Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lt2addrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt2addrd 30485
Description: If the right-hand side of a 'less than' relationship is an addition, then we can express the left-hand side as an addition, too, where each term is respectively less than each term of the original right side. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lt2addrd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
lt2addrd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lt2addrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lt2addrd.4 (𝜑𝐴 < (𝐵 + 𝐶))
Assertion
Ref Expression
lt2addrd (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑏,𝑐,𝐴   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem lt2addrd
StepHypRef Expression
1 lt2addrd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 lt2addrd.3 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 10659 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
4 lt2addrd.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
53, 4resubcld 11057 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ)
65rehalfcld 11872 . . 3 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
71, 6resubcld 11057 . 2 (𝜑 → (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
82, 6resubcld 11057 . 2 (𝜑 → (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
92recnd 10658 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
101recnd 10658 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1110, 9addcld 10649 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
124recnd 10658 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1311, 12subcld 10986 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℂ)
1413halfcld 11870 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) ∈ ℂ)
159, 14, 14subsub4d 11017 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) = (𝐶 − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
1615oveq2d 7156 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = (𝐵 + (𝐶 − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))))
179, 14subcld 10986 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
1810, 14, 17subadd23d 11008 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = (𝐵 + ((𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
19132halvesd 11871 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) = ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴))
2019, 13eqeltrd 2914 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
2110, 9, 20addsubassd 11006 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = (𝐵 + (𝐶 − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))))
2216, 18, 213eqtr4d 2867 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = ((𝐵 + 𝐶) − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
2319oveq2d 7156 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = ((𝐵 + 𝐶) − ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴)))
2411, 12nncand 10991 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴)) = 𝐴)
2522, 23, 243eqtrrd 2862 . 2 (𝜑𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
26 lt2addrd.4 . . . . 5 (𝜑𝐴 < (𝐵 + 𝐶))
27 difrp 12415 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐵 + 𝐶) ↔ ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ+))
284, 3, 27syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 < (𝐵 + 𝐶) ↔ ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ+))
2926, 28mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ+)
3029rphalfcld 12431 . . 3 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
311, 30ltsubrpd 12451 . 2 (𝜑 → (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵)
322, 30ltsubrpd 12451 . 2 (𝜑 → (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶)
33 oveq1 7147 . . . . 5 (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝑏 + 𝑐) = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐))
3433eqeq2d 2833 . . . 4 (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐)))
35 breq1 5045 . . . 4 (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝑏 < 𝐵 ↔ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵))
3634, 353anbi12d 1434 . . 3 (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → ((𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵𝑐 < 𝐶)))
37 oveq2 7148 . . . . 5 (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
3837eqeq2d 2833 . . . 4 (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))))
39 breq1 5045 . . . 4 (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶))
4038, 393anbi13d 1435 . . 3 (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → ((𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶)))
4136, 40rspc2ev 3610 . 2 (((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
427, 8, 25, 31, 32, 41syl113anc 1379 1 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wrex 3131   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  cc 10524  cr 10525   + caddc 10529   < clt 10664  cmin 10859   / cdiv 11286  2c2 11680  +crp 12377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688  df-rp 12378
This theorem is referenced by:  xlt2addrd  30492
  Copyright terms: Public domain W3C validator