Theorem rexun 4194

Description: Restricted existential quantification over union. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rexun	⊢ (∃𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Proof of Theorem rexun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 3087	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑))
2		19.43 1914	. . 3 ⊢ (∃𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
3		elun 4152	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
4	3	anbi1i 636	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑))
5		andir 1026	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
6	4, 5	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
7	6	exbii 1880	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
8		df-rex 3087	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
9		df-rex 3087	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
10	8, 9	orbi12i 928	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
11	2, 7, 10	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))
12	1, 11	bitri 278	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ∪ cun 4149

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1572  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rex 3087  df-v 3452  df-un 4151

This theorem is used by:  rexprgf  4652  rextpg  4656  iunxun  5053  unima  6960  oarec  8573  naddunif  8706  zornn0g  10586  scshwfzeqfzo  14981  rpnnen2lem12  16398  dvdsprmpweqnn  17068  vdwlem6  17169  pmatcollpw3fi1  23111  cmpfi  23731  leadds1  28380  addsasslem1  28394  addsasslem2  28395  addsdilem1  28542  addsdilem2  28543  mulsasslem1  28554  mulsasslem2  28555  elntg2  29568  domnprodeq0  33886  rprmdvdsprod  34112  satfvsucsuc  36216  poimirlem25  38656