MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringdi 20081
Description: Distributive law for the multiplication operation of a ring (left-distributivity). (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
ringdi.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringdi.p + = (+gโ€˜๐‘…)
ringdi.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
ringdi ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Œ + ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) + (๐‘‹ ยท ๐‘)))

Proof of Theorem ringdi
StepHypRef Expression
1 ringdi.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
2 ringdi.p . . 3 + = (+gโ€˜๐‘…)
3 ringdi.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
41, 2, 3ringdilem 20072 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐‘Œ + ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) + (๐‘‹ ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘‹ + ๐‘Œ) ยท ๐‘) = ((๐‘‹ ยท ๐‘) + (๐‘Œ ยท ๐‘))))
54simpld 496 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Œ + ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) + (๐‘‹ ยท ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  Ringcrg 20056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-nul 5307
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412  df-ring 20058
This theorem is referenced by:  ringcomlem  20096  ringrz  20108  ringnegr  20115  ringsubdi  20119  ringlghm  20124  prdsringd  20134  imasring  20143  opprring  20161  issubrg2  20339  cntzsubr  20353  sralmod  20809  psrlmod  21521  psrdi  21526  mamudir  21904  mdetrlin  22104  mdetuni0  22123  ply1divex  25654  lfladdcl  37941  lflvsdi2  37949  dvhlveclem  39979
  Copyright terms: Public domain W3C validator