Theorem ringcl 20268

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20257	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20158	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	mgpplusg 20156	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndcl 18768	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl3an1 1162	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  Mndcmnd 18760  mulGrpcmgp 20152  Ringcrg 20251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mgp 20153  df-ring 20253

This theorem is referenced by:  ringcld  20277  ringnegl  20316  ringnegr  20317  ringmneg1  20318  ringmneg2  20319  mulgass2  20323  ringlghm  20326  ringrghm  20327  pwspjmhmmgpd  20342  imasring  20344  qusring2  20348  dvdsrcl2  20383  dvdsrtr  20385  dvdsrmul1  20386  dvrcl  20421  dvrass  20425  rdivmuldivd  20430  irredrmul  20444  isdomn3  20732  isdomn4  20733  drngmcl  20767  isdrngd  20782  isdrngdOLD  20784  abvtrivd  20850  srngmul  20870  issrngd  20873  idsrngd  20874  lmodmcl  20888  lmodprop2d  20939  rmodislmodlem  20944  prdslmodd  20985  sralmod  21212  qusrhm  21304  rhmpreimaidl  21305  qusmul2idl  21307  freshmansdream  21611  frobrhm  21612  ascldimul  21926  psrvscacl  21989  psrlmod  21998  psrlidm  22000  psrridm  22001  psrdir  22004  psrcom  22006  mplmonmul  22072  mplmon2mul  22111  mplind  22112  evlslem2  22121  evlslem3  22122  evlslem6  22123  evlslem1  22124  mpfind  22149  psropprmul  22255  coe1mul2  22288  coe1tmmul2  22295  coe1tmmul  22296  evl1muld  22363  rhmply1vsca  22408  mamucl  22421  mamudi  22423  mamudir  22424  mamulid  22463  mamurid  22464  madetsmelbas  22486  madetsmelbas2  22487  mat1dimscm  22497  mat1dimmul  22498  mat1mhm  22506  dmatmul  22519  dmatmulcl  22522  scmatscmiddistr  22530  scmatscm  22535  scmatmulcl  22540  smatvscl  22546  scmatmhm  22556  mavmulcl  22569  mdetleib2  22610  mdetf  22617  mdetrlin  22624  mdetrsca2  22626  mdetralt  22630  mdetero  22632  mdetuni0  22643  mdetmul  22645  m2detleib  22653  madugsum  22665  madulid  22667  cpmatmcllem  22740  cpmatmcl  22741  mat2pmatmul  22753  decpmatmullem  22793  decpmatmul  22794  decpmatmulsumfsupp  22795  pm2mpmhmlem1  22840  pm2mpmhmlem2  22841  chfacfisf  22876  chfacfscmulgsum  22882  chfacfpmmulcl  22883  chfacfpmmulgsum  22886  chfacfpmmulgsum2  22887  cayhamlem1  22888  cpmadugsumlemF  22898  cayhamlem4  22910  nrgdsdi  24702  nrgdsdir  24703  nrginvrcnlem  24728  mdegmullem  26132  coe1mul3  26153  deg1mul2  26168  deg1mul3  26170  deg1mul3le  26171  ply1domn  26178  ply1divmo  26190  ply1divex  26191  uc1pmon1p  26206  r1pcl  26213  r1pid  26215  dvdsq1p  26217  dvdsr1p  26218  ply1rem  26220  dchrelbas3  27297  dchrmulcl  27308  dchrinv  27320  abvcxp  27674  ornglmulle  33315  orngrmulle  33316  ornglmullt  33317  orngrmullt  33318  orngmullt  33319  elrspunidl  33436  rhmimaidl  33440  isprmidlc  33455  qsidomlem1  33460  qsidomlem2  33461  mxidlprm  33478  drgextlsp  33623  fedgmullem1  33657  fedgmullem2  33658  fedgmul  33659  extdg1id  33691  mdetpmtr1  33784  matunitlindflem1  37603  matunitlindflem2  37604  lflnegcl  39057  lflvscl  39059  lkrlsp  39084  ldualvsass  39123  lclkrlem2m  41502  lclkrlem2o  41504  lclkrlem2p  41505  lcfrlem2  41526  lcfrlem3  41527  lcfrlem29  41554  mapdpglem30  41685  hdmapglem7  41912  evlsmulval  42556  mhphf  42584  hbtlem2  43113  mendlmod  43178  mendassa  43179  mon1psubm  43188  deg1mhm  43189  mnringmulrcld  44224  lidldomn1  48075  ply1mulgsum  48236  lincscm  48276  lincscmcl  48278  lincresunitlem2  48322  lmod1lem4  48336