Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldm1cossres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldm1cossres2 37965
Description: Elementhood in the domain of restricted cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
eldm1cossres2 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅𝐴) ↔ ∃𝑥𝐴 𝐵 ∈ [𝑥]𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eldm1cossres2
StepHypRef Expression
1 eldm1cossres 37964 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅𝐴) ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥𝑅𝐵))
2 elecALTV 37770 . . . 4 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → (𝐵 ∈ [𝑥]𝑅𝑥𝑅𝐵))
32el2v1 37723 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ [𝑥]𝑅𝑥𝑅𝐵))
43rexbidv 3176 . 2 (𝐵𝑉 → (∃𝑥𝐴 𝐵 ∈ [𝑥]𝑅 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥𝑅𝐵))
51, 4bitr4d 281 1 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅𝐴) ↔ ∃𝑥𝐴 𝐵 ∈ [𝑥]𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2098  wrex 3067  Vcvv 3473   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  cres 5684  [cec 8729  ccoss 37681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-br 5153  df-opab 5215  df-xp 5688  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ec 8733  df-coss 37915
This theorem is referenced by:  eldmqs1cossres  38163
  Copyright terms: Public domain W3C validator