Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitgclg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitgclg 31725
 Description: Closure of the Bochner integral on simple functions, generic version. See sitgclbn 31726 for the version for Banach spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0 0 = (0g𝑊)
sitgval.x · = ( ·𝑠𝑊)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1 (𝜑𝑊𝑉)
sitgval.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sibfmbl.1 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgclg.g 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
sitgclg.d 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
sitgclg.1 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
sitgclg.2 (𝜑𝑊 ∈ CMnd)
sitgclg.3 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
sitgclg.4 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sitgclg (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝑥,𝐹   𝑚,𝐻   𝑥,𝑚,𝑀   𝑆,𝑚   𝑚,𝑊,𝑥   0 ,𝑚,𝑥   · ,𝑚   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵   𝑚,𝐹   𝑚,𝐺   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑚)   𝑆(𝑥)   · (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑚)   𝑉(𝑥,𝑚)

Proof of Theorem sitgclg
StepHypRef Expression
1 sitgval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 sitgval.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3 sitgval.s . . 3 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4 sitgval.0 . . 3 0 = (0g𝑊)
5 sitgval.x . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
6 sitgval.h . . 3 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7 sitgval.1 . . 3 (𝜑𝑊𝑉)
8 sitgval.2 . . 3 (𝜑𝑀 ran measures)
9 sibfmbl.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sitgfval 31724 . 2 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) = (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))))
11 sitgclg.2 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ CMnd)
12 rnexg 7598 . . . 4 (𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) → ran 𝐹 ∈ V)
13 difexg 5196 . . . 4 (ran 𝐹 ∈ V → (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ V)
149, 12, 133syl 18 . . 3 (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ V)
15 simpl 486 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → 𝜑)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sibfima 31721 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → (𝑀‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))
17 sitgclg.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
18 sitgclg.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
1918fveq2i 6649 . . . . . . . . . . . 12 (dist‘𝐺) = (dist‘(Scalar‘𝑊))
2018fveq2i 6649 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐺) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2120, 20xpeq12i 5548 . . . . . . . . . . . 12 ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) = ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2219, 21reseq12i 5817 . . . . . . . . . . 11 ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) = ((dist‘(Scalar‘𝑊)) ↾ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊))))
2317, 22eqtri 2821 . . . . . . . . . 10 𝐷 = ((dist‘(Scalar‘𝑊)) ↾ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊))))
24 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
25 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2618fveq2i 6649 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))
2718fveq2i 6649 . . . . . . . . . 10 (ℤMod‘𝐺) = (ℤMod‘(Scalar‘𝑊))
28 sitgclg.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
2918, 28eqeltrid 2894 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ ℝExt )
30 rrextdrg 31368 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt → 𝐺 ∈ DivRing)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ DivRing)
3218, 31eqeltrrid 2895 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
33 rrextnrg 31367 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt → 𝐺 ∈ NrmRing)
3429, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ NrmRing)
3518, 34eqeltrrid 2895 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
36 eqid 2798 . . . . . . . . . . . 12 (ℤMod‘𝐺) = (ℤMod‘𝐺)
3736rrextnlm 31369 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ ℝExt → (ℤMod‘𝐺) ∈ NrmMod)
3829, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℤMod‘𝐺) ∈ NrmMod)
3918fveq2i 6649 . . . . . . . . . . 11 (chr‘𝐺) = (chr‘(Scalar‘𝑊))
40 rrextchr 31370 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt → (chr‘𝐺) = 0)
4129, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (chr‘𝐺) = 0)
4239, 41syl5eqr 2847 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (chr‘(Scalar‘𝑊)) = 0)
43 rrextcusp 31371 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt → 𝐺 ∈ CUnifSp)
4429, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ CUnifSp)
4518, 44eqeltrrid 2895 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ CUnifSp)
4618fveq2i 6649 . . . . . . . . . . 11 (UnifSt‘𝐺) = (UnifSt‘(Scalar‘𝑊))
47 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4847, 17rrextust 31374 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt → (UnifSt‘𝐺) = (metUnif‘𝐷))
4929, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (UnifSt‘𝐺) = (metUnif‘𝐷))
5046, 49syl5eqr 2847 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (UnifSt‘(Scalar‘𝑊)) = (metUnif‘𝐷))
5123, 24, 25, 26, 27, 32, 35, 38, 42, 45, 50rrhf 31364 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
526feq1i 6479 . . . . . . . . 9 (𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
5351, 52sylibr 237 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
5453ffund 6492 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐻)
55 rge0ssre 12837 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5653fdmd 6498 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐻 = ℝ)
5755, 56sseqtrrid 3968 . . . . . . 7 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ dom 𝐻)
58 funfvima2 6972 . . . . . . 7 ((Fun 𝐻 ∧ (0[,)+∞) ⊆ dom 𝐻) → ((𝑀‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞) → (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))))
5954, 57, 58syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞) → (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))))
6015, 16, 59sylc 65 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
61 dmmeas 31585 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ran measures → dom 𝑀 ran sigAlgebra)
628, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝑀 ran sigAlgebra)
632fvexi 6660 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 ∈ V
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ V)
6564sgsiga 31526 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ ran sigAlgebra)
663, 65eqeltrid 2894 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
671, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sibfmbl 31718 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
6862, 66, 67mbfmf 31638 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹: dom 𝑀 𝑆)
6968frnd 6495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐹 𝑆)
703unieqi 4814 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
71 unisg 31527 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ V → (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
7263, 71mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
7370, 72syl5eq 2845 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑆 = 𝐽)
74 sitgclg.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
751, 2tpsuni 21551 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ TopSp → 𝐵 = 𝐽)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = 𝐽)
7773, 76eqtr4d 2836 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑆 = 𝐵)
7869, 77sseqtrd 3955 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹𝐵)
7978ssdifd 4068 . . . . . . 7 (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }))
8079sselda 3915 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
8180eldifad 3893 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → 𝑥𝐵)
82 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
83 eleq1 2877 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) → (𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ↔ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))))
84833anbi2d 1438 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) → ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) ↔ (𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵)))
85 oveq1 7143 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) → (𝑚 · 𝑥) = ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))
8685eleq1d 2874 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵))
8784, 86imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) → (((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵)))
88 sitgclg.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵)
8987, 88vtoclg 3515 . . . . . 6 ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) → ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵))
9082, 89mpcom 38 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵)
9115, 60, 81, 90syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵)
9291fmpttd 6857 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)):(ran 𝐹 ∖ { 0 })⟶𝐵)
93 mptexg 6962 . . . . . 6 ((ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ V → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ∈ V)
9414, 93syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ∈ V)
954fvexi 6660 . . . . 5 0 ∈ V
96 suppimacnv 7827 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) supp 0 ) = ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })))
9794, 95, 96sylancl 589 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) supp 0 ) = ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })))
981, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sibfrn 31720 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
99 cnvimass 5917 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ dom (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))
100 eqid 2798 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))
101100dmmptss 6063 . . . . . . 7 dom (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ⊆ (ran 𝐹 ∖ { 0 })
10299, 101sstri 3924 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ (ran 𝐹 ∖ { 0 })
103 difss 4059 . . . . . 6 (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ ran 𝐹
104102, 103sstri 3924 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝐹
105 ssfi 8725 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝐹) → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ∈ Fin)
10698, 104, 105sylancl 589 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ∈ Fin)
10797, 106eqeltrd 2890 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) supp 0 ) ∈ Fin)
1081, 4, 11, 14, 92, 107gsumcl2 19031 . 2 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))) ∈ 𝐵)
10910, 108eqeltrd 2890 1 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ∪ cuni 4801   ↦ cmpt 5111   × cxp 5518  ◡ccnv 5519  dom cdm 5520  ran crn 5521   ↾ cres 5522   “ cima 5523  Fun wfun 6319  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   supp csupp 7816  Fincfn 8495  ℝcr 10528  0cc0 10529  +∞cpnf 10664  (,)cioo 12729  [,)cico 12731  Basecbs 16478  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  distcds 16569  TopOpenctopn 16690  topGenctg 16706  0gc0g 16708   Σg cgsu 16709  CMndccmn 18902  DivRingcdr 19499  metUnifcmetu 20086  ℤModczlm 20199  chrcchr 20200  TopSpctps 21547  UnifStcuss 22869  CUnifSpccusp 22913  NrmRingcnrg 23196  NrmModcnlm 23197  ℝHomcrrh 31359   ℝExt crrext 31360  sigAlgebracsiga 31492  sigaGencsigagen 31522  measurescmeas 31579  sitgcsitg 31712 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-tpos 7878  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-fi 8862  df-sup 8893  df-inf 8894  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-q 12340  df-rp 12381  df-xneg 12498  df-xadd 12499  df-xmul 12500  df-ioo 12733  df-ico 12735  df-icc 12736  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-mod 13236  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603  df-gcd 15837  df-numer 16068  df-denom 16069  df-gz 16259  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-od 18652  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-rnghom 19467  df-drng 19501  df-subrg 19530  df-abv 19585  df-lmod 19633  df-nzr 20028  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-metu 20094  df-cnfld 20096  df-zring 20168  df-zrh 20202  df-zlm 20203  df-chr 20204  df-refld 20299  df-top 21509  df-topon 21526  df-topsp 21548  df-bases 21561  df-cld 21634  df-ntr 21635  df-cls 21636  df-nei 21713  df-cn 21842  df-cnp 21843  df-haus 21930  df-reg 21931  df-cmp 22002  df-tx 22177  df-hmeo 22370  df-fil 22461  df-fm 22553  df-flim 22554  df-flf 22555  df-fcls 22556  df-cnext 22675  df-ust 22816  df-utop 22847  df-uss 22872  df-usp 22873  df-ucn 22892  df-cfilu 22903  df-cusp 22914  df-xms 22937  df-ms 22938  df-tms 22939  df-nm 23199  df-ngp 23200  df-nrg 23202  df-nlm 23203  df-cncf 23493  df-cfil 23869  df-cmet 23871  df-cms 23949  df-qqh 31339  df-rrh 31361  df-rrext 31365  df-esum 31412  df-siga 31493  df-sigagen 31523  df-meas 31580  df-mbfm 31634  df-sitg 31713 This theorem is referenced by:  sitgclbn  31726  sitmcl  31734
 Copyright terms: Public domain W3C validator