Theorem ringcl 20197

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20186	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20092	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	mgpplusg 20091	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndcl 18679	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl3an1 1164	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  Mndcmnd 18671  mulGrpcmgp 20087  Ringcrg 20180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mgp 20088  df-ring 20182

This theorem is referenced by:  ringcld  20207  ringnegl  20249  ringnegr  20250  ringmneg1  20251  ringmneg2  20252  mulgass2  20256  ringlghm  20259  ringrghm  20260  pwspjmhmmgpd  20275  imasring  20278  qusring2  20282  dvdsrcl2  20314  dvdsrtr  20316  dvdsrmul1  20317  dvrcl  20352  dvrass  20356  rdivmuldivd  20361  irredrmul  20375  isdomn3  20660  isdomn4  20661  drngmcl  20695  isdrngd  20710  isdrngdOLD  20712  abvtrivd  20777  srngmul  20797  issrngd  20800  idsrngd  20801  ornglmulle  20812  orngrmulle  20813  ornglmullt  20814  orngrmullt  20815  orngmullt  20816  lmodmcl  20836  lmodprop2d  20887  rmodislmodlem  20892  prdslmodd  20932  sralmod  21151  qusrhm  21243  rhmpreimaidl  21244  qusmul2idl  21246  freshmansdream  21541  frobrhm  21542  ascldimul  21856  psrvscacl  21919  psrlmod  21927  psrlidm  21929  psrridm  21930  psrdir  21933  psrcom  21935  mplmonmul  22003  mplmon2mul  22036  mplind  22037  evlslem2  22046  evlslem3  22047  evlslem6  22048  evlslem1  22049  mpfind  22082  psropprmul  22190  coe1mul2  22223  coe1tmmul2  22230  coe1tmmul  22231  evl1muld  22299  rhmply1vsca  22344  mamucl  22357  mamudi  22359  mamudir  22360  mamulid  22397  mamurid  22398  madetsmelbas  22420  madetsmelbas2  22421  mat1dimscm  22431  mat1dimmul  22432  mat1mhm  22440  dmatmul  22453  dmatmulcl  22456  scmatscmiddistr  22464  scmatscm  22469  scmatmulcl  22474  smatvscl  22480  scmatmhm  22490  mavmulcl  22503  mdetleib2  22544  mdetf  22551  mdetrlin  22558  mdetrsca2  22560  mdetralt  22564  mdetero  22566  mdetuni0  22577  mdetmul  22579  m2detleib  22587  madugsum  22599  madulid  22601  cpmatmcllem  22674  cpmatmcl  22675  mat2pmatmul  22687  decpmatmullem  22727  decpmatmul  22728  decpmatmulsumfsupp  22729  pm2mpmhmlem1  22774  pm2mpmhmlem2  22775  chfacfisf  22810  chfacfscmulgsum  22816  chfacfpmmulcl  22817  chfacfpmmulgsum  22820  chfacfpmmulgsum2  22821  cayhamlem1  22822  cpmadugsumlemF  22832  cayhamlem4  22844  nrgdsdi  24621  nrgdsdir  24622  nrginvrcnlem  24647  mdegmullem  26051  coe1mul3  26072  deg1mul2  26087  deg1mul3  26089  deg1mul3le  26090  ply1domn  26097  ply1divmo  26109  ply1divex  26110  uc1pmon1p  26125  r1pcl  26132  r1pid  26134  dvdsq1p  26136  dvdsr1p  26137  ply1rem  26139  dchrelbas3  27217  dchrmulcl  27228  dchrinv  27240  abvcxp  27594  elrspunidl  33520  rhmimaidl  33524  isprmidlc  33539  qsidomlem1  33544  qsidomlem2  33545  mxidlprm  33562  drgextlsp  33770  fedgmullem1  33806  fedgmullem2  33807  fedgmul  33808  extdg1id  33843  mdetpmtr1  34000  matunitlindflem1  37864  matunitlindflem2  37865  lflnegcl  39448  lflvscl  39450  lkrlsp  39475  ldualvsass  39514  lclkrlem2m  41892  lclkrlem2o  41894  lclkrlem2p  41895  lcfrlem2  41916  lcfrlem3  41917  lcfrlem29  41944  mapdpglem30  42075  hdmapglem7  42302  evlsmulval  42927  mhphf  42952  hbtlem2  43478  mendlmod  43543  mendassa  43544  mon1psubm  43553  deg1mhm  43554  mnringmulrcld  44581  lidldomn1  48588  ply1mulgsum  48747  lincscm  48787  lincscmcl  48789  lincresunitlem2  48833  lmod1lem4  48847