Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitgaddlemb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sitgaddlemb 33646
Description: Lemma for * sitgadd . (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
sitgval.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
sitgval.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
sitgval.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
sitgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
sitgadd.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
sitgadd.2 (πœ‘ β†’ (π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
sitgadd.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Fre)
sitgadd.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
sitgadd.5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
sitgadd.6 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ ℝExt )
sitgadd.7 + = (+gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
sitgaddlemb ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ ((π»β€˜(π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)})))) Β· (2nd β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
Proof of Theorem sitgaddlemb
StepHypRef Expression
1 sitgadd.2 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
21adantr 480 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
3 simpl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ πœ‘)
4 sitgadd.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ ℝExt )
5 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
65rrhfe 33291 . . . . . . . 8 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ ℝExt β†’ (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)):β„βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
74, 6syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)):β„βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
8 sitgval.h . . . . . . . 8 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
98feq1i 6708 . . . . . . 7 (𝐻:β„βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)):β„βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
107, 9sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1110ffnd 6718 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn ℝ)
123, 11syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ 𝐻 Fn ℝ)
13 rge0ssre 13438 . . . . 5 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
1413a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (0[,)+∞) βŠ† ℝ)
15 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩}))
1615eldifad 3960 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ 𝑝 ∈ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺))
17 xp1st 8011 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ ran 𝐹)
1816, 17syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ ran 𝐹)
19 xp2nd 8012 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) β†’ (2nd β€˜π‘) ∈ ran 𝐺)
2016, 19syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (2nd β€˜π‘) ∈ ran 𝐺)
2115eldifbd 3961 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩})
22 velsn 4644 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩} ↔ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
2322notbii 320 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩} ↔ Β¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
2421, 23sylib 217 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ Β¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
25 eqopi 8015 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ∧ ((1st β€˜π‘) = 0 ∧ (2nd β€˜π‘) = 0 )) β†’ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
2625ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) β†’ (((1st β€˜π‘) = 0 ∧ (2nd β€˜π‘) = 0 ) β†’ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩))
2726con3d 152 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) β†’ (Β¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩ β†’ Β¬ ((1st β€˜π‘) = 0 ∧ (2nd β€˜π‘) = 0 )))
2827imp 406 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ∧ Β¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩) β†’ Β¬ ((1st β€˜π‘) = 0 ∧ (2nd β€˜π‘) = 0 ))
2916, 24, 28syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ Β¬ ((1st β€˜π‘) = 0 ∧ (2nd β€˜π‘) = 0 ))
30 ianor 979 . . . . . . 7 (Β¬ ((1st β€˜π‘) = 0 ∧ (2nd β€˜π‘) = 0 ) ↔ (Β¬ (1st β€˜π‘) = 0 ∨ Β¬ (2nd β€˜π‘) = 0 ))
31 df-ne 2940 . . . . . . . 8 ((1st β€˜π‘) β‰  0 ↔ Β¬ (1st β€˜π‘) = 0 )
32 df-ne 2940 . . . . . . . 8 ((2nd β€˜π‘) β‰  0 ↔ Β¬ (2nd β€˜π‘) = 0 )
3331, 32orbi12i 912 . . . . . . 7 (((1st β€˜π‘) β‰  0 ∨ (2nd β€˜π‘) β‰  0 ) ↔ (Β¬ (1st β€˜π‘) = 0 ∨ Β¬ (2nd β€˜π‘) = 0 ))
3430, 33bitr4i 278 . . . . . 6 (Β¬ ((1st β€˜π‘) = 0 ∧ (2nd β€˜π‘) = 0 ) ↔ ((1st β€˜π‘) β‰  0 ∨ (2nd β€˜π‘) β‰  0 ))
3529, 34sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ ((1st β€˜π‘) β‰  0 ∨ (2nd β€˜π‘) β‰  0 ))
36 sitgval.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
37 sitgval.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
38 sitgval.s . . . . . 6 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
39 sitgval.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
40 sitgval.x . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
41 sitgval.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
42 sitgval.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
43 sitgadd.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
44 sitgadd.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
45 sitgadd.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
46 sitgadd.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Fre)
4736, 37, 38, 39, 40, 8, 41, 42, 43, 44, 45, 46sibfinima 33637 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (1st β€˜π‘) ∈ ran 𝐹 ∧ (2nd β€˜π‘) ∈ ran 𝐺) ∧ ((1st β€˜π‘) β‰  0 ∨ (2nd β€˜π‘) β‰  0 )) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)}))) ∈ (0[,)+∞))
483, 18, 20, 35, 47syl31anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)}))) ∈ (0[,)+∞))
49 fnfvima 7237 . . . 4 ((𝐻 Fn ℝ ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ ∧ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)}))) ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π»β€˜(π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)})))) ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))
5012, 14, 48, 49syl3anc 1370 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (π»β€˜(π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)})))) ∈ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))
51 imassrn 6070 . . . . . 6 (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) βŠ† ran 𝐻
5210frnd 6725 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5351, 52sstrid 3993 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
54 eqid 2731 . . . . . 6 ((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) = ((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))
5554, 5ressbas2 17187 . . . . 5 ((𝐻 β€œ (0[,)+∞)) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))))
5653, 55syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))))
573, 56syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))))
5850, 57eleqtrd 2834 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (π»β€˜(π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)})))) ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))))
5936, 37, 38, 39, 40, 8, 41, 42, 44sibff 33634 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝐽)
6036, 37tpsuni 22659 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ TopSp β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
61 feq3 6700 . . . . . . 7 (𝐡 = βˆͺ 𝐽 β†’ (𝐺:βˆͺ dom π‘€βŸΆπ΅ ↔ 𝐺:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝐽))
6245, 60, 613syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺:βˆͺ dom π‘€βŸΆπ΅ ↔ 𝐺:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝐽))
6359, 62mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:βˆͺ dom π‘€βŸΆπ΅)
6463frnd 6725 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 βŠ† 𝐡)
6564adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ ran 𝐺 βŠ† 𝐡)
6665, 20sseldd 3983 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ (2nd β€˜π‘) ∈ 𝐡)
678fvexi 6905 . . . 4 𝐻 ∈ V
68 imaexg 7910 . . . 4 (𝐻 ∈ V β†’ (𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ∈ V)
69 eqid 2731 . . . . 5 (π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) = (π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))
7069, 36resvbas 32718 . . . 4 ((𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ∈ V β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))))
7167, 68, 70mp2b 10 . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))))
72 eqid 2731 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
7369, 72, 5resvsca 32715 . . . 4 ((𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ∈ V β†’ ((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) = (Scalarβ€˜(π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))))
7467, 68, 73mp2b 10 . . 3 ((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) = (Scalarβ€˜(π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))))
7569, 40resvvsca 32722 . . . 4 ((𝐻 β€œ (0[,)+∞)) ∈ V β†’ Β· = ( ·𝑠 β€˜(π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))))
7667, 68, 75mp2b 10 . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜(π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))))
77 eqid 2731 . . 3 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞))))
7871, 74, 76, 77slmdvscl 32630 . 2 (((π‘Š β†Ύv (𝐻 β€œ (0[,)+∞))) ∈ SLMod ∧ (π»β€˜(π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)})))) ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs (𝐻 β€œ (0[,)+∞)))) ∧ (2nd β€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ ((π»β€˜(π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)})))) Β· (2nd β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
792, 58, 66, 78syl3anc 1370 1 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) βˆ– {⟨ 0 , 0 ⟩})) β†’ ((π»β€˜(π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {(1st β€˜π‘)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(2nd β€˜π‘)})))) Β· (2nd β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  1st c1st 7977  2nd c2nd 7978  β„cr 11113  0cc0 11114  +∞cpnf 11250  [,)cico 13331  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  +gcplusg 17202  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  TopOpenctopn 17372  0gc0g 17390  TopSpctps 22655  Frect1 23032  SLModcslmd 32616   β†Ύv cresv 32709  β„Homcrrh 33272   ℝExt crrext 33273  sigaGencsigagen 33435  measurescmeas 33492  sitgcsitg 33627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-ac2 10462  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-acn 9941  df-ac 10115  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-numer 16676  df-denom 16677  df-gz 16868  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-ordt 17452  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-ps 18524  df-tsr 18525  df-plusf 18565  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-od 19438  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-nzr 20405  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-abv 20569  df-lmod 20617  df-scaf 20618  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-metu 21144  df-cnfld 21146  df-zring 21219  df-zrh 21273  df-zlm 21274  df-chr 21275  df-refld 21378  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-t1 23039  df-haus 23040  df-reg 23041  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-fcls 23666  df-cnext 23785  df-tmd 23797  df-tgp 23798  df-tsms 23852  df-trg 23885  df-ust 23926  df-utop 23957  df-uss 23982  df-usp 23983  df-ucn 24002  df-cfilu 24013  df-cusp 24024  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-nm 24312  df-ngp 24313  df-nrg 24315  df-nlm 24316  df-ii 24618  df-cncf 24619  df-cfil 25004  df-cmet 25006  df-cms 25084  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-slmd 32617  df-resv 32710  df-qqh 33252  df-rrh 33274  df-rrext 33278  df-esum 33325  df-siga 33406  df-sigagen 33436  df-meas 33493  df-mbfm 33547  df-sitg 33628
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator