Theorem hvmulcl 31041

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 31033	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7560	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150   ℋchba 30947   ·_ℎ csm 30949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-hfvmul 31033

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-fv 6570  df-ov 7433

This theorem is referenced by:  hvmulcli  31042  hvsubf  31043  hvsubcl  31045  hv2neg  31056  hvaddsubval  31061  hvsub4  31065  hvaddsub12  31066  hvpncan  31067  hvaddsubass  31069  hvsubass  31072  hvsubdistr1  31077  hvsubdistr2  31078  hvaddeq0  31097  hvmulcan  31100  hvmulcan2  31101  hvsubcan  31102  his5  31114  his35  31116  hiassdi  31119  his2sub  31120  hilablo  31188  helch  31271  ocsh  31311  h1de2ci  31584  spansncol  31596  spanunsni  31607  mayete3i  31756  homcl  31774  homulcl  31787  unoplin  31948  hmoplin  31970  bramul  31974  bralnfn  31976  brafnmul  31979  kbop  31981  kbmul  31983  lnopmul  31995  lnopaddmuli  32001  lnopsubmuli  32003  lnopmulsubi  32004  0lnfn  32013  nmlnop0iALT  32023  lnopmi  32028  lnophsi  32029  lnopcoi  32031  lnopeq0i  32035  nmbdoplbi  32052  nmcexi  32054  nmcoplbi  32056  lnfnmuli  32072  lnfnaddmuli  32073  nmbdfnlbi  32077  nmcfnlbi  32080  nlelshi  32088  riesz3i  32090  cnlnadjlem2  32096  cnlnadjlem6  32100  adjlnop  32114  nmopcoi  32123  branmfn  32133  cnvbramul  32143  kbass2  32145  kbass5  32148  superpos  32382  cdj1i  32461