Theorem lt2addrd 32841

Description: If the right-hand side of a 'less than' relationship is an addition, then we can express the left-hand side as an addition, too, where each term is respectively less than each term of the original right side. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2addrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lt2addrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lt2addrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
lt2addrd	⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑏,𝑐,𝐴   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem lt2addrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt2addrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		lt2addrd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
4		lt2addrd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	3, 4	resubcld 11577	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12400	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
7	1, 6	resubcld 11577	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
8	2, 6	resubcld 11577	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
9	2	recnd 11172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
10	1	recnd 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10, 9	addcld 11163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
12	4	recnd 11172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13	11, 12	subcld 11504	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℂ)
14	13	halfcld 12398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) ∈ ℂ)
15	9, 14, 14	subsub4d 11535	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) = (𝐶 − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
16	15	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = (𝐵 + (𝐶 − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))))
17	9, 14	subcld 11504	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
18	10, 14, 17	subadd23d 11526	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = (𝐵 + ((𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
19	13	2halvesd 12399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) = ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴))
20	19, 13	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
21	10, 9, 20	addsubassd 11524	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = (𝐵 + (𝐶 − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))))
22	16, 18, 21	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = ((𝐵 + 𝐶) − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
23	19	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = ((𝐵 + 𝐶) − ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴)))
24	11, 12	nncand 11509	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴)) = 𝐴)
25	22, 23, 24	3eqtrrd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
26		lt2addrd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 + 𝐶))
27		difrp 12957	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐵 + 𝐶) ↔ ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ+))
28	4, 3, 27	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < (𝐵 + 𝐶) ↔ ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ+))
29	26, 28	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ+)
30	29	rphalfcld 12973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
31	1, 30	ltsubrpd 12993	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵)
32	2, 30	ltsubrpd 12993	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶)
33		oveq1 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝑏 + 𝑐) = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐))
34	33	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐)))
35		breq1 5103	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝑏 < 𝐵 ↔ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵))
36	34, 35	3anbi12d 1440	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → ((𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
37		oveq2 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
38	37	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))))
39		breq1 5103	. . . 4 ⊢ (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶))
40	38, 39	3anbi13d 1441	. . 3 ⊢ (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → ((𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶)))
41	36, 40	rspc2ev 3591	. 2 ⊢ (((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
42	7, 8, 25, 31, 32, 41	syl113anc 1385	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037   + caddc 11041   < clt 11178   − cmin 11376   / cdiv 11806  2c2 12212  ℝ⁺crp 12917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-rp 12918

This theorem is referenced by:  xlt2addrd  32850