Theorem slmdvscl 33543

Description: Closure of scalar product for a semiring left module. (hvmulcl 31376 analog.) (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmdvscl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
slmdvscl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
slmdvscl.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
slmdvscl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
slmdvscl	⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem slmdvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biid 264	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod ↔ 𝑊 ∈ SLMod)
2		pm4.24 573	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 ↔ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾))
3		pm4.24 573	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
4		slmdvscl.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6		slmdvscl.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8		slmdvscl.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9		slmdvscl.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
11		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
12		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
13		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
14	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	slmdlema 33532	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋(+g‘𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑅(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋))) ∧ (((𝑅(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (𝑅 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋 ∧ ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))))
15	14	simpld 499	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋(+g‘𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑅(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋))))
16	15	simp1d 1159	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
17	1, 2, 3, 16	syl3anb 1178	1 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  ._rcmulr 17317  Scalarcsca 17319   ·_𝑠 cvsca 17320  0_gc0g 17498  1_rcur 20269  SLModcslmd 33529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-nul 5268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-iota 6492  df-fv 6544  df-ov 7415  df-slmd 33530

This theorem is used by:  gsumvsca1  33555  gsumvsca2  33556  sitgaddlemb  34747