Theorem sitgclg 34448

Description: Closure of the Bochner integral on simple functions, generic version. See sitgclbn 34449 for the version for Banach spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s	⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
sitgval.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
sitgval.h	⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
sitgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sibfmbl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgclg.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
sitgclg.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
sitgclg.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
sitgclg.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CMnd)
sitgclg.3	⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
sitgclg.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sitgclg	⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝑥,𝐹   𝑚,𝐻   𝑥,𝑚,𝑀   𝑆,𝑚   𝑚,𝑊,𝑥   0 ,𝑚,𝑥   · ,𝑚   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵   𝑚,𝐹   𝑚,𝐺   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑚)   𝑆(𝑥)   · (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑚)   𝑉(𝑥,𝑚)

Proof of Theorem sitgclg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sitgval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		sitgval.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3		sitgval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4		sitgval.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		sitgval.x	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		sitgval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7		sitgval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
8		sitgval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
9		sibfmbl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	sitgfval 34447	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) = (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))))
11		sitgclg.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CMnd)
12		rnexg 7842	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) → ran 𝐹 ∈ V)
13		difexg 5272	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ V)
14	9, 12, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ V)
15		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → 𝜑)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	sibfima 34444	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → (𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))
17		sitgclg.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
18		sitgclg.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
19	18	fveq2i 6835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘(Scalar‘𝑊))
20	18	fveq2i 6835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
21	20, 20	xpeq12i 5650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) = ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	19, 21	reseq12i 5934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) = ((dist‘(Scalar‘𝑊)) ↾ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊))))
23	17, 22	eqtri 2757	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = ((dist‘(Scalar‘𝑊)) ↾ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊))))
24		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
25		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
26	18	fveq2i 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))
27	18	fveq2i 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤMod‘𝐺) = (ℤMod‘(Scalar‘𝑊))
28		sitgclg.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
29	18, 28	eqeltrid 2838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝExt )
30		rrextdrg 34108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ℝExt → 𝐺 ∈ DivRing)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ DivRing)
32	18, 31	eqeltrrid 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
33		rrextnrg 34107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ℝExt → 𝐺 ∈ NrmRing)
34	29, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ NrmRing)
35	18, 34	eqeltrrid 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
36		eqid 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤMod‘𝐺) = (ℤMod‘𝐺)
37	36	rrextnlm 34109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ ℝExt → (ℤMod‘𝐺) ∈ NrmMod)
38	29, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℤMod‘𝐺) ∈ NrmMod)
39	18	fveq2i 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (chr‘𝐺) = (chr‘(Scalar‘𝑊))
40		rrextchr 34110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ℝExt → (chr‘𝐺) = 0)
41	29, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝐺) = 0)
42	39, 41	eqtr3id 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (chr‘(Scalar‘𝑊)) = 0)
43		rrextcusp 34111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ℝExt → 𝐺 ∈ CUnifSp)
44	29, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CUnifSp)
45	18, 44	eqeltrrid 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ CUnifSp)
46	18	fveq2i 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (UnifSt‘𝐺) = (UnifSt‘(Scalar‘𝑊))
47		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
48	47, 17	rrextust 34114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ℝExt → (UnifSt‘𝐺) = (metUnif‘𝐷))
49	29, 48	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (UnifSt‘𝐺) = (metUnif‘𝐷))
50	46, 49	eqtr3id 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (UnifSt‘(Scalar‘𝑊)) = (metUnif‘𝐷))
51	23, 24, 25, 26, 27, 32, 35, 38, 42, 45, 50	rrhf 34104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
52	6	feq1i 6651	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
53	51, 52	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
54	53	ffund 6664	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐻)
55		rge0ssre 13370	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
56	53	fdmd 6670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝐻 = ℝ)
57	55, 56	sseqtrrid 3975	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ dom 𝐻)
58		funfvima2 7175	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐻 ∧ (0[,)+∞) ⊆ dom 𝐻) → ((𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞) → (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))))
59	54, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞) → (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))))
60	15, 16, 59	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
61		dmmeas 34307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ∪ ran measures → dom 𝑀 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
62	8, 61	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
63	2	fvexi 6846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐽 ∈ V
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
65	64	sgsiga 34248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
66	3, 65	eqeltrid 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
67	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	sibfmbl 34441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
68	62, 66, 67	mbfmf 34360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ dom 𝑀⟶∪ 𝑆)
69	68	frnd 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
70	3	unieqi 4873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ (sigaGen‘𝐽)
71		unisg 34249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ V → ∪ (sigaGen‘𝐽) = ∪ 𝐽)
72	63, 71	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ (sigaGen‘𝐽) = ∪ 𝐽)
73	70, 72	eqtrid 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ 𝐽)
74		sitgclg.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
75	1, 2	tpsuni 22878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp → 𝐵 = ∪ 𝐽)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐽)
77	73, 76	eqtr4d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = 𝐵)
78	69, 77	sseqtrd 3968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
79	78	ssdifd 4095	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }))
80	79	sselda 3931	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
81	80	eldifad 3911	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝐵)
82		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
83		eleq1 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) → (𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ↔ (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))))
84	83	3anbi2d 1443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) → ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))
85		oveq1 7363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) → (𝑚 · 𝑥) = ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))
86	85	eleq1d 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵))
87	84, 86	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) → (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵)))
88		sitgclg.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵)
89	87, 88	vtoclg 3509	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) → ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵))
90	82, 89	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵)
91	15, 60, 81, 90	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵)
92	91	fmpttd 7058	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)):(ran 𝐹 ∖ { 0 })⟶𝐵)
93		mptexg 7165	. . . . . 6 ⊢ ((ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ V → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ∈ V)
94	14, 93	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ∈ V)
95	4	fvexi 6846	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
96		suppimacnv 8114	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) supp 0 ) = (◡(𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })))
97	94, 95, 96	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) supp 0 ) = (◡(𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })))
98	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	sibfrn 34443	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
99		cnvimass 6039	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ dom (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))
100		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))
101	100	dmmptss 6197	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ⊆ (ran 𝐹 ∖ { 0 })
102	99, 101	sstri 3941	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ (ran 𝐹 ∖ { 0 })
103		difss 4086	. . . . . 6 ⊢ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ ran 𝐹
104	102, 103	sstri 3941	. . . . 5 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝐹
105		ssfi 9095	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (◡(𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝐹) → (◡(𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ∈ Fin)
106	98, 104, 105	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ∈ Fin)
107	97, 106	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) supp 0 ) ∈ Fin)
108	1, 4, 11, 14, 92, 107	gsumcl2 19841	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))) ∈ 𝐵)
109	10, 108	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4578  ∪ cuni 4861   ↦ cmpt 5177   × cxp 5620  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622  ran crn 5623   ↾ cres 5624   “ cima 5625  Fun wfun 6484  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   supp csupp 8100  Fincfn 8881  ℝcr 11023  0cc0 11024  +∞cpnf 11161  (,)cioo 13259  [,)cico 13261  Basecbs 17134  Scalarcsca 17178   ·_𝑠 cvsca 17179  distcds 17184  TopOpenctopn 17339  topGenctg 17355  0_gc0g 17357   Σ_g cgsu 17358  CMndccmn 19707  DivRingcdr 20660  metUnifcmetu 21298  ℤModczlm 21453  chrcchr 21454  TopSpctps 22874  UnifStcuss 24195  CUnifSpccusp 24238  NrmRingcnrg 24521  NrmModcnlm 24522  ℝHomcrrh 34099   ℝExt crrext 34100  sigAlgebracsiga 34214  sigaGencsigagen 34244  measurescmeas 34301  sitgcsitg 34435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103  ax-mulf 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-dvds 16178  df-gcd 16420  df-numer 16660  df-denom 16661  df-gz 16856  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-od 19455  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-dvr 20335  df-rhm 20406  df-nzr 20444  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-drng 20662  df-abv 20740  df-lmod 20811  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-metu 21306  df-cnfld 21308  df-zring 21400  df-zrh 21456  df-zlm 21457  df-chr 21458  df-refld 21558  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-haus 23257  df-reg 23258  df-cmp 23329  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-fcls 23883  df-cnext 24002  df-ust 24143  df-utop 24173  df-uss 24198  df-usp 24199  df-ucn 24217  df-cfilu 24228  df-cusp 24239  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-nm 24524  df-ngp 24525  df-nrg 24527  df-nlm 24528  df-cncf 24825  df-cfil 25209  df-cmet 25211  df-cms 25289  df-qqh 34077  df-rrh 34101  df-rrext 34105  df-esum 34134  df-siga 34215  df-sigagen 34245  df-meas 34302  df-mbfm 34356  df-sitg 34436

This theorem is referenced by:  sitgclbn  34449  sitmcl  34457