Theorem ringcl 20390

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20379	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20279	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	mgpplusg 20278	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndcl 18845	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  ._rcmulr 17344  Mndcmnd 18837  mulGrpcmgp 20274  Ringcrg 20373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mgp 20275  df-ring 20375

This theorem is used by:  ringcld  20397  ringnegl  20445  ringnegr  20446  ringmneg1  20447  ringmneg2  20448  mulgass2  20452  ringlghm  20455  ringrghm  20456  pwspjmhmmgpd  20469  imasring  20472  qusring2  20476  dvdsrcl2  20508  dvdsrtr  20510  dvdsrmul1  20511  dvrcl  20546  dvrass  20550  rdivmuldivd  20555  irredrmul  20569  isdomn3  20877  isdomn4  20878  isdrng3lem2  20916  drngmcl  20919  isdrngd  20932  isdrngdOLD  20934  abvtrivd  20999  srngmul  21019  issrngd  21022  idsrngd  21023  ornglmulle  21034  orngrmulle  21035  ornglmullt  21036  orngrmullt  21037  orngmullt  21038  lmodmcl  21058  lmodprop2d  21109  rmodislmodlem  21114  prdslmodd  21154  sralmod  21372  qusrhm  21479  rhmpreimaidl  21480  qusmul2idl  21482  isprmidlc  21536  cmprmidlmcl  21539  qsidomlem1  21544  qsidomlem2  21545  freshmansdream  21788  frobrhm  21789  ascldimul  22104  psrvscacl  22167  psrlmod  22175  psrlidm  22177  psrridm  22178  psrdir  22181  psrcom  22183  mplmonmul  22253  mplmon2mul  22286  mplind  22287  evlslem2  22296  evlslem3  22297  evlslem6  22298  evlslem1  22299  mpfind  22332  evlsmulval  22347  psropprmul  22463  coe1mul2  22496  coe1tmmul2  22503  coe1tmmul  22504  evl1muld  22569  rhmply1vsca  22611  mamucl  22624  mamudi  22626  mamudir  22627  mamulid  22664  mamurid  22665  madetsmelbas  22687  madetsmelbas2  22688  mat1dimscm  22698  mat1dimmul  22699  mat1mhm  22707  dmatmul  22720  dmatmulcl  22723  scmatscmiddistr  22731  scmatscm  22736  scmatmulcl  22741  smatvscl  22747  scmatmhm  22757  mavmulcl  22770  mdetleib2  22811  mdetf  22818  mdetrlin  22825  mdetrsca2  22827  mdetralt  22831  mdetero  22833  mdetuni0  22844  mdetmul  22846  m2detleib  22854  madugsum  22866  madulid  22868  matunitlindflem1  22902  matunitlindflem2  22903  cpmatmcllem  22944  cpmatmcl  22945  mat2pmatmul  22957  decpmatmullem  22997  decpmatmul  22998  decpmatmulsumfsupp  22999  pm2mpmhmlem1  23044  pm2mpmhmlem2  23045  chfacfisf  23080  chfacfscmulgsum  23086  chfacfpmmulcl  23087  chfacfpmmulgsum  23090  chfacfpmmulgsum2  23091  cayhamlem1  23092  cpmadugsumlemF  23102  cayhamlem4  23114  nrgdsdi  24892  nrgdsdir  24893  nrginvrcnlem  24918  mdegmullem  26304  coe1mul3  26325  deg1mul2  26340  deg1mul3  26342  deg1mul3le  26343  ply1domn  26350  ply1divmo  26362  ply1divex  26363  uc1pmon1p  26378  r1pcl  26385  r1pid  26387  dvdsq1p  26389  dvdsr1p  26390  ply1rem  26392  dchrelbas3  27475  dchrmulcl  27486  dchrinv  27498  abvcxp  27852  elrspunidl  33857  rhmimaidl  33861  mxidlprm  33874  drgextlsp  34105  fedgmullem1  34140  fedgmullem2  34141  fedgmul  34142  extdg1id  34177  mdetpmtr1  34334  lflnegcl  39949  lflvscl  39951  lkrlsp  39976  ldualvsass  40015  lclkrlem2m  42393  lclkrlem2o  42395  lclkrlem2p  42396  lcfrlem2  42417  lcfrlem3  42418  lcfrlem29  42445  mapdpglem30  42576  hdmapglem7  42803  mhphf  43444  hbtlem2  43966  mendlmod  44031  mendassa  44032  mon1psubm  44041  deg1mhm  44042  mnringmulrcld  45067  lidldomn1  49147  ply1mulgsum  49321  lincscm  49361  lincscmcl  49363  lincresunitlem2  49407  lmod1lem4  49421