Proof of Theorem lt2addrd
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | lt2addrd.2 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
2 | | lt2addrd.3 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ) |
3 | 1, 2 | readdcld 10992 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) |
4 | | lt2addrd.1 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
5 | 3, 4 | resubcld 11391 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ) |
6 | 5 | rehalfcld 12208 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) ∈ ℝ) |
7 | 1, 6 | resubcld 11391 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ) |
8 | 2, 6 | resubcld 11391 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ) |
9 | 2 | recnd 10991 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) |
10 | 1 | recnd 10991 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
11 | 10, 9 | addcld 10982 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ) |
12 | 4 | recnd 10991 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
13 | 11, 12 | subcld 11320 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℂ) |
14 | 13 | halfcld 12206 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) ∈ ℂ) |
15 | 9, 14, 14 | subsub4d 11351 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) = (𝐶 − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))) |
16 | 15 | oveq2d 7284 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = (𝐵 + (𝐶 − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))) |
17 | 9, 14 | subcld 11320 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ) |
18 | 10, 14, 17 | subadd23d 11342 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = (𝐵 + ((𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))) |
19 | 13 | 2halvesd 12207 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) = ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴)) |
20 | 19, 13 | eqeltrd 2839 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ) |
21 | 10, 9, 20 | addsubassd 11340 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = (𝐵 + (𝐶 − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))) |
22 | 16, 18, 21 | 3eqtr4d 2788 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = ((𝐵 + 𝐶) − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))) |
23 | 19 | oveq2d 7284 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = ((𝐵 + 𝐶) − ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴))) |
24 | 11, 12 | nncand 11325 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴)) = 𝐴) |
25 | 22, 23, 24 | 3eqtrrd 2783 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))) |
26 | | lt2addrd.4 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 + 𝐶)) |
27 | | difrp 12756 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐵 + 𝐶) ↔ ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈
ℝ+)) |
28 | 4, 3, 27 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐴 < (𝐵 + 𝐶) ↔ ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈
ℝ+)) |
29 | 26, 28 | mpbid 231 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈
ℝ+) |
30 | 29 | rphalfcld 12772 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) ∈
ℝ+) |
31 | 1, 30 | ltsubrpd 12792 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵) |
32 | 2, 30 | ltsubrpd 12792 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶) |
33 | | oveq1 7275 |
. . . . 5
⊢ (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝑏 + 𝑐) = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐)) |
34 | 33 | eqeq2d 2749 |
. . . 4
⊢ (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐))) |
35 | | breq1 5077 |
. . . 4
⊢ (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝑏 < 𝐵 ↔ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵)) |
36 | 34, 35 | 3anbi12d 1436 |
. . 3
⊢ (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → ((𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))) |
37 | | oveq2 7276 |
. . . . 5
⊢ (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))) |
38 | 37 | eqeq2d 2749 |
. . . 4
⊢ (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))) |
39 | | breq1 5077 |
. . . 4
⊢ (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶)) |
40 | 38, 39 | 3anbi13d 1437 |
. . 3
⊢ (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → ((𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶))) |
41 | 36, 40 | rspc2ev 3572 |
. 2
⊢ (((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)) |
42 | 7, 8, 25, 31, 32, 41 | syl113anc 1381 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)) |