MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrlenlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrlenlt 11317
Description: "Less than or equal to" expressed in terms of "less than", for extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrlenlt ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem xrlenlt
StepHypRef Expression
1 df-br 5153 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ )
2 opelxpi 5719 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
3 df-le 11292 . . . . . . 7 ≤ = ((ℝ* × ℝ*) ∖ < )
43eleq2i 2821 . . . . . 6 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ((ℝ* × ℝ*) ∖ < ))
5 eldif 3959 . . . . . 6 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ((ℝ* × ℝ*) ∖ < ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) ∧ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
64, 5bitri 274 . . . . 5 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) ∧ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
76baib 534 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
82, 7syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
91, 8bitrid 282 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
10 df-br 5153 . . . 4 (𝐵 < 𝐴 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ < )
11 opelcnvg 5887 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ < ))
1210, 11bitr4id 289 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
1312notbid 317 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
149, 13bitr4d 281 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2098  cdif 3946  cop 4638   class class class wbr 5152   × cxp 5680  ccnv 5681  *cxr 11285   < clt 11286  cle 11287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-br 5153  df-opab 5215  df-xp 5688  df-cnv 5690  df-le 11292
This theorem is referenced by:  xrlenltd  11318  xrltnle  11319  lenlt  11330  pnfge  13150  mnfle  13154  xrleloe  13163  xrltlen  13165  xrletri3  13173  xgepnf  13184  xlemnf  13186  xralrple  13224  xleneg  13237  supxr2  13333  supxrbnd1  13340  supxrbnd2  13341  supxrleub  13345  supxrbnd  13347  infxrgelb  13354  ioon0  13390  iccid  13409  icc0  13412  icoun  13492  ioounsn  13494  snunico  13496  ioodisj  13499  ioojoin  13500  hashgt0elex  14400  hashgt12el  14421  hashgt12el2  14422  0ringnnzr  20469  lecldbas  23143  xmetgt0  24284  icopnfcld  24704  ioombl  25514  vitalilem4  25560  itg2gt0  25710  nmlnogt0  30627  xrlelttric  32543  xrsupssd  32550  xrge0infss  32551  joiniooico  32563  xeqlelt  32565  iocinif  32570  esumsnf  33716  esum2d  33745  oms0  33950  omssubadd  33953  cusgracyclt3v  34799  relowlpssretop  36876  mblfinlem3  37165  mblfinlem4  37166  ismblfin  37167  asindmre  37209  dvrelog2b  41569  iocmbl  42672  supxrgere  44744  iccdifprioo  44930  iccpartnel  46807  iccdisj2  47994
  Copyright terms: Public domain W3C validator