Theorem eqvrelcoss3 37792

Description: Two ways to express equivalent cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 28-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelcoss3	⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Proof of Theorem eqvrelcoss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcoss 37597	. . 3 ⊢ Rel ≀ 𝑅
2	1	biantru 529	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧)) ↔ ((∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧)) ∧ Rel ≀ 𝑅))
3		refrelcosslem 37636	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥
4		symrelcoss3 37639	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ Rel ≀ 𝑅)
5	4	simpli 483	. . 3 ⊢ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥)
6	3, 5	triantru3 37398	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧) ↔ (∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧)))
7		dfeqvrel3 37765	. 2 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ((∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧)) ∧ Rel ≀ 𝑅))
8	2, 6, 7	3bitr4ri 303	1 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538  ∀wral 3060   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  Rel wrel 5682   ≀ ccoss 37347   EqvRel weqvrel 37364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-coss 37585  df-refrel 37686  df-symrel 37718  df-trrel 37748  df-eqvrel 37759

This theorem is referenced by:  eqvrelcoss2  37793  eqvrelcoss4  37794  disjim  37955