Theorem rrextcusp 33971

Description: An extension of ℝ is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rrextcusp	⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ CUnifSp)

Proof of Theorem rrextcusp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (ℤMod‘𝑅) = (ℤMod‘𝑅)
4	1, 2, 3	isrrext 33966	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt ↔ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑅 ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))))
5	4	simp3bi 1147	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (𝑅 ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))))
6	5	simpld 494	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ CUnifSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   × cxp 5621   ↾ cres 5625  ‘cfv 6486  0cc0 11028  Basecbs 17138  distcds 17188  DivRingcdr 20632  metUnifcmetu 21270  ℤModczlm 21425  chrcchr 21426  UnifStcuss 24157  CUnifSpccusp 24200  NrmRingcnrg 24483  NrmModcnlm 24484   ℝExt crrext 33960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-xp 5629  df-res 5635  df-iota 6442  df-fv 6494  df-rrext 33965

This theorem is referenced by:  rrhfe  33978  rrhcne  33979  sitgclg  34309