Theorem ringcl 20247

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20236	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20142	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	mgpplusg 20141	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndcl 18755	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl3an1 1164	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  Mndcmnd 18747  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mgp 20138  df-ring 20232

This theorem is referenced by:  ringcld  20257  ringnegl  20299  ringnegr  20300  ringmneg1  20301  ringmneg2  20302  mulgass2  20306  ringlghm  20309  ringrghm  20310  pwspjmhmmgpd  20325  imasring  20327  qusring2  20331  dvdsrcl2  20366  dvdsrtr  20368  dvdsrmul1  20369  dvrcl  20404  dvrass  20408  rdivmuldivd  20413  irredrmul  20427  isdomn3  20715  isdomn4  20716  drngmcl  20750  isdrngd  20765  isdrngdOLD  20767  abvtrivd  20833  srngmul  20853  issrngd  20856  idsrngd  20857  lmodmcl  20871  lmodprop2d  20922  rmodislmodlem  20927  prdslmodd  20967  sralmod  21194  qusrhm  21286  rhmpreimaidl  21287  qusmul2idl  21289  freshmansdream  21593  frobrhm  21594  ascldimul  21908  psrvscacl  21971  psrlmod  21980  psrlidm  21982  psrridm  21983  psrdir  21986  psrcom  21988  mplmonmul  22054  mplmon2mul  22093  mplind  22094  evlslem2  22103  evlslem3  22104  evlslem6  22105  evlslem1  22106  mpfind  22131  psropprmul  22239  coe1mul2  22272  coe1tmmul2  22279  coe1tmmul  22280  evl1muld  22347  rhmply1vsca  22392  mamucl  22405  mamudi  22407  mamudir  22408  mamulid  22447  mamurid  22448  madetsmelbas  22470  madetsmelbas2  22471  mat1dimscm  22481  mat1dimmul  22482  mat1mhm  22490  dmatmul  22503  dmatmulcl  22506  scmatscmiddistr  22514  scmatscm  22519  scmatmulcl  22524  smatvscl  22530  scmatmhm  22540  mavmulcl  22553  mdetleib2  22594  mdetf  22601  mdetrlin  22608  mdetrsca2  22610  mdetralt  22614  mdetero  22616  mdetuni0  22627  mdetmul  22629  m2detleib  22637  madugsum  22649  madulid  22651  cpmatmcllem  22724  cpmatmcl  22725  mat2pmatmul  22737  decpmatmullem  22777  decpmatmul  22778  decpmatmulsumfsupp  22779  pm2mpmhmlem1  22824  pm2mpmhmlem2  22825  chfacfisf  22860  chfacfscmulgsum  22866  chfacfpmmulcl  22867  chfacfpmmulgsum  22870  chfacfpmmulgsum2  22871  cayhamlem1  22872  cpmadugsumlemF  22882  cayhamlem4  22894  nrgdsdi  24686  nrgdsdir  24687  nrginvrcnlem  24712  mdegmullem  26117  coe1mul3  26138  deg1mul2  26153  deg1mul3  26155  deg1mul3le  26156  ply1domn  26163  ply1divmo  26175  ply1divex  26176  uc1pmon1p  26191  r1pcl  26198  r1pid  26200  dvdsq1p  26202  dvdsr1p  26203  ply1rem  26205  dchrelbas3  27282  dchrmulcl  27293  dchrinv  27305  abvcxp  27659  ornglmulle  33335  orngrmulle  33336  ornglmullt  33337  orngrmullt  33338  orngmullt  33339  elrspunidl  33456  rhmimaidl  33460  isprmidlc  33475  qsidomlem1  33480  qsidomlem2  33481  mxidlprm  33498  drgextlsp  33644  fedgmullem1  33680  fedgmullem2  33681  fedgmul  33682  extdg1id  33716  mdetpmtr1  33822  matunitlindflem1  37623  matunitlindflem2  37624  lflnegcl  39076  lflvscl  39078  lkrlsp  39103  ldualvsass  39142  lclkrlem2m  41521  lclkrlem2o  41523  lclkrlem2p  41524  lcfrlem2  41545  lcfrlem3  41546  lcfrlem29  41573  mapdpglem30  41704  hdmapglem7  41931  evlsmulval  42579  mhphf  42607  hbtlem2  43136  mendlmod  43201  mendassa  43202  mon1psubm  43211  deg1mhm  43212  mnringmulrcld  44247  lidldomn1  48147  ply1mulgsum  48307  lincscm  48347  lincscmcl  48349  lincresunitlem2  48393  lmod1lem4  48407