Theorem ringcl 20279

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20268	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20174	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	mgpplusg 20173	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndcl 18759	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl3an1 1175	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  ._rcmulr 17270  Mndcmnd 18751  mulGrpcmgp 20169  Ringcrg 20262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17282  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mgp 20170  df-ring 20264

This theorem is referenced by:  ringcld  20289  ringnegl  20331  ringnegr  20332  ringmneg1  20333  ringmneg2  20334  mulgass2  20338  ringlghm  20341  ringrghm  20342  pwspjmhmmgpd  20355  imasring  20358  qusring2  20362  dvdsrcl2  20394  dvdsrtr  20396  dvdsrmul1  20397  dvrcl  20432  dvrass  20436  rdivmuldivd  20441  irredrmul  20455  isdomn3  20744  isdomn4  20745  drngmcl  20779  isdrngd  20794  isdrngdOLD  20796  abvtrivd  20861  srngmul  20881  issrngd  20884  idsrngd  20885  ornglmulle  20896  orngrmulle  20897  ornglmullt  20898  orngrmullt  20899  orngmullt  20900  lmodmcl  20920  lmodprop2d  20971  rmodislmodlem  20976  prdslmodd  21016  sralmod  21234  qusrhm  21326  rhmpreimaidl  21327  qusmul2idl  21329  freshmansdream  21606  frobrhm  21607  ascldimul  21920  psrvscacl  21983  psrlmod  21991  psrlidm  21993  psrridm  21994  psrdir  21997  psrcom  21999  mplmonmul  22069  mplmon2mul  22102  mplind  22103  evlslem2  22112  evlslem3  22113  evlslem6  22114  evlslem1  22115  mpfind  22148  evlsmulval  22163  psropprmul  22279  coe1mul2  22312  coe1tmmul2  22319  coe1tmmul  22320  evl1muld  22386  rhmply1vsca  22428  mamucl  22441  mamudi  22443  mamudir  22444  mamulid  22481  mamurid  22482  madetsmelbas  22504  madetsmelbas2  22505  mat1dimscm  22515  mat1dimmul  22516  mat1mhm  22524  dmatmul  22537  dmatmulcl  22540  scmatscmiddistr  22548  scmatscm  22553  scmatmulcl  22558  smatvscl  22564  scmatmhm  22574  mavmulcl  22587  mdetleib2  22628  mdetf  22635  mdetrlin  22642  mdetrsca2  22644  mdetralt  22648  mdetero  22650  mdetuni0  22661  mdetmul  22663  m2detleib  22671  madugsum  22683  madulid  22685  cpmatmcllem  22758  cpmatmcl  22759  mat2pmatmul  22771  decpmatmullem  22811  decpmatmul  22812  decpmatmulsumfsupp  22813  pm2mpmhmlem1  22858  pm2mpmhmlem2  22859  chfacfisf  22894  chfacfscmulgsum  22900  chfacfpmmulcl  22901  chfacfpmmulgsum  22904  chfacfpmmulgsum2  22905  cayhamlem1  22906  cpmadugsumlemF  22916  cayhamlem4  22928  nrgdsdi  24705  nrgdsdir  24706  nrginvrcnlem  24731  mdegmullem  26118  coe1mul3  26139  deg1mul2  26154  deg1mul3  26156  deg1mul3le  26157  ply1domn  26164  ply1divmo  26176  ply1divex  26177  uc1pmon1p  26192  r1pcl  26199  r1pid  26201  dvdsq1p  26203  dvdsr1p  26204  ply1rem  26206  dchrelbas3  27279  dchrmulcl  27290  dchrinv  27302  abvcxp  27656  elrspunidl  33575  rhmimaidl  33579  isprmidlc  33594  qsidomlem1  33600  qsidomlem2  33601  mxidlprm  33619  drgextlsp  33852  fedgmullem1  33887  fedgmullem2  33888  fedgmul  33889  extdg1id  33924  mdetpmtr1  34081  matunitlindflem1  38079  matunitlindflem2  38080  lflnegcl  39663  lflvscl  39665  lkrlsp  39690  ldualvsass  39729  lclkrlem2m  42107  lclkrlem2o  42109  lclkrlem2p  42110  lcfrlem2  42131  lcfrlem3  42132  lcfrlem29  42159  mapdpglem30  42290  hdmapglem7  42517  mhphf  43143  hbtlem2  43665  mendlmod  43730  mendassa  43731  mon1psubm  43740  deg1mhm  43741  mnringmulrcld  44768  lidldomn1  48817  ply1mulgsum  48976  lincscm  49016  lincscmcl  49018  lincresunitlem2  49062  lmod1lem4  49076