Theorem ringcl 20229

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20218	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20124	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	mgpplusg 20123	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndcl 18708	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl3an1 1169	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219  Mndcmnd 18700  mulGrpcmgp 20119  Ringcrg 20212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mgp 20120  df-ring 20214

This theorem is referenced by:  ringcld  20239  ringnegl  20281  ringnegr  20282  ringmneg1  20283  ringmneg2  20284  mulgass2  20288  ringlghm  20291  ringrghm  20292  pwspjmhmmgpd  20305  imasring  20308  qusring2  20312  dvdsrcl2  20344  dvdsrtr  20346  dvdsrmul1  20347  dvrcl  20382  dvrass  20386  rdivmuldivd  20391  irredrmul  20405  isdomn3  20694  isdomn4  20695  drngmcl  20729  isdrngd  20744  isdrngdOLD  20746  abvtrivd  20811  srngmul  20831  issrngd  20834  idsrngd  20835  ornglmulle  20846  orngrmulle  20847  ornglmullt  20848  orngrmullt  20849  orngmullt  20850  lmodmcl  20870  lmodprop2d  20921  rmodislmodlem  20926  prdslmodd  20966  sralmod  21184  qusrhm  21276  rhmpreimaidl  21277  qusmul2idl  21279  freshmansdream  21556  frobrhm  21557  ascldimul  21870  psrvscacl  21933  psrlmod  21941  psrlidm  21943  psrridm  21944  psrdir  21947  psrcom  21949  mplmonmul  22019  mplmon2mul  22052  mplind  22053  evlslem2  22062  evlslem3  22063  evlslem6  22064  evlslem1  22065  mpfind  22098  evlsmulval  22113  psropprmul  22229  coe1mul2  22262  coe1tmmul2  22269  coe1tmmul  22270  evl1muld  22336  rhmply1vsca  22378  mamucl  22391  mamudi  22393  mamudir  22394  mamulid  22431  mamurid  22432  madetsmelbas  22454  madetsmelbas2  22455  mat1dimscm  22465  mat1dimmul  22466  mat1mhm  22474  dmatmul  22487  dmatmulcl  22490  scmatscmiddistr  22498  scmatscm  22503  scmatmulcl  22508  smatvscl  22514  scmatmhm  22524  mavmulcl  22537  mdetleib2  22578  mdetf  22585  mdetrlin  22592  mdetrsca2  22594  mdetralt  22598  mdetero  22600  mdetuni0  22611  mdetmul  22613  m2detleib  22621  madugsum  22633  madulid  22635  cpmatmcllem  22708  cpmatmcl  22709  mat2pmatmul  22721  decpmatmullem  22761  decpmatmul  22762  decpmatmulsumfsupp  22763  pm2mpmhmlem1  22808  pm2mpmhmlem2  22809  chfacfisf  22844  chfacfscmulgsum  22850  chfacfpmmulcl  22851  chfacfpmmulgsum  22854  chfacfpmmulgsum2  22855  cayhamlem1  22856  cpmadugsumlemF  22866  cayhamlem4  22878  nrgdsdi  24655  nrgdsdir  24656  nrginvrcnlem  24681  mdegmullem  26068  coe1mul3  26089  deg1mul2  26104  deg1mul3  26106  deg1mul3le  26107  ply1domn  26114  ply1divmo  26126  ply1divex  26127  uc1pmon1p  26142  r1pcl  26149  r1pid  26151  dvdsq1p  26153  dvdsr1p  26154  ply1rem  26156  dchrelbas3  27226  dchrmulcl  27237  dchrinv  27249  abvcxp  27603  elrspunidl  33518  rhmimaidl  33522  isprmidlc  33537  qsidomlem1  33542  qsidomlem2  33543  mxidlprm  33560  drgextlsp  33785  fedgmullem1  33820  fedgmullem2  33821  fedgmul  33822  extdg1id  33857  mdetpmtr1  34014  matunitlindflem1  37990  matunitlindflem2  37991  lflnegcl  39574  lflvscl  39576  lkrlsp  39601  ldualvsass  39640  lclkrlem2m  42018  lclkrlem2o  42020  lclkrlem2p  42021  lcfrlem2  42042  lcfrlem3  42043  lcfrlem29  42070  mapdpglem30  42201  hdmapglem7  42428  mhphf  43054  hbtlem2  43576  mendlmod  43641  mendassa  43642  mon1psubm  43651  deg1mhm  43652  mnringmulrcld  44679  lidldomn1  48729  ply1mulgsum  48888  lincscm  48928  lincscmcl  48930  lincresunitlem2  48974  lmod1lem4  48988