Theorem hvmulcl 31045

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 31037	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7578	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   ℋchba 30951   ·_ℎ csm 30953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-hfvmul 31037

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451

This theorem is referenced by:  hvmulcli  31046  hvsubf  31047  hvsubcl  31049  hv2neg  31060  hvaddsubval  31065  hvsub4  31069  hvaddsub12  31070  hvpncan  31071  hvaddsubass  31073  hvsubass  31076  hvsubdistr1  31081  hvsubdistr2  31082  hvaddeq0  31101  hvmulcan  31104  hvmulcan2  31105  hvsubcan  31106  his5  31118  his35  31120  hiassdi  31123  his2sub  31124  hilablo  31192  helch  31275  ocsh  31315  h1de2ci  31588  spansncol  31600  spanunsni  31611  mayete3i  31760  homcl  31778  homulcl  31791  unoplin  31952  hmoplin  31974  bramul  31978  bralnfn  31980  brafnmul  31983  kbop  31985  kbmul  31987  lnopmul  31999  lnopaddmuli  32005  lnopsubmuli  32007  lnopmulsubi  32008  0lnfn  32017  nmlnop0iALT  32027  lnopmi  32032  lnophsi  32033  lnopcoi  32035  lnopeq0i  32039  nmbdoplbi  32056  nmcexi  32058  nmcoplbi  32060  lnfnmuli  32076  lnfnaddmuli  32077  nmbdfnlbi  32081  nmcfnlbi  32084  nlelshi  32092  riesz3i  32094  cnlnadjlem2  32100  cnlnadjlem6  32104  adjlnop  32118  nmopcoi  32127  branmfn  32137  cnvbramul  32147  kbass2  32149  kbass5  32152  superpos  32386  cdj1i  32465