Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  difioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difioo 32024
Description: The difference between two open intervals sharing the same lower bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
difioo (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐶) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐵[,)𝐶))

Proof of Theorem difioo
StepHypRef Expression
1 incom 4202 . . . 4 ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ((𝐵[,)𝐶) ∩ (𝐴(,)𝐵))
2 joiniooico 32016 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶)))
32anassrs 469 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶)))
43simpld 496 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅)
51, 4eqtr3id 2787 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐵[,)𝐶) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
63simprd 497 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
7 uncom 4154 . . . . 5 ((𝐵[,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)𝐶))
87a1i 11 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐵[,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)𝐶)))
9 simpll1 1213 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
1110adantr 482 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
129xrleidd 13131 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐴𝐴)
13 simpr 486 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
14 ioossioo 13418 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐵𝐶)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
159, 11, 12, 13, 14syl22anc 838 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
16 ssequn2 4184 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶) ↔ ((𝐴(,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐶))
1715, 16sylib 217 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴(,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐶))
186, 8, 173eqtr4d 2783 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐵[,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝐴(,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵)))
19 difeq 31787 . . 3 (((𝐴(,)𝐶) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐵[,)𝐶) ↔ (((𝐵[,)𝐶) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅ ∧ ((𝐵[,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝐴(,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵))))
205, 18, 19sylanbrc 584 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴(,)𝐶) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐵[,)𝐶))
21 simpll1 1213 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
22 simpl2 1193 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2322adantr 482 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2421xrleidd 13131 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐴𝐴)
2510adantr 482 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
26 simpr 486 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
2725, 23, 26xrltled 13129 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶𝐵)
28 ioossioo 13418 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐶𝐵)) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2921, 23, 24, 27, 28syl22anc 838 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
30 ssdif0 4364 . . . 4 ((𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴(,)𝐶) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
3129, 30sylib 217 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐶) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
32 ico0 13370 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵[,)𝐶) = ∅ ↔ 𝐶𝐵))
3332biimpar 479 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐵[,)𝐶) = ∅)
3423, 25, 27, 33syl21anc 837 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → (𝐵[,)𝐶) = ∅)
3531, 34eqtr4d 2776 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐶) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐵[,)𝐶))
36 xrlelttric 31996 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶𝐶 < 𝐵))
3722, 10, 36syl2anc 585 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐶𝐶 < 𝐵))
3820, 35, 37mpjaodan 958 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐶) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐵[,)𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cdif 3946  cun 3947  cin 3948  wss 3949  c0 4323   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  *cxr 11247   < clt 11248  cle 11249  (,)cioo 13324  [,)cico 13326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-ioo 13328  df-ico 13330
This theorem is referenced by:  dya2iocbrsiga  33305  dya2icobrsiga  33306
  Copyright terms: Public domain W3C validator