorem refrelcosslem 38418

Description: Lemma for the left side of the refrelcoss3 38419 reflexivity theorem. (Contributed by Peter Mazsa, 1-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
refrelcosslem	⊢ ∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥

Proof of Theorem refrelcosslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralel 3070	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅
2		eldmcoss2 38415	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ 𝑥 ≀ 𝑅𝑥))
3	2	elv 3493	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ 𝑥 ≀ 𝑅𝑥)
4	3	ralbii 3099	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥)
5	1, 4	mpbi 230	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488   class class class wbr 5166  dom cdm 5700   ≀ ccoss 38135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-coss 38367

This theorem is referenced by:  refrelcoss3  38419  eqvrelcoss3  38574