Theorem ringcl 20395

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20384	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20284	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	mgpplusg 20283	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndcl 18850	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  ._rcmulr 17349  Mndcmnd 18842  mulGrpcmgp 20279  Ringcrg 20378

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mgp 20280  df-ring 20380

This theorem is used by:  ringcld  20402  ringnegl  20450  ringnegr  20451  ringmneg1  20452  ringmneg2  20453  mulgass2  20457  ringlghm  20460  ringrghm  20461  pwspjmhmmgpd  20474  imasring  20477  qusring2  20481  dvdsrcl2  20513  dvdsrtr  20515  dvdsrmul1  20516  dvrcl  20551  dvrass  20555  rdivmuldivd  20560  irredrmul  20574  isdomn3  20882  isdomn4  20883  isdrng3lem2  20921  drngmcl  20924  isdrngd  20937  isdrngdOLD  20939  abvtrivd  21004  srngmul  21024  issrngd  21027  idsrngd  21028  ornglmulle  21039  orngrmulle  21040  ornglmullt  21041  orngrmullt  21042  orngmullt  21043  lmodmcl  21063  lmodprop2d  21114  rmodislmodlem  21119  prdslmodd  21159  sralmod  21377  qusrhm  21484  rhmpreimaidl  21485  qusmul2idl  21487  isprmidlc  21541  cmprmidlmcl  21544  qsidomlem1  21549  qsidomlem2  21550  freshmansdream  21793  frobrhm  21794  ascldimul  22109  psrvscacl  22172  psrlmod  22180  psrlidm  22182  psrridm  22183  psrdir  22186  psrcom  22188  mplmonmul  22258  mplmon2mul  22291  mplind  22292  evlslem2  22301  evlslem3  22302  evlslem6  22303  evlslem1  22304  mpfind  22337  evlsmulval  22352  psropprmul  22468  coe1mul2  22501  coe1tmmul2  22508  coe1tmmul  22509  evl1muld  22574  rhmply1vsca  22616  mamucl  22629  mamudi  22631  mamudir  22632  mamulid  22669  mamurid  22670  madetsmelbas  22692  madetsmelbas2  22693  mat1dimscm  22703  mat1dimmul  22704  mat1mhm  22712  dmatmul  22725  dmatmulcl  22728  scmatscmiddistr  22736  scmatscm  22741  scmatmulcl  22746  smatvscl  22752  scmatmhm  22762  mavmulcl  22775  mdetleib2  22816  mdetf  22823  mdetrlin  22830  mdetrsca2  22832  mdetralt  22836  mdetero  22838  mdetuni0  22849  mdetmul  22851  m2detleib  22859  madugsum  22871  madulid  22873  matunitlindflem1  22907  matunitlindflem2  22908  cpmatmcllem  22949  cpmatmcl  22950  mat2pmatmul  22962  decpmatmullem  23002  decpmatmul  23003  decpmatmulsumfsupp  23004  pm2mpmhmlem1  23049  pm2mpmhmlem2  23050  chfacfisf  23085  chfacfscmulgsum  23091  chfacfpmmulcl  23092  chfacfpmmulgsum  23095  chfacfpmmulgsum2  23096  cayhamlem1  23097  cpmadugsumlemF  23107  cayhamlem4  23119  nrgdsdi  24897  nrgdsdir  24898  nrginvrcnlem  24923  mdegmullem  26310  coe1mul3  26331  deg1mul2  26346  deg1mul3  26348  deg1mul3le  26349  ply1domn  26356  ply1divmo  26368  ply1divex  26369  uc1pmon1p  26384  r1pcl  26391  r1pid  26393  dvdsq1p  26395  dvdsr1p  26396  ply1rem  26398  dchrelbas3  27482  dchrmulcl  27493  dchrinv  27505  abvcxp  27859  elrspunidl  33864  rhmimaidl  33868  mxidlprm  33881  drgextlsp  34112  fedgmullem1  34147  fedgmullem2  34148  fedgmul  34149  extdg1id  34184  mdetpmtr1  34341  lflnegcl  39956  lflvscl  39958  lkrlsp  39983  ldualvsass  40022  lclkrlem2m  42400  lclkrlem2o  42402  lclkrlem2p  42403  lcfrlem2  42424  lcfrlem3  42425  lcfrlem29  42452  mapdpglem30  42583  hdmapglem7  42810  mhphf  43451  hbtlem2  43973  mendlmod  44038  mendassa  44039  mon1psubm  44048  deg1mhm  44049  mnringmulrcld  45074  lidldomn1  49154  ply1mulgsum  49328  lincscm  49368  lincscmcl  49370  lincresunitlem2  49414  lmod1lem4  49428