Theorem ringcl 20153

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20142	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20048	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	mgpplusg 20047	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndcl 18634	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180  Mndcmnd 18626  mulGrpcmgp 20043  Ringcrg 20136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mgp 20044  df-ring 20138

This theorem is referenced by:  ringcld  20163  ringnegl  20205  ringnegr  20206  ringmneg1  20207  ringmneg2  20208  mulgass2  20212  ringlghm  20215  ringrghm  20216  pwspjmhmmgpd  20231  imasring  20233  qusring2  20237  dvdsrcl2  20269  dvdsrtr  20271  dvdsrmul1  20272  dvrcl  20307  dvrass  20311  rdivmuldivd  20316  irredrmul  20330  isdomn3  20618  isdomn4  20619  drngmcl  20653  isdrngd  20668  isdrngdOLD  20670  abvtrivd  20735  srngmul  20755  issrngd  20758  idsrngd  20759  ornglmulle  20770  orngrmulle  20771  ornglmullt  20772  orngrmullt  20773  orngmullt  20774  lmodmcl  20794  lmodprop2d  20845  rmodislmodlem  20850  prdslmodd  20890  sralmod  21109  qusrhm  21201  rhmpreimaidl  21202  qusmul2idl  21204  freshmansdream  21499  frobrhm  21500  ascldimul  21813  psrvscacl  21876  psrlmod  21885  psrlidm  21887  psrridm  21888  psrdir  21891  psrcom  21893  mplmonmul  21959  mplmon2mul  21992  mplind  21993  evlslem2  22002  evlslem3  22003  evlslem6  22004  evlslem1  22005  mpfind  22030  psropprmul  22138  coe1mul2  22171  coe1tmmul2  22178  coe1tmmul  22179  evl1muld  22246  rhmply1vsca  22291  mamucl  22304  mamudi  22306  mamudir  22307  mamulid  22344  mamurid  22345  madetsmelbas  22367  madetsmelbas2  22368  mat1dimscm  22378  mat1dimmul  22379  mat1mhm  22387  dmatmul  22400  dmatmulcl  22403  scmatscmiddistr  22411  scmatscm  22416  scmatmulcl  22421  smatvscl  22427  scmatmhm  22437  mavmulcl  22450  mdetleib2  22491  mdetf  22498  mdetrlin  22505  mdetrsca2  22507  mdetralt  22511  mdetero  22513  mdetuni0  22524  mdetmul  22526  m2detleib  22534  madugsum  22546  madulid  22548  cpmatmcllem  22621  cpmatmcl  22622  mat2pmatmul  22634  decpmatmullem  22674  decpmatmul  22675  decpmatmulsumfsupp  22676  pm2mpmhmlem1  22721  pm2mpmhmlem2  22722  chfacfisf  22757  chfacfscmulgsum  22763  chfacfpmmulcl  22764  chfacfpmmulgsum  22767  chfacfpmmulgsum2  22768  cayhamlem1  22769  cpmadugsumlemF  22779  cayhamlem4  22791  nrgdsdi  24569  nrgdsdir  24570  nrginvrcnlem  24595  mdegmullem  25999  coe1mul3  26020  deg1mul2  26035  deg1mul3  26037  deg1mul3le  26038  ply1domn  26045  ply1divmo  26057  ply1divex  26058  uc1pmon1p  26073  r1pcl  26080  r1pid  26082  dvdsq1p  26084  dvdsr1p  26085  ply1rem  26087  dchrelbas3  27165  dchrmulcl  27176  dchrinv  27188  abvcxp  27542  elrspunidl  33378  rhmimaidl  33382  isprmidlc  33397  qsidomlem1  33402  qsidomlem2  33403  mxidlprm  33420  drgextlsp  33568  fedgmullem1  33604  fedgmullem2  33605  fedgmul  33606  extdg1id  33640  mdetpmtr1  33792  matunitlindflem1  37598  matunitlindflem2  37599  lflnegcl  39056  lflvscl  39058  lkrlsp  39083  ldualvsass  39122  lclkrlem2m  41501  lclkrlem2o  41503  lclkrlem2p  41504  lcfrlem2  41525  lcfrlem3  41526  lcfrlem29  41553  mapdpglem30  41684  hdmapglem7  41911  evlsmulval  42545  mhphf  42573  hbtlem2  43100  mendlmod  43165  mendassa  43166  mon1psubm  43175  deg1mhm  43176  mnringmulrcld  44204  lidldomn1  48219  ply1mulgsum  48379  lincscm  48419  lincscmcl  48421  lincresunitlem2  48465  lmod1lem4  48479