Theorem eqvrelcoss3 38724

Description: Two ways to express equivalent cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 28-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelcoss3	⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Proof of Theorem eqvrelcoss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcoss 38535	. . 3 ⊢ Rel ≀ 𝑅
2	1	biantru 529	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧)) ↔ ((∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧)) ∧ Rel ≀ 𝑅))
3		refrelcosslem 38574	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥
4		symrelcoss3 38577	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ Rel ≀ 𝑅)
5	4	simpli 483	. . 3 ⊢ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥)
6	3, 5	triantru3 38281	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧) ↔ (∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧)))
7		dfeqvrel3 38697	. 2 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ((∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧)) ∧ Rel ≀ 𝑅))
8	2, 6, 7	3bitr4ri 304	1 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1539  ∀wral 3047   class class class wbr 5089  dom cdm 5614  Rel wrel 5619   ≀ ccoss 38232   EqvRel weqvrel 38249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-11 2160  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-coss 38523  df-refrel 38614  df-symrel 38646  df-trrel 38680  df-eqvrel 38691

This theorem is referenced by:  eqvrelcoss2  38725  eqvrelcoss4  38726  disjim  38889