MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringdir 19815
Description: Distributive law for the multiplication operation of a ring (right-distributivity). (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
ringdi.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringdi.p + = (+g𝑅)
ringdi.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringdir ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem ringdir
StepHypRef Expression
1 ringdi.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 ringdi.p . . 3 + = (+g𝑅)
3 ringdi.t . . 3 · = (.r𝑅)
41, 2, 3ringi 19808 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))
54simprd 496 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  cfv 6437  (class class class)co 7284  Basecbs 16921  +gcplusg 16971  .rcmulr 16972  Ringcrg 19792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-nul 5231
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-iota 6395  df-fv 6445  df-ov 7287  df-ring 19794
This theorem is referenced by:  ringadd2  19823  rngo2times  19824  ringcom  19827  ringlz  19835  ringnegl  19842  rngsubdir  19848  mulgass2  19849  ringrghm  19853  prdsringd  19860  imasring  19867  opprring  19882  issubrg2  20053  cntzsubr  20066  sralmod  20466  frlmphl  20997  psrlmod  21179  psrdir  21185  evlslem1  21301  mamudi  21559  mdetrlin  21760  dvrdir  31496  mxidlprm  31649  lflvscl  37098  lflvsdi1  37099  dvhlveclem  39129  lidlrng  45496
  Copyright terms: Public domain W3C validator