Theorem rrextchr 34375

Description: The ring characteristic of an extension of ℝ is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rrextchr	⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (chr‘𝑅) = 0)

Proof of Theorem rrextchr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (ℤMod‘𝑅) = (ℤMod‘𝑅)
4	1, 2, 3	isrrext 34371	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt ↔ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑅 ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))))
5	4	simp2bi 1164	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → ((ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0))
6	5	simprd 500	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (chr‘𝑅) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   × cxp 5661   ↾ cres 5665  ‘cfv 6538  0cc0 11101  Basecbs 17270  distcds 17320  DivRingcdr 20814  metUnifcmetu 21494  ℤModczlm 21631  chrcchr 21632  UnifStcuss 24391  CUnifSpccusp 24434  NrmRingcnrg 24717  NrmModcnlm 24718   ℝExt crrext 34365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-xp 5669  df-res 5675  df-iota 6494  df-fv 6546  df-rrext 34370

This theorem is referenced by:  rrhfe  34383  rrhcne  34384  rrhqima  34385  rrh0  34386  sitgclg  34713