Theorem eldm1cossres2 36485

Description: Elementhood in the domain of restricted cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eldm1cossres2	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ [𝑥]𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eldm1cossres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm1cossres 36484	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝐵))
2		elecALTV 36311	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐵 ∈ [𝑥]𝑅 ↔ 𝑥𝑅𝐵))
3	2	el2v1 36276	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ [𝑥]𝑅 ↔ 𝑥𝑅𝐵))
4	3	rexbidv 3226	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ [𝑥]𝑅 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝐵))
5	1, 4	bitr4d 285	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ [𝑥]𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3065  Vcvv 3423   class class class wbr 5070  dom cdm 5579   ↾ cres 5581  [cec 8431   ≀ ccoss 36239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pr 5346

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3425  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4255  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5585  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-ec 8435  df-coss 36443

This theorem is referenced by:  eldmqs1cossres  36677