Theorem hvmulcl 31624

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 31616	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7552	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424  ℂcc 11205   ℋchba 31530   ·_ℎ csm 31532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-hfvmul 31616

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7427

This theorem is used by:  hvmulcli  31625  hvsubf  31626  hvsubcl  31628  hv2neg  31639  hvaddsubval  31644  hvsub4  31648  hvaddsub12  31649  hvpncan  31650  hvaddsubass  31652  hvsubass  31655  hvsubdistr1  31660  hvsubdistr2  31661  hvaddeq0  31680  hvmulcan  31683  hvmulcan2  31684  hvsubcan  31685  his5  31697  his35  31699  hiassdi  31702  his2sub  31703  hilablo  31771  helch  31854  ocsh  31894  h1de2ci  32167  spansncol  32179  spanunsni  32190  mayete3i  32339  homcl  32357  homulcl  32370  unoplin  32531  hmoplin  32553  bramul  32557  bralnfn  32559  brafnmul  32562  kbop  32564  kbmul  32566  lnopmul  32578  lnopaddmuli  32584  lnopsubmuli  32586  lnopmulsubi  32587  0lnfn  32596  nmlnop0iALT  32606  lnopmi  32611  lnophsi  32612  lnopcoi  32614  lnopeq0i  32618  nmbdoplbi  32635  nmcexi  32637  nmcoplbi  32639  lnfnmuli  32655  lnfnaddmuli  32656  nmbdfnlbi  32660  nmcfnlbi  32663  nlelshi  32671  riesz3i  32673  cnlnadjlem2  32679  cnlnadjlem6  32683  adjlnop  32697  nmopcoi  32706  branmfn  32716  cnvbramul  32726  kbass2  32728  kbass5  32731  superpos  32965  cdj1i  33044