Theorem refrelcosslem 39287

Description: Lemma for the left side of the refrelcoss3 39288 reflexivity theorem. (Contributed by Peter Mazsa, 1-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
refrelcosslem	⊢ ∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥

Proof of Theorem refrelcosslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralel 3081	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅
2		eldmcoss2 39284	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ 𝑥 ≀ 𝑅𝑥))
3	2	elv 3458	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ 𝑥 ≀ 𝑅𝑥)
4	3	ralbii 3110	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥)
5	1, 4	mpbi 233	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Vcvv 3453   class class class wbr 5107  dom cdm 5659   ≀ ccoss 38918

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-coss 39236

This theorem is used by:  refrelcoss3  39288  eqvrelcoss3  39437