Theorem hvmulcl 31099

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 31091	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7488	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   ℋchba 31005   ·_ℎ csm 31007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-hfvmul 31091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7363

This theorem is referenced by:  hvmulcli  31100  hvsubf  31101  hvsubcl  31103  hv2neg  31114  hvaddsubval  31119  hvsub4  31123  hvaddsub12  31124  hvpncan  31125  hvaddsubass  31127  hvsubass  31130  hvsubdistr1  31135  hvsubdistr2  31136  hvaddeq0  31155  hvmulcan  31158  hvmulcan2  31159  hvsubcan  31160  his5  31172  his35  31174  hiassdi  31177  his2sub  31178  hilablo  31246  helch  31329  ocsh  31369  h1de2ci  31642  spansncol  31654  spanunsni  31665  mayete3i  31814  homcl  31832  homulcl  31845  unoplin  32006  hmoplin  32028  bramul  32032  bralnfn  32034  brafnmul  32037  kbop  32039  kbmul  32041  lnopmul  32053  lnopaddmuli  32059  lnopsubmuli  32061  lnopmulsubi  32062  0lnfn  32071  nmlnop0iALT  32081  lnopmi  32086  lnophsi  32087  lnopcoi  32089  lnopeq0i  32093  nmbdoplbi  32110  nmcexi  32112  nmcoplbi  32114  lnfnmuli  32130  lnfnaddmuli  32131  nmbdfnlbi  32135  nmcfnlbi  32138  nlelshi  32146  riesz3i  32148  cnlnadjlem2  32154  cnlnadjlem6  32158  adjlnop  32172  nmopcoi  32181  branmfn  32191  cnvbramul  32201  kbass2  32203  kbass5  32206  superpos  32440  cdj1i  32519