Theorem hvmulcl 31102

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 31094	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7484	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℂcc 11027   ℋchba 31008   ·_ℎ csm 31010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-hfvmul 31094

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-ov 7359

This theorem is referenced by:  hvmulcli  31103  hvsubf  31104  hvsubcl  31106  hv2neg  31117  hvaddsubval  31122  hvsub4  31126  hvaddsub12  31127  hvpncan  31128  hvaddsubass  31130  hvsubass  31133  hvsubdistr1  31138  hvsubdistr2  31139  hvaddeq0  31158  hvmulcan  31161  hvmulcan2  31162  hvsubcan  31163  his5  31175  his35  31177  hiassdi  31180  his2sub  31181  hilablo  31249  helch  31332  ocsh  31372  h1de2ci  31645  spansncol  31657  spanunsni  31668  mayete3i  31817  homcl  31835  homulcl  31848  unoplin  32009  hmoplin  32031  bramul  32035  bralnfn  32037  brafnmul  32040  kbop  32042  kbmul  32044  lnopmul  32056  lnopaddmuli  32062  lnopsubmuli  32064  lnopmulsubi  32065  0lnfn  32074  nmlnop0iALT  32084  lnopmi  32089  lnophsi  32090  lnopcoi  32092  lnopeq0i  32096  nmbdoplbi  32113  nmcexi  32115  nmcoplbi  32117  lnfnmuli  32133  lnfnaddmuli  32134  nmbdfnlbi  32138  nmcfnlbi  32141  nlelshi  32149  riesz3i  32151  cnlnadjlem2  32157  cnlnadjlem6  32161  adjlnop  32175  nmopcoi  32184  branmfn  32194  cnvbramul  32204  kbass2  32206  kbass5  32209  superpos  32443  cdj1i  32522