Theorem xrlelttric 32825

Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttric	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem xrlelttric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.1 897	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐴)
2		xrlenlt 11210	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	2	orbi1d 917	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
4	1, 3	mpbiri 258	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-cnv 5639  df-le 11185

This theorem is referenced by:  difioo  32855  esumpcvgval  34222