Theorem rextpg 4658

Description: Convert a restricted existential quantification over a triple to a disjunction. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralprg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
ralprg.2	⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
raltpg.3	⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝜑 ↔ 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
rextpg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝜑 ↔ (𝜓 ∨ 𝜒 ∨ 𝜃)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem rextpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralprg.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2		ralprg.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
3	1, 2	rexprg 4656	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ↔ (𝜓 ∨ 𝜒)))
4	3	orbi1d 917	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐶}𝜑) ↔ ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐶}𝜑)))
5		raltpg.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝜑 ↔ 𝜃))
6	5	rexsng 4635	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → (∃𝑥 ∈ {𝐶}𝜑 ↔ 𝜃))
7	6	orbi2d 916	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → (((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐶}𝜑) ↔ ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ 𝜃)))
8	4, 7	sylan9bb 509	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐶}𝜑) ↔ ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ 𝜃)))
9	8	3impa 1110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐶}𝜑) ↔ ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ 𝜃)))
10		df-tp 4587	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
11	10	rexeqi 3297	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})𝜑)
12		rexun 4150	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐶}𝜑))
13	11, 12	bitri 275	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐶}𝜑))
14		df-3or 1088	. 2 ⊢ ((𝜓 ∨ 𝜒 ∨ 𝜃) ↔ ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ 𝜃))
15	9, 13, 14	3bitr4g 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝜑 ↔ (𝜓 ∨ 𝜒 ∨ 𝜃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ∪ cun 3901  {csn 4582  {cpr 4584  {ctp 4586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-v 3444  df-un 3908  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587

This theorem is referenced by:  rextp  4665  fr3nr  7727  nb3grprlem2  29466  frgr3vlem2  30361  3vfriswmgr  30365