Theorem eldmcoss2 39284

Description: Elementhood in the domain of cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 28-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eldmcoss2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ 𝐴 ≀ 𝑅𝐴))

Proof of Theorem eldmcoss2

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmcoss 39283	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ ∃𝑢 𝑢𝑅𝐴))
2		brcoss 39256	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≀ 𝑅𝐴 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐴)))
3	2	anidms 577	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≀ 𝑅𝐴 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐴)))
4		pm4.24 574	. . . 4 ⊢ (𝑢𝑅𝐴 ↔ (𝑢𝑅𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐴))
5	4	exbii 1881	. . 3 ⊢ (∃𝑢 𝑢𝑅𝐴 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐴))
6	3, 5	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≀ 𝑅𝐴 ↔ ∃𝑢 𝑢𝑅𝐴))
7	1, 6	bitr4d 285	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ 𝐴 ≀ 𝑅𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  dom cdm 5659   ≀ ccoss 38918

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-coss 39236

This theorem is used by:  refrelcosslem  39287