Theorem eldmcoss2 37987

Description: Elementhood in the domain of cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 28-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eldmcoss2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ 𝐴 ≀ 𝑅𝐴))

Proof of Theorem eldmcoss2

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmcoss 37986	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ ∃𝑢 𝑢𝑅𝐴))
2		brcoss 37959	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≀ 𝑅𝐴 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐴)))
3	2	anidms 565	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≀ 𝑅𝐴 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐴)))
4		pm4.24 562	. . . 4 ⊢ (𝑢𝑅𝐴 ↔ (𝑢𝑅𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐴))
5	4	exbii 1842	. . 3 ⊢ (∃𝑢 𝑢𝑅𝐴 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐴))
6	3, 5	bitr4di 288	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≀ 𝑅𝐴 ↔ ∃𝑢 𝑢𝑅𝐴))
7	1, 6	bitr4d 281	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ 𝐴 ≀ 𝑅𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  dom cdm 5672   ≀ ccoss 37705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3942  df-un 3944  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-br 5144  df-opab 5206  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-coss 37939

This theorem is referenced by:  refrelcosslem  37990