Theorem sitgaddlemb 32215

Description: Lemma for * sitgadd . (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s	⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
sitgval.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
sitgval.h	⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
sitgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sitgadd.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
sitgadd.2	⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
sitgadd.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fre)
sitgadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgadd.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgadd.6	⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
sitgadd.7	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
sitgaddlemb	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ((𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) · (2nd ‘𝑝)) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sitgaddlemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sitgadd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
3		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝜑)
4		sitgadd.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
5		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6	5	rrhfe 31862	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
8		sitgval.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
9	8	feq1i 6575	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
10	7, 9	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
11	10	ffnd 6585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn ℝ)
12	3, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝐻 Fn ℝ)
13		rge0ssre 13117	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
15		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩}))
16	15	eldifad 3895	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺))
17		xp1st 7836	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (1st ‘𝑝) ∈ ran 𝐹)
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (1st ‘𝑝) ∈ ran 𝐹)
19		xp2nd 7837	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (2nd ‘𝑝) ∈ ran 𝐺)
20	16, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (2nd ‘𝑝) ∈ ran 𝐺)
21	15	eldifbd 3896	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ¬ 𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩})
22		velsn 4574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩} ↔ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
23	22	notbii 319	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩} ↔ ¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
24	21, 23	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
25		eqopi 7840	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) ∧ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 )) → 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
26	25	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ) → 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩))
27	26	con3d 152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩ → ¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 )))
28	27	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) ∧ ¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩) → ¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ))
29	16, 24, 28	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ))
30		ianor 978	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ) ↔ (¬ (1st ‘𝑝) = 0 ∨ ¬ (2nd ‘𝑝) = 0 ))
31		df-ne 2943	. . . . . . . 8 ⊢ ((1st ‘𝑝) ≠ 0 ↔ ¬ (1st ‘𝑝) = 0 )
32		df-ne 2943	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑝) ≠ 0 ↔ ¬ (2nd ‘𝑝) = 0 )
33	31, 32	orbi12i 911	. . . . . . 7 ⊢ (((1st ‘𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd ‘𝑝) ≠ 0 ) ↔ (¬ (1st ‘𝑝) = 0 ∨ ¬ (2nd ‘𝑝) = 0 ))
34	30, 33	bitr4i 277	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ) ↔ ((1st ‘𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd ‘𝑝) ≠ 0 ))
35	29, 34	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ((1st ‘𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd ‘𝑝) ≠ 0 ))
36		sitgval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
37		sitgval.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
38		sitgval.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
39		sitgval.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
40		sitgval.x	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
41		sitgval.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
42		sitgval.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
43		sitgadd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
44		sitgadd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
45		sitgadd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
46		sitgadd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fre)
47	36, 37, 38, 39, 40, 8, 41, 42, 43, 44, 45, 46	sibfinima 32206	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (1st ‘𝑝) ∈ ran 𝐹 ∧ (2nd ‘𝑝) ∈ ran 𝐺) ∧ ((1st ‘𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd ‘𝑝) ≠ 0 )) → (𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)}))) ∈ (0[,)+∞))
48	3, 18, 20, 35, 47	syl31anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)}))) ∈ (0[,)+∞))
49		fnfvima 7091	. . . 4 ⊢ ((𝐻 Fn ℝ ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)}))) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
50	12, 14, 48, 49	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
51		imassrn 5969	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ ran 𝐻
52	10	frnd 6592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
53	51, 52	sstrid 3928	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
54		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))) = ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))
55	54, 5	ressbas2 16875	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝐻 “ (0[,)+∞)) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
56	53, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 “ (0[,)+∞)) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
57	3, 56	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝐻 “ (0[,)+∞)) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
58	50, 57	eleqtrd 2841	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
59	36, 37, 38, 39, 40, 8, 41, 42, 44	sibff 32203	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ 𝐽)
60	36, 37	tpsuni 21993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp → 𝐵 = ∪ 𝐽)
61		feq3 6567	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∪ 𝐽 → (𝐺:∪ dom 𝑀⟶𝐵 ↔ 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ 𝐽))
62	45, 60, 61	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:∪ dom 𝑀⟶𝐵 ↔ 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ 𝐽))
63	59, 62	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ dom 𝑀⟶𝐵)
64	63	frnd 6592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
65	64	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
66	65, 20	sseldd 3918	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (2nd ‘𝑝) ∈ 𝐵)
67	8	fvexi 6770	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ V
68		imaexg 7736	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V)
69		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) = (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞)))
70	69, 36	resvbas 31434	. . . 4 ⊢ ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V → 𝐵 = (Base‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
71	67, 68, 70	mp2b 10	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))))
72		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
73	69, 72, 5	resvsca 31431	. . . 4 ⊢ ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V → ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))) = (Scalar‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
74	67, 68, 73	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))) = (Scalar‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))))
75	69, 40	resvvsca 31438	. . . 4 ⊢ ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
76	67, 68, 75	mp2b 10	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))))
77		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))))
78	71, 74, 76, 77	slmdvscl 31369	. 2 ⊢ (((𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod ∧ (𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))) ∧ (2nd ‘𝑝) ∈ 𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) · (2nd ‘𝑝)) ∈ 𝐵)
79	2, 58, 66, 78	syl3anc 1369	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ((𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) · (2nd ‘𝑝)) ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ⟨cop 4564  ∪ cuni 4836   × cxp 5578  ^◡ccnv 5579  dom cdm 5580  ran crn 5581   “ cima 5583   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1^st c1st 7802  2^nd c2nd 7803  ℝcr 10801  0cc0 10802  +∞cpnf 10937  [,)cico 13010  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  +_gcplusg 16888  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  TopOpenctopn 17049  0_gc0g 17067  TopSpctps 21989  Frect1 22366  SLModcslmd 31355   ↾_v cresv 31425  ℝHomcrrh 31843   ℝExt crrext 31844  sigaGencsigagen 32006  measurescmeas 32063  sitgcsitg 32196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-ac2 10150  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-ac 9803  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-numer 16367  df-denom 16368  df-gz 16559  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-ordt 17129  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-ps 18199  df-tsr 18200  df-plusf 18240  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-od 19051  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-rnghom 19874  df-drng 19908  df-subrg 19937  df-abv 19992  df-lmod 20040  df-scaf 20041  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-nzr 20442  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-metu 20509  df-cnfld 20511  df-zring 20583  df-zrh 20617  df-zlm 20618  df-chr 20619  df-refld 20722  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-t1 22373  df-haus 22374  df-reg 22375  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-fcls 23000  df-cnext 23119  df-tmd 23131  df-tgp 23132  df-tsms 23186  df-trg 23219  df-ust 23260  df-utop 23291  df-uss 23316  df-usp 23317  df-ucn 23336  df-cfilu 23347  df-cusp 23358  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-nm 23644  df-ngp 23645  df-nrg 23647  df-nlm 23648  df-ii 23946  df-cncf 23947  df-cfil 24324  df-cmet 24326  df-cms 24404  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617  df-slmd 31356  df-resv 31426  df-qqh 31823  df-rrh 31845  df-rrext 31849  df-esum 31896  df-siga 31977  df-sigagen 32007  df-meas 32064  df-mbfm 32118  df-sitg 32197

This theorem is referenced by: (None)