Theorem eldmcoss2 38457

Description: Elementhood in the domain of cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 28-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eldmcoss2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ 𝐴 ≀ 𝑅𝐴))

Proof of Theorem eldmcoss2

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmcoss 38456	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ ∃𝑢 𝑢𝑅𝐴))
2		brcoss 38429	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≀ 𝑅𝐴 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐴)))
3	2	anidms 566	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≀ 𝑅𝐴 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐴)))
4		pm4.24 563	. . . 4 ⊢ (𝑢𝑅𝐴 ↔ (𝑢𝑅𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐴))
5	4	exbii 1848	. . 3 ⊢ (∃𝑢 𝑢𝑅𝐴 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐴))
6	3, 5	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≀ 𝑅𝐴 ↔ ∃𝑢 𝑢𝑅𝐴))
7	1, 6	bitr4d 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ 𝐴 ≀ 𝑅𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  dom cdm 5641   ≀ ccoss 38176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-opab 5173  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-coss 38409

This theorem is referenced by:  refrelcosslem  38460