Theorem sitgaddlemb 34313

Description: Lemma for * sitgadd . (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s	⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
sitgval.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
sitgval.h	⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
sitgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sitgadd.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
sitgadd.2	⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
sitgadd.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fre)
sitgadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgadd.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgadd.6	⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
sitgadd.7	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
sitgaddlemb	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ((𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) · (2nd ‘𝑝)) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sitgaddlemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sitgadd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
3		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝜑)
4		sitgadd.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
5		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6	5	rrhfe 33958	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
8		sitgval.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
9	8	feq1i 6738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
10	7, 9	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
11	10	ffnd 6748	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn ℝ)
12	3, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝐻 Fn ℝ)
13		rge0ssre 13516	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
15		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩}))
16	15	eldifad 3988	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺))
17		xp1st 8062	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (1st ‘𝑝) ∈ ran 𝐹)
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (1st ‘𝑝) ∈ ran 𝐹)
19		xp2nd 8063	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (2nd ‘𝑝) ∈ ran 𝐺)
20	16, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (2nd ‘𝑝) ∈ ran 𝐺)
21	15	eldifbd 3989	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ¬ 𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩})
22		velsn 4664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩} ↔ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
23	22	notbii 320	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩} ↔ ¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
24	21, 23	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
25		eqopi 8066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) ∧ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 )) → 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
26	25	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ) → 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩))
27	26	con3d 152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩ → ¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 )))
28	27	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) ∧ ¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩) → ¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ))
29	16, 24, 28	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ))
30		ianor 982	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ) ↔ (¬ (1st ‘𝑝) = 0 ∨ ¬ (2nd ‘𝑝) = 0 ))
31		df-ne 2947	. . . . . . . 8 ⊢ ((1st ‘𝑝) ≠ 0 ↔ ¬ (1st ‘𝑝) = 0 )
32		df-ne 2947	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑝) ≠ 0 ↔ ¬ (2nd ‘𝑝) = 0 )
33	31, 32	orbi12i 913	. . . . . . 7 ⊢ (((1st ‘𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd ‘𝑝) ≠ 0 ) ↔ (¬ (1st ‘𝑝) = 0 ∨ ¬ (2nd ‘𝑝) = 0 ))
34	30, 33	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ) ↔ ((1st ‘𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd ‘𝑝) ≠ 0 ))
35	29, 34	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ((1st ‘𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd ‘𝑝) ≠ 0 ))
36		sitgval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
37		sitgval.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
38		sitgval.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
39		sitgval.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
40		sitgval.x	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
41		sitgval.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
42		sitgval.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
43		sitgadd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
44		sitgadd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
45		sitgadd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
46		sitgadd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fre)
47	36, 37, 38, 39, 40, 8, 41, 42, 43, 44, 45, 46	sibfinima 34304	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (1st ‘𝑝) ∈ ran 𝐹 ∧ (2nd ‘𝑝) ∈ ran 𝐺) ∧ ((1st ‘𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd ‘𝑝) ≠ 0 )) → (𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)}))) ∈ (0[,)+∞))
48	3, 18, 20, 35, 47	syl31anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)}))) ∈ (0[,)+∞))
49		fnfvima 7270	. . . 4 ⊢ ((𝐻 Fn ℝ ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)}))) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
50	12, 14, 48, 49	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
51		imassrn 6100	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ ran 𝐻
52	10	frnd 6755	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
53	51, 52	sstrid 4020	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
54		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))) = ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))
55	54, 5	ressbas2 17296	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝐻 “ (0[,)+∞)) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
56	53, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 “ (0[,)+∞)) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
57	3, 56	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝐻 “ (0[,)+∞)) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
58	50, 57	eleqtrd 2846	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
59	36, 37, 38, 39, 40, 8, 41, 42, 44	sibff 34301	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ 𝐽)
60	36, 37	tpsuni 22963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp → 𝐵 = ∪ 𝐽)
61		feq3 6730	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∪ 𝐽 → (𝐺:∪ dom 𝑀⟶𝐵 ↔ 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ 𝐽))
62	45, 60, 61	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:∪ dom 𝑀⟶𝐵 ↔ 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ 𝐽))
63	59, 62	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ dom 𝑀⟶𝐵)
64	63	frnd 6755	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
65	64	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
66	65, 20	sseldd 4009	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (2nd ‘𝑝) ∈ 𝐵)
67	8	fvexi 6934	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ V
68		imaexg 7953	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V)
69		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) = (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞)))
70	69, 36	resvbas 33324	. . . 4 ⊢ ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V → 𝐵 = (Base‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
71	67, 68, 70	mp2b 10	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))))
72		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
73	69, 72, 5	resvsca 33321	. . . 4 ⊢ ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V → ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))) = (Scalar‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
74	67, 68, 73	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))) = (Scalar‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))))
75	69, 40	resvvsca 33328	. . . 4 ⊢ ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
76	67, 68, 75	mp2b 10	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))))
77		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))))
78	71, 74, 76, 77	slmdvscl 33193	. 2 ⊢ (((𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod ∧ (𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))) ∧ (2nd ‘𝑝) ∈ 𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) · (2nd ‘𝑝)) ∈ 𝐵)
79	2, 58, 66, 78	syl3anc 1371	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ((𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) · (2nd ‘𝑝)) ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ⟨cop 4654  ∪ cuni 4931   × cxp 5698  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700  ran crn 5701   “ cima 5703   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1^st c1st 8028  2^nd c2nd 8029  ℝcr 11183  0cc0 11184  +∞cpnf 11321  [,)cico 13409  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  +_gcplusg 17311  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  TopOpenctopn 17481  0_gc0g 17499  TopSpctps 22959  Frect1 23336  SLModcslmd 33179   ↾_v cresv 33315  ℝHomcrrh 33939   ℝExt crrext 33940  sigaGencsigagen 34102  measurescmeas 34159  sitgcsitg 34294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-ac2 10532  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-ac 10185  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-numer 16782  df-denom 16783  df-gz 16977  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-ordt 17561  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-ps 18636  df-tsr 18637  df-plusf 18677  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-od 19570  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-rhm 20498  df-nzr 20539  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-drng 20753  df-abv 20832  df-lmod 20882  df-scaf 20883  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-metu 21386  df-cnfld 21388  df-zring 21481  df-zrh 21537  df-zlm 21538  df-chr 21539  df-refld 21646  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-t1 23343  df-haus 23344  df-reg 23345  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-fcls 23970  df-cnext 24089  df-tmd 24101  df-tgp 24102  df-tsms 24156  df-trg 24189  df-ust 24230  df-utop 24261  df-uss 24286  df-usp 24287  df-ucn 24306  df-cfilu 24317  df-cusp 24328  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-nm 24616  df-ngp 24617  df-nrg 24619  df-nlm 24620  df-ii 24922  df-cncf 24923  df-cfil 25308  df-cmet 25310  df-cms 25388  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616  df-slmd 33180  df-resv 33316  df-qqh 33919  df-rrh 33941  df-rrext 33945  df-esum 33992  df-siga 34073  df-sigagen 34103  df-meas 34160  df-mbfm 34214  df-sitg 34295

This theorem is referenced by: (None)