Theorem ringdir 20178

Description: Distributive law for the multiplication operation of a ring (right-distributivity). (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringdi.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
ringdi.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringdir	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem ringdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringdi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringdi.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		ringdi.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	ringdilem 20165	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))
5	4	simprd 495	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  Ringcrg 20149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-nul 5264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-iota 6467  df-fv 6522  df-ov 7393  df-ring 20151

This theorem is referenced by:  ringdird  20180  ringo2times  20191  ringcomlem  20195  ringnegl  20218  mulgass2  20225  ringrghm  20229  prdsringd  20237  imasring  20246  dvrdir  20328  issubrg2  20508  cntzsubr  20522  sralmod  21101  frlmphl  21697  psrlmod  21876  psrdir  21882  evlslem1  21996  mamudi  22297  mdetrlin  22496  rlocaddval  33226  mxidlprm  33448  q1pdir  33575  r1pcyc  33579  lflvscl  39077  lflvsdi1  39078  dvhlveclem  41109