Theorem hvmulcl 30701

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 30693	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7529	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7401  ℂcc 11103   ℋchba 30607   ·_ℎ csm 30609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-hfvmul 30693

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7404

This theorem is referenced by:  hvmulcli  30702  hvsubf  30703  hvsubcl  30705  hv2neg  30716  hvaddsubval  30721  hvsub4  30725  hvaddsub12  30726  hvpncan  30727  hvaddsubass  30729  hvsubass  30732  hvsubdistr1  30737  hvsubdistr2  30738  hvaddeq0  30757  hvmulcan  30760  hvmulcan2  30761  hvsubcan  30762  his5  30774  his35  30776  hiassdi  30779  his2sub  30780  hilablo  30848  helch  30931  ocsh  30971  h1de2ci  31244  spansncol  31256  spanunsni  31267  mayete3i  31416  homcl  31434  homulcl  31447  unoplin  31608  hmoplin  31630  bramul  31634  bralnfn  31636  brafnmul  31639  kbop  31641  kbmul  31643  lnopmul  31655  lnopaddmuli  31661  lnopsubmuli  31663  lnopmulsubi  31664  0lnfn  31673  nmlnop0iALT  31683  lnopmi  31688  lnophsi  31689  lnopcoi  31691  lnopeq0i  31695  nmbdoplbi  31712  nmcexi  31714  nmcoplbi  31716  lnfnmuli  31732  lnfnaddmuli  31733  nmbdfnlbi  31737  nmcfnlbi  31740  nlelshi  31748  riesz3i  31750  cnlnadjlem2  31756  cnlnadjlem6  31760  adjlnop  31774  nmopcoi  31783  branmfn  31793  cnvbramul  31803  kbass2  31805  kbass5  31808  superpos  32042  cdj1i  32121