Theorem rrextcusp 34312

Description: An extension of ℝ is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rrextcusp	⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ CUnifSp)

Proof of Theorem rrextcusp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (ℤMod‘𝑅) = (ℤMod‘𝑅)
4	1, 2, 3	isrrext 34307	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt ↔ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑅 ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))))
5	4	simp3bi 1163	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (𝑅 ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))))
6	5	simpld 499	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ CUnifSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   × cxp 5650   ↾ cres 5654  ‘cfv 6525  0cc0 11088  Basecbs 17259  distcds 17309  DivRingcdr 20804  metUnifcmetu 21473  ℤModczlm 21610  chrcchr 21611  UnifStcuss 24371  CUnifSpccusp 24414  NrmRingcnrg 24697  NrmModcnlm 24698   ℝExt crrext 34301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-xp 5658  df-res 5664  df-iota 6481  df-fv 6533  df-rrext 34306

This theorem is referenced by:  rrhfe  34319  rrhcne  34320  sitgclg  34649