Theorem hvmulcl 31032

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 31024	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7561	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   ℋchba 30938   ·_ℎ csm 30940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-hfvmul 31024

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434

This theorem is referenced by:  hvmulcli  31033  hvsubf  31034  hvsubcl  31036  hv2neg  31047  hvaddsubval  31052  hvsub4  31056  hvaddsub12  31057  hvpncan  31058  hvaddsubass  31060  hvsubass  31063  hvsubdistr1  31068  hvsubdistr2  31069  hvaddeq0  31088  hvmulcan  31091  hvmulcan2  31092  hvsubcan  31093  his5  31105  his35  31107  hiassdi  31110  his2sub  31111  hilablo  31179  helch  31262  ocsh  31302  h1de2ci  31575  spansncol  31587  spanunsni  31598  mayete3i  31747  homcl  31765  homulcl  31778  unoplin  31939  hmoplin  31961  bramul  31965  bralnfn  31967  brafnmul  31970  kbop  31972  kbmul  31974  lnopmul  31986  lnopaddmuli  31992  lnopsubmuli  31994  lnopmulsubi  31995  0lnfn  32004  nmlnop0iALT  32014  lnopmi  32019  lnophsi  32020  lnopcoi  32022  lnopeq0i  32026  nmbdoplbi  32043  nmcexi  32045  nmcoplbi  32047  lnfnmuli  32063  lnfnaddmuli  32064  nmbdfnlbi  32068  nmcfnlbi  32071  nlelshi  32079  riesz3i  32081  cnlnadjlem2  32087  cnlnadjlem6  32091  adjlnop  32105  nmopcoi  32114  branmfn  32124  cnvbramul  32134  kbass2  32136  kbass5  32139  superpos  32373  cdj1i  32452