Theorem rrhcne 34728

Description: If 𝑅 is an extension of ℝ, then the canonical homomorphism of ℝ into 𝑅 is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrhcne.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
rrhcne.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rrhcne	⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (ℝHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem rrhcne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
2		rrhcne.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		rrhcne.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
5		eqid 2763	. 2 ⊢ (ℤMod‘𝑅) = (ℤMod‘𝑅)
6		rrextdrg 34717	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ DivRing)
7		rrextnrg 34716	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ NrmRing)
8	5	rrextnlm 34718	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod)
9		rrextchr 34719	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (chr‘𝑅) = 0)
10		rrextcusp 34720	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ CUnifSp)
11	3, 1	rrextust 34723	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	rrhcn 34712	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (ℝHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   × cxp 5654  ran crn 5657   ↾ cres 5658  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  (,)cioo 13506  Basecbs 17419  distcds 17469  TopOpenctopn 17624  topGenctg 17640  ℤModczlm 21839   Cn ccn 23575  ℝHomcrrh 34708   ℝExt crrext 34709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309  ax-mulf 11310

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ioo 13510  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-mod 14040  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-dvds 16455  df-gcd 16697  df-numer 16943  df-denom 16944  df-gz 17140  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mhm 19010  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-mulg 19310  df-subg 19365  df-ghm 19460  df-cntz 19564  df-od 19775  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-cring 20495  df-oppr 20600  df-dvdsr 20620  df-unit 20621  df-invr 20651  df-dvr 20664  df-rhm 20735  df-nzr 20796  df-subrng 20831  df-subrg 20855  df-drng 21015  df-abv 21099  df-lmod 21170  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-fbas 21708  df-fg 21709  df-metu 21710  df-cnfld 21712  df-zring 21786  df-zrh 21842  df-zlm 21843  df-chr 21844  df-refld 21944  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cld 23370  df-ntr 23371  df-cls 23372  df-nei 23449  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-haus 23666  df-reg 23667  df-cmp 23738  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-fil 24198  df-fm 24290  df-flim 24291  df-flf 24292  df-fcls 24293  df-cnext 24412  df-ust 24553  df-utop 24583  df-uss 24608  df-usp 24609  df-ucn 24627  df-cfilu 24638  df-cusp 24649  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674  df-nm 24934  df-ngp 24935  df-nrg 24937  df-nlm 24938  df-cncf 25232  df-cfil 25609  df-cmet 25611  df-cms 25689  df-qqh 34686  df-rrh 34710  df-rrext 34714

This theorem is used by:  rrhre  34736