Theorem rrextcusp 34182

Description: An extension of ℝ is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rrextcusp	⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ CUnifSp)

Proof of Theorem rrextcusp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℤMod‘𝑅) = (ℤMod‘𝑅)
4	1, 2, 3	isrrext 34177	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt ↔ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑅 ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))))
5	4	simp3bi 1148	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (𝑅 ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))))
6	5	simpld 494	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ CUnifSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   × cxp 5630   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  0cc0 11038  Basecbs 17148  distcds 17198  DivRingcdr 20674  metUnifcmetu 21312  ℤModczlm 21467  chrcchr 21468  UnifStcuss 24209  CUnifSpccusp 24252  NrmRingcnrg 24535  NrmModcnlm 24536   ℝExt crrext 34171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-res 5644  df-iota 6456  df-fv 6508  df-rrext 34176

This theorem is referenced by:  rrhfe  34189  rrhcne  34190  sitgclg  34519