Theorem ringcl 20122

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20111	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20017	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	mgpplusg 20016	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndcl 18603	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  Basecbs 17107  ._rcmulr 17149  Mndcmnd 18595  mulGrpcmgp 20012  Ringcrg 20105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-plusg 17161  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-mgp 20013  df-ring 20107

This theorem is referenced by:  ringcld  20132  ringnegl  20174  ringnegr  20175  ringmneg1  20176  ringmneg2  20177  mulgass2  20181  ringlghm  20184  ringrghm  20185  pwspjmhmmgpd  20200  imasring  20202  qusring2  20206  dvdsrcl2  20238  dvdsrtr  20240  dvdsrmul1  20241  dvrcl  20276  dvrass  20280  rdivmuldivd  20285  irredrmul  20299  isdomn3  20584  isdomn4  20585  drngmcl  20619  isdrngd  20634  isdrngdOLD  20636  abvtrivd  20701  srngmul  20721  issrngd  20724  idsrngd  20725  ornglmulle  20736  orngrmulle  20737  ornglmullt  20738  orngrmullt  20739  orngmullt  20740  lmodmcl  20760  lmodprop2d  20811  rmodislmodlem  20816  prdslmodd  20856  sralmod  21075  qusrhm  21167  rhmpreimaidl  21168  qusmul2idl  21170  freshmansdream  21465  frobrhm  21466  ascldimul  21779  psrvscacl  21842  psrlmod  21851  psrlidm  21853  psrridm  21854  psrdir  21857  psrcom  21859  mplmonmul  21925  mplmon2mul  21958  mplind  21959  evlslem2  21968  evlslem3  21969  evlslem6  21970  evlslem1  21971  mpfind  21996  psropprmul  22104  coe1mul2  22137  coe1tmmul2  22144  coe1tmmul  22145  evl1muld  22212  rhmply1vsca  22257  mamucl  22270  mamudi  22272  mamudir  22273  mamulid  22310  mamurid  22311  madetsmelbas  22333  madetsmelbas2  22334  mat1dimscm  22344  mat1dimmul  22345  mat1mhm  22353  dmatmul  22366  dmatmulcl  22369  scmatscmiddistr  22377  scmatscm  22382  scmatmulcl  22387  smatvscl  22393  scmatmhm  22403  mavmulcl  22416  mdetleib2  22457  mdetf  22464  mdetrlin  22471  mdetrsca2  22473  mdetralt  22477  mdetero  22479  mdetuni0  22490  mdetmul  22492  m2detleib  22500  madugsum  22512  madulid  22514  cpmatmcllem  22587  cpmatmcl  22588  mat2pmatmul  22600  decpmatmullem  22640  decpmatmul  22641  decpmatmulsumfsupp  22642  pm2mpmhmlem1  22687  pm2mpmhmlem2  22688  chfacfisf  22723  chfacfscmulgsum  22729  chfacfpmmulcl  22730  chfacfpmmulgsum  22733  chfacfpmmulgsum2  22734  cayhamlem1  22735  cpmadugsumlemF  22745  cayhamlem4  22757  nrgdsdi  24534  nrgdsdir  24535  nrginvrcnlem  24560  mdegmullem  25964  coe1mul3  25985  deg1mul2  26000  deg1mul3  26002  deg1mul3le  26003  ply1domn  26010  ply1divmo  26022  ply1divex  26023  uc1pmon1p  26038  r1pcl  26045  r1pid  26047  dvdsq1p  26049  dvdsr1p  26050  ply1rem  26052  dchrelbas3  27130  dchrmulcl  27141  dchrinv  27153  abvcxp  27507  elrspunidl  33361  rhmimaidl  33365  isprmidlc  33380  qsidomlem1  33385  qsidomlem2  33386  mxidlprm  33403  drgextlsp  33574  fedgmullem1  33610  fedgmullem2  33611  fedgmul  33612  extdg1id  33647  mdetpmtr1  33804  matunitlindflem1  37613  matunitlindflem2  37614  lflnegcl  39071  lflvscl  39073  lkrlsp  39098  ldualvsass  39137  lclkrlem2m  41515  lclkrlem2o  41517  lclkrlem2p  41518  lcfrlem2  41539  lcfrlem3  41540  lcfrlem29  41567  mapdpglem30  41698  hdmapglem7  41925  evlsmulval  42559  mhphf  42587  hbtlem2  43114  mendlmod  43179  mendassa  43180  mon1psubm  43189  deg1mhm  43190  mnringmulrcld  44218  lidldomn1  48229  ply1mulgsum  48389  lincscm  48429  lincscmcl  48431  lincresunitlem2  48475  lmod1lem4  48489