Theorem lt2addrd 32691

Description: If the right-hand side of a 'less than' relationship is an addition, then we can express the left-hand side as an addition, too, where each term is respectively less than each term of the original right side. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2addrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lt2addrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lt2addrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
lt2addrd	⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑏,𝑐,𝐴   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem lt2addrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt2addrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		lt2addrd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11272	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
4		lt2addrd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	3, 4	resubcld 11673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12496	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
7	1, 6	resubcld 11673	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
8	2, 6	resubcld 11673	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
9	2	recnd 11271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
10	1	recnd 11271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10, 9	addcld 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
12	4	recnd 11271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13	11, 12	subcld 11602	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℂ)
14	13	halfcld 12494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) ∈ ℂ)
15	9, 14, 14	subsub4d 11633	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) = (𝐶 − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
16	15	oveq2d 7429	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = (𝐵 + (𝐶 − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))))
17	9, 14	subcld 11602	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
18	10, 14, 17	subadd23d 11624	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = (𝐵 + ((𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
19	13	2halvesd 12495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) = ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴))
20	19, 13	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
21	10, 9, 20	addsubassd 11622	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = (𝐵 + (𝐶 − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))))
22	16, 18, 21	3eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = ((𝐵 + 𝐶) − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
23	19	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = ((𝐵 + 𝐶) − ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴)))
24	11, 12	nncand 11607	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴)) = 𝐴)
25	22, 23, 24	3eqtrrd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
26		lt2addrd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 + 𝐶))
27		difrp 13055	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐵 + 𝐶) ↔ ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ+))
28	4, 3, 27	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < (𝐵 + 𝐶) ↔ ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ+))
29	26, 28	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ+)
30	29	rphalfcld 13071	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
31	1, 30	ltsubrpd 13091	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵)
32	2, 30	ltsubrpd 13091	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶)
33		oveq1 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝑏 + 𝑐) = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐))
34	33	eqeq2d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐)))
35		breq1 5126	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝑏 < 𝐵 ↔ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵))
36	34, 35	3anbi12d 1438	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → ((𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
37		oveq2 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
38	37	eqeq2d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))))
39		breq1 5126	. . . 4 ⊢ (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶))
40	38, 39	3anbi13d 1439	. . 3 ⊢ (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → ((𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶)))
41	36, 40	rspc2ev 3618	. 2 ⊢ (((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
42	7, 8, 25, 31, 32, 41	syl113anc 1383	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059   class class class wbr 5123  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  ℝcr 11136   + caddc 11140   < clt 11277   − cmin 11474   / cdiv 11902  2c2 12303  ℝ⁺crp 13016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-rp 13017

This theorem is referenced by:  xlt2addrd  32699