Theorem sitgclg 35027

Description: Closure of the Bochner integral on simple functions, generic version. See sitgclbn 35028 for the version for Banach spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s	⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
sitgval.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
sitgval.h	⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
sitgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sibfmbl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgclg.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
sitgclg.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
sitgclg.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
sitgclg.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CMnd)
sitgclg.3	⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
sitgclg.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sitgclg	⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝑥,𝐹   𝑚,𝐻   𝑥,𝑚,𝑀   𝑆,𝑚   𝑚,𝑊,𝑥   0 ,𝑚,𝑥   · ,𝑚   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵   𝑚,𝐹   𝑚,𝐺   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥, 𝑚)   𝑆(𝑥)   · (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐽(𝑥, 𝑚)   𝑉(𝑥, 𝑚)

Proof of Theorem sitgclg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sitgval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		sitgval.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3		sitgval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4		sitgval.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		sitgval.x	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		sitgval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7		sitgval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
8		sitgval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
9		sibfmbl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	sitgfval 35026	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) = (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))))
11		sitgclg.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CMnd)
12		rnexg 7921	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) → ran 𝐹 ∈ V)
13		difexg 5294	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ V)
14	9, 12, 13	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ V)
15		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → 𝜑)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	sibfima 35023	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → (𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))
17		sitgclg.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
18		sitgclg.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
19	18	fveq2i 6896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘(Scalar‘𝑊))
20	18	fveq2i 6896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
21	20, 20	xpeq12i 5682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) = ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	19, 21	reseq12i 5972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) = ((dist‘(Scalar‘𝑊)) ↾ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊))))
23	17, 22	eqtri 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = ((dist‘(Scalar‘𝑊)) ↾ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊))))
24		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
25		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
26	18	fveq2i 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))
27	18	fveq2i 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤMod‘𝐺) = (ℤMod‘(Scalar‘𝑊))
28		sitgclg.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
29	18, 28	eqeltrid 2867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝExt )
30		rrextdrg 34687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ℝExt → 𝐺 ∈ DivRing)
31	29, 30	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ DivRing)
32	18, 31	eqeltrrid 2868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
33		rrextnrg 34686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ℝExt → 𝐺 ∈ NrmRing)
34	29, 33	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ NrmRing)
35	18, 34	eqeltrrid 2868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
36		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤMod‘𝐺) = (ℤMod‘𝐺)
37	36	rrextnlm 34688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ ℝExt → (ℤMod‘𝐺) ∈ NrmMod)
38	29, 37	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℤMod‘𝐺) ∈ NrmMod)
39	18	fveq2i 6896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (chr‘𝐺) = (chr‘(Scalar‘𝑊))
40		rrextchr 34689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ℝExt → (chr‘𝐺) = 0)
41	29, 40	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝐺) = 0)
42	39, 41	eqtr3id 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (chr‘(Scalar‘𝑊)) = 0)
43		rrextcusp 34690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ℝExt → 𝐺 ∈ CUnifSp)
44	29, 43	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CUnifSp)
45	18, 44	eqeltrrid 2868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ CUnifSp)
46	18	fveq2i 6896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (UnifSt‘𝐺) = (UnifSt‘(Scalar‘𝑊))
47		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
48	47, 17	rrextust 34693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ℝExt → (UnifSt‘𝐺) = (metUnif‘𝐷))
49	29, 48	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (UnifSt‘𝐺) = (metUnif‘𝐷))
50	46, 49	eqtr3id 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (UnifSt‘(Scalar‘𝑊)) = (metUnif‘𝐷))
51	23, 24, 25, 26, 27, 32, 35, 38, 42, 45, 50	rrhf 34683	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
52	6	feq1i 6708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
53	51, 52	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
54	53	ffund 6722	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐻)
55		rge0ssre 13597	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
56	53	fdmd 6728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝐻 = ℝ)
57	55, 56	sseqtrrid 3955	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ dom 𝐻)
58		funfvima2 7244	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐻 ∧ (0[,)+∞) ⊆ dom 𝐻) → ((𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞) → (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))))
59	54, 57, 58	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞) → (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))))
60	15, 16, 59	sylc 66	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
61		dmmeas 34887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ∪ ran measures → dom 𝑀 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
62	8, 61	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
63	2	fvexi 6907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐽 ∈ V
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
65	64	sgsiga 34828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
66	3, 65	eqeltrid 2867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
67	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	sibfmbl 35020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
68	62, 66, 67	mbfmf 34940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ dom 𝑀⟶∪ 𝑆)
69	68	frnd 6726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
70	3	unieqi 4881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ (sigaGen‘𝐽)
71		unisg 34829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ V → ∪ (sigaGen‘𝐽) = ∪ 𝐽)
72	63, 71	mp1i 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ (sigaGen‘𝐽) = ∪ 𝐽)
73	70, 72	eqtrid 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ 𝐽)
74		sitgclg.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
75	1, 2	tpsuni 23266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp → 𝐵 = ∪ 𝐽)
76	74, 75	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐽)
77	73, 76	eqtr4d 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = 𝐵)
78	69, 77	sseqtrd 3948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
79	78	ssdifd 4083	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }))
80	79	sselda 3912	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
81	80	eldifad 4053	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝐵)
82		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
83		eleq1 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) → (𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ↔ (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))))
84	83	3anbi2d 1469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) → ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))
85		oveq1 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) → (𝑚 · 𝑥) = ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))
86	85	eleq1d 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵))
87	84, 86	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) → (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵)))
88		sitgclg.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵)
89	87, 88	vtoclg 3520	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) → ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵))
90	82, 89	mpcom 39	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵)
91	15, 60, 81, 90	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵)
92	91	fmpttd 7123	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)):(ran 𝐹 ∖ { 0 })⟶𝐵)
93		mptexg 7234	. . . . . 6 ⊢ ((ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ V → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ∈ V)
94	14, 93	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ∈ V)
95	4	fvexi 6907	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
96		suppimacnv 8202	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) supp 0 ) = (◡(𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })))
97	94, 95, 96	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) supp 0 ) = (◡(𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })))
98	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	sibfrn 35022	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
99		cnvimass 6204	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ dom (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))
100		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))
101	100	dmmptss 6248	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ⊆ (ran 𝐹 ∖ { 0 })
102	99, 101	sstri 3921	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ (ran 𝐹 ∖ { 0 })
103		difss 4074	. . . . . 6 ⊢ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ ran 𝐹
104	102, 103	sstri 3921	. . . . 5 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝐹
105		ssfi 9199	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (◡(𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝐹) → (◡(𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ∈ Fin)
106	98, 104, 105	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ∈ Fin)
107	97, 106	eqeltrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) supp 0 ) ∈ Fin)
108	1, 4, 11, 14, 92, 107	gsumcl2 20140	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))) ∈ 𝐵)
109	10, 108	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453   ⊆ wss 3899   ∖ cdif 4047  {csn 4587  ∪ cuni 4869   ↦ cmpt 5188   × cxp 5652  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654  ran crn 5655   ↾ cres 5656   “ cima 5657  Fun wfun 6540  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   supp csupp 8187  Fincfn 8984  ℝcr 11209  0cc0 11210  +∞cpnf 11350  (,)cioo 13486  [,)cico 13488  Basecbs 17399  Scalarcsca 17443   ·_𝑠 cvsca 17444  distcds 17449  TopOpenctopn 17604  topGenctg 17620  0_gc0g 17622   Σ_g cgsu 17623  CMndccmn 20006  DivRingcdr 20992  metUnifcmetu 21681  ℤModczlm 21818  chrcchr 21819  TopSpctps 23262  UnifStcuss 24584  CUnifSpccusp 24627  NrmRingcnrg 24910  NrmModcnlm 24911  ℝHomcrrh 34678   ℝExt crrext 34679  sigAlgebracsiga 34793  sigaGencsigagen 34824  measurescmeas 34881  sitgcsitg 35014

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288  ax-addf 11289  ax-mulf 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8728  df-map 8860  df-pm 8861  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-fi 9413  df-sup 9444  df-inf 9445  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-q 13086  df-rp 13131  df-xneg 13251  df-xadd 13252  df-xmul 13253  df-ioo 13490  df-ico 13492  df-icc 13493  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-fl 13942  df-mod 14020  df-seq 14155  df-exp 14215  df-hash 14485  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-dvds 16435  df-gcd 16677  df-numer 16923  df-denom 16924  df-gz 17120  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-starv 17455  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-unif 17463  df-hom 17464  df-cco 17465  df-rest 17605  df-topn 17606  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-topgen 17626  df-pt 17627  df-prds 17630  df-xrs 17686  df-qtop 17691  df-imas 17692  df-xps 17694  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-submnd 18991  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-mulg 19290  df-subg 19345  df-ghm 19440  df-cntz 19543  df-od 19754  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-cring 20474  df-oppr 20579  df-dvdsr 20599  df-unit 20600  df-invr 20630  df-dvr 20643  df-rhm 20714  df-nzr 20775  df-subrng 20810  df-subrg 20834  df-drng 20994  df-abv 21078  df-lmod 21149  df-psmet 21682  df-xmet 21683  df-met 21684  df-bl 21685  df-mopn 21686  df-fbas 21687  df-fg 21688  df-metu 21689  df-cnfld 21691  df-zring 21765  df-zrh 21821  df-zlm 21822  df-chr 21823  df-refld 21923  df-top 23224  df-topon 23241  df-topsp 23263  df-bases 23276  df-cld 23349  df-ntr 23350  df-cls 23351  df-nei 23428  df-cn 23557  df-cnp 23558  df-haus 23645  df-reg 23646  df-cmp 23717  df-tx 23893  df-hmeo 24086  df-fil 24177  df-fm 24269  df-flim 24270  df-flf 24271  df-fcls 24272  df-cnext 24391  df-ust 24532  df-utop 24562  df-uss 24587  df-usp 24588  df-ucn 24606  df-cfilu 24617  df-cusp 24628  df-xms 24651  df-ms 24652  df-tms 24653  df-nm 24913  df-ngp 24914  df-nrg 24916  df-nlm 24917  df-cncf 25211  df-cfil 25588  df-cmet 25590  df-cms 25668  df-qqh 34656  df-rrh 34680  df-rrext 34684  df-esum 34713  df-siga 34794  df-sigagen 34825  df-meas 34882  df-mbfm 34936  df-sitg 35015

This theorem is used by:  sitgclbn  35028  sitmcl  35036