Theorem hvmulcl 28784

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 28776	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7273	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  ℂcc 10529   ℋchba 28690   ·_ℎ csm 28692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pr 5322  ax-hfvmul 28776

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-fv 6358  df-ov 7153

This theorem is referenced by:  hvmulcli  28785  hvsubf  28786  hvsubcl  28788  hv2neg  28799  hvaddsubval  28804  hvsub4  28808  hvaddsub12  28809  hvpncan  28810  hvaddsubass  28812  hvsubass  28815  hvsubdistr1  28820  hvsubdistr2  28821  hvaddeq0  28840  hvmulcan  28843  hvmulcan2  28844  hvsubcan  28845  his5  28857  his35  28859  hiassdi  28862  his2sub  28863  hilablo  28931  helch  29014  ocsh  29054  h1de2ci  29327  spansncol  29339  spanunsni  29350  mayete3i  29499  homcl  29517  homulcl  29530  unoplin  29691  hmoplin  29713  bramul  29717  bralnfn  29719  brafnmul  29722  kbop  29724  kbmul  29726  lnopmul  29738  lnopaddmuli  29744  lnopsubmuli  29746  lnopmulsubi  29747  0lnfn  29756  nmlnop0iALT  29766  lnopmi  29771  lnophsi  29772  lnopcoi  29774  lnopeq0i  29778  nmbdoplbi  29795  nmcexi  29797  nmcoplbi  29799  lnfnmuli  29815  lnfnaddmuli  29816  nmbdfnlbi  29820  nmcfnlbi  29823  nlelshi  29831  riesz3i  29833  cnlnadjlem2  29839  cnlnadjlem6  29843  adjlnop  29857  nmopcoi  29866  branmfn  29876  cnvbramul  29886  kbass2  29888  kbass5  29891  superpos  30125  cdj1i  30204