Theorem hvmulcl 31101

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 31093	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7496	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   ℋchba 31007   ·_ℎ csm 31009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-hfvmul 31093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371

This theorem is referenced by:  hvmulcli  31102  hvsubf  31103  hvsubcl  31105  hv2neg  31116  hvaddsubval  31121  hvsub4  31125  hvaddsub12  31126  hvpncan  31127  hvaddsubass  31129  hvsubass  31132  hvsubdistr1  31137  hvsubdistr2  31138  hvaddeq0  31157  hvmulcan  31160  hvmulcan2  31161  hvsubcan  31162  his5  31174  his35  31176  hiassdi  31179  his2sub  31180  hilablo  31248  helch  31331  ocsh  31371  h1de2ci  31644  spansncol  31656  spanunsni  31667  mayete3i  31816  homcl  31834  homulcl  31847  unoplin  32008  hmoplin  32030  bramul  32034  bralnfn  32036  brafnmul  32039  kbop  32041  kbmul  32043  lnopmul  32055  lnopaddmuli  32061  lnopsubmuli  32063  lnopmulsubi  32064  0lnfn  32073  nmlnop0iALT  32083  lnopmi  32088  lnophsi  32089  lnopcoi  32091  lnopeq0i  32095  nmbdoplbi  32112  nmcexi  32114  nmcoplbi  32116  lnfnmuli  32132  lnfnaddmuli  32133  nmbdfnlbi  32137  nmcfnlbi  32140  nlelshi  32148  riesz3i  32150  cnlnadjlem2  32156  cnlnadjlem6  32160  adjlnop  32174  nmopcoi  32183  branmfn  32193  cnvbramul  32203  kbass2  32205  kbass5  32208  superpos  32442  cdj1i  32521