Theorem eldm1cossres2 38988

Description: Elementhood in the domain of restricted cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eldm1cossres2	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ [𝑥]𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eldm1cossres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm1cossres 38987	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝐵))
2		elecALTV 38708	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐵 ∈ [𝑥]𝑅 ↔ 𝑥𝑅𝐵))
3	2	el2v1 38666	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ [𝑥]𝑅 ↔ 𝑥𝑅𝐵))
4	3	rexbidv 3176	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ [𝑥]𝑅 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝐵))
5	1, 4	bitr4d 284	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ [𝑥]𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2132  ∃wrex 3076  Vcvv 3444   class class class wbr 5090  dom cdm 5636   ↾ cres 5638  [cec 8660   ≀ ccoss 38620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-pr 5380

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-sb 2081  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rab 3405  df-v 3446  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-br 5091  df-opab 5153  df-xp 5642  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-ec 8664  df-coss 38938

This theorem is referenced by:  eldmqs1cossres  39181