Theorem rrextcusp 34162

Description: An extension of ℝ is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rrextcusp	⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ CUnifSp)

Proof of Theorem rrextcusp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (ℤMod‘𝑅) = (ℤMod‘𝑅)
4	1, 2, 3	isrrext 34157	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt ↔ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑅 ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))))
5	4	simp3bi 1147	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (𝑅 ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))))
6	5	simpld 494	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ CUnifSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   × cxp 5622   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  0cc0 11026  Basecbs 17136  distcds 17186  DivRingcdr 20662  metUnifcmetu 21300  ℤModczlm 21455  chrcchr 21456  UnifStcuss 24197  CUnifSpccusp 24240  NrmRingcnrg 24523  NrmModcnlm 24524   ℝExt crrext 34151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-res 5636  df-iota 6448  df-fv 6500  df-rrext 34156

This theorem is referenced by:  rrhfe  34169  rrhcne  34170  sitgclg  34499