Theorem hvmulcl 30915

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 30907	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7497	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℂcc 11042   ℋchba 30821   ·_ℎ csm 30823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-hfvmul 30907

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372

This theorem is referenced by:  hvmulcli  30916  hvsubf  30917  hvsubcl  30919  hv2neg  30930  hvaddsubval  30935  hvsub4  30939  hvaddsub12  30940  hvpncan  30941  hvaddsubass  30943  hvsubass  30946  hvsubdistr1  30951  hvsubdistr2  30952  hvaddeq0  30971  hvmulcan  30974  hvmulcan2  30975  hvsubcan  30976  his5  30988  his35  30990  hiassdi  30993  his2sub  30994  hilablo  31062  helch  31145  ocsh  31185  h1de2ci  31458  spansncol  31470  spanunsni  31481  mayete3i  31630  homcl  31648  homulcl  31661  unoplin  31822  hmoplin  31844  bramul  31848  bralnfn  31850  brafnmul  31853  kbop  31855  kbmul  31857  lnopmul  31869  lnopaddmuli  31875  lnopsubmuli  31877  lnopmulsubi  31878  0lnfn  31887  nmlnop0iALT  31897  lnopmi  31902  lnophsi  31903  lnopcoi  31905  lnopeq0i  31909  nmbdoplbi  31926  nmcexi  31928  nmcoplbi  31930  lnfnmuli  31946  lnfnaddmuli  31947  nmbdfnlbi  31951  nmcfnlbi  31954  nlelshi  31962  riesz3i  31964  cnlnadjlem2  31970  cnlnadjlem6  31974  adjlnop  31988  nmopcoi  31997  branmfn  32007  cnvbramul  32017  kbass2  32019  kbass5  32022  superpos  32256  cdj1i  32335