Theorem eqvrelcoss3 38582

Description: Two ways to express equivalent cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 28-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelcoss3	⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Proof of Theorem eqvrelcoss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcoss 38387	. . 3 ⊢ Rel ≀ 𝑅
2	1	biantru 529	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧)) ↔ ((∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧)) ∧ Rel ≀ 𝑅))
3		refrelcosslem 38426	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥
4		symrelcoss3 38429	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ Rel ≀ 𝑅)
5	4	simpli 483	. . 3 ⊢ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥)
6	3, 5	triantru3 38191	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧) ↔ (∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧)))
7		dfeqvrel3 38555	. 2 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ((∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧)) ∧ Rel ≀ 𝑅))
8	2, 6, 7	3bitr4ri 304	1 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538  ∀wral 3044   class class class wbr 5102  dom cdm 5631  Rel wrel 5636   ≀ ccoss 38142   EqvRel weqvrel 38159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-coss 38375  df-refrel 38476  df-symrel 38508  df-trrel 38538  df-eqvrel 38549

This theorem is referenced by:  eqvrelcoss2  38583  eqvrelcoss4  38584  disjim  38746