Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  difioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difioo 30054
Description: The difference between two open intervals sharing the same lower bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
difioo (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐶) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐵[,)𝐶))

Proof of Theorem difioo
StepHypRef Expression
1 incom 4001 . . . 4 ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ((𝐵[,)𝐶) ∩ (𝐴(,)𝐵))
2 joiniooico 30046 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶)))
32anassrs 460 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶)))
43simpld 489 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅)
51, 4syl5eqr 2845 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐵[,)𝐶) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
63simprd 490 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
7 uncom 3953 . . . . 5 ((𝐵[,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)𝐶))
87a1i 11 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐵[,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)𝐶)))
9 simpll1 1270 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10 simpl3 1247 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
1110adantr 473 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
129xrleidd 12228 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐴𝐴)
13 simpr 478 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
14 ioossioo 12511 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐵𝐶)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
159, 11, 12, 13, 14syl22anc 868 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
16 ssequn2 3982 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶) ↔ ((𝐴(,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐶))
1715, 16sylib 210 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴(,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐶))
186, 8, 173eqtr4d 2841 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐵[,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝐴(,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵)))
19 difeq 29865 . . 3 (((𝐴(,)𝐶) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐵[,)𝐶) ↔ (((𝐵[,)𝐶) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅ ∧ ((𝐵[,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝐴(,)𝐶) ∪ (𝐴(,)𝐵))))
205, 18, 19sylanbrc 579 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴(,)𝐶) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐵[,)𝐶))
21 simpll1 1270 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
22 simpl2 1245 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2322adantr 473 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2421xrleidd 12228 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐴𝐴)
2510adantr 473 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
26 simpr 478 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
2725, 23, 26xrltled 12226 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶𝐵)
28 ioossioo 12511 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐶𝐵)) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2921, 23, 24, 27, 28syl22anc 868 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
30 ssdif0 4140 . . . 4 ((𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴(,)𝐶) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
3129, 30sylib 210 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐶) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
32 ico0 12466 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵[,)𝐶) = ∅ ↔ 𝐶𝐵))
3332biimpar 470 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐵[,)𝐶) = ∅)
3423, 25, 27, 33syl21anc 867 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → (𝐵[,)𝐶) = ∅)
3531, 34eqtr4d 2834 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐶) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐵[,)𝐶))
36 xrlelttric 30027 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶𝐶 < 𝐵))
3722, 10, 36syl2anc 580 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐶𝐶 < 𝐵))
3820, 35, 37mpjaodan 982 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐶) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐵[,)𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  wo 874  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  cdif 3764  cun 3765  cin 3766  wss 3767  c0 4113   class class class wbr 4841  (class class class)co 6876  *cxr 10360   < clt 10361  cle 10362  (,)cioo 12420  [,)cico 12422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-sup 8588  df-inf 8589  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-q 12030  df-ioo 12424  df-ico 12426
This theorem is referenced by:  dya2iocbrsiga  30845  dya2icobrsiga  30846
  Copyright terms: Public domain W3C validator