Theorem ringcl 19809

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 19798	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 19735	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	mgpplusg 19733	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndcl 18402	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl3an1 1162	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  Basecbs 16921  ._rcmulr 16972  Mndcmnd 18394  mulGrpcmgp 19729  Ringcrg 19792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-2 12045  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-plusg 16984  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-mgp 19730  df-ring 19794

This theorem is referenced by:  ringlz  19835  ringrz  19836  ringnegl  19842  rngnegr  19843  ringmneg1  19844  ringmneg2  19845  ringm2neg  19846  ringsubdi  19847  rngsubdir  19848  mulgass2  19849  ringlghm  19852  ringrghm  19853  gsumdixp  19857  prdsmulrcl  19859  imasring  19867  qusring2  19868  opprring  19882  dvdsrcl2  19901  dvdsrtr  19903  dvdsrmul1  19904  dvrcl  19937  dvrass  19941  irredrmul  19958  isdrngd  20025  subrgmcl  20045  abvtrivd  20109  srngmul  20127  issrngd  20130  idsrngd  20131  lmodmcl  20144  lmodprop2d  20194  rmodislmodlem  20199  prdslmodd  20240  sralmod  20466  2idlcpbl  20514  qusrhm  20517  quscrng  20520  frlmphl  20997  assa2ass  21079  assapropd  21085  ascldimul  21101  psrmulcllem  21165  psrvscacl  21171  psrlmod  21179  psrlidm  21181  psrridm  21182  psrass1  21183  psrdi  21184  psrdir  21185  psrass23l  21186  psrcom  21187  psrass23  21188  mplmonmul  21246  mplmon2mul  21286  mplind  21287  evlslem2  21298  evlslem3  21299  evlslem6  21300  evlslem1  21301  mpfind  21326  mhpmulcl  21348  psropprmul  21418  coe1mul2  21449  coe1tmmul2  21456  coe1tmmul  21457  evl1muld  21518  mamucl  21557  mamuass  21558  mamudi  21559  mamudir  21560  mamuvs1  21561  mamuvs2  21562  mamulid  21599  mamurid  21600  madetsmelbas  21622  madetsmelbas2  21623  mat1dimscm  21633  mat1dimmul  21634  mat1mhm  21642  dmatmul  21655  dmatmulcl  21658  scmatscmiddistr  21666  scmatscm  21671  scmatmulcl  21676  smatvscl  21682  scmatmhm  21692  mavmulcl  21705  mavmulass  21707  mdetleib2  21746  mdetf  21753  mdetrlin  21760  mdetrsca  21761  mdetrsca2  21762  mdetralt  21766  mdetero  21768  mdetuni0  21779  mdetmul  21781  m2detleib  21789  madugsum  21801  madulid  21803  cpmatmcllem  21876  cpmatmcl  21877  mat2pmatmul  21889  decpmatmullem  21929  decpmatmul  21930  decpmatmulsumfsupp  21931  pm2mpmhmlem1  21976  pm2mpmhmlem2  21977  chfacfisf  22012  chfacfscmulgsum  22018  chfacfpmmulcl  22019  chfacfpmmulgsum  22022  chfacfpmmulgsum2  22023  cayhamlem1  22024  cpmadugsumlemF  22034  cayhamlem4  22046  nrgdsdi  23838  nrgdsdir  23839  nrginvrcnlem  23864  mdegmullem  25252  coe1mul3  25273  deg1mul2  25288  deg1mul3  25289  deg1mul3le  25290  ply1domn  25297  ply1divmo  25309  ply1divex  25310  uc1pmon1p  25325  r1pcl  25331  r1pid  25333  dvdsq1p  25334  dvdsr1p  25335  ply1rem  25337  dchrelbas3  26395  dchrmulcl  26406  dchrinv  26418  abvcxp  26772  freshmansdream  31493  frobrhm  31494  rdivmuldivd  31497  ornglmulle  31513  orngrmulle  31514  ornglmullt  31515  orngrmullt  31516  orngmullt  31517  rhmpreimaidl  31612  elrspunidl  31615  rhmimaidl  31618  isprmidlc  31632  qsidomlem1  31637  qsidomlem2  31638  mxidlprm  31649  drgextlsp  31690  fedgmullem1  31719  fedgmullem2  31720  fedgmul  31721  extdg1id  31747  mdetpmtr1  31782  matunitlindflem1  35782  matunitlindflem2  35783  lflnegcl  37096  lflvscl  37098  lkrlsp  37123  ldualvsass  37162  lclkrlem2m  39540  lclkrlem2o  39542  lclkrlem2p  39543  lcfrlem2  39564  lcfrlem3  39565  lcfrlem29  39592  mapdpglem30  39723  hdmapglem7  39950  isdomn4  40179  ringcld  40247  pwspjmhmmgpd  40274  evlsmulval  40285  mhphf  40292  prjspertr  40451  hbtlem2  40956  mendlmod  41025  mendassa  41026  isdomn3  41036  mon1psubm  41038  deg1mhm  41039  mnringmulrcld  41853  lidldomn1  45490  ply1mulgsum  45742  lincscm  45782  lincscmcl  45784  lincresunitlem2  45828  lmod1lem4  45842