Theorem hvmulcl 31213

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 31205	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7524	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396  ℂcc 11071   ℋchba 31119   ·_ℎ csm 31121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-hfvmul 31205

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529  df-ov 7399

This theorem is referenced by:  hvmulcli  31214  hvsubf  31215  hvsubcl  31217  hv2neg  31228  hvaddsubval  31233  hvsub4  31237  hvaddsub12  31238  hvpncan  31239  hvaddsubass  31241  hvsubass  31244  hvsubdistr1  31249  hvsubdistr2  31250  hvaddeq0  31269  hvmulcan  31272  hvmulcan2  31273  hvsubcan  31274  his5  31286  his35  31288  hiassdi  31291  his2sub  31292  hilablo  31360  helch  31443  ocsh  31483  h1de2ci  31756  spansncol  31768  spanunsni  31779  mayete3i  31928  homcl  31946  homulcl  31959  unoplin  32120  hmoplin  32142  bramul  32146  bralnfn  32148  brafnmul  32151  kbop  32153  kbmul  32155  lnopmul  32167  lnopaddmuli  32173  lnopsubmuli  32175  lnopmulsubi  32176  0lnfn  32185  nmlnop0iALT  32195  lnopmi  32200  lnophsi  32201  lnopcoi  32203  lnopeq0i  32207  nmbdoplbi  32224  nmcexi  32226  nmcoplbi  32228  lnfnmuli  32244  lnfnaddmuli  32245  nmbdfnlbi  32249  nmcfnlbi  32252  nlelshi  32260  riesz3i  32262  cnlnadjlem2  32268  cnlnadjlem6  32272  adjlnop  32286  nmopcoi  32295  branmfn  32305  cnvbramul  32315  kbass2  32317  kbass5  32320  superpos  32554  cdj1i  32633