Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitgclg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitgclg 33341
Description: Closure of the Bochner integral on simple functions, generic version. See sitgclbn 33342 for the version for Banach spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
sitgval.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
sitgval.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
sitgval.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
sitgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
sibfmbl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
sitgclg.g 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘Š)
sitgclg.d 𝐷 = ((distβ€˜πΊ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
sitgclg.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
sitgclg.2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ CMnd)
sitgclg.3 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ ℝExt )
sitgclg.4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘š Β· π‘₯) ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
sitgclg (πœ‘ β†’ ((π‘Šsitg𝑀)β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
Distinct variable groups:   𝐡,π‘š   π‘₯,𝐹   π‘š,𝐻   π‘₯,π‘š,𝑀   𝑆,π‘š   π‘š,π‘Š,π‘₯   0 ,π‘š,π‘₯   Β· ,π‘š   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐡   π‘š,𝐹   π‘š,𝐺   πœ‘,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,π‘š)   𝑆(π‘₯)   Β· (π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐻(π‘₯)   𝐽(π‘₯,π‘š)   𝑉(π‘₯,π‘š)

Proof of Theorem sitgclg
StepHypRef Expression
1 sitgval.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 sitgval.j . . 3 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
3 sitgval.s . . 3 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
4 sitgval.0 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Š)
5 sitgval.x . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
6 sitgval.h . . 3 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
7 sitgval.1 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
8 sitgval.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
9 sibfmbl.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sitgfval 33340 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘Šsitg𝑀)β€˜πΉ) = (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))))
11 sitgclg.2 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ CMnd)
12 rnexg 7895 . . . 4 (𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) β†’ ran 𝐹 ∈ V)
13 difexg 5328 . . . 4 (ran 𝐹 ∈ V β†’ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ∈ V)
149, 12, 133syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ∈ V)
15 simpl 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })) β†’ πœ‘)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sibfima 33337 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))
17 sitgclg.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = ((distβ€˜πΊ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
18 sitgclg.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘Š)
1918fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . 12 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
2018fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
2120, 20xpeq12i 5705 . . . . . . . . . . . 12 ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) Γ— (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2219, 21reseq12i 5980 . . . . . . . . . . 11 ((distβ€˜πΊ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))) = ((distβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†Ύ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) Γ— (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
2317, 22eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 𝐷 = ((distβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†Ύ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) Γ— (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
24 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
25 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
2618fveq2i 6895 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜πΊ) = (TopOpenβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
2718fveq2i 6895 . . . . . . . . . 10 (β„€Modβ€˜πΊ) = (β„€Modβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
28 sitgclg.3 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ ℝExt )
2918, 28eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ℝExt )
30 rrextdrg 32982 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt β†’ 𝐺 ∈ DivRing)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ DivRing)
3218, 31eqeltrrid 2839 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
33 rrextnrg 32981 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt β†’ 𝐺 ∈ NrmRing)
3429, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ NrmRing)
3518, 34eqeltrrid 2839 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NrmRing)
36 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (β„€Modβ€˜πΊ) = (β„€Modβ€˜πΊ)
3736rrextnlm 32983 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ ℝExt β†’ (β„€Modβ€˜πΊ) ∈ NrmMod)
3829, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β„€Modβ€˜πΊ) ∈ NrmMod)
3918fveq2i 6895 . . . . . . . . . . 11 (chrβ€˜πΊ) = (chrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
40 rrextchr 32984 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt β†’ (chrβ€˜πΊ) = 0)
4129, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (chrβ€˜πΊ) = 0)
4239, 41eqtr3id 2787 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (chrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = 0)
43 rrextcusp 32985 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt β†’ 𝐺 ∈ CUnifSp)
4429, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CUnifSp)
4518, 44eqeltrrid 2839 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CUnifSp)
4618fveq2i 6895 . . . . . . . . . . 11 (UnifStβ€˜πΊ) = (UnifStβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
47 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
4847, 17rrextust 32988 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt β†’ (UnifStβ€˜πΊ) = (metUnifβ€˜π·))
4929, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (UnifStβ€˜πΊ) = (metUnifβ€˜π·))
5046, 49eqtr3id 2787 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (UnifStβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (metUnifβ€˜π·))
5123, 24, 25, 26, 27, 32, 35, 38, 42, 45, 50rrhf 32978 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)):β„βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
526feq1i 6709 . . . . . . . . 9 (𝐻:β„βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)):β„βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5351, 52sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5453ffund 6722 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun 𝐻)
55 rge0ssre 13433 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
5653fdmd 6729 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom 𝐻 = ℝ)
5755, 56sseqtrrid 4036 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0[,)+∞) βŠ† dom 𝐻)
58 funfvima2 7233 . . . . . . 7 ((Fun 𝐻 ∧ (0[,)+∞) βŠ† dom 𝐻) β†’ ((π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞) β†’ (π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞))))
5954, 57, 58syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞) β†’ (π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞))))
6015, 16, 59sylc 65 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })) β†’ (π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))
61 dmmeas 33199 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ βˆͺ ran measures β†’ dom 𝑀 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
628, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom 𝑀 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
632fvexi 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 ∈ V
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ V)
6564sgsiga 33140 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
663, 65eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
671, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sibfmbl 33334 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
6862, 66, 67mbfmf 33252 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝑆)
6968frnd 6726 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆)
703unieqi 4922 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ (sigaGenβ€˜π½)
71 unisg 33141 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ V β†’ βˆͺ (sigaGenβ€˜π½) = βˆͺ 𝐽)
7263, 71mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ (sigaGenβ€˜π½) = βˆͺ 𝐽)
7370, 72eqtrid 2785 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝐽)
74 sitgclg.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
751, 2tpsuni 22438 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ TopSp β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
7773, 76eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 = 𝐡)
7869, 77sseqtrd 4023 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
7978ssdifd 4141 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) βŠ† (𝐡 βˆ– { 0 }))
8079sselda 3983 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
8180eldifad 3961 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
82 simp2 1138 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))
83 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) β†’ (π‘š ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ↔ (π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞))))
84833anbi2d 1442 . . . . . . . 8 (π‘š = (π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ↔ (πœ‘ ∧ (π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)))
85 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) β†’ (π‘š Β· π‘₯) = ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))
8685eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (π‘š = (π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) β†’ ((π‘š Β· π‘₯) ∈ 𝐡 ↔ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯) ∈ 𝐡))
8784, 86imbi12d 345 . . . . . . 7 (π‘š = (π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘š Β· π‘₯) ∈ 𝐡) ↔ ((πœ‘ ∧ (π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯) ∈ 𝐡)))
88 sitgclg.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘š Β· π‘₯) ∈ 𝐡)
8987, 88vtoclg 3557 . . . . . 6 ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) β†’ ((πœ‘ ∧ (π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯) ∈ 𝐡))
9082, 89mpcom 38 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯) ∈ 𝐡)
9115, 60, 81, 90syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })) β†’ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯) ∈ 𝐡)
9291fmpttd 7115 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)):(ran 𝐹 βˆ– { 0 })⟢𝐡)
93 mptexg 7223 . . . . . 6 ((ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)) ∈ V)
9414, 93syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)) ∈ V)
954fvexi 6906 . . . . 5 0 ∈ V
96 suppimacnv 8159 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)) ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)) supp 0 ) = (β—‘(π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)) β€œ (V βˆ– { 0 })))
9794, 95, 96sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)) supp 0 ) = (β—‘(π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)) β€œ (V βˆ– { 0 })))
981, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sibfrn 33336 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
99 cnvimass 6081 . . . . . . 7 (β—‘(π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)) β€œ (V βˆ– { 0 })) βŠ† dom (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))
100 eqid 2733 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))
101100dmmptss 6241 . . . . . . 7 dom (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)) βŠ† (ran 𝐹 βˆ– { 0 })
10299, 101sstri 3992 . . . . . 6 (β—‘(π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)) β€œ (V βˆ– { 0 })) βŠ† (ran 𝐹 βˆ– { 0 })
103 difss 4132 . . . . . 6 (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) βŠ† ran 𝐹
104102, 103sstri 3992 . . . . 5 (β—‘(π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)) β€œ (V βˆ– { 0 })) βŠ† ran 𝐹
105 ssfi 9173 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)) β€œ (V βˆ– { 0 })) βŠ† ran 𝐹) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)) β€œ (V βˆ– { 0 })) ∈ Fin)
10698, 104, 105sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)) β€œ (V βˆ– { 0 })) ∈ Fin)
10797, 106eqeltrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)) supp 0 ) ∈ Fin)
1081, 4, 11, 14, 92, 107gsumcl2 19782 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))) ∈ 𝐡)
10910, 108eqeltrd 2834 1 (πœ‘ β†’ ((π‘Šsitg𝑀)β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   supp csupp 8146  Fincfn 8939  β„cr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  distcds 17206  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  CMndccmn 19648  DivRingcdr 20357  metUnifcmetu 20935  β„€Modczlm 21050  chrcchr 21051  TopSpctps 22434  UnifStcuss 23758  CUnifSpccusp 23802  NrmRingcnrg 24088  NrmModcnlm 24089  β„Homcrrh 32973   ℝExt crrext 32974  sigAlgebracsiga 33106  sigaGencsigagen 33136  measurescmeas 33193  sitgcsitg 33328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-numer 16671  df-denom 16672  df-gz 16863  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-od 19396  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-nzr 20292  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-abv 20425  df-lmod 20473  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-metu 20943  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zlm 21054  df-chr 21055  df-refld 21158  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-reg 22820  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-fcls 23445  df-cnext 23564  df-ust 23705  df-utop 23736  df-uss 23761  df-usp 23762  df-ucn 23781  df-cfilu 23792  df-cusp 23803  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nrg 24094  df-nlm 24095  df-cncf 24394  df-cfil 24772  df-cmet 24774  df-cms 24852  df-qqh 32953  df-rrh 32975  df-rrext 32979  df-esum 33026  df-siga 33107  df-sigagen 33137  df-meas 33194  df-mbfm 33248  df-sitg 33329
This theorem is referenced by:  sitgclbn  33342  sitmcl  33350
  Copyright terms: Public domain W3C validator