Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitgaddlemb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sitgaddlemb 33347
Description: Lemma for * sitgadd . (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
sitgval.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
sitgval.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
sitgval.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
sitgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
sitgadd.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
sitgadd.2 (πœ‘ β†’ (π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
sitgadd.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Fre)
sitgadd.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
sitgadd.5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
sitgadd.6 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ ℝExt )
sitgadd.7 + = (+gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
sitgaddlemb ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ ((π»β€˜(π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)})))) Β· (2nd β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
Proof of Theorem sitgaddlemb
StepHypRef Expression
1 sitgadd.2 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
21adantr 482 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
3 simpl 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ πœ‘)
4 sitgadd.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ ℝExt )
5 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
65rrhfe 32992 . . . . . . . 8 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ ℝExt β†’ (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)):β„βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
74, 6syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)):β„βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
8 sitgval.h . . . . . . . 8 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
98feq1i 6709 . . . . . . 7 (𝐻:β„βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)):β„βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
107, 9sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1110ffnd 6719 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn ℝ)
123, 11syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ 𝐻 Fn ℝ)
13 rge0ssre 13433 . . . . 5 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
1413a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (0[,)+∞) βŠ† ℝ)
15 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩}))
1615eldifad 3961 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ 𝑝 ∈ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺))
17 xp1st 8007 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ ran 𝐹)
1816, 17syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ ran 𝐹)
19 xp2nd 8008 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) β†’ (2nd β€˜π‘) ∈ ran 𝐺)
2016, 19syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (2nd β€˜π‘) ∈ ran 𝐺)
2115eldifbd 3962 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩})
22 velsn 4645 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩} ↔ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
2322notbii 320 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩} ↔ Β¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
2421, 23sylib 217 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ Β¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
25 eqopi 8011 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ∧ ((1st β€˜π‘) = 0 ∧ (2nd β€˜π‘) = 0 )) β†’ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
2625ex 414 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) β†’ (((1st β€˜π‘) = 0 ∧ (2nd β€˜π‘) = 0 ) β†’ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩))
2726con3d 152 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) β†’ (Β¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩ β†’ Β¬ ((1st β€˜π‘) = 0 ∧ (2nd β€˜π‘) = 0 )))
2827imp 408 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ∧ Β¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩) β†’ Β¬ ((1st β€˜π‘) = 0 ∧ (2nd β€˜π‘) = 0 ))
2916, 24, 28syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ Β¬ ((1st β€˜π‘) = 0 ∧ (2nd β€˜π‘) = 0 ))
30 ianor 981 . . . . . . 7 (Β¬ ((1st β€˜π‘) = 0 ∧ (2nd β€˜π‘) = 0 ) ↔ (Β¬ (1st β€˜π‘) = 0 ∨ Β¬ (2nd β€˜π‘) = 0 ))
31 df-ne 2942 . . . . . . . 8 ((1st β€˜π‘) β‰  0 ↔ Β¬ (1st β€˜π‘) = 0 )
32 df-ne 2942 . . . . . . . 8 ((2nd β€˜π‘) β‰  0 ↔ Β¬ (2nd β€˜π‘) = 0 )
3331, 32orbi12i 914 . . . . . . 7 (((1st β€˜π‘) β‰  0 ∨ (2nd β€˜π‘) β‰  0 ) ↔ (Β¬ (1st β€˜π‘) = 0 ∨ Β¬ (2nd β€˜π‘) = 0 ))
3430, 33bitr4i 278 . . . . . 6 (Β¬ ((1st β€˜π‘) = 0 ∧ (2nd β€˜π‘) = 0 ) ↔ ((1st β€˜π‘) β‰  0 ∨ (2nd β€˜π‘) β‰  0 ))
3529, 34sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ ((1st β€˜π‘) β‰  0 ∨ (2nd β€˜π‘) β‰  0 ))
36 sitgval.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
37 sitgval.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
38 sitgval.s . . . . . 6 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
39 sitgval.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
40 sitgval.x . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
41 sitgval.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
42 sitgval.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
43 sitgadd.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
44 sitgadd.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
45 sitgadd.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
46 sitgadd.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Fre)
4736, 37, 38, 39, 40, 8, 41, 42, 43, 44, 45, 46sibfinima 33338 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (1st β€˜π‘) ∈ ran 𝐹 ∧ (2nd β€˜π‘) ∈ ran 𝐺) ∧ ((1st β€˜π‘) β‰  0 ∨ (2nd β€˜π‘) β‰  0 )) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)}))) ∈ (0[,)+∞))
483, 18, 20, 35, 47syl31anc 1374 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)}))) ∈ (0[,)+∞))
49 fnfvima 7235 . . . 4 ((𝐻 Fn ℝ ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ ∧ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)}))) ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π»β€˜(π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)})))) ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))
5012, 14, 48, 49syl3anc 1372 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (π»β€˜(π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)})))) ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))
51 imassrn 6071 . . . . . 6 (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) βŠ† ran 𝐻
5210frnd 6726 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5351, 52sstrid 3994 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
54 eqid 2733 . . . . . 6 ((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) = ((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))
5554, 5ressbas2 17182 . . . . 5 ((𝐻 β€œ (0[,)+∞)) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))))
5653, 55syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))))
573, 56syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))))
5850, 57eleqtrd 2836 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (π»β€˜(π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)})))) ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))))
5936, 37, 38, 39, 40, 8, 41, 42, 44sibff 33335 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝐽)
6036, 37tpsuni 22438 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ TopSp β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
61 feq3 6701 . . . . . . 7 (𝐡 = βˆͺ 𝐽 β†’ (𝐺:βˆͺ dom π‘€βŸΆπ΅ ↔ 𝐺:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝐽))
6245, 60, 613syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺:βˆͺ dom π‘€βŸΆπ΅ ↔ 𝐺:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝐽))
6359, 62mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:βˆͺ dom π‘€βŸΆπ΅)
6463frnd 6726 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 βŠ† 𝐡)
6564adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ ran 𝐺 βŠ† 𝐡)
6665, 20sseldd 3984 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (2nd β€˜π‘) ∈ 𝐡)
678fvexi 6906 . . . 4 𝐻 ∈ V
68 imaexg 7906 . . . 4 (𝐻 ∈ V β†’ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ∈ V)
69 eqid 2733 . . . . 5 (π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) = (π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))
7069, 36resvbas 32447 . . . 4 ((𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ∈ V β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))))
7167, 68, 70mp2b 10 . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))))
72 eqid 2733 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
7369, 72, 5resvsca 32444 . . . 4 ((𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ∈ V β†’ ((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) = (Scalarβ€˜(π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))))
7467, 68, 73mp2b 10 . . 3 ((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) = (Scalarβ€˜(π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))))
7569, 40resvvsca 32451 . . . 4 ((𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ∈ V β†’ Β· = ( ·𝑠 β€˜(π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))))
7667, 68, 75mp2b 10 . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜(π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))))
77 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞))))
7871, 74, 76, 77slmdvscl 32359 . 2 (((π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) ∈ SLMod ∧ (π»β€˜(π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)})))) ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))) ∧ (2nd β€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ ((π»β€˜(π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)})))) Β· (2nd β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
792, 58, 66, 78syl3anc 1372 1 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ ((π»β€˜(π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)})))) Β· (2nd β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4909   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974  β„cr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  [,)cico 13326  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  +gcplusg 17197  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  TopOpenctopn 17367  0gc0g 17385  TopSpctps 22434  Frect1 22811  SLModcslmd 32345   β†Ύv cresv 32438  β„Homcrrh 32973   ℝExt crrext 32974  sigaGencsigagen 33136  measurescmeas 33193  sitgcsitg 33328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-numer 16671  df-denom 16672  df-gz 16863  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-ordt 17447  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-plusf 18560  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-od 19396  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-nzr 20292  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-abv 20425  df-lmod 20473  df-scaf 20474  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-metu 20943  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zlm 21054  df-chr 21055  df-refld 21158  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-t1 22818  df-haus 22819  df-reg 22820  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-fcls 23445  df-cnext 23564  df-tmd 23576  df-tgp 23577  df-tsms 23631  df-trg 23664  df-ust 23705  df-utop 23736  df-uss 23761  df-usp 23762  df-ucn 23781  df-cfilu 23792  df-cusp 23803  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nrg 24094  df-nlm 24095  df-ii 24393  df-cncf 24394  df-cfil 24772  df-cmet 24774  df-cms 24852  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-slmd 32346  df-resv 32439  df-qqh 32953  df-rrh 32975  df-rrext 32979  df-esum 33026  df-siga 33107  df-sigagen 33137  df-meas 33194  df-mbfm 33248  df-sitg 33329
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator