Theorem rexun 4196

Description: Restricted existential quantification over union. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rexun	⊢ (∃𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Proof of Theorem rexun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 3071	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑))
2		19.43 1882	. . 3 ⊢ (∃𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
3		elun 4153	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
4	3	anbi1i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑))
5		andir 1011	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
6	4, 5	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
7	6	exbii 1848	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
8		df-rex 3071	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
9		df-rex 3071	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
10	8, 9	orbi12i 915	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
11	2, 7, 10	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))
12	1, 11	bitri 275	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   ∪ cun 3949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-tru 1543  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-rex 3071  df-v 3482  df-un 3956

This theorem is referenced by:  rexprgf  4695  rextpg  4699  iunxun  5094  unima  6984  oarec  8600  naddunif  8731  zornn0g  10545  scshwfzeqfzo  14865  rpnnen2lem12  16261  dvdsprmpweqnn  16923  vdwlem6  17024  pmatcollpw3fi1  22794  cmpfi  23416  sleadd1  28022  addsasslem1  28036  addsasslem2  28037  addsdilem1  28177  addsdilem2  28178  mulsasslem1  28189  mulsasslem2  28190  elntg2  29000  rprmdvdsprod  33562  satfvsucsuc  35370  poimirlem25  37652