Theorem hvmulcl 31494

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 31486	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7541	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℂcc 11122   ℋchba 31400   ·_ℎ csm 31402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-hfvmul 31486

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416

This theorem is used by:  hvmulcli  31495  hvsubf  31496  hvsubcl  31498  hv2neg  31509  hvaddsubval  31514  hvsub4  31518  hvaddsub12  31519  hvpncan  31520  hvaddsubass  31522  hvsubass  31525  hvsubdistr1  31530  hvsubdistr2  31531  hvaddeq0  31550  hvmulcan  31553  hvmulcan2  31554  hvsubcan  31555  his5  31567  his35  31569  hiassdi  31572  his2sub  31573  hilablo  31641  helch  31724  ocsh  31764  h1de2ci  32037  spansncol  32049  spanunsni  32060  mayete3i  32209  homcl  32227  homulcl  32240  unoplin  32401  hmoplin  32423  bramul  32427  bralnfn  32429  brafnmul  32432  kbop  32434  kbmul  32436  lnopmul  32448  lnopaddmuli  32454  lnopsubmuli  32456  lnopmulsubi  32457  0lnfn  32466  nmlnop0iALT  32476  lnopmi  32481  lnophsi  32482  lnopcoi  32484  lnopeq0i  32488  nmbdoplbi  32505  nmcexi  32507  nmcoplbi  32509  lnfnmuli  32525  lnfnaddmuli  32526  nmbdfnlbi  32530  nmcfnlbi  32533  nlelshi  32541  riesz3i  32543  cnlnadjlem2  32549  cnlnadjlem6  32553  adjlnop  32567  nmopcoi  32576  branmfn  32586  cnvbramul  32596  kbass2  32598  kbass5  32601  superpos  32835  cdj1i  32914