Theorem hvmulcl 30957

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 30949	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7477	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℂcc 11007   ℋchba 30863   ·_ℎ csm 30865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-hfvmul 30949

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352

This theorem is referenced by:  hvmulcli  30958  hvsubf  30959  hvsubcl  30961  hv2neg  30972  hvaddsubval  30977  hvsub4  30981  hvaddsub12  30982  hvpncan  30983  hvaddsubass  30985  hvsubass  30988  hvsubdistr1  30993  hvsubdistr2  30994  hvaddeq0  31013  hvmulcan  31016  hvmulcan2  31017  hvsubcan  31018  his5  31030  his35  31032  hiassdi  31035  his2sub  31036  hilablo  31104  helch  31187  ocsh  31227  h1de2ci  31500  spansncol  31512  spanunsni  31523  mayete3i  31672  homcl  31690  homulcl  31703  unoplin  31864  hmoplin  31886  bramul  31890  bralnfn  31892  brafnmul  31895  kbop  31897  kbmul  31899  lnopmul  31911  lnopaddmuli  31917  lnopsubmuli  31919  lnopmulsubi  31920  0lnfn  31929  nmlnop0iALT  31939  lnopmi  31944  lnophsi  31945  lnopcoi  31947  lnopeq0i  31951  nmbdoplbi  31968  nmcexi  31970  nmcoplbi  31972  lnfnmuli  31988  lnfnaddmuli  31989  nmbdfnlbi  31993  nmcfnlbi  31996  nlelshi  32004  riesz3i  32006  cnlnadjlem2  32012  cnlnadjlem6  32016  adjlnop  32030  nmopcoi  32039  branmfn  32049  cnvbramul  32059  kbass2  32061  kbass5  32064  superpos  32298  cdj1i  32377