Theorem xrlelttric 33225

Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttric	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem xrlelttric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.1 910	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐴)
2		xrlenlt 11301	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	2	orbi1d 930	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
4	1, 3	mpbiri 261	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-cnv 5667  df-le 11276

This theorem is used by:  difioo  33255  esumpcvgval  34590