Theorem sitgaddlemb 35091

Description: Lemma for * sitgadd . (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s	⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
sitgval.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
sitgval.h	⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
sitgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sitgadd.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
sitgadd.2	⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
sitgadd.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fre)
sitgadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgadd.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgadd.6	⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
sitgadd.7	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
sitgaddlemb	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ((𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) · (2nd ‘𝑝)) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sitgaddlemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sitgadd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
3		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝜑)
4		sitgadd.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
5		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6	5	rrhfe 34755	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
7	4, 6	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
8		sitgval.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
9	8	feq1i 6730	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
10	7, 9	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
11	10	ffnd 6740	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn ℝ)
12	3, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝐻 Fn ℝ)
13		rge0ssre 13627	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
15		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩}))
16	15	eldifad 4054	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺))
17		xp1st 8067	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (1st ‘𝑝) ∈ ran 𝐹)
18	16, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (1st ‘𝑝) ∈ ran 𝐹)
19		xp2nd 8068	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (2nd ‘𝑝) ∈ ran 𝐺)
20	16, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (2nd ‘𝑝) ∈ ran 𝐺)
21	15	eldifbd 4055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ¬ 𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩})
22		velsn 4600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩} ↔ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
23	22	notbii 323	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩} ↔ ¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
24	21, 23	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
25		eqopi 8071	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) ∧ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 )) → 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
26	25	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ) → 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩))
27	26	con3d 153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩ → ¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 )))
28	27	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) ∧ ¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩) → ¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ))
29	16, 24, 28	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ))
30		ianor 997	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ) ↔ (¬ (1st ‘𝑝) = 0 ∨ ¬ (2nd ‘𝑝) = 0 ))
31		df-ne 2960	. . . . . . . 8 ⊢ ((1st ‘𝑝) ≠ 0 ↔ ¬ (1st ‘𝑝) = 0 )
32		df-ne 2960	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑝) ≠ 0 ↔ ¬ (2nd ‘𝑝) = 0 )
33	31, 32	orbi12i 928	. . . . . . 7 ⊢ (((1st ‘𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd ‘𝑝) ≠ 0 ) ↔ (¬ (1st ‘𝑝) = 0 ∨ ¬ (2nd ‘𝑝) = 0 ))
34	30, 33	bitr4i 281	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ) ↔ ((1st ‘𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd ‘𝑝) ≠ 0 ))
35	29, 34	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ((1st ‘𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd ‘𝑝) ≠ 0 ))
36		sitgval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
37		sitgval.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
38		sitgval.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
39		sitgval.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
40		sitgval.x	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
41		sitgval.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
42		sitgval.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
43		sitgadd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
44		sitgadd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
45		sitgadd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
46		sitgadd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fre)
47	36, 37, 38, 39, 40, 8, 41, 42, 43, 44, 45, 46	sibfinima 35082	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (1st ‘𝑝) ∈ ran 𝐹 ∧ (2nd ‘𝑝) ∈ ran 𝐺) ∧ ((1st ‘𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd ‘𝑝) ≠ 0 )) → (𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)}))) ∈ (0[,)+∞))
48	3, 18, 20, 35, 47	syl31anc 1401	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)}))) ∈ (0[,)+∞))
49		fnfvima 7270	. . . 4 ⊢ ((𝐻 Fn ℝ ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)}))) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
50	12, 14, 48, 49	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
51		imassrn 6216	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ ran 𝐻
52	10	frnd 6748	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
53	51, 52	sstrid 3924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
54		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))) = ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))
55	54, 5	ressbas2 17460	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝐻 “ (0[,)+∞)) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
56	53, 55	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 “ (0[,)+∞)) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
57	3, 56	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝐻 “ (0[,)+∞)) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
58	50, 57	eleqtrd 2866	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
59	36, 37, 38, 39, 40, 8, 41, 42, 44	sibff 35079	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ 𝐽)
60	36, 37	tpsuni 23309	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp → 𝐵 = ∪ 𝐽)
61		feq3 6719	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∪ 𝐽 → (𝐺:∪ dom 𝑀⟶𝐵 ↔ 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ 𝐽))
62	45, 60, 61	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:∪ dom 𝑀⟶𝐵 ↔ 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ 𝐽))
63	59, 62	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ dom 𝑀⟶𝐵)
64	63	frnd 6748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
65	64	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
66	65, 20	sseldd 3914	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (2nd ‘𝑝) ∈ 𝐵)
67	8	fvexi 6930	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ V
68		imaexg 7959	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V)
69		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) = (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞)))
70	69, 36	resvbas 33999	. . . 4 ⊢ ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V → 𝐵 = (Base‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
71	67, 68, 70	mp2b 10	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))))
72		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
73	69, 72, 5	resvsca 33997	. . . 4 ⊢ ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V → ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))) = (Scalar‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
74	67, 68, 73	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))) = (Scalar‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))))
75	69, 40	resvvsca 34001	. . . 4 ⊢ ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
76	67, 68, 75	mp2b 10	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))))
77		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))))
78	71, 74, 76, 77	slmdvscl 33874	. 2 ⊢ (((𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod ∧ (𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))) ∧ (2nd ‘𝑝) ∈ 𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) · (2nd ‘𝑝)) ∈ 𝐵)
79	2, 58, 66, 78	syl3anc 1399	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ((𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) · (2nd ‘𝑝)) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092  {csn 4588  ⟨cop 4840  ∪ cuni 4872   × cxp 5656  ^◡ccnv 5657  dom cdm 5658  ran crn 5659   “ cima 5661   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1^st c1st 8033  2^nd c2nd 8034  ℝcr 11238  0cc0 11239  +∞cpnf 11379  [,)cico 13518  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  +_gcplusg 17472  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  TopOpenctopn 17642  0_gc0g 17660  TopSpctps 23305  Frect1 23680  SLModcslmd 33860   ↾_v cresv 33991  ℝHomcrrh 34736   ℝExt crrext 34737  sigaGencsigagen 34882  measurescmeas 34939  sitgcsitg 35072

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-pi 16282  df-dvds 16467  df-gcd 16709  df-numer 16955  df-denom 16956  df-gz 17152  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-ordt 17723  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-ps 18790  df-tsr 18791  df-plusf 18865  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-od 19793  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-rhm 20753  df-nzr 20814  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-drng 21033  df-abv 21117  df-lmod 21188  df-scaf 21189  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-metu 21728  df-cnfld 21730  df-zring 21807  df-zrh 21864  df-zlm 21865  df-chr 21866  df-refld 21966  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-t1 23687  df-haus 23688  df-reg 23689  df-cmp 23760  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-fcls 24315  df-cnext 24434  df-tmd 24446  df-tgp 24447  df-tsms 24501  df-trg 24534  df-ust 24575  df-utop 24605  df-uss 24630  df-usp 24631  df-ucn 24649  df-cfilu 24660  df-cusp 24671  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-nm 24956  df-ngp 24957  df-nrg 24959  df-nlm 24960  df-ii 25253  df-cncf 25254  df-cfil 25631  df-cmet 25633  df-cms 25711  df-limc 26241  df-dv 26242  df-log 26941  df-slmd 33861  df-resv 33992  df-qqh 34714  df-rrh 34738  df-rrext 34742  df-esum 34771  df-siga 34852  df-sigagen 34883  df-meas 34940  df-mbfm 34994  df-sitg 35073

This theorem is used by: (None)