Theorem sitgaddlemb 35027

Description: Lemma for * sitgadd . (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s	⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
sitgval.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
sitgval.h	⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
sitgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sitgadd.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
sitgadd.2	⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
sitgadd.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fre)
sitgadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgadd.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgadd.6	⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
sitgadd.7	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
sitgaddlemb	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ((𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) · (2nd ‘𝑝)) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sitgaddlemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sitgadd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
3		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝜑)
4		sitgadd.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
5		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6	5	rrhfe 34691	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
7	4, 6	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
8		sitgval.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
9	8	feq1i 6701	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
10	7, 9	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
11	10	ffnd 6711	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn ℝ)
12	3, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝐻 Fn ℝ)
13		rge0ssre 13591	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
15		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩}))
16	15	eldifad 4051	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺))
17		xp1st 8034	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (1st ‘𝑝) ∈ ran 𝐹)
18	16, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (1st ‘𝑝) ∈ ran 𝐹)
19		xp2nd 8035	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (2nd ‘𝑝) ∈ ran 𝐺)
20	16, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (2nd ‘𝑝) ∈ ran 𝐺)
21	15	eldifbd 4052	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ¬ 𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩})
22		velsn 4596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩} ↔ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
23	22	notbii 323	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩} ↔ ¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
24	21, 23	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
25		eqopi 8038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) ∧ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 )) → 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
26	25	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ) → 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩))
27	26	con3d 153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩ → ¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 )))
28	27	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) ∧ ¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩) → ¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ))
29	16, 24, 28	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ))
30		ianor 997	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ) ↔ (¬ (1st ‘𝑝) = 0 ∨ ¬ (2nd ‘𝑝) = 0 ))
31		df-ne 2956	. . . . . . . 8 ⊢ ((1st ‘𝑝) ≠ 0 ↔ ¬ (1st ‘𝑝) = 0 )
32		df-ne 2956	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑝) ≠ 0 ↔ ¬ (2nd ‘𝑝) = 0 )
33	31, 32	orbi12i 928	. . . . . . 7 ⊢ (((1st ‘𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd ‘𝑝) ≠ 0 ) ↔ (¬ (1st ‘𝑝) = 0 ∨ ¬ (2nd ‘𝑝) = 0 ))
34	30, 33	bitr4i 281	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((1st ‘𝑝) = 0 ∧ (2nd ‘𝑝) = 0 ) ↔ ((1st ‘𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd ‘𝑝) ≠ 0 ))
35	29, 34	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ((1st ‘𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd ‘𝑝) ≠ 0 ))
36		sitgval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
37		sitgval.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
38		sitgval.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
39		sitgval.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
40		sitgval.x	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
41		sitgval.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
42		sitgval.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
43		sitgadd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
44		sitgadd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
45		sitgadd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
46		sitgadd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fre)
47	36, 37, 38, 39, 40, 8, 41, 42, 43, 44, 45, 46	sibfinima 35018	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (1st ‘𝑝) ∈ ran 𝐹 ∧ (2nd ‘𝑝) ∈ ran 𝐺) ∧ ((1st ‘𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd ‘𝑝) ≠ 0 )) → (𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)}))) ∈ (0[,)+∞))
48	3, 18, 20, 35, 47	syl31anc 1400	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)}))) ∈ (0[,)+∞))
49		fnfvima 7240	. . . 4 ⊢ ((𝐻 Fn ℝ ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)}))) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
50	12, 14, 48, 49	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
51		imassrn 6197	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ ran 𝐻
52	10	frnd 6719	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
53	51, 52	sstrid 3919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
54		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))) = ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))
55	54, 5	ressbas2 17422	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝐻 “ (0[,)+∞)) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
56	53, 55	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 “ (0[,)+∞)) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
57	3, 56	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝐻 “ (0[,)+∞)) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
58	50, 57	eleqtrd 2862	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
59	36, 37, 38, 39, 40, 8, 41, 42, 44	sibff 35015	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ 𝐽)
60	36, 37	tpsuni 23260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp → 𝐵 = ∪ 𝐽)
61		feq3 6690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∪ 𝐽 → (𝐺:∪ dom 𝑀⟶𝐵 ↔ 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ 𝐽))
62	45, 60, 61	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:∪ dom 𝑀⟶𝐵 ↔ 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ 𝐽))
63	59, 62	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ dom 𝑀⟶𝐵)
64	63	frnd 6719	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
65	64	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
66	65, 20	sseldd 3909	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (2nd ‘𝑝) ∈ 𝐵)
67	8	fvexi 6900	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ V
68		imaexg 7926	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V)
69		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) = (𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞)))
70	69, 36	resvbas 33942	. . . 4 ⊢ ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V → 𝐵 = (Base‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
71	67, 68, 70	mp2b 10	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))))
72		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
73	69, 72, 5	resvsca 33940	. . . 4 ⊢ ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V → ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))) = (Scalar‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
74	67, 68, 73	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))) = (Scalar‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))))
75	69, 40	resvvsca 33944	. . . 4 ⊢ ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
76	67, 68, 75	mp2b 10	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))))
77		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))))
78	71, 74, 76, 77	slmdvscl 33822	. 2 ⊢ (((𝑊 ↾v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod ∧ (𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))) ∧ (2nd ‘𝑝) ∈ 𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) · (2nd ‘𝑝)) ∈ 𝐵)
79	2, 58, 66, 78	syl3anc 1398	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ((𝐻‘(𝑀‘((◡𝐹 “ {(1st ‘𝑝)}) ∩ (◡𝐺 “ {(2nd ‘𝑝)})))) · (2nd ‘𝑝)) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089  {csn 4584  ⟨cop 4834  ∪ cuni 4866   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651   “ cima 5653   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  1^st c1st 8000  2^nd c2nd 8001  ℝcr 11203  0cc0 11204  +∞cpnf 11344  [,)cico 13482  Basecbs 17393   ↾_s cress 17414  +_gcplusg 17434  Scalarcsca 17437   ·_𝑠 cvsca 17438  TopOpenctopn 17598  0_gc0g 17616  TopSpctps 23256  Frect1 23631  SLModcslmd 33808   ↾_v cresv 33934  ℝHomcrrh 34672   ℝExt crrext 34673  sigaGencsigagen 34818  measurescmeas 34875  sitgcsitg 35008

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283  ax-mulf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ioc 13485  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-bc 14451  df-hash 14479  df-shft 15226  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-ef 16239  df-sin 16241  df-cos 16242  df-pi 16244  df-dvds 16429  df-gcd 16671  df-numer 16917  df-denom 16918  df-gz 17114  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-pt 17621  df-prds 17624  df-ordt 17679  df-xrs 17680  df-qtop 17685  df-imas 17686  df-xps 17688  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-ps 18746  df-tsr 18747  df-plusf 18821  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mhm 18984  df-submnd 18985  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-mulg 19284  df-subg 19339  df-ghm 19434  df-cntz 19537  df-od 19748  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-cring 20468  df-oppr 20573  df-dvdsr 20593  df-unit 20594  df-invr 20624  df-dvr 20637  df-rhm 20708  df-nzr 20769  df-subrng 20804  df-subrg 20828  df-drng 20988  df-abv 21072  df-lmod 21143  df-scaf 21144  df-sra 21454  df-rgmod 21455  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-fbas 21681  df-fg 21682  df-metu 21683  df-cnfld 21685  df-zring 21759  df-zrh 21815  df-zlm 21816  df-chr 21817  df-refld 21917  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-nei 23422  df-lp 23460  df-perf 23461  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-t1 23638  df-haus 23639  df-reg 23640  df-cmp 23711  df-tx 23887  df-hmeo 24080  df-fil 24171  df-fm 24263  df-flim 24264  df-flf 24265  df-fcls 24266  df-cnext 24385  df-tmd 24397  df-tgp 24398  df-tsms 24452  df-trg 24485  df-ust 24526  df-utop 24556  df-uss 24581  df-usp 24582  df-ucn 24600  df-cfilu 24611  df-cusp 24622  df-xms 24645  df-ms 24646  df-tms 24647  df-nm 24907  df-ngp 24908  df-nrg 24910  df-nlm 24911  df-ii 25204  df-cncf 25205  df-cfil 25582  df-cmet 25584  df-cms 25662  df-limc 26192  df-dv 26193  df-log 26890  df-slmd 33809  df-resv 33935  df-qqh 34650  df-rrh 34674  df-rrext 34678  df-esum 34707  df-siga 34788  df-sigagen 34819  df-meas 34876  df-mbfm 34930  df-sitg 35009

This theorem is used by: (None)