Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrlenlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrlenlt 10422
 Description: "Less than or equal to" expressed in terms of "less than", for extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrlenlt ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem xrlenlt
StepHypRef Expression
1 df-br 4874 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ )
2 opelxpi 5379 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
3 df-le 10397 . . . . . . 7 ≤ = ((ℝ* × ℝ*) ∖ < )
43eleq2i 2898 . . . . . 6 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ((ℝ* × ℝ*) ∖ < ))
5 eldif 3808 . . . . . 6 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ((ℝ* × ℝ*) ∖ < ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) ∧ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
64, 5bitri 267 . . . . 5 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) ∧ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
76baib 531 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
82, 7syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
91, 8syl5bb 275 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
10 opelcnvg 5535 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ < ))
11 df-br 4874 . . . 4 (𝐵 < 𝐴 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ < )
1210, 11syl6rbbr 282 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
1312notbid 310 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
149, 13bitr4d 274 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∈ wcel 2164   ∖ cdif 3795  ⟨cop 4403   class class class wbr 4873   × cxp 5340  ◡ccnv 5341  ℝ*cxr 10390   < clt 10391   ≤ cle 10392 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pr 5127 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-br 4874  df-opab 4936  df-xp 5348  df-cnv 5350  df-le 10397 This theorem is referenced by:  xrlenltd  10423  xrltnle  10424  xrnltled  10425  lenlt  10435  pnfge  12250  mnfle  12255  xrleloe  12263  xrltlen  12265  xrletri3  12273  xgepnf  12284  xlemnf  12286  xralrple  12324  xleneg  12337  supxr2  12432  supxrbnd1  12439  supxrbnd2  12440  supxrub  12442  supxrleub  12444  supxrbnd  12446  infxrgelb  12453  ixxub  12484  ioon0  12489  iccid  12508  icc0  12511  icoun  12587  icodisj  12588  ioounsn  12589  ioounsnOLD  12590  snunico  12592  ioodisj  12595  ioojoin  12596  supicclub2  12616  hashgt0elex  13478  hashgt12el  13499  hashgt12el2  13500  0ringnnzr  19630  lecldbas  21394  xmetgt0  22533  bldisj  22573  icopnfcld  22941  icombl  23730  ioombl  23731  ioorcl2  23738  vitalilem4  23777  itg2gt0  23926  ply1divmo  24294  ig1peu  24330  radcnvle  24573  psercnlem1  24578  nmlnogt0  28196  xrlelttric  30053  xrsupssd  30060  xrge0infss  30061  joiniooico  30072  xeqlelt  30074  iocinif  30079  esumsnf  30660  esum2d  30689  oms0  30893  omssubadd  30896  relowlpssretop  33750  mblfinlem3  33985  mblfinlem4  33986  ismblfin  33987  asindmre  34031  iocmbl  38633  supxrgere  40339  iccdifprioo  40531  iccpartnel  42255
 Copyright terms: Public domain W3C validator