Theorem hvmulcl 31672

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 31664	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7579	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℂcc 11237   ℋchba 31578   ·_ℎ csm 31580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-hfvmul 31664

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-ov 7454

This theorem is used by:  hvmulcli  31673  hvsubf  31674  hvsubcl  31676  hv2neg  31687  hvaddsubval  31692  hvsub4  31696  hvaddsub12  31697  hvpncan  31698  hvaddsubass  31700  hvsubass  31703  hvsubdistr1  31708  hvsubdistr2  31709  hvaddeq0  31728  hvmulcan  31731  hvmulcan2  31732  hvsubcan  31733  his5  31745  his35  31747  hiassdi  31750  his2sub  31751  hilablo  31819  helch  31902  ocsh  31942  h1de2ci  32215  spansncol  32227  spanunsni  32238  mayete3i  32387  homcl  32405  homulcl  32418  unoplin  32579  hmoplin  32601  bramul  32605  bralnfn  32607  brafnmul  32610  kbop  32612  kbmul  32614  lnopmul  32626  lnopaddmuli  32632  lnopsubmuli  32634  lnopmulsubi  32635  0lnfn  32644  nmlnop0iALT  32654  lnopmi  32659  lnophsi  32660  lnopcoi  32662  lnopeq0i  32666  nmbdoplbi  32683  nmcexi  32685  nmcoplbi  32687  lnfnmuli  32703  lnfnaddmuli  32704  nmbdfnlbi  32708  nmcfnlbi  32711  nlelshi  32719  riesz3i  32721  cnlnadjlem2  32727  cnlnadjlem6  32731  adjlnop  32745  nmopcoi  32754  branmfn  32764  cnvbramul  32774  kbass2  32776  kbass5  32779  superpos  33013  cdj1i  33092