Theorem hvmulcl 29420

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 29412	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7434	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7307  ℂcc 10915   ℋchba 29326   ·_ℎ csm 29328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-hfvmul 29412

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-fv 6466  df-ov 7310

This theorem is referenced by:  hvmulcli  29421  hvsubf  29422  hvsubcl  29424  hv2neg  29435  hvaddsubval  29440  hvsub4  29444  hvaddsub12  29445  hvpncan  29446  hvaddsubass  29448  hvsubass  29451  hvsubdistr1  29456  hvsubdistr2  29457  hvaddeq0  29476  hvmulcan  29479  hvmulcan2  29480  hvsubcan  29481  his5  29493  his35  29495  hiassdi  29498  his2sub  29499  hilablo  29567  helch  29650  ocsh  29690  h1de2ci  29963  spansncol  29975  spanunsni  29986  mayete3i  30135  homcl  30153  homulcl  30166  unoplin  30327  hmoplin  30349  bramul  30353  bralnfn  30355  brafnmul  30358  kbop  30360  kbmul  30362  lnopmul  30374  lnopaddmuli  30380  lnopsubmuli  30382  lnopmulsubi  30383  0lnfn  30392  nmlnop0iALT  30402  lnopmi  30407  lnophsi  30408  lnopcoi  30410  lnopeq0i  30414  nmbdoplbi  30431  nmcexi  30433  nmcoplbi  30435  lnfnmuli  30451  lnfnaddmuli  30452  nmbdfnlbi  30456  nmcfnlbi  30459  nlelshi  30467  riesz3i  30469  cnlnadjlem2  30475  cnlnadjlem6  30479  adjlnop  30493  nmopcoi  30502  branmfn  30512  cnvbramul  30522  kbass2  30524  kbass5  30527  superpos  30761  cdj1i  30840