Theorem rrextchr 34425

Description: The ring characteristic of an extension of ℝ is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rrextchr	⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (chr‘𝑅) = 0)

Proof of Theorem rrextchr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
3		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (ℤMod‘𝑅) = (ℤMod‘𝑅)
4	1, 2, 3	isrrext 34421	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt ↔ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑅 ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))))
5	4	simp2bi 1164	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → ((ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0))
6	5	simprd 501	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (chr‘𝑅) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   × cxp 5664   ↾ cres 5668  ‘cfv 6543  0cc0 11118  Basecbs 17294  distcds 17344  DivRingcdr 20864  metUnifcmetu 21550  ℤModczlm 21687  chrcchr 21688  UnifStcuss 24447  CUnifSpccusp 24490  NrmRingcnrg 24773  NrmModcnlm 24774   ℝExt crrext 34415

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-xp 5672  df-res 5678  df-iota 6499  df-fv 6551  df-rrext 34420

This theorem is used by:  rrhfe  34433  rrhcne  34434  rrhqima  34435  rrh0  34436  sitgclg  34764