Theorem rrextchr 34012

Description: The ring characteristic of an extension of ℝ is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rrextchr	⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (chr‘𝑅) = 0)

Proof of Theorem rrextchr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (ℤMod‘𝑅) = (ℤMod‘𝑅)
4	1, 2, 3	isrrext 34008	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt ↔ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑅 ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))))
5	4	simp2bi 1146	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → ((ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0))
6	5	simprd 495	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (chr‘𝑅) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   × cxp 5614   ↾ cres 5618  ‘cfv 6481  0cc0 11003  Basecbs 17117  distcds 17167  DivRingcdr 20642  metUnifcmetu 21280  ℤModczlm 21435  chrcchr 21436  UnifStcuss 24166  CUnifSpccusp 24209  NrmRingcnrg 24492  NrmModcnlm 24493   ℝExt crrext 34002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-xp 5622  df-res 5628  df-iota 6437  df-fv 6489  df-rrext 34007

This theorem is referenced by:  rrhfe  34020  rrhcne  34021  rrhqima  34022  rrh0  34023  sitgclg  34350