Theorem reuss2 4246

Description: Transfer uniqueness to a smaller subclass. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reuss2	⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem reuss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 3069	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
2		df-reu 3070	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))
3	1, 2	anbi12i 626	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∧ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))
4		df-ral 3068	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓)))
5		ssel 3910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
6		pm3.2 469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝜓 → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))
7	6	imim2d 57	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝜑 → 𝜓) → (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))))
8	5, 7	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝜑 → 𝜓) → (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))))
9	8	a2d 29	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))))
10	9	imp4a 422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))))
11	10	alimdv 1920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓)) → ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))))
12	11	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))) → ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))
13	4, 12	sylan2b 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) → ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))
14		euimmo 2618	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)) → (∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) → (∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
16		df-eu 2569	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∧ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
17	16	simplbi2 500	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
18	15, 17	syl9 77	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓) → ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))))
19	18	imp32 418	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∧ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))) → ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
20		df-reu 3070	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
21	19, 20	sylibr 233	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∧ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
22	3, 21	sylan2b 593	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1537  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  ∃*wmo 2538  ∃!weu 2568  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3065   ⊆ wss 3883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-tru 1542  df-ex 1784  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-v 3424  df-in 3890  df-ss 3900

This theorem is referenced by:  reuss  4247  reuun1  4248  riotass2  7243