Theorem hvmulcl 31084

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 31076	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7495	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   ℋchba 30990   ·_ℎ csm 30992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-hfvmul 31076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370

This theorem is referenced by:  hvmulcli  31085  hvsubf  31086  hvsubcl  31088  hv2neg  31099  hvaddsubval  31104  hvsub4  31108  hvaddsub12  31109  hvpncan  31110  hvaddsubass  31112  hvsubass  31115  hvsubdistr1  31120  hvsubdistr2  31121  hvaddeq0  31140  hvmulcan  31143  hvmulcan2  31144  hvsubcan  31145  his5  31157  his35  31159  hiassdi  31162  his2sub  31163  hilablo  31231  helch  31314  ocsh  31354  h1de2ci  31627  spansncol  31639  spanunsni  31650  mayete3i  31799  homcl  31817  homulcl  31830  unoplin  31991  hmoplin  32013  bramul  32017  bralnfn  32019  brafnmul  32022  kbop  32024  kbmul  32026  lnopmul  32038  lnopaddmuli  32044  lnopsubmuli  32046  lnopmulsubi  32047  0lnfn  32056  nmlnop0iALT  32066  lnopmi  32071  lnophsi  32072  lnopcoi  32074  lnopeq0i  32078  nmbdoplbi  32095  nmcexi  32097  nmcoplbi  32099  lnfnmuli  32115  lnfnaddmuli  32116  nmbdfnlbi  32120  nmcfnlbi  32123  nlelshi  32131  riesz3i  32133  cnlnadjlem2  32139  cnlnadjlem6  32143  adjlnop  32157  nmopcoi  32166  branmfn  32176  cnvbramul  32186  kbass2  32188  kbass5  32191  superpos  32425  cdj1i  32504