Theorem rexun 4132

Description: Restricted existential quantification over union. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rexun	⊢ (∃𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Proof of Theorem rexun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 3065	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑))
2		19.43 1889	. . 3 ⊢ (∃𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
3		elun 4090	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
4	3	anbi1i 630	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑))
5		andir 1016	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
6	4, 5	bitri 276	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
7	6	exbii 1855	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
8		df-rex 3065	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
9		df-rex 3065	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
10	8, 9	orbi12i 920	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
11	2, 7, 10	3bitr4i 304	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))
12	1, 11	bitri 276	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064   ∪ cun 3888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-tru 1550  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-rex 3065  df-v 3434  df-un 3895

This theorem is referenced by:  rexprgf  4634  rextpg  4638  iunxun  5030  unima  6909  oarec  8494  naddunif  8626  zornn0g  10425  scshwfzeqfzo  14786  rpnnen2lem12  16190  dvdsprmpweqnn  16854  vdwlem6  16955  pmatcollpw3fi1  22778  cmpfi  23398  leadds1  28006  addsasslem1  28020  addsasslem2  28021  addsdilem1  28168  addsdilem2  28169  mulsasslem1  28180  mulsasslem2  28181  elntg2  29079  domnprodeq0  33364  rprmdvdsprod  33624  satfvsucsuc  35600  poimirlem25  38019