Theorem ringcl 20151

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20140	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20041	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	mgpplusg 20039	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndcl 18673	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl3an1 1162	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  ._rcmulr 17205  Mndcmnd 18665  mulGrpcmgp 20035  Ringcrg 20134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mgp 20036  df-ring 20136

This theorem is referenced by:  ringcld  20158  ringnegl  20197  ringnegr  20198  ringmneg1  20199  ringmneg2  20200  mulgass2  20204  ringlghm  20207  ringrghm  20208  pwspjmhmmgpd  20223  imasring  20225  qusring2  20229  dvdsrcl2  20264  dvdsrtr  20266  dvdsrmul1  20267  dvrcl  20302  dvrass  20306  rdivmuldivd  20311  irredrmul  20325  isdrngd  20616  isdrngdOLD  20618  abvtrivd  20679  srngmul  20697  issrngd  20700  idsrngd  20701  lmodmcl  20715  lmodprop2d  20766  rmodislmodlem  20771  prdslmodd  20812  sralmod  21043  qusrhm  21113  qusmul2  21114  isdomn4  21207  assa2ass  21728  ascldimul  21752  psrvscacl  21823  psrlmod  21832  psrlidm  21834  psrridm  21835  psrdi  21837  psrdir  21838  psrcom  21840  mplmonmul  21902  mplmon2mul  21941  mplind  21942  evlslem2  21953  evlslem3  21954  evlslem6  21955  evlslem1  21956  mpfind  21981  mhpmulcl  22001  psropprmul  22080  coe1mul2  22111  coe1tmmul2  22118  coe1tmmul  22119  evl1muld  22182  mamucl  22221  mamudi  22223  mamudir  22224  mamulid  22263  mamurid  22264  madetsmelbas  22286  madetsmelbas2  22287  mat1dimscm  22297  mat1dimmul  22298  mat1mhm  22306  dmatmul  22319  dmatmulcl  22322  scmatscmiddistr  22330  scmatscm  22335  scmatmulcl  22340  smatvscl  22346  scmatmhm  22356  mavmulcl  22369  mdetleib2  22410  mdetf  22417  mdetrlin  22424  mdetrsca2  22426  mdetralt  22430  mdetero  22432  mdetuni0  22443  mdetmul  22445  m2detleib  22453  madugsum  22465  madulid  22467  cpmatmcllem  22540  cpmatmcl  22541  mat2pmatmul  22553  decpmatmullem  22593  decpmatmul  22594  decpmatmulsumfsupp  22595  pm2mpmhmlem1  22640  pm2mpmhmlem2  22641  chfacfisf  22676  chfacfscmulgsum  22682  chfacfpmmulcl  22683  chfacfpmmulgsum  22686  chfacfpmmulgsum2  22687  cayhamlem1  22688  cpmadugsumlemF  22698  cayhamlem4  22710  nrgdsdi  24502  nrgdsdir  24503  nrginvrcnlem  24528  mdegmullem  25934  coe1mul3  25955  deg1mul2  25970  deg1mul3  25971  deg1mul3le  25972  ply1domn  25979  ply1divmo  25991  ply1divex  25992  uc1pmon1p  26007  r1pcl  26013  r1pid  26015  dvdsq1p  26016  dvdsr1p  26017  ply1rem  26019  dchrelbas3  27084  dchrmulcl  27095  dchrinv  27107  abvcxp  27461  freshmansdream  32817  frobrhm  32818  ornglmulle  32859  orngrmulle  32860  ornglmullt  32861  orngrmullt  32862  orngmullt  32863  qusmul  32955  rhmpreimaidl  32977  elrspunidl  32986  rhmimaidl  32990  isprmidlc  33006  qsidomlem1  33011  qsidomlem2  33012  mxidlprm  33026  drgextlsp  33134  fedgmullem1  33168  fedgmullem2  33169  fedgmul  33170  extdg1id  33196  mdetpmtr1  33267  matunitlindflem1  36948  matunitlindflem2  36949  lflnegcl  38409  lflvscl  38411  lkrlsp  38436  ldualvsass  38475  lclkrlem2m  40854  lclkrlem2o  40856  lclkrlem2p  40857  lcfrlem2  40878  lcfrlem3  40879  lcfrlem29  40906  mapdpglem30  41037  hdmapglem7  41264  evlsmulval  41604  mhphf  41632  prjspertr  41810  hbtlem2  42329  mendlmod  42398  mendassa  42399  isdomn3  42409  mon1psubm  42411  deg1mhm  42412  mnringmulrcld  43450  lidldomn1  47068  ply1mulgsum  47233  lincscm  47273  lincscmcl  47275  lincresunitlem2  47319  lmod1lem4  47333