Theorem sitgaddlemb 31716

Description: Lemma for * sitgadd . (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s	⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
sitgval.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
sitgval.h	⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
sitgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sitgadd.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
sitgadd.2	⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
sitgadd.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fre)
sitgadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgadd.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgadd.6	⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
sitgadd.7	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
sitgaddlemb	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ((𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) · (2nd ‘𝑝)) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sitgaddlemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sitgadd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
2	1	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
3		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝜑)
4		sitgadd.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
5		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6	5	rrhfe 31363	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
8		sitgval.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
9	8	feq1i 6478	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
10	7, 9	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
11	10	ffnd 6488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn ℝ)
12	3, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝐻 Fn ℝ)
13		rge0ssre 12834	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
15		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩}))
16	15	eldifad 3893	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺))
17		xp1st 7703	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (1st ‘𝑝) ∈ ran 𝐹)
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (1st ‘𝑝) ∈ ran 𝐹)
19		xp2nd 7704	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (2nd ‘𝑝) ∈ ran 𝐺)
20	16, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (2nd ‘𝑝) ∈ ran 𝐺)
21	15	eldifbd 3894	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ¬ 𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩})
22		velsn 4541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩} ↔ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
23	22	notbii 323	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩} ↔ ¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
24	21, 23	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
25		eqopi 7707	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) ∧ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 )) → 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
26	25	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ) → 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩))
27	26	con3d 155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩ → ¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 )))
28	27	imp 410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) ∧ ¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩) → ¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ))
29	16, 24, 28	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ))
30		ianor 979	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ) ↔ (¬ (1st ‘𝑝) = 0 ∨ ¬ (2nd ‘𝑝) = 0 ))
31		df-ne 2988	. . . . . . . 8 ⊢ ((1st ‘𝑝) ≠ 0 ↔ ¬ (1st ‘𝑝) = 0 )
32		df-ne 2988	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑝) ≠ 0 ↔ ¬ (2nd ‘𝑝) = 0 )
33	31, 32	orbi12i 912	. . . . . . 7 ⊢ (((1st ‘𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd ‘𝑝) ≠ 0 ) ↔ (¬ (1st ‘𝑝) = 0 ∨ ¬ (2nd ‘𝑝) = 0 ))
34	30, 33	bitr4i 281	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ) ↔ ((1st ‘𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd ‘𝑝) ≠ 0 ))
35	29, 34	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ((1st ‘𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd ‘𝑝) ≠ 0 ))
36		sitgval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
37		sitgval.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
38		sitgval.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
39		sitgval.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
40		sitgval.x	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
41		sitgval.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
42		sitgval.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
43		sitgadd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
44		sitgadd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
45		sitgadd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
46		sitgadd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fre)
47	36, 37, 38, 39, 40, 8, 41, 42, 43, 44, 45, 46	sibfinima 31707	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (1st ‘𝑝) ∈ ran 𝐹 ∧ (2nd ‘𝑝) ∈ ran 𝐺) ∧ ((1st ‘𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd ‘𝑝) ≠ 0 )) → (𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)}))) ∈ (0[,)+∞))
48	3, 18, 20, 35, 47	syl31anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)}))) ∈ (0[,)+∞))
49		fnfvima 6973	. . . 4 ⊢ ((𝐻 Fn ℝ ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)}))) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
50	12, 14, 48, 49	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
51		imassrn 5907	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ ran 𝐻
52	10	frnd 6494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
53	51, 52	sstrid 3926	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
54		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))) = ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))
55	54, 5	ressbas2 16547	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝐻 “ (0[,)+∞)) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
56	53, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 “ (0[,)+∞)) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
57	3, 56	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝐻 “ (0[,)+∞)) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
58	50, 57	eleqtrd 2892	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
59	36, 37, 38, 39, 40, 8, 41, 42, 44	sibff 31704	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ 𝐽)
60	36, 37	tpsuni 21541	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp → 𝐵 = ∪ 𝐽)
61		feq3 6470	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∪ 𝐽 → (𝐺:∪ dom 𝑀⟶𝐵 ↔ 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ 𝐽))
62	45, 60, 61	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:∪ dom 𝑀⟶𝐵 ↔ 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ 𝐽))
63	59, 62	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ dom 𝑀⟶𝐵)
64	63	frnd 6494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
65	64	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
66	65, 20	sseldd 3916	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (2nd ‘𝑝) ∈ 𝐵)
67	8	fvexi 6659	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ V
68		imaexg 7602	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V)
69		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) = (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞)))
70	69, 36	resvbas 30956	. . . 4 ⊢ ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V → 𝐵 = (Base‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
71	67, 68, 70	mp2b 10	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))))
72		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
73	69, 72, 5	resvsca 30954	. . . 4 ⊢ ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V → ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))) = (Scalar‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
74	67, 68, 73	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))) = (Scalar‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))))
75	69, 40	resvvsca 30958	. . . 4 ⊢ ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
76	67, 68, 75	mp2b 10	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))))
77		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))))
78	71, 74, 76, 77	slmdvscl 30892	. 2 ⊢ (((𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod ∧ (𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))) ∧ (2nd ‘𝑝) ∈ 𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) · (2nd ‘𝑝)) ∈ 𝐵)
79	2, 58, 66, 78	syl3anc 1368	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ((𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) · (2nd ‘𝑝)) ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ⟨cop 4531  ∪ cuni 4800   × cxp 5517  ^◡ccnv 5518  dom cdm 5519  ran crn 5520   “ cima 5522   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  1^st c1st 7669  2^nd c2nd 7670  ℝcr 10525  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  [,)cico 12728  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  +_gcplusg 16557  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  TopOpenctopn 16687  0_gc0g 16705  TopSpctps 21537  Frect1 21912  SLModcslmd 30878   ↾_v cresv 30948  ℝHomcrrh 31344   ℝExt crrext 31345  sigaGencsigagen 31507  measurescmeas 31564  sitgcsitg 31697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-ac2 9874  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-acn 9355  df-ac 9527  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-numer 16065  df-denom 16066  df-gz 16256  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-ordt 16766  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-ps 17802  df-tsr 17803  df-plusf 17843  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-od 18648  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-rnghom 19463  df-drng 19497  df-subrg 19526  df-abv 19581  df-lmod 19629  df-scaf 19630  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-nzr 20024  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-metu 20090  df-cnfld 20092  df-zring 20164  df-zrh 20197  df-zlm 20198  df-chr 20199  df-refld 20294  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-t1 21919  df-haus 21920  df-reg 21921  df-cmp 21992  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-fcls 22546  df-cnext 22665  df-tmd 22677  df-tgp 22678  df-tsms 22732  df-trg 22765  df-ust 22806  df-utop 22837  df-uss 22862  df-usp 22863  df-ucn 22882  df-cfilu 22893  df-cusp 22904  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-nm 23189  df-ngp 23190  df-nrg 23192  df-nlm 23193  df-ii 23482  df-cncf 23483  df-cfil 23859  df-cmet 23861  df-cms 23939  df-limc 24469  df-dv 24470  df-log 25148  df-slmd 30879  df-resv 30949  df-qqh 31324  df-rrh 31346  df-rrext 31350  df-esum 31397  df-siga 31478  df-sigagen 31508  df-meas 31565  df-mbfm 31619  df-sitg 31698

This theorem is referenced by: (None)