Theorem ringcl 20277

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20266	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20167	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	mgpplusg 20165	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndcl 18780	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  Mndcmnd 18772  mulGrpcmgp 20161  Ringcrg 20260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mgp 20162  df-ring 20262

This theorem is referenced by:  ringcld  20286  ringnegl  20325  ringnegr  20326  ringmneg1  20327  ringmneg2  20328  mulgass2  20332  ringlghm  20335  ringrghm  20336  pwspjmhmmgpd  20351  imasring  20353  qusring2  20357  dvdsrcl2  20392  dvdsrtr  20394  dvdsrmul1  20395  dvrcl  20430  dvrass  20434  rdivmuldivd  20439  irredrmul  20453  isdomn3  20737  isdomn4  20738  drngmcl  20772  isdrngd  20787  isdrngdOLD  20789  abvtrivd  20855  srngmul  20875  issrngd  20878  idsrngd  20879  lmodmcl  20893  lmodprop2d  20944  rmodislmodlem  20949  prdslmodd  20990  sralmod  21217  qusrhm  21309  rhmpreimaidl  21310  qusmul2idl  21312  freshmansdream  21616  frobrhm  21617  ascldimul  21931  psrvscacl  21994  psrlmod  22003  psrlidm  22005  psrridm  22006  psrdir  22009  psrcom  22011  mplmonmul  22077  mplmon2mul  22116  mplind  22117  evlslem2  22126  evlslem3  22127  evlslem6  22128  evlslem1  22129  mpfind  22154  psropprmul  22260  coe1mul2  22293  coe1tmmul2  22300  coe1tmmul  22301  evl1muld  22368  rhmply1vsca  22413  mamucl  22426  mamudi  22428  mamudir  22429  mamulid  22468  mamurid  22469  madetsmelbas  22491  madetsmelbas2  22492  mat1dimscm  22502  mat1dimmul  22503  mat1mhm  22511  dmatmul  22524  dmatmulcl  22527  scmatscmiddistr  22535  scmatscm  22540  scmatmulcl  22545  smatvscl  22551  scmatmhm  22561  mavmulcl  22574  mdetleib2  22615  mdetf  22622  mdetrlin  22629  mdetrsca2  22631  mdetralt  22635  mdetero  22637  mdetuni0  22648  mdetmul  22650  m2detleib  22658  madugsum  22670  madulid  22672  cpmatmcllem  22745  cpmatmcl  22746  mat2pmatmul  22758  decpmatmullem  22798  decpmatmul  22799  decpmatmulsumfsupp  22800  pm2mpmhmlem1  22845  pm2mpmhmlem2  22846  chfacfisf  22881  chfacfscmulgsum  22887  chfacfpmmulcl  22888  chfacfpmmulgsum  22891  chfacfpmmulgsum2  22892  cayhamlem1  22893  cpmadugsumlemF  22903  cayhamlem4  22915  nrgdsdi  24707  nrgdsdir  24708  nrginvrcnlem  24733  mdegmullem  26137  coe1mul3  26158  deg1mul2  26173  deg1mul3  26175  deg1mul3le  26176  ply1domn  26183  ply1divmo  26195  ply1divex  26196  uc1pmon1p  26211  r1pcl  26218  r1pid  26220  dvdsq1p  26222  dvdsr1p  26223  ply1rem  26225  dchrelbas3  27300  dchrmulcl  27311  dchrinv  27323  abvcxp  27677  ornglmulle  33300  orngrmulle  33301  ornglmullt  33302  orngrmullt  33303  orngmullt  33304  elrspunidl  33421  rhmimaidl  33425  isprmidlc  33440  qsidomlem1  33445  qsidomlem2  33446  mxidlprm  33463  drgextlsp  33608  fedgmullem1  33642  fedgmullem2  33643  fedgmul  33644  extdg1id  33676  mdetpmtr1  33769  matunitlindflem1  37576  matunitlindflem2  37577  lflnegcl  39031  lflvscl  39033  lkrlsp  39058  ldualvsass  39097  lclkrlem2m  41476  lclkrlem2o  41478  lclkrlem2p  41479  lcfrlem2  41500  lcfrlem3  41501  lcfrlem29  41528  mapdpglem30  41659  hdmapglem7  41886  evlsmulval  42524  mhphf  42552  hbtlem2  43081  mendlmod  43150  mendassa  43151  mon1psubm  43160  deg1mhm  43161  mnringmulrcld  44197  lidldomn1  47954  ply1mulgsum  48119  lincscm  48159  lincscmcl  48161  lincresunitlem2  48205  lmod1lem4  48219