Theorem ringcl 18948

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 18940	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 18882	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	mgpplusg 18880	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndcl 17687	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  ._rcmulr 16339  Mndcmnd 17680  mulGrpcmgp 18876  Ringcrg 18934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mgp 18877  df-ring 18936

This theorem is referenced by:  ringlz  18974  ringrz  18975  ringnegl  18981  rngnegr  18982  ringmneg1  18983  ringmneg2  18984  ringm2neg  18985  ringsubdi  18986  rngsubdir  18987  mulgass2  18988  ringlghm  18991  ringrghm  18992  gsumdixp  18996  prdsmulrcl  18998  imasring  19006  qusring2  19007  opprring  19018  dvdsrcl2  19037  dvdsrtr  19039  dvdsrmul1  19040  dvrcl  19073  dvrass  19077  irredrmul  19094  isdrngd  19164  subrgmcl  19184  abvtrivd  19232  srngmul  19250  issrngd  19253  idsrngd  19254  lmodmcl  19267  lmodprop2d  19317  rmodislmodlem  19322  prdslmodd  19364  sralmod  19584  2idlcpbl  19631  qusrhm  19634  quscrng  19637  assa2ass  19719  assapropd  19724  asclrhm  19739  psrmulcllem  19784  psrvscacl  19790  psrlmod  19798  psrlidm  19800  psrridm  19801  psrass1  19802  psrdi  19803  psrdir  19804  psrass23l  19805  psrcom  19806  psrass23  19807  mplmonmul  19861  mplmon2mul  19897  mplind  19898  evlslem2  19908  evlslem6  19909  evlslem3  19910  evlslem1  19911  mpfind  19932  psropprmul  20004  coe1mul2  20035  coe1tmmul2  20042  coe1tmmul  20043  evl1muld  20103  frlmphl  20524  mamucl  20611  mamuass  20612  mamudi  20613  mamudir  20614  mamuvs1  20615  mamuvs2  20616  mamulid  20651  mamurid  20652  madetsmelbas  20675  madetsmelbas2  20676  mat1dimscm  20686  mat1dimmul  20687  mat1mhm  20695  dmatmul  20708  dmatmulcl  20711  scmatscmiddistr  20719  scmatscm  20724  scmatmulcl  20729  smatvscl  20735  scmatmhm  20745  mavmulcl  20758  mavmulass  20760  mdetleib2  20799  mdetf  20806  mdetrlin  20813  mdetrsca  20814  mdetrsca2  20815  mdetralt  20819  mdetero  20821  mdetuni0  20832  mdetmul  20834  m2detleib  20842  madugsum  20854  madulid  20856  cpmatmcllem  20930  cpmatmcl  20931  mat2pmatmul  20943  decpmatmullem  20983  decpmatmul  20984  decpmatmulsumfsupp  20985  pm2mpmhmlem1  21030  pm2mpmhmlem2  21031  chfacfisf  21066  chfacfscmulgsum  21072  chfacfpmmulcl  21073  chfacfpmmulgsum  21076  chfacfpmmulgsum2  21077  cayhamlem1  21078  cpmadugsumlemF  21088  cayhamlem4  21100  nrgdsdi  22877  nrgdsdir  22878  nrginvrcnlem  22903  mdegmullem  24275  coe1mul3  24296  deg1mul2  24311  deg1mul3  24312  deg1mul3le  24313  ply1domn  24320  ply1divmo  24332  ply1divex  24333  uc1pmon1p  24348  r1pcl  24354  r1pid  24356  dvdsq1p  24357  dvdsr1p  24358  ply1rem  24360  dchrelbas3  25415  dchrmulcl  25426  dchrinv  25438  abvcxp  25756  rdivmuldivd  30353  ornglmulle  30367  orngrmulle  30368  ornglmullt  30369  orngrmullt  30370  orngmullt  30371  mdetpmtr1  30487  matunitlindflem1  34031  matunitlindflem2  34032  lflnegcl  35229  lflvscl  35231  lkrlsp  35256  ldualvsass  35295  lclkrlem2m  37673  lclkrlem2o  37675  lclkrlem2p  37676  lcfrlem2  37697  lcfrlem3  37698  lcfrlem29  37725  mapdpglem30  37856  hdmapglem7  38083  prjspertr  38206  hbtlem2  38653  mendlmod  38722  mendassa  38723  isdomn3  38741  mon1psubm  38743  deg1mhm  38744  lidldomn1  42936  ply1mulgsum  43193  lincscm  43234  lincscmcl  43236  lincresunitlem2  43280  lmod1lem4  43294