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Theorem xaddeq0 31966
Description: Two extended reals which add up to zero are each other's negatives. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
xaddeq0 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝑒𝐵))

Proof of Theorem xaddeq0
StepHypRef Expression
1 elxr 13096 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 11264 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 xnegneg 13193 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
63xnegcld 13279 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
7 xaddlid 13221 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 -𝑒𝐴) = -𝑒𝐴)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (0 +𝑒 -𝑒𝐴) = -𝑒𝐴)
9 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10 xaddcom 13219 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
113, 9, 10syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
1211oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐴) = ((𝐵 +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴))
13 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0)
1413oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐴) = (0 +𝑒 -𝑒𝐴))
15 xpncan 13230 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴) = 𝐵)
1615ancoms 460 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐵 +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴) = 𝐵)
1716adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ((𝐵 +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴) = 𝐵)
1812, 14, 173eqtr3d 2781 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (0 +𝑒 -𝑒𝐴) = 𝐵)
198, 18eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒𝐴 = 𝐵)
20 xnegeq 13186 . . . . . . 7 (-𝑒𝐴 = 𝐵 → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒𝐵)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒𝐵)
225, 21eqtr3d 2775 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 = -𝑒𝐵)
2322ex 414 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → 𝐴 = -𝑒𝐵))
24 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 = +∞)
25 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2624oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
27 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0)
2826, 27eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (+∞ +𝑒 𝐵) = 0)
29 0re 11216 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
30 renepnf 11262 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
3129, 30mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 0 ≠ +∞)
3228, 31eqnetrd 3009 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (+∞ +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
3332neneqd 2946 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ¬ (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
34 xaddpnf2 13206 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
3534stoic1a 1775 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞) → ¬ 𝐵 ≠ -∞)
3625, 33, 35syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ¬ 𝐵 ≠ -∞)
37 nne 2945 . . . . . . . . 9 𝐵 ≠ -∞ ↔ 𝐵 = -∞)
3836, 37sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐵 = -∞)
39 xnegeq 13186 . . . . . . . 8 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
41 xnegmnf 13189 . . . . . . 7 -𝑒-∞ = +∞
4240, 41eqtr2di 2790 . . . . . 6 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → +∞ = -𝑒𝐵)
4324, 42eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 = -𝑒𝐵)
4443ex 414 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → 𝐴 = -𝑒𝐵))
45 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 = -∞)
46 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4745oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
48 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0)
4947, 48eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (-∞ +𝑒 𝐵) = 0)
50 renemnf 11263 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
5129, 50mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 0 ≠ -∞)
5249, 51eqnetrd 3009 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (-∞ +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
5352neneqd 2946 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ¬ (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
54 xaddmnf2 13208 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
5554stoic1a 1775 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞) → ¬ 𝐵 ≠ +∞)
5646, 53, 55syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ¬ 𝐵 ≠ +∞)
57 nne 2945 . . . . . . . . 9 𝐵 ≠ +∞ ↔ 𝐵 = +∞)
5856, 57sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐵 = +∞)
59 xnegeq 13186 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
6058, 59syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
61 xnegpnf 13188 . . . . . . 7 -𝑒+∞ = -∞
6260, 61eqtr2di 2790 . . . . . 6 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -∞ = -𝑒𝐵)
6345, 62eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 = -𝑒𝐵)
6463ex 414 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → 𝐴 = -𝑒𝐵))
6523, 44, 643jaoian 1430 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → 𝐴 = -𝑒𝐵))
661, 65sylanb 582 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → 𝐴 = -𝑒𝐵))
67 simpr 486 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → 𝐴 = -𝑒𝐵)
6867oveq1d 7424 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵))
69 xnegcl 13192 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
7069ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
71 simplr 768 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
72 xaddcom 13219 . . . . 5 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵))
7370, 71, 72syl2anc 585 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵))
74 xnegid 13217 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
7574ad2antlr 726 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
7668, 73, 753eqtrd 2777 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0)
7776ex 414 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = -𝑒𝐵 → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0))
7866, 77impbid 211 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝑒𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3o 1087   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  (class class class)co 7409  cr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  *cxr 11247  -𝑒cxne 13089   +𝑒 cxad 13090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-neg 11447  df-xneg 13092  df-xadd 13093
This theorem is referenced by:  xrsinvgval  32178
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