Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitgaddlemb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitgaddlemb 31885
Description: Lemma for * sitgadd . (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0 0 = (0g𝑊)
sitgval.x · = ( ·𝑠𝑊)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1 (𝜑𝑊𝑉)
sitgval.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sitgadd.1 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
sitgadd.2 (𝜑 → (𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
sitgadd.3 (𝜑𝐽 ∈ Fre)
sitgadd.4 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgadd.5 (𝜑𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgadd.6 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
sitgadd.7 + = (+g𝑊)
Assertion
Ref Expression
sitgaddlemb ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ((𝐻‘(𝑀‘((𝐹 “ {(1st𝑝)}) ∩ (𝐺 “ {(2nd𝑝)})))) · (2nd𝑝)) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sitgaddlemb
StepHypRef Expression
1 sitgadd.2 . . 3 (𝜑 → (𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
21adantr 484 . 2 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
3 simpl 486 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝜑)
4 sitgadd.6 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
5 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
65rrhfe 31532 . . . . . . . 8 ((Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
74, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
8 sitgval.h . . . . . . . 8 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
98feq1i 6495 . . . . . . 7 (𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
107, 9sylibr 237 . . . . . 6 (𝜑𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
1110ffnd 6505 . . . . 5 (𝜑𝐻 Fn ℝ)
123, 11syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝐻 Fn ℝ)
13 rge0ssre 12930 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
1413a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
15 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩}))
1615eldifad 3855 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺))
17 xp1st 7746 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (1st𝑝) ∈ ran 𝐹)
1816, 17syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (1st𝑝) ∈ ran 𝐹)
19 xp2nd 7747 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (2nd𝑝) ∈ ran 𝐺)
2016, 19syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (2nd𝑝) ∈ ran 𝐺)
2115eldifbd 3856 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ¬ 𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩})
22 velsn 4532 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩} ↔ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
2322notbii 323 . . . . . . . 8 𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩} ↔ ¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
2421, 23sylib 221 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
25 eqopi 7750 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) ∧ ((1st𝑝) = 0 ∧ (2nd𝑝) = 0 )) → 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
2625ex 416 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (((1st𝑝) = 0 ∧ (2nd𝑝) = 0 ) → 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩))
2726con3d 155 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩ → ¬ ((1st𝑝) = 0 ∧ (2nd𝑝) = 0 )))
2827imp 410 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) ∧ ¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩) → ¬ ((1st𝑝) = 0 ∧ (2nd𝑝) = 0 ))
2916, 24, 28syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ¬ ((1st𝑝) = 0 ∧ (2nd𝑝) = 0 ))
30 ianor 981 . . . . . . 7 (¬ ((1st𝑝) = 0 ∧ (2nd𝑝) = 0 ) ↔ (¬ (1st𝑝) = 0 ∨ ¬ (2nd𝑝) = 0 ))
31 df-ne 2935 . . . . . . . 8 ((1st𝑝) ≠ 0 ↔ ¬ (1st𝑝) = 0 )
32 df-ne 2935 . . . . . . . 8 ((2nd𝑝) ≠ 0 ↔ ¬ (2nd𝑝) = 0 )
3331, 32orbi12i 914 . . . . . . 7 (((1st𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd𝑝) ≠ 0 ) ↔ (¬ (1st𝑝) = 0 ∨ ¬ (2nd𝑝) = 0 ))
3430, 33bitr4i 281 . . . . . 6 (¬ ((1st𝑝) = 0 ∧ (2nd𝑝) = 0 ) ↔ ((1st𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd𝑝) ≠ 0 ))
3529, 34sylib 221 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ((1st𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd𝑝) ≠ 0 ))
36 sitgval.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑊)
37 sitgval.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
38 sitgval.s . . . . . 6 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
39 sitgval.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
40 sitgval.x . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
41 sitgval.1 . . . . . 6 (𝜑𝑊𝑉)
42 sitgval.2 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ran measures)
43 sitgadd.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
44 sitgadd.5 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
45 sitgadd.1 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
46 sitgadd.3 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Fre)
4736, 37, 38, 39, 40, 8, 41, 42, 43, 44, 45, 46sibfinima 31876 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (1st𝑝) ∈ ran 𝐹 ∧ (2nd𝑝) ∈ ran 𝐺) ∧ ((1st𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd𝑝) ≠ 0 )) → (𝑀‘((𝐹 “ {(1st𝑝)}) ∩ (𝐺 “ {(2nd𝑝)}))) ∈ (0[,)+∞))
483, 18, 20, 35, 47syl31anc 1374 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝑀‘((𝐹 “ {(1st𝑝)}) ∩ (𝐺 “ {(2nd𝑝)}))) ∈ (0[,)+∞))
49 fnfvima 7006 . . . 4 ((𝐻 Fn ℝ ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (𝑀‘((𝐹 “ {(1st𝑝)}) ∩ (𝐺 “ {(2nd𝑝)}))) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐻‘(𝑀‘((𝐹 “ {(1st𝑝)}) ∩ (𝐺 “ {(2nd𝑝)})))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
5012, 14, 48, 49syl3anc 1372 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝐻‘(𝑀‘((𝐹 “ {(1st𝑝)}) ∩ (𝐺 “ {(2nd𝑝)})))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
51 imassrn 5914 . . . . . 6 (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ ran 𝐻
5210frnd 6512 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5351, 52sstrid 3888 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
54 eqid 2738 . . . . . 6 ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))) = ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))
5554, 5ressbas2 16658 . . . . 5 ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝐻 “ (0[,)+∞)) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
5653, 55syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐻 “ (0[,)+∞)) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
573, 56syl 17 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝐻 “ (0[,)+∞)) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
5850, 57eleqtrd 2835 . 2 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝐻‘(𝑀‘((𝐹 “ {(1st𝑝)}) ∩ (𝐺 “ {(2nd𝑝)})))) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
5936, 37, 38, 39, 40, 8, 41, 42, 44sibff 31873 . . . . . 6 (𝜑𝐺: dom 𝑀 𝐽)
6036, 37tpsuni 21687 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ TopSp → 𝐵 = 𝐽)
61 feq3 6487 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐽 → (𝐺: dom 𝑀𝐵𝐺: dom 𝑀 𝐽))
6245, 60, 613syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺: dom 𝑀𝐵𝐺: dom 𝑀 𝐽))
6359, 62mpbird 260 . . . . 5 (𝜑𝐺: dom 𝑀𝐵)
6463frnd 6512 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐺𝐵)
6564adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ran 𝐺𝐵)
6665, 20sseldd 3878 . 2 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (2nd𝑝) ∈ 𝐵)
678fvexi 6688 . . . 4 𝐻 ∈ V
68 imaexg 7646 . . . 4 (𝐻 ∈ V → (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V)
69 eqid 2738 . . . . 5 (𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞))) = (𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞)))
7069, 36resvbas 31108 . . . 4 ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V → 𝐵 = (Base‘(𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
7167, 68, 70mp2b 10 . . 3 𝐵 = (Base‘(𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞))))
72 eqid 2738 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7369, 72, 5resvsca 31106 . . . 4 ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V → ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))) = (Scalar‘(𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
7467, 68, 73mp2b 10 . . 3 ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))) = (Scalar‘(𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞))))
7569, 40resvvsca 31110 . . . 4 ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘(𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
7667, 68, 75mp2b 10 . . 3 · = ( ·𝑠 ‘(𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞))))
77 eqid 2738 . . 3 (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))))
7871, 74, 76, 77slmdvscl 31044 . 2 (((𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod ∧ (𝐻‘(𝑀‘((𝐹 “ {(1st𝑝)}) ∩ (𝐺 “ {(2nd𝑝)})))) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))) ∧ (2nd𝑝) ∈ 𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘((𝐹 “ {(1st𝑝)}) ∩ (𝐺 “ {(2nd𝑝)})))) · (2nd𝑝)) ∈ 𝐵)
792, 58, 66, 78syl3anc 1372 1 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ((𝐻‘(𝑀‘((𝐹 “ {(1st𝑝)}) ∩ (𝐺 “ {(2nd𝑝)})))) · (2nd𝑝)) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  Vcvv 3398  cdif 3840  cin 3842  wss 3843  {csn 4516  cop 4522   cuni 4796   × cxp 5523  ccnv 5524  dom cdm 5525  ran crn 5526  cima 5528   Fn wfn 6334  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  1st c1st 7712  2nd c2nd 7713  cr 10614  0cc0 10615  +∞cpnf 10750  [,)cico 12823  Basecbs 16586  s cress 16587  +gcplusg 16668  Scalarcsca 16671   ·𝑠 cvsca 16672  TopOpenctopn 16798  0gc0g 16816  TopSpctps 21683  Frect1 22058  SLModcslmd 31030  v cresv 31100  ℝHomcrrh 31513   ℝExt crrext 31514  sigaGencsigagen 31676  measurescmeas 31733  sitgcsitg 31866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-ac2 9963  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-tpos 7921  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-dju 9403  df-card 9441  df-acn 9444  df-ac 9616  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ioc 12826  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-fac 13726  df-bc 13755  df-hash 13783  df-shft 14516  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-limsup 14918  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-sum 15136  df-ef 15513  df-sin 15515  df-cos 15516  df-pi 15518  df-dvds 15700  df-gcd 15938  df-numer 16175  df-denom 16176  df-gz 16366  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-ordt 16877  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-ps 17926  df-tsr 17927  df-plusf 17967  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mulg 18343  df-subg 18394  df-ghm 18474  df-cntz 18565  df-od 18774  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-oppr 19495  df-dvdsr 19513  df-unit 19514  df-invr 19544  df-dvr 19555  df-rnghom 19589  df-drng 19623  df-subrg 19652  df-abv 19707  df-lmod 19755  df-scaf 19756  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-nzr 20150  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-metu 20216  df-cnfld 20218  df-zring 20290  df-zrh 20324  df-zlm 20325  df-chr 20326  df-refld 20421  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-lp 21887  df-perf 21888  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-t1 22065  df-haus 22066  df-reg 22067  df-cmp 22138  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-fcls 22692  df-cnext 22811  df-tmd 22823  df-tgp 22824  df-tsms 22878  df-trg 22911  df-ust 22952  df-utop 22983  df-uss 23008  df-usp 23009  df-ucn 23028  df-cfilu 23039  df-cusp 23050  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-nm 23335  df-ngp 23336  df-nrg 23338  df-nlm 23339  df-ii 23629  df-cncf 23630  df-cfil 24007  df-cmet 24009  df-cms 24087  df-limc 24618  df-dv 24619  df-log 25300  df-slmd 31031  df-resv 31101  df-qqh 31493  df-rrh 31515  df-rrext 31519  df-esum 31566  df-siga 31647  df-sigagen 31677  df-meas 31734  df-mbfm 31788  df-sitg 31867
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator