Theorem undif3VD 45849

Description: The first equality of Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 22. Virtual deduction proof of undif3 4246. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. undif3 4246 is undif3VD 45849 without virtual deductions and was automatically derived from undif3VD 45849.

1::	⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)))
2::	⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
3:2:	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
4:1,3:	⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
5::	⊢ (   𝑥 ∈ 𝐴   ▶   𝑥 ∈ 𝐴   )
6:5:	⊢ (   𝑥 ∈ 𝐴   ▶   (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵)   )
7:5:	⊢ (   𝑥 ∈ 𝐴   ▶   (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)   )
8:6,7:	⊢ (   𝑥 ∈ 𝐴   ▶   ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴))   )
9:8:	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)))
10::	⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   ▶   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   )
11:10:	⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   ▶   𝑥 ∈ 𝐵   )
12:10:	⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   ▶   ¬ 𝑥 ∈ 𝐶    )
13:11:	⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   ▶   (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵)   )
14:12:	⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   ▶   (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)   )
15:13,14:	⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   ▶   ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴))   )
16:15:	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)))
17:9,16:	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)))
18::	⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   ▶   (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   )
19:18:	⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   ▶   𝑥 ∈ 𝐴   )
20:18:	⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   ▶   ¬ 𝑥 ∈ 𝐶    )
21:18:	⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   ▶   (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))   )
22:21:	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
23::	⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)   ▶   (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)   )
24:23:	⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)   ▶   𝑥 ∈ 𝐴   )
25:24:	⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)   ▶   (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))   )
26:25:	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
27:10:	⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   ▶   (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))   )
28:27:	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
29::	⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)   ▶   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)   )
30:29:	⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)   ▶   𝑥 ∈ 𝐴   )
31:30:	⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)   ▶   (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))   )
32:31:	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
33:22,26:	⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
34:28,32:	⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
35:33,34:	⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∨ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
36::	⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∨ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)))
37:36,35:	⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
38:17,37:	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)))
39::	⊢ (𝑥 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
40:39:	⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
41::	⊢ (¬ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴))
42:40,41:	⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴))
43::	⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 ))
44:43,42:	⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴) ) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
45::	⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐶 ∖ 𝐴)) ↔ ( 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)))
46:45,44:	⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐶 ∖ 𝐴)) ↔ ( (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)))
47:4,38:	⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)))
48:46,47:	⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐶 ∖ 𝐴)))
49:48:	⊢ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐶 ∖ 𝐴)))
qed:49:	⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐶 ∖ 𝐴))

(Contributed by Alan Sare, 17-Apr-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
undif3VD	⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐶 ∖ 𝐴))

Proof of Theorem undif3VD

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 4100	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)))
2		eldif 3909	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
3	2	orbi2i 926	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
4	1, 3	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
5		idn1 45542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (   𝑥 ∈ 𝐴   ▶   𝑥 ∈ 𝐴   )
6		orc 881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
7	5, 6	e1a 45595	. . . . . . . . 9 ⊢ (   𝑥 ∈ 𝐴   ▶   (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵)   )
8		olc 882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴))
9	5, 8	e1a 45595	. . . . . . . . 9 ⊢ (   𝑥 ∈ 𝐴   ▶   (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)   )
10		pm3.2 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴))))
11	7, 9, 10	e11 45656	. . . . . . . 8 ⊢ (   𝑥 ∈ 𝐴   ▶   ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴))   )
12	11	in1 45539	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)))
13		idn1 45542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   ▶   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   )
14		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15	13, 14	e1a 45595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   ▶   𝑥 ∈ 𝐵   )
16		olc 882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
17	15, 16	e1a 45595	. . . . . . . . 9 ⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   ▶   (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵)   )
18		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)
19	13, 18	e1a 45595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   ▶    ¬ 𝑥 ∈ 𝐶   )
20		orc 881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴))
21	19, 20	e1a 45595	. . . . . . . . 9 ⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   ▶   (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)   )
22	17, 21, 10	e11 45656	. . . . . . . 8 ⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   ▶   ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴))   )
23	22	in1 45539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)))
24	12, 23	jaoi 871	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)))
25		anddi 1028	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∨ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))))
26	25	bicomi 227	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∨ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)))
27		idn1 45542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   ▶   (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   )
28		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
29	28	orcd 887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
30	27, 29	e1a 45595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   ▶   (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))   )
31	30	in1 45539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
32		idn1 45542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)   ▶   (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)   )
33		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
34	32, 33	e1a 45595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)   ▶   𝑥 ∈ 𝐴   )
35		orc 881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
36	34, 35	e1a 45595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)   ▶   (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))   )
37	36	in1 45539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
38	31, 37	jaoi 871	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
39		olc 882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
40	13, 39	e1a 45595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)   ▶   (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))   )
41	40	in1 45539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
42		idn1 45542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)   ▶   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)   )
43		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
44	42, 43	e1a 45595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)   ▶   𝑥 ∈ 𝐴   )
45	44, 35	e1a 45595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (   (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)   ▶   (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))   )
46	45	in1 45539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
47	41, 46	jaoi 871	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
48	38, 47	jaoi 871	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∨ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
49	26, 48	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
50	24, 49	impbii 212	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)))
51	4, 50	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)))
52		eldif 3909	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐶 ∖ 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)))
53		elun 4100	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
54		eldif 3909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
55	54	notbii 323	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
56		pm4.53 1001	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴))
57	55, 56	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴))
58	53, 57	anbi12i 640	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)))
59	52, 58	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐶 ∖ 𝐴)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)))
60	51, 59	bitr4i 281	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐶 ∖ 𝐴)))
61	60	ax-gen 1828	. 2 ⊢ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐶 ∖ 𝐴)))
62		dfcleq 2754	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐶 ∖ 𝐴)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐶 ∖ 𝐴))))
63	62	biimpri 231	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐶 ∖ 𝐴))) → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐶 ∖ 𝐴)))
64	61, 63	e0a 45739	1 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐶 ∖ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-vd1 45538

This theorem is used by: (None)