Theorem ringcl 20185

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20174	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20080	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	mgpplusg 20079	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndcl 18667	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  Mndcmnd 18659  mulGrpcmgp 20075  Ringcrg 20168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mgp 20076  df-ring 20170

This theorem is referenced by:  ringcld  20195  ringnegl  20237  ringnegr  20238  ringmneg1  20239  ringmneg2  20240  mulgass2  20244  ringlghm  20247  ringrghm  20248  pwspjmhmmgpd  20263  imasring  20266  qusring2  20270  dvdsrcl2  20302  dvdsrtr  20304  dvdsrmul1  20305  dvrcl  20340  dvrass  20344  rdivmuldivd  20349  irredrmul  20363  isdomn3  20648  isdomn4  20649  drngmcl  20683  isdrngd  20698  isdrngdOLD  20700  abvtrivd  20765  srngmul  20785  issrngd  20788  idsrngd  20789  ornglmulle  20800  orngrmulle  20801  ornglmullt  20802  orngrmullt  20803  orngmullt  20804  lmodmcl  20824  lmodprop2d  20875  rmodislmodlem  20880  prdslmodd  20920  sralmod  21139  qusrhm  21231  rhmpreimaidl  21232  qusmul2idl  21234  freshmansdream  21529  frobrhm  21530  ascldimul  21844  psrvscacl  21907  psrlmod  21915  psrlidm  21917  psrridm  21918  psrdir  21921  psrcom  21923  mplmonmul  21991  mplmon2mul  22024  mplind  22025  evlslem2  22034  evlslem3  22035  evlslem6  22036  evlslem1  22037  mpfind  22070  psropprmul  22178  coe1mul2  22211  coe1tmmul2  22218  coe1tmmul  22219  evl1muld  22287  rhmply1vsca  22332  mamucl  22345  mamudi  22347  mamudir  22348  mamulid  22385  mamurid  22386  madetsmelbas  22408  madetsmelbas2  22409  mat1dimscm  22419  mat1dimmul  22420  mat1mhm  22428  dmatmul  22441  dmatmulcl  22444  scmatscmiddistr  22452  scmatscm  22457  scmatmulcl  22462  smatvscl  22468  scmatmhm  22478  mavmulcl  22491  mdetleib2  22532  mdetf  22539  mdetrlin  22546  mdetrsca2  22548  mdetralt  22552  mdetero  22554  mdetuni0  22565  mdetmul  22567  m2detleib  22575  madugsum  22587  madulid  22589  cpmatmcllem  22662  cpmatmcl  22663  mat2pmatmul  22675  decpmatmullem  22715  decpmatmul  22716  decpmatmulsumfsupp  22717  pm2mpmhmlem1  22762  pm2mpmhmlem2  22763  chfacfisf  22798  chfacfscmulgsum  22804  chfacfpmmulcl  22805  chfacfpmmulgsum  22808  chfacfpmmulgsum2  22809  cayhamlem1  22810  cpmadugsumlemF  22820  cayhamlem4  22832  nrgdsdi  24609  nrgdsdir  24610  nrginvrcnlem  24635  mdegmullem  26039  coe1mul3  26060  deg1mul2  26075  deg1mul3  26077  deg1mul3le  26078  ply1domn  26085  ply1divmo  26097  ply1divex  26098  uc1pmon1p  26113  r1pcl  26120  r1pid  26122  dvdsq1p  26124  dvdsr1p  26125  ply1rem  26127  dchrelbas3  27205  dchrmulcl  27216  dchrinv  27228  abvcxp  27582  elrspunidl  33509  rhmimaidl  33513  isprmidlc  33528  qsidomlem1  33533  qsidomlem2  33534  mxidlprm  33551  drgextlsp  33750  fedgmullem1  33786  fedgmullem2  33787  fedgmul  33788  extdg1id  33823  mdetpmtr1  33980  matunitlindflem1  37817  matunitlindflem2  37818  lflnegcl  39335  lflvscl  39337  lkrlsp  39362  ldualvsass  39401  lclkrlem2m  41779  lclkrlem2o  41781  lclkrlem2p  41782  lcfrlem2  41803  lcfrlem3  41804  lcfrlem29  41831  mapdpglem30  41962  hdmapglem7  42189  evlsmulval  42815  mhphf  42840  hbtlem2  43366  mendlmod  43431  mendassa  43432  mon1psubm  43441  deg1mhm  43442  mnringmulrcld  44469  lidldomn1  48477  ply1mulgsum  48636  lincscm  48676  lincscmcl  48678  lincresunitlem2  48722  lmod1lem4  48736