Theorem ringcl 20363

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20352	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20252	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	mgpplusg 20251	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndcl 18829	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336  Mndcmnd 18821  mulGrpcmgp 20247  Ringcrg 20346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mgp 20248  df-ring 20348

This theorem is used by:  ringcld  20370  ringnegl  20418  ringnegr  20419  ringmneg1  20420  ringmneg2  20421  mulgass2  20425  ringlghm  20428  ringrghm  20429  pwspjmhmmgpd  20442  imasring  20445  qusring2  20449  dvdsrcl2  20481  dvdsrtr  20483  dvdsrmul1  20484  dvrcl  20519  dvrass  20523  rdivmuldivd  20528  irredrmul  20542  isdomn3  20850  isdomn4  20851  isdrng3lem2  20889  drngmcl  20892  isdrngd  20905  isdrngdOLD  20907  abvtrivd  20972  srngmul  20992  issrngd  20995  idsrngd  20996  ornglmulle  21007  orngrmulle  21008  ornglmullt  21009  orngrmullt  21010  orngmullt  21011  lmodmcl  21031  lmodprop2d  21082  rmodislmodlem  21087  prdslmodd  21127  sralmod  21345  qusrhm  21452  rhmpreimaidl  21453  qusmul2idl  21455  isprmidlc  21509  cmprmidlmcl  21512  qsidomlem1  21517  qsidomlem2  21518  freshmansdream  21761  frobrhm  21762  ascldimul  22075  psrvscacl  22138  psrlmod  22146  psrlidm  22148  psrridm  22149  psrdir  22152  psrcom  22154  mplmonmul  22224  mplmon2mul  22257  mplind  22258  evlslem2  22267  evlslem3  22268  evlslem6  22269  evlslem1  22270  mpfind  22303  evlsmulval  22318  psropprmul  22434  coe1mul2  22467  coe1tmmul2  22474  coe1tmmul  22475  evl1muld  22540  rhmply1vsca  22582  mamucl  22595  mamudi  22597  mamudir  22598  mamulid  22635  mamurid  22636  madetsmelbas  22658  madetsmelbas2  22659  mat1dimscm  22669  mat1dimmul  22670  mat1mhm  22678  dmatmul  22691  dmatmulcl  22694  scmatscmiddistr  22702  scmatscm  22707  scmatmulcl  22712  smatvscl  22718  scmatmhm  22728  mavmulcl  22741  mdetleib2  22782  mdetf  22789  mdetrlin  22796  mdetrsca2  22798  mdetralt  22802  mdetero  22804  mdetuni0  22815  mdetmul  22817  m2detleib  22825  madugsum  22837  madulid  22839  cpmatmcllem  22912  cpmatmcl  22913  mat2pmatmul  22925  decpmatmullem  22965  decpmatmul  22966  decpmatmulsumfsupp  22967  pm2mpmhmlem1  23012  pm2mpmhmlem2  23013  chfacfisf  23048  chfacfscmulgsum  23054  chfacfpmmulcl  23055  chfacfpmmulgsum  23058  chfacfpmmulgsum2  23059  cayhamlem1  23060  cpmadugsumlemF  23070  cayhamlem4  23082  nrgdsdi  24859  nrgdsdir  24860  nrginvrcnlem  24885  mdegmullem  26272  coe1mul3  26293  deg1mul2  26308  deg1mul3  26310  deg1mul3le  26311  ply1domn  26318  ply1divmo  26330  ply1divex  26331  uc1pmon1p  26346  r1pcl  26353  r1pid  26355  dvdsq1p  26357  dvdsr1p  26358  ply1rem  26360  dchrelbas3  27439  dchrmulcl  27450  dchrinv  27462  abvcxp  27816  elrspunidl  33767  rhmimaidl  33771  mxidlprm  33784  drgextlsp  34015  fedgmullem1  34050  fedgmullem2  34051  fedgmul  34052  extdg1id  34087  mdetpmtr1  34244  matunitlindflem1  38308  matunitlindflem2  38309  lflnegcl  39890  lflvscl  39892  lkrlsp  39917  ldualvsass  39956  lclkrlem2m  42334  lclkrlem2o  42336  lclkrlem2p  42337  lcfrlem2  42358  lcfrlem3  42359  lcfrlem29  42386  mapdpglem30  42517  hdmapglem7  42744  mhphf  43370  hbtlem2  43892  mendlmod  43957  mendassa  43958  mon1psubm  43967  deg1mhm  43968  mnringmulrcld  44993  lidldomn1  49037  ply1mulgsum  49211  lincscm  49251  lincscmcl  49253  lincresunitlem2  49297  lmod1lem4  49311