Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqvrelcoss3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqvrelcoss3 38619
Description: Two ways to express equivalent cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 28-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
eqvrelcoss3 ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
Distinct variable group:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Proof of Theorem eqvrelcoss3
StepHypRef Expression
1 relcoss 38424 . . 3 Rel ≀ 𝑅
21biantru 529 . 2 ((∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ ((∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ∧ Rel ≀ 𝑅))
3 refrelcosslem 38463 . . 3 𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥𝑅𝑥
4 symrelcoss3 38466 . . . 4 (∀𝑥𝑦(𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) ∧ Rel ≀ 𝑅)
54simpli 483 . . 3 𝑥𝑦(𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
63, 5triantru3 38231 . 2 (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) ↔ (∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
7 dfeqvrel3 38592 . 2 ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ((∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ∧ Rel ≀ 𝑅))
82, 6, 73bitr4ri 304 1 ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wal 1538  wral 3061   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  Rel wrel 5690  ccoss 38182   EqvRel weqvrel 38199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-coss 38412  df-refrel 38513  df-symrel 38545  df-trrel 38575  df-eqvrel 38586
This theorem is referenced by:  eqvrelcoss2  38620  eqvrelcoss4  38621  disjim  38782
  Copyright terms: Public domain W3C validator