Theorem hvmulcl 31037

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 31029	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7484	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  ℂcc 11022   ℋchba 30943   ·_ℎ csm 30945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-hfvmul 31029

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7359

This theorem is referenced by:  hvmulcli  31038  hvsubf  31039  hvsubcl  31041  hv2neg  31052  hvaddsubval  31057  hvsub4  31061  hvaddsub12  31062  hvpncan  31063  hvaddsubass  31065  hvsubass  31068  hvsubdistr1  31073  hvsubdistr2  31074  hvaddeq0  31093  hvmulcan  31096  hvmulcan2  31097  hvsubcan  31098  his5  31110  his35  31112  hiassdi  31115  his2sub  31116  hilablo  31184  helch  31267  ocsh  31307  h1de2ci  31580  spansncol  31592  spanunsni  31603  mayete3i  31752  homcl  31770  homulcl  31783  unoplin  31944  hmoplin  31966  bramul  31970  bralnfn  31972  brafnmul  31975  kbop  31977  kbmul  31979  lnopmul  31991  lnopaddmuli  31997  lnopsubmuli  31999  lnopmulsubi  32000  0lnfn  32009  nmlnop0iALT  32019  lnopmi  32024  lnophsi  32025  lnopcoi  32027  lnopeq0i  32031  nmbdoplbi  32048  nmcexi  32050  nmcoplbi  32052  lnfnmuli  32068  lnfnaddmuli  32069  nmbdfnlbi  32073  nmcfnlbi  32076  nlelshi  32084  riesz3i  32086  cnlnadjlem2  32092  cnlnadjlem6  32096  adjlnop  32110  nmopcoi  32119  branmfn  32129  cnvbramul  32139  kbass2  32141  kbass5  32144  superpos  32378  cdj1i  32457