Theorem rrextchr 32193

Description: The ring characteristic of an extension of ℝ is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rrextchr	⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (chr‘𝑅) = 0)

Proof of Theorem rrextchr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (ℤMod‘𝑅) = (ℤMod‘𝑅)
4	1, 2, 3	isrrext 32189	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt ↔ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑅 ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))))
5	4	simp2bi 1145	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → ((ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0))
6	5	simprd 496	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (chr‘𝑅) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   × cxp 5612   ↾ cres 5616  ‘cfv 6473  0cc0 10964  Basecbs 17001  distcds 17060  DivRingcdr 20085  metUnifcmetu 20686  ℤModczlm 20800  chrcchr 20801  UnifStcuss 23503  CUnifSpccusp 23547  NrmRingcnrg 23833  NrmModcnlm 23834   ℝExt crrext 32183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2707

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-res 5626  df-iota 6425  df-fv 6481  df-rrext 32188

This theorem is referenced by:  rrhfe  32201  rrhcne  32202  rrhqima  32203  rrh0  32204  sitgclg  32550