Theorem ringcl 20172

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20161	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20067	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	mgpplusg 20066	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndcl 18654	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  Basecbs 17124  ._rcmulr 17166  Mndcmnd 18646  mulGrpcmgp 20062  Ringcrg 20155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-plusg 17178  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-mgp 20063  df-ring 20157

This theorem is referenced by:  ringcld  20182  ringnegl  20224  ringnegr  20225  ringmneg1  20226  ringmneg2  20227  mulgass2  20231  ringlghm  20234  ringrghm  20235  pwspjmhmmgpd  20250  imasring  20252  qusring2  20256  dvdsrcl2  20288  dvdsrtr  20290  dvdsrmul1  20291  dvrcl  20326  dvrass  20330  rdivmuldivd  20335  irredrmul  20349  isdomn3  20634  isdomn4  20635  drngmcl  20669  isdrngd  20684  isdrngdOLD  20686  abvtrivd  20751  srngmul  20771  issrngd  20774  idsrngd  20775  ornglmulle  20786  orngrmulle  20787  ornglmullt  20788  orngrmullt  20789  orngmullt  20790  lmodmcl  20810  lmodprop2d  20861  rmodislmodlem  20866  prdslmodd  20906  sralmod  21125  qusrhm  21217  rhmpreimaidl  21218  qusmul2idl  21220  freshmansdream  21515  frobrhm  21516  ascldimul  21829  psrvscacl  21892  psrlmod  21900  psrlidm  21902  psrridm  21903  psrdir  21906  psrcom  21908  mplmonmul  21974  mplmon2mul  22007  mplind  22008  evlslem2  22017  evlslem3  22018  evlslem6  22019  evlslem1  22020  mpfind  22045  psropprmul  22153  coe1mul2  22186  coe1tmmul2  22193  coe1tmmul  22194  evl1muld  22261  rhmply1vsca  22306  mamucl  22319  mamudi  22321  mamudir  22322  mamulid  22359  mamurid  22360  madetsmelbas  22382  madetsmelbas2  22383  mat1dimscm  22393  mat1dimmul  22394  mat1mhm  22402  dmatmul  22415  dmatmulcl  22418  scmatscmiddistr  22426  scmatscm  22431  scmatmulcl  22436  smatvscl  22442  scmatmhm  22452  mavmulcl  22465  mdetleib2  22506  mdetf  22513  mdetrlin  22520  mdetrsca2  22522  mdetralt  22526  mdetero  22528  mdetuni0  22539  mdetmul  22541  m2detleib  22549  madugsum  22561  madulid  22563  cpmatmcllem  22636  cpmatmcl  22637  mat2pmatmul  22649  decpmatmullem  22689  decpmatmul  22690  decpmatmulsumfsupp  22691  pm2mpmhmlem1  22736  pm2mpmhmlem2  22737  chfacfisf  22772  chfacfscmulgsum  22778  chfacfpmmulcl  22779  chfacfpmmulgsum  22782  chfacfpmmulgsum2  22783  cayhamlem1  22784  cpmadugsumlemF  22794  cayhamlem4  22806  nrgdsdi  24583  nrgdsdir  24584  nrginvrcnlem  24609  mdegmullem  26013  coe1mul3  26034  deg1mul2  26049  deg1mul3  26051  deg1mul3le  26052  ply1domn  26059  ply1divmo  26071  ply1divex  26072  uc1pmon1p  26087  r1pcl  26094  r1pid  26096  dvdsq1p  26098  dvdsr1p  26099  ply1rem  26101  dchrelbas3  27179  dchrmulcl  27190  dchrinv  27202  abvcxp  27556  elrspunidl  33402  rhmimaidl  33406  isprmidlc  33421  qsidomlem1  33426  qsidomlem2  33427  mxidlprm  33444  drgextlsp  33629  fedgmullem1  33665  fedgmullem2  33666  fedgmul  33667  extdg1id  33702  mdetpmtr1  33859  matunitlindflem1  37679  matunitlindflem2  37680  lflnegcl  39197  lflvscl  39199  lkrlsp  39224  ldualvsass  39263  lclkrlem2m  41641  lclkrlem2o  41643  lclkrlem2p  41644  lcfrlem2  41665  lcfrlem3  41666  lcfrlem29  41693  mapdpglem30  41824  hdmapglem7  42051  evlsmulval  42690  mhphf  42718  hbtlem2  43244  mendlmod  43309  mendassa  43310  mon1psubm  43319  deg1mhm  43320  mnringmulrcld  44348  lidldomn1  48358  ply1mulgsum  48518  lincscm  48558  lincscmcl  48560  lincresunitlem2  48604  lmod1lem4  48618