Theorem ringdir 20171

Description: Distributive law for the multiplication operation of a ring (right-distributivity). (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringdi.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
ringdi.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringdir	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem ringdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringdi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringdi.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		ringdi.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	ringdilem 20158	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))
5	4	simprd 495	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  Ringcrg 20142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-nul 5261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-iota 6464  df-fv 6519  df-ov 7390  df-ring 20144

This theorem is referenced by:  ringdird  20173  ringo2times  20184  ringcomlem  20188  ringnegl  20211  mulgass2  20218  ringrghm  20222  prdsringd  20230  imasring  20239  dvrdir  20321  issubrg2  20501  cntzsubr  20515  sralmod  21094  frlmphl  21690  psrlmod  21869  psrdir  21875  evlslem1  21989  mamudi  22290  mdetrlin  22489  rlocaddval  33219  mxidlprm  33441  q1pdir  33568  r1pcyc  33572  lflvscl  39070  lflvsdi1  39071  dvhlveclem  41102