Theorem hvmulcl 31305

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 31297	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7539	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℂcc 11097   ℋchba 31211   ·_ℎ csm 31213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-hfvmul 31297

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414

This theorem is referenced by:  hvmulcli  31306  hvsubf  31307  hvsubcl  31309  hv2neg  31320  hvaddsubval  31325  hvsub4  31329  hvaddsub12  31330  hvpncan  31331  hvaddsubass  31333  hvsubass  31336  hvsubdistr1  31341  hvsubdistr2  31342  hvaddeq0  31361  hvmulcan  31364  hvmulcan2  31365  hvsubcan  31366  his5  31378  his35  31380  hiassdi  31383  his2sub  31384  hilablo  31452  helch  31535  ocsh  31575  h1de2ci  31848  spansncol  31860  spanunsni  31871  mayete3i  32020  homcl  32038  homulcl  32051  unoplin  32212  hmoplin  32234  bramul  32238  bralnfn  32240  brafnmul  32243  kbop  32245  kbmul  32247  lnopmul  32259  lnopaddmuli  32265  lnopsubmuli  32267  lnopmulsubi  32268  0lnfn  32277  nmlnop0iALT  32287  lnopmi  32292  lnophsi  32293  lnopcoi  32295  lnopeq0i  32299  nmbdoplbi  32316  nmcexi  32318  nmcoplbi  32320  lnfnmuli  32336  lnfnaddmuli  32337  nmbdfnlbi  32341  nmcfnlbi  32344  nlelshi  32352  riesz3i  32354  cnlnadjlem2  32360  cnlnadjlem6  32364  adjlnop  32378  nmopcoi  32387  branmfn  32397  cnvbramul  32407  kbass2  32409  kbass5  32412  superpos  32646  cdj1i  32725