MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringdir 19996
Description: Distributive law for the multiplication operation of a ring (right-distributivity). (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
ringdi.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringdi.p + = (+gโ€˜๐‘…)
ringdi.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
ringdir ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ + ๐‘Œ) ยท ๐‘) = ((๐‘‹ ยท ๐‘) + (๐‘Œ ยท ๐‘)))

Proof of Theorem ringdir
StepHypRef Expression
1 ringdi.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
2 ringdi.p . . 3 + = (+gโ€˜๐‘…)
3 ringdi.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
41, 2, 3ringdilem 19988 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐‘Œ + ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) + (๐‘‹ ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘‹ + ๐‘Œ) ยท ๐‘) = ((๐‘‹ ยท ๐‘) + (๐‘Œ ยท ๐‘))))
54simprd 497 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ + ๐‘Œ) ยท ๐‘) = ((๐‘‹ ยท ๐‘) + (๐‘Œ ยท ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  Ringcrg 19972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-nul 5267
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-iota 6452  df-fv 6508  df-ov 7364  df-ring 19974
This theorem is referenced by:  ringo2times  20004  ringcomlem  20008  ringlz  20019  ringnegl  20026  ringsubdir  20032  mulgass2  20033  ringrghm  20037  prdsringd  20044  imasring  20053  opprring  20068  dvrdir  20131  issubrg2  20284  cntzsubr  20298  sralmod  20701  frlmphl  21210  psrlmod  21393  psrdir  21399  evlslem1  21515  mamudi  21773  mdetrlin  21974  mxidlprm  32292  lflvscl  37589  lflvsdi1  37590  dvhlveclem  39621  lidlrng  46315
  Copyright terms: Public domain W3C validator