MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexun 4206
Description: Restricted existential quantification over union. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)
Assertion
Ref Expression
rexun (∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥𝐵 𝜑))

Proof of Theorem rexun
StepHypRef Expression
1 df-rex 3069 . 2 (∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝜑))
2 19.43 1880 . . 3 (∃𝑥((𝑥𝐴𝜑) ∨ (𝑥𝐵𝜑)) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∨ ∃𝑥(𝑥𝐵𝜑)))
3 elun 4163 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
43anbi1i 624 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ 𝜑))
5 andir 1010 . . . . 5 (((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝜑) ∨ (𝑥𝐵𝜑)))
64, 5bitri 275 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝜑) ∨ (𝑥𝐵𝜑)))
76exbii 1845 . . 3 (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑥((𝑥𝐴𝜑) ∨ (𝑥𝐵𝜑)))
8 df-rex 3069 . . . 4 (∃𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝜑))
9 df-rex 3069 . . . 4 (∃𝑥𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐵𝜑))
108, 9orbi12i 914 . . 3 ((∃𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥𝐵 𝜑) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∨ ∃𝑥(𝑥𝐵𝜑)))
112, 7, 103bitr4i 303 . 2 (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝜑) ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥𝐵 𝜑))
121, 11bitri 275 1 (∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥𝐵 𝜑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wo 847  wex 1776  wcel 2106  wrex 3068  cun 3961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1540  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-rex 3069  df-v 3480  df-un 3968
This theorem is referenced by:  rexprgf  4700  rextpg  4704  iunxun  5099  unima  6984  oarec  8599  naddunif  8730  zornn0g  10543  scshwfzeqfzo  14862  rpnnen2lem12  16258  dvdsprmpweqnn  16919  vdwlem6  17020  pmatcollpw3fi1  22810  cmpfi  23432  sleadd1  28037  addsasslem1  28051  addsasslem2  28052  addsdilem1  28192  addsdilem2  28193  mulsasslem1  28204  mulsasslem2  28205  elntg2  29015  rprmdvdsprod  33542  satfvsucsuc  35350  poimirlem25  37632
  Copyright terms: Public domain W3C validator