Theorem hvmulcl 31608

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 31600	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7546	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℂcc 11191   ℋchba 31514   ·_ℎ csm 31516

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-hfvmul 31600

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7421

This theorem is used by:  hvmulcli  31609  hvsubf  31610  hvsubcl  31612  hv2neg  31623  hvaddsubval  31628  hvsub4  31632  hvaddsub12  31633  hvpncan  31634  hvaddsubass  31636  hvsubass  31639  hvsubdistr1  31644  hvsubdistr2  31645  hvaddeq0  31664  hvmulcan  31667  hvmulcan2  31668  hvsubcan  31669  his5  31681  his35  31683  hiassdi  31686  his2sub  31687  hilablo  31755  helch  31838  ocsh  31878  h1de2ci  32151  spansncol  32163  spanunsni  32174  mayete3i  32323  homcl  32341  homulcl  32354  unoplin  32515  hmoplin  32537  bramul  32541  bralnfn  32543  brafnmul  32546  kbop  32548  kbmul  32550  lnopmul  32562  lnopaddmuli  32568  lnopsubmuli  32570  lnopmulsubi  32571  0lnfn  32580  nmlnop0iALT  32590  lnopmi  32595  lnophsi  32596  lnopcoi  32598  lnopeq0i  32602  nmbdoplbi  32619  nmcexi  32621  nmcoplbi  32623  lnfnmuli  32639  lnfnaddmuli  32640  nmbdfnlbi  32644  nmcfnlbi  32647  nlelshi  32655  riesz3i  32657  cnlnadjlem2  32663  cnlnadjlem6  32667  adjlnop  32681  nmopcoi  32690  branmfn  32700  cnvbramul  32710  kbass2  32712  kbass5  32715  superpos  32949  cdj1i  33028