Theorem lt2addrd 32726

Description: If the right-hand side of a 'less than' relationship is an addition, then we can express the left-hand side as an addition, too, where each term is respectively less than each term of the original right side. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2addrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lt2addrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lt2addrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
lt2addrd	⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑏,𝑐,𝐴   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem lt2addrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt2addrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		lt2addrd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
4		lt2addrd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	3, 4	resubcld 11540	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12363	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
7	1, 6	resubcld 11540	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
8	2, 6	resubcld 11540	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
9	2	recnd 11135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
10	1	recnd 11135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10, 9	addcld 11126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
12	4	recnd 11135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13	11, 12	subcld 11467	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℂ)
14	13	halfcld 12361	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) ∈ ℂ)
15	9, 14, 14	subsub4d 11498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) = (𝐶 − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
16	15	oveq2d 7357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = (𝐵 + (𝐶 − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))))
17	9, 14	subcld 11467	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
18	10, 14, 17	subadd23d 11489	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = (𝐵 + ((𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
19	13	2halvesd 12362	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) = ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴))
20	19, 13	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
21	10, 9, 20	addsubassd 11487	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = (𝐵 + (𝐶 − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))))
22	16, 18, 21	3eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = ((𝐵 + 𝐶) − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
23	19	oveq2d 7357	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = ((𝐵 + 𝐶) − ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴)))
24	11, 12	nncand 11472	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴)) = 𝐴)
25	22, 23, 24	3eqtrrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
26		lt2addrd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 + 𝐶))
27		difrp 12925	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐵 + 𝐶) ↔ ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ+))
28	4, 3, 27	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < (𝐵 + 𝐶) ↔ ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ+))
29	26, 28	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ+)
30	29	rphalfcld 12941	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
31	1, 30	ltsubrpd 12961	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵)
32	2, 30	ltsubrpd 12961	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶)
33		oveq1 7348	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝑏 + 𝑐) = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐))
34	33	eqeq2d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐)))
35		breq1 5089	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝑏 < 𝐵 ↔ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵))
36	34, 35	3anbi12d 1439	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → ((𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
37		oveq2 7349	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
38	37	eqeq2d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))))
39		breq1 5089	. . . 4 ⊢ (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶))
40	38, 39	3anbi13d 1440	. . 3 ⊢ (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → ((𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶)))
41	36, 40	rspc2ev 3585	. 2 ⊢ (((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
42	7, 8, 25, 31, 32, 41	syl113anc 1384	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   class class class wbr 5086  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  ℝcr 11000   + caddc 11004   < clt 11141   − cmin 11339   / cdiv 11769  2c2 12175  ℝ⁺crp 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-rp 12886

This theorem is referenced by:  xlt2addrd  32734