Theorem ringcl 19307

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 19296	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 19238	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	mgpplusg 19236	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndcl 17911	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl3an1 1160	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  ._rcmulr 16558  Mndcmnd 17903  mulGrpcmgp 19232  Ringcrg 19290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mgp 19233  df-ring 19292

This theorem is referenced by:  ringlz  19333  ringrz  19334  ringnegl  19340  rngnegr  19341  ringmneg1  19342  ringmneg2  19343  ringm2neg  19344  ringsubdi  19345  rngsubdir  19346  mulgass2  19347  ringlghm  19350  ringrghm  19351  gsumdixp  19355  prdsmulrcl  19357  imasring  19365  qusring2  19366  opprring  19377  dvdsrcl2  19396  dvdsrtr  19398  dvdsrmul1  19399  dvrcl  19432  dvrass  19436  irredrmul  19453  isdrngd  19520  subrgmcl  19540  abvtrivd  19604  srngmul  19622  issrngd  19625  idsrngd  19626  lmodmcl  19639  lmodprop2d  19689  rmodislmodlem  19694  prdslmodd  19734  sralmod  19952  2idlcpbl  20000  qusrhm  20003  quscrng  20006  frlmphl  20470  assa2ass  20552  assapropd  20558  ascldimul  20573  ascldimulOLD  20574  psrmulcllem  20625  psrvscacl  20631  psrlmod  20639  psrlidm  20641  psrridm  20642  psrass1  20643  psrdi  20644  psrdir  20645  psrass23l  20646  psrcom  20647  psrass23  20648  mplmonmul  20704  mplmon2mul  20740  mplind  20741  evlslem2  20751  evlslem3  20752  evlslem6  20753  evlslem1  20754  mpfind  20779  psropprmul  20867  coe1mul2  20898  coe1tmmul2  20905  coe1tmmul  20906  evl1muld  20967  mamucl  21006  mamuass  21007  mamudi  21008  mamudir  21009  mamuvs1  21010  mamuvs2  21011  mamulid  21046  mamurid  21047  madetsmelbas  21069  madetsmelbas2  21070  mat1dimscm  21080  mat1dimmul  21081  mat1mhm  21089  dmatmul  21102  dmatmulcl  21105  scmatscmiddistr  21113  scmatscm  21118  scmatmulcl  21123  smatvscl  21129  scmatmhm  21139  mavmulcl  21152  mavmulass  21154  mdetleib2  21193  mdetf  21200  mdetrlin  21207  mdetrsca  21208  mdetrsca2  21209  mdetralt  21213  mdetero  21215  mdetuni0  21226  mdetmul  21228  m2detleib  21236  madugsum  21248  madulid  21250  cpmatmcllem  21323  cpmatmcl  21324  mat2pmatmul  21336  decpmatmullem  21376  decpmatmul  21377  decpmatmulsumfsupp  21378  pm2mpmhmlem1  21423  pm2mpmhmlem2  21424  chfacfisf  21459  chfacfscmulgsum  21465  chfacfpmmulcl  21466  chfacfpmmulgsum  21469  chfacfpmmulgsum2  21470  cayhamlem1  21471  cpmadugsumlemF  21481  cayhamlem4  21493  nrgdsdi  23271  nrgdsdir  23272  nrginvrcnlem  23297  mdegmullem  24679  coe1mul3  24700  deg1mul2  24715  deg1mul3  24716  deg1mul3le  24717  ply1domn  24724  ply1divmo  24736  ply1divex  24737  uc1pmon1p  24752  r1pcl  24758  r1pid  24760  dvdsq1p  24761  dvdsr1p  24762  ply1rem  24764  dchrelbas3  25822  dchrmulcl  25833  dchrinv  25845  abvcxp  26199  freshmansdream  30909  frobrhm  30910  rdivmuldivd  30913  ornglmulle  30929  orngrmulle  30930  ornglmullt  30931  orngrmullt  30932  orngmullt  30933  rhmpreimaidl  31011  elrspunidl  31014  rhmimaidl  31017  isprmidlc  31031  qsidomlem1  31036  qsidomlem2  31037  mxidlprm  31048  drgextlsp  31084  fedgmullem1  31113  fedgmullem2  31114  fedgmul  31115  extdg1id  31141  mdetpmtr1  31176  matunitlindflem1  35053  matunitlindflem2  35054  lflnegcl  36371  lflvscl  36373  lkrlsp  36398  ldualvsass  36437  lclkrlem2m  38815  lclkrlem2o  38817  lclkrlem2p  38818  lcfrlem2  38839  lcfrlem3  38840  lcfrlem29  38867  mapdpglem30  38998  hdmapglem7  39225  prjspertr  39599  hbtlem2  40068  mendlmod  40137  mendassa  40138  isdomn3  40148  mon1psubm  40150  deg1mhm  40151  mnringmulrcld  40936  lidldomn1  44545  ply1mulgsum  44798  lincscm  44839  lincscmcl  44841  lincresunitlem2  44885  lmod1lem4  44899