Theorem hvmulcl 30949

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 30941	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7520	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   ℋchba 30855   ·_ℎ csm 30857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-hfvmul 30941

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393

This theorem is referenced by:  hvmulcli  30950  hvsubf  30951  hvsubcl  30953  hv2neg  30964  hvaddsubval  30969  hvsub4  30973  hvaddsub12  30974  hvpncan  30975  hvaddsubass  30977  hvsubass  30980  hvsubdistr1  30985  hvsubdistr2  30986  hvaddeq0  31005  hvmulcan  31008  hvmulcan2  31009  hvsubcan  31010  his5  31022  his35  31024  hiassdi  31027  his2sub  31028  hilablo  31096  helch  31179  ocsh  31219  h1de2ci  31492  spansncol  31504  spanunsni  31515  mayete3i  31664  homcl  31682  homulcl  31695  unoplin  31856  hmoplin  31878  bramul  31882  bralnfn  31884  brafnmul  31887  kbop  31889  kbmul  31891  lnopmul  31903  lnopaddmuli  31909  lnopsubmuli  31911  lnopmulsubi  31912  0lnfn  31921  nmlnop0iALT  31931  lnopmi  31936  lnophsi  31937  lnopcoi  31939  lnopeq0i  31943  nmbdoplbi  31960  nmcexi  31962  nmcoplbi  31964  lnfnmuli  31980  lnfnaddmuli  31981  nmbdfnlbi  31985  nmcfnlbi  31988  nlelshi  31996  riesz3i  31998  cnlnadjlem2  32004  cnlnadjlem6  32008  adjlnop  32022  nmopcoi  32031  branmfn  32041  cnvbramul  32051  kbass2  32053  kbass5  32056  superpos  32290  cdj1i  32369