Theorem hvmulcl 28796

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 28788	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7258	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   ℋchba 28702   ·_ℎ csm 28704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-hfvmul 28788

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138

This theorem is referenced by:  hvmulcli  28797  hvsubf  28798  hvsubcl  28800  hv2neg  28811  hvaddsubval  28816  hvsub4  28820  hvaddsub12  28821  hvpncan  28822  hvaddsubass  28824  hvsubass  28827  hvsubdistr1  28832  hvsubdistr2  28833  hvaddeq0  28852  hvmulcan  28855  hvmulcan2  28856  hvsubcan  28857  his5  28869  his35  28871  hiassdi  28874  his2sub  28875  hilablo  28943  helch  29026  ocsh  29066  h1de2ci  29339  spansncol  29351  spanunsni  29362  mayete3i  29511  homcl  29529  homulcl  29542  unoplin  29703  hmoplin  29725  bramul  29729  bralnfn  29731  brafnmul  29734  kbop  29736  kbmul  29738  lnopmul  29750  lnopaddmuli  29756  lnopsubmuli  29758  lnopmulsubi  29759  0lnfn  29768  nmlnop0iALT  29778  lnopmi  29783  lnophsi  29784  lnopcoi  29786  lnopeq0i  29790  nmbdoplbi  29807  nmcexi  29809  nmcoplbi  29811  lnfnmuli  29827  lnfnaddmuli  29828  nmbdfnlbi  29832  nmcfnlbi  29835  nlelshi  29843  riesz3i  29845  cnlnadjlem2  29851  cnlnadjlem6  29855  adjlnop  29869  nmopcoi  29878  branmfn  29888  cnvbramul  29898  kbass2  29900  kbass5  29903  superpos  30137  cdj1i  30216