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Theorem ringdilem 19910
Description: Properties of a unital ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringdilem.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringdilem.p + = (+g𝑅)
ringdilem.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringdilem ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))

Proof of Theorem ringdilem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringdilem.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3 ringdilem.p . . . . . . . . . 10 + = (+g𝑅)
4 ringdilem.t . . . . . . . . . 10 · = (.r𝑅)
51, 2, 3, 4isring 19898 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))))
65simp3bi 1148 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
76adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
8 simpr1 1195 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑥𝐵)
9 rsp 3229 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) → (𝑥𝐵 → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))))
107, 8, 9sylc 65 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
11 simpr2 1196 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝐵)
12 rsp 3229 . . . . . 6 (∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) → (𝑦𝐵 → ∀𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))))
1310, 11, 12sylc 65 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ∀𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
14 simpr3 1197 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
15 rsp 3229 . . . . 5 (∀𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) → (𝑧𝐵 → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))))
1613, 14, 15sylc 65 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
1716simpld 496 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
1817caovdig 7561 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)))
1916simprd 497 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
2019caovdirg 7564 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))
2118, 20jca 513 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3063  cfv 6492  (class class class)co 7350  Basecbs 17019  +gcplusg 17069  .rcmulr 17070  Mndcmnd 18492  Grpcgrp 18684  mulGrpcmgp 19831  Ringcrg 19894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-nul 5262
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-iota 6444  df-fv 6500  df-ov 7353  df-ring 19896
This theorem is referenced by:  ringdi  19917  ringdir  19918
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