Theorem eqvrelcoss3 39319

Description: Two ways to express equivalent cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 28-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelcoss3	⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Proof of Theorem eqvrelcoss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcoss 39130	. . 3 ⊢ Rel ≀ 𝑅
2	1	biantru 538	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧)) ↔ ((∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧)) ∧ Rel ≀ 𝑅))
3		refrelcosslem 39169	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥
4		symrelcoss3 39172	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ Rel ≀ 𝑅)
5	4	simpli 488	. . 3 ⊢ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥)
6	3, 5	triantru3 38853	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧) ↔ (∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧)))
7		dfeqvrel3 39292	. 2 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ((∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧)) ∧ Rel ≀ 𝑅))
8	2, 6, 7	3bitr4ri 307	1 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101  ∀wal 1566  ∀wral 3077   class class class wbr 5108  dom cdm 5661  Rel wrel 5666   ≀ ccoss 38800   EqvRel weqvrel 38817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-11 2190  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-sb 2095  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-coss 39118  df-refrel 39209  df-symrel 39241  df-trrel 39275  df-eqvrel 39286

This theorem is referenced by:  eqvrelcoss2  39320  eqvrelcoss4  39321  disjim  39501