Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitgclg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitgclg 30729
Description: Closure of the Bochner integral on simple functions, generic version. See sitgclbn 30730 for the version for Banach spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0 0 = (0g𝑊)
sitgval.x · = ( ·𝑠𝑊)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1 (𝜑𝑊𝑉)
sitgval.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sibfmbl.1 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgclg.g 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
sitgclg.d 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
sitgclg.1 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
sitgclg.2 (𝜑𝑊 ∈ CMnd)
sitgclg.3 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
sitgclg.4 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sitgclg (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝑥,𝐹   𝑚,𝐻   𝑥,𝑚,𝑀   𝑆,𝑚   𝑚,𝑊,𝑥   0 ,𝑚,𝑥   · ,𝑚   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵   𝑚,𝐹   𝑚,𝐺   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑚)   𝑆(𝑥)   · (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑚)   𝑉(𝑥,𝑚)

Proof of Theorem sitgclg
StepHypRef Expression
1 sitgval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 sitgval.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3 sitgval.s . . 3 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4 sitgval.0 . . 3 0 = (0g𝑊)
5 sitgval.x . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
6 sitgval.h . . 3 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7 sitgval.1 . . 3 (𝜑𝑊𝑉)
8 sitgval.2 . . 3 (𝜑𝑀 ran measures)
9 sibfmbl.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sitgfval 30728 . 2 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) = (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))))
11 sitgclg.2 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ CMnd)
12 rnexg 7328 . . . 4 (𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) → ran 𝐹 ∈ V)
13 difexg 5003 . . . 4 (ran 𝐹 ∈ V → (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ V)
149, 12, 133syl 18 . . 3 (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ V)
15 simpl 470 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → 𝜑)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sibfima 30725 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → (𝑀‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))
17 sitgclg.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
18 sitgclg.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
1918fveq2i 6411 . . . . . . . . . . . 12 (dist‘𝐺) = (dist‘(Scalar‘𝑊))
2018fveq2i 6411 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐺) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2120, 20xpeq12i 5338 . . . . . . . . . . . 12 ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) = ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2219, 21reseq12i 5595 . . . . . . . . . . 11 ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) = ((dist‘(Scalar‘𝑊)) ↾ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊))))
2317, 22eqtri 2828 . . . . . . . . . 10 𝐷 = ((dist‘(Scalar‘𝑊)) ↾ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊))))
24 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
25 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2618fveq2i 6411 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))
2718fveq2i 6411 . . . . . . . . . 10 (ℤMod‘𝐺) = (ℤMod‘(Scalar‘𝑊))
28 sitgclg.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
2918, 28syl5eqel 2889 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ ℝExt )
30 rrextdrg 30371 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt → 𝐺 ∈ DivRing)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ DivRing)
3218, 31syl5eqelr 2890 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
33 rrextnrg 30370 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt → 𝐺 ∈ NrmRing)
3429, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ NrmRing)
3518, 34syl5eqelr 2890 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
36 eqid 2806 . . . . . . . . . . . 12 (ℤMod‘𝐺) = (ℤMod‘𝐺)
3736rrextnlm 30372 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ ℝExt → (ℤMod‘𝐺) ∈ NrmMod)
3829, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℤMod‘𝐺) ∈ NrmMod)
3918fveq2i 6411 . . . . . . . . . . 11 (chr‘𝐺) = (chr‘(Scalar‘𝑊))
40 rrextchr 30373 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt → (chr‘𝐺) = 0)
4129, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (chr‘𝐺) = 0)
4239, 41syl5eqr 2854 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (chr‘(Scalar‘𝑊)) = 0)
43 rrextcusp 30374 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt → 𝐺 ∈ CUnifSp)
4429, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ CUnifSp)
4518, 44syl5eqelr 2890 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ CUnifSp)
4618fveq2i 6411 . . . . . . . . . . 11 (UnifSt‘𝐺) = (UnifSt‘(Scalar‘𝑊))
47 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4847, 17rrextust 30377 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt → (UnifSt‘𝐺) = (metUnif‘𝐷))
4929, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (UnifSt‘𝐺) = (metUnif‘𝐷))
5046, 49syl5eqr 2854 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (UnifSt‘(Scalar‘𝑊)) = (metUnif‘𝐷))
5123, 24, 25, 26, 27, 32, 35, 38, 42, 45, 50rrhf 30367 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
526feq1i 6247 . . . . . . . . 9 (𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
5351, 52sylibr 225 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
5453ffund 6260 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐻)
55 rge0ssre 12500 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5653fdmd 6265 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐻 = ℝ)
5755, 56syl5sseqr 3851 . . . . . . 7 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ dom 𝐻)
58 funfvima2 6718 . . . . . . 7 ((Fun 𝐻 ∧ (0[,)+∞) ⊆ dom 𝐻) → ((𝑀‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞) → (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))))
5954, 57, 58syl2anc 575 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞) → (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))))
6015, 16, 59sylc 65 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
61 dmmeas 30589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ran measures → dom 𝑀 ran sigAlgebra)
628, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝑀 ran sigAlgebra)
632fvexi 6422 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 ∈ V
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ V)
6564sgsiga 30530 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ ran sigAlgebra)
663, 65syl5eqel 2889 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
671, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sibfmbl 30722 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
6862, 66, 67mbfmf 30642 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹: dom 𝑀 𝑆)
6968frnd 6263 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐹 𝑆)
703unieqi 4639 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
71 unisg 30531 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ V → (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
7263, 71mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
7370, 72syl5eq 2852 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑆 = 𝐽)
74 sitgclg.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
751, 2tpsuni 20954 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ TopSp → 𝐵 = 𝐽)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = 𝐽)
7773, 76eqtr4d 2843 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑆 = 𝐵)
7869, 77sseqtrd 3838 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹𝐵)
7978ssdifd 3945 . . . . . . 7 (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }))
8079sselda 3798 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
8180eldifad 3781 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → 𝑥𝐵)
82 simp2 1160 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
83 eleq1 2873 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) → (𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ↔ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))))
84833anbi2d 1558 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) → ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) ↔ (𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵)))
85 oveq1 6881 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) → (𝑚 · 𝑥) = ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))
8685eleq1d 2870 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵))
8784, 86imbi12d 335 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) → (((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵)))
88 sitgclg.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵)
8987, 88vtoclg 3459 . . . . . 6 ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) → ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵))
9082, 89mpcom 38 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵)
9115, 60, 81, 90syl3anc 1483 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵)
9291fmpttd 6607 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)):(ran 𝐹 ∖ { 0 })⟶𝐵)
93 mptexg 6709 . . . . . 6 ((ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ V → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ∈ V)
9414, 93syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ∈ V)
954fvexi 6422 . . . . 5 0 ∈ V
96 suppimacnv 7540 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) supp 0 ) = ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })))
9794, 95, 96sylancl 576 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) supp 0 ) = ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })))
981, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sibfrn 30724 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
99 cnvimass 5695 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ dom (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))
100 eqid 2806 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))
101100dmmptss 5845 . . . . . . 7 dom (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ⊆ (ran 𝐹 ∖ { 0 })
10299, 101sstri 3807 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ (ran 𝐹 ∖ { 0 })
103 difss 3936 . . . . . 6 (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ ran 𝐹
104102, 103sstri 3807 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝐹
105 ssfi 8419 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝐹) → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ∈ Fin)
10698, 104, 105sylancl 576 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ∈ Fin)
10797, 106eqeltrd 2885 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) supp 0 ) ∈ Fin)
1081, 4, 11, 14, 92, 107gsumcl2 18516 . 2 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))) ∈ 𝐵)
10910, 108eqeltrd 2885 1 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  Vcvv 3391  cdif 3766  wss 3769  {csn 4370   cuni 4630  cmpt 4923   × cxp 5309  ccnv 5310  dom cdm 5311  ran crn 5312  cres 5313  cima 5314  Fun wfun 6095  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874   supp csupp 7529  Fincfn 8192  cr 10220  0cc0 10221  +∞cpnf 10356  (,)cioo 12393  [,)cico 12395  Basecbs 16068  Scalarcsca 16156   ·𝑠 cvsca 16157  distcds 16162  TopOpenctopn 16287  topGenctg 16303  0gc0g 16305   Σg cgsu 16306  CMndccmn 18394  DivRingcdr 18951  metUnifcmetu 19945  ℤModczlm 20057  chrcchr 20058  TopSpctps 20950  UnifStcuss 22270  CUnifSpccusp 22314  NrmRingcnrg 22597  NrmModcnlm 22598  ℝHomcrrh 30362   ℝExt crrext 30363  sigAlgebracsiga 30495  sigaGencsigagen 30526  measurescmeas 30583  sitgcsitg 30716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299  ax-addf 10300  ax-mulf 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-of 7127  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-supp 7530  df-tpos 7587  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-pm 8095  df-ixp 8146  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fsupp 8515  df-fi 8556  df-sup 8587  df-inf 8588  df-oi 8654  df-card 9048  df-cda 9275  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-xneg 12162  df-xadd 12163  df-xmul 12164  df-ioo 12397  df-ico 12399  df-icc 12400  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-fl 12817  df-mod 12893  df-seq 13025  df-exp 13084  df-hash 13338  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-dvds 15204  df-gcd 15436  df-numer 15660  df-denom 15661  df-gz 15851  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-starv 16168  df-sca 16169  df-vsca 16170  df-ip 16171  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-unif 16176  df-hom 16177  df-cco 16178  df-rest 16288  df-topn 16289  df-0g 16307  df-gsum 16308  df-topgen 16309  df-pt 16310  df-prds 16313  df-xrs 16367  df-qtop 16372  df-imas 16373  df-xps 16375  df-mre 16451  df-mrc 16452  df-acs 16454  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-mhm 17540  df-submnd 17541  df-grp 17630  df-minusg 17631  df-sbg 17632  df-mulg 17746  df-subg 17793  df-ghm 17860  df-cntz 17951  df-od 18149  df-cmn 18396  df-abl 18397  df-mgp 18692  df-ur 18704  df-ring 18751  df-cring 18752  df-oppr 18825  df-dvdsr 18843  df-unit 18844  df-invr 18874  df-dvr 18885  df-rnghom 18919  df-drng 18953  df-subrg 18982  df-abv 19021  df-lmod 19069  df-nzr 19467  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-metu 19953  df-cnfld 19955  df-zring 20027  df-zrh 20060  df-zlm 20061  df-chr 20062  df-refld 20160  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-haus 21333  df-reg 21334  df-cmp 21404  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-fcls 21958  df-cnext 22077  df-ust 22217  df-utop 22248  df-uss 22273  df-usp 22274  df-ucn 22293  df-cfilu 22304  df-cusp 22315  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-nm 22600  df-ngp 22601  df-nrg 22603  df-nlm 22604  df-cncf 22894  df-cfil 23265  df-cmet 23267  df-cms 23344  df-qqh 30342  df-rrh 30364  df-rrext 30368  df-esum 30415  df-siga 30496  df-sigagen 30527  df-meas 30584  df-mbfm 30638  df-sitg 30717
This theorem is referenced by:  sitgclbn  30730  sitmcl  30738
  Copyright terms: Public domain W3C validator