Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitgaddlemb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sitgaddlemb 33335
Description: Lemma for * sitgadd . (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
sitgval.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
sitgval.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
sitgval.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
sitgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
sitgadd.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
sitgadd.2 (πœ‘ β†’ (π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
sitgadd.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Fre)
sitgadd.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
sitgadd.5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
sitgadd.6 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ ℝExt )
sitgadd.7 + = (+gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
sitgaddlemb ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ ((π»β€˜(π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)})))) Β· (2nd β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
Proof of Theorem sitgaddlemb
StepHypRef Expression
1 sitgadd.2 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
21adantr 481 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
3 simpl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ πœ‘)
4 sitgadd.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ ℝExt )
5 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
65rrhfe 32980 . . . . . . . 8 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ ℝExt β†’ (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)):β„βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
74, 6syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)):β„βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
8 sitgval.h . . . . . . . 8 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
98feq1i 6705 . . . . . . 7 (𝐻:β„βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)):β„βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
107, 9sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1110ffnd 6715 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn ℝ)
123, 11syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ 𝐻 Fn ℝ)
13 rge0ssre 13429 . . . . 5 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
1413a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (0[,)+∞) βŠ† ℝ)
15 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩}))
1615eldifad 3959 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ 𝑝 ∈ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺))
17 xp1st 8003 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ ran 𝐹)
1816, 17syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ ran 𝐹)
19 xp2nd 8004 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) β†’ (2nd β€˜π‘) ∈ ran 𝐺)
2016, 19syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (2nd β€˜π‘) ∈ ran 𝐺)
2115eldifbd 3960 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩})
22 velsn 4643 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩} ↔ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
2322notbii 319 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩} ↔ Β¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
2421, 23sylib 217 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ Β¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
25 eqopi 8007 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ∧ ((1st β€˜π‘) = 0 ∧ (2nd β€˜π‘) = 0 )) β†’ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
2625ex 413 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) β†’ (((1st β€˜π‘) = 0 ∧ (2nd β€˜π‘) = 0 ) β†’ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩))
2726con3d 152 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) β†’ (Β¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩ β†’ Β¬ ((1st β€˜π‘) = 0 ∧ (2nd β€˜π‘) = 0 )))
2827imp 407 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ∧ Β¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩) β†’ Β¬ ((1st β€˜π‘) = 0 ∧ (2nd β€˜π‘) = 0 ))
2916, 24, 28syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ Β¬ ((1st β€˜π‘) = 0 ∧ (2nd β€˜π‘) = 0 ))
30 ianor 980 . . . . . . 7 (Β¬ ((1st β€˜π‘) = 0 ∧ (2nd β€˜π‘) = 0 ) ↔ (Β¬ (1st β€˜π‘) = 0 ∨ Β¬ (2nd β€˜π‘) = 0 ))
31 df-ne 2941 . . . . . . . 8 ((1st β€˜π‘) β‰  0 ↔ Β¬ (1st β€˜π‘) = 0 )
32 df-ne 2941 . . . . . . . 8 ((2nd β€˜π‘) β‰  0 ↔ Β¬ (2nd β€˜π‘) = 0 )
3331, 32orbi12i 913 . . . . . . 7 (((1st β€˜π‘) β‰  0 ∨ (2nd β€˜π‘) β‰  0 ) ↔ (Β¬ (1st β€˜π‘) = 0 ∨ Β¬ (2nd β€˜π‘) = 0 ))
3430, 33bitr4i 277 . . . . . 6 (Β¬ ((1st β€˜π‘) = 0 ∧ (2nd β€˜π‘) = 0 ) ↔ ((1st β€˜π‘) β‰  0 ∨ (2nd β€˜π‘) β‰  0 ))
3529, 34sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ ((1st β€˜π‘) β‰  0 ∨ (2nd β€˜π‘) β‰  0 ))
36 sitgval.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
37 sitgval.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
38 sitgval.s . . . . . 6 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
39 sitgval.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
40 sitgval.x . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
41 sitgval.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
42 sitgval.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
43 sitgadd.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
44 sitgadd.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
45 sitgadd.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
46 sitgadd.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Fre)
4736, 37, 38, 39, 40, 8, 41, 42, 43, 44, 45, 46sibfinima 33326 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (1st β€˜π‘) ∈ ran 𝐹 ∧ (2nd β€˜π‘) ∈ ran 𝐺) ∧ ((1st β€˜π‘) β‰  0 ∨ (2nd β€˜π‘) β‰  0 )) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)}))) ∈ (0[,)+∞))
483, 18, 20, 35, 47syl31anc 1373 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)}))) ∈ (0[,)+∞))
49 fnfvima 7231 . . . 4 ((𝐻 Fn ℝ ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ ∧ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)}))) ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π»β€˜(π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)})))) ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))
5012, 14, 48, 49syl3anc 1371 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (π»β€˜(π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)})))) ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))
51 imassrn 6068 . . . . . 6 (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) βŠ† ran 𝐻
5210frnd 6722 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5351, 52sstrid 3992 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
54 eqid 2732 . . . . . 6 ((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) = ((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))
5554, 5ressbas2 17178 . . . . 5 ((𝐻 β€œ (0[,)+∞)) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))))
5653, 55syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))))
573, 56syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))))
5850, 57eleqtrd 2835 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (π»β€˜(π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)})))) ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))))
5936, 37, 38, 39, 40, 8, 41, 42, 44sibff 33323 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝐽)
6036, 37tpsuni 22429 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ TopSp β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
61 feq3 6697 . . . . . . 7 (𝐡 = βˆͺ 𝐽 β†’ (𝐺:βˆͺ dom π‘€βŸΆπ΅ ↔ 𝐺:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝐽))
6245, 60, 613syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺:βˆͺ dom π‘€βŸΆπ΅ ↔ 𝐺:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝐽))
6359, 62mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:βˆͺ dom π‘€βŸΆπ΅)
6463frnd 6722 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 βŠ† 𝐡)
6564adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ ran 𝐺 βŠ† 𝐡)
6665, 20sseldd 3982 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (2nd β€˜π‘) ∈ 𝐡)
678fvexi 6902 . . . 4 𝐻 ∈ V
68 imaexg 7902 . . . 4 (𝐻 ∈ V β†’ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ∈ V)
69 eqid 2732 . . . . 5 (π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) = (π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))
7069, 36resvbas 32435 . . . 4 ((𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ∈ V β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))))
7167, 68, 70mp2b 10 . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))))
72 eqid 2732 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
7369, 72, 5resvsca 32432 . . . 4 ((𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ∈ V β†’ ((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) = (Scalarβ€˜(π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))))
7467, 68, 73mp2b 10 . . 3 ((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) = (Scalarβ€˜(π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))))
7569, 40resvvsca 32439 . . . 4 ((𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ∈ V β†’ Β· = ( ·𝑠 β€˜(π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))))
7667, 68, 75mp2b 10 . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜(π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))))
77 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞))))
7871, 74, 76, 77slmdvscl 32346 . 2 (((π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) ∈ SLMod ∧ (π»β€˜(π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)})))) ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))) ∧ (2nd β€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ ((π»β€˜(π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)})))) Β· (2nd β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
792, 58, 66, 78syl3anc 1371 1 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ ((π»β€˜(π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)})))) Β· (2nd β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4627  βŸ¨cop 4633  βˆͺ cuni 4907   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970  β„cr 11105  0cc0 11106  +∞cpnf 11241  [,)cico 13322  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  +gcplusg 17193  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  TopOpenctopn 17363  0gc0g 17381  TopSpctps 22425  Frect1 22802  SLModcslmd 32332   β†Ύv cresv 32426  β„Homcrrh 32961   ℝExt crrext 32962  sigaGencsigagen 33124  measurescmeas 33181  sitgcsitg 33316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-numer 16667  df-denom 16668  df-gz 16859  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-ordt 17443  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-ps 18515  df-tsr 18516  df-plusf 18556  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-od 19390  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-rnghom 20243  df-nzr 20284  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-abv 20417  df-lmod 20465  df-scaf 20466  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-metu 20935  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zrh 21044  df-zlm 21045  df-chr 21046  df-refld 21149  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-t1 22809  df-haus 22810  df-reg 22811  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-fcls 23436  df-cnext 23555  df-tmd 23567  df-tgp 23568  df-tsms 23622  df-trg 23655  df-ust 23696  df-utop 23727  df-uss 23752  df-usp 23753  df-ucn 23772  df-cfilu 23783  df-cusp 23794  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nrg 24085  df-nlm 24086  df-ii 24384  df-cncf 24385  df-cfil 24763  df-cmet 24765  df-cms 24843  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-slmd 32333  df-resv 32427  df-qqh 32941  df-rrh 32963  df-rrext 32967  df-esum 33014  df-siga 33095  df-sigagen 33125  df-meas 33182  df-mbfm 33236  df-sitg 33317
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator