Theorem ringcl 20510

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20498	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20398	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	mgpplusg 20397	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndcl 18963	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  ._rcmulr 17461  Mndcmnd 18955  mulGrpcmgp 20393  Ringcrg 20492

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mgp 20394  df-ring 20494

This theorem is used by:  ringcld  20517  ringnegl  20566  ringnegr  20567  ringmneg1  20568  ringmneg2  20569  mulgass2  20573  ringlghm  20576  ringrghm  20577  pwspjmhmmgpd  20590  imasring  20593  qusring2  20597  dvdsrcl2  20629  dvdsrtr  20631  dvdsrmul1  20632  dvrcl  20667  dvrass  20671  rdivmuldivd  20676  irredrmul  20690  isdomn3  20999  isdomn4  21000  isdrng3lem2  21039  drngmcl  21042  isdrngd  21055  isdrngdOLD  21057  abvtrivd  21122  srngmul  21142  issrngd  21145  idsrngd  21146  ornglmulle  21157  orngrmulle  21158  ornglmullt  21159  orngrmullt  21160  orngmullt  21161  lmodmcl  21181  lmodprop2d  21232  rmodislmodlem  21237  prdslmodd  21277  sralmod  21495  qusrhm  21603  rhmpreimaidl  21604  qusmul2idl  21607  isprmidlc  21661  cmprmidlmcl  21664  qsidomlem1  21669  qsidomlem2  21670  freshmansdream  21913  frobrhm  21914  ascldimul  22229  psrvscacl  22292  psrlmod  22300  psrlidm  22302  psrridm  22303  psrdir  22306  psrcom  22308  mplmonmul  22378  mplmon2mul  22411  mplind  22412  evlslem2  22421  evlslem3  22422  evlslem6  22423  evlslem1  22424  mpfind  22457  evlsmulval  22472  psropprmul  22588  coe1mul2  22621  coe1tmmul2  22628  coe1tmmul  22629  evl1muld  22694  rhmply1vsca  22736  mamucl  22749  mamudi  22751  mamudir  22752  mamulid  22789  mamurid  22790  madetsmelbas  22812  madetsmelbas2  22813  mat1dimscm  22823  mat1dimmul  22824  mat1mhm  22832  dmatmul  22845  dmatmulcl  22848  scmatscmiddistr  22856  scmatscm  22861  scmatmulcl  22866  smatvscl  22872  scmatmhm  22882  mavmulcl  22895  mdetleib2  22936  mdetf  22943  mdetrlin  22950  mdetrsca2  22952  mdetralt  22956  mdetero  22958  mdetuni0  22969  mdetmul  22971  m2detleib  22979  madugsum  22991  madulid  22993  matunitlindflem1  23027  matunitlindflem2  23028  cpmatmcllem  23069  cpmatmcl  23070  mat2pmatmul  23082  decpmatmullem  23122  decpmatmul  23123  decpmatmulsumfsupp  23124  pm2mpmhmlem1  23169  pm2mpmhmlem2  23170  chfacfisf  23205  chfacfscmulgsum  23211  chfacfpmmulcl  23212  chfacfpmmulgsum  23215  chfacfpmmulgsum2  23216  cayhamlem1  23217  cpmadugsumlemF  23227  cayhamlem4  23239  nrgdsdi  25017  nrgdsdir  25018  nrginvrcnlem  25043  mdegmullem  26429  coe1mul3  26450  deg1mul2  26465  deg1mul3  26467  deg1mul3le  26468  ply1domn  26475  ply1divmo  26487  ply1divex  26488  uc1pmon1p  26503  r1pcl  26510  r1pid  26512  dvdsq1p  26514  dvdsr1p  26515  ply1rem  26517  dchrelbas3  27598  dchrmulcl  27609  dchrinv  27621  abvcxp  27975  rhmimaidl  34066  mxidlprm  34079  drgextlsp  34309  fedgmullem1  34344  fedgmullem2  34345  extdg1id  34381  mdetpmtr1  34538  lflnegcl  40335  lflvscl  40337  lkrlsp  40362  ldualvsass  40401  lclkrlem2m  42779  lclkrlem2o  42781  lclkrlem2p  42782  lcfrlem2  42803  lcfrlem3  42804  lcfrlem29  42831  mapdpglem30  42962  hdmapglem7  43189  mhphf  43829  hbtlem2  44329  mendlmod  44394  mendassa  44395  mon1psubm  44404  deg1mhm  44405  mnringmulrcld  45429  lidldomn1  49543  ply1mulgsum  49717  lincscm  49757  lincscmcl  49759  lincresunitlem2  49803  lmod1lem4  49817