Theorem lt2addrd 32776

Description: If the right-hand side of a 'less than' relationship is an addition, then we can express the left-hand side as an addition, too, where each term is respectively less than each term of the original right side. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2addrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lt2addrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lt2addrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
lt2addrd	⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑏,𝑐,𝐴   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem lt2addrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt2addrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		lt2addrd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11297	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
4		lt2addrd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	3, 4	resubcld 11698	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12520	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
7	1, 6	resubcld 11698	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
8	2, 6	resubcld 11698	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
9	2	recnd 11296	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
10	1	recnd 11296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10, 9	addcld 11287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
12	4	recnd 11296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13	11, 12	subcld 11627	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℂ)
14	13	halfcld 12518	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) ∈ ℂ)
15	9, 14, 14	subsub4d 11658	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) = (𝐶 − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
16	15	oveq2d 7454	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = (𝐵 + (𝐶 − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))))
17	9, 14	subcld 11627	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
18	10, 14, 17	subadd23d 11649	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = (𝐵 + ((𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
19	13	2halvesd 12519	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) = ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴))
20	19, 13	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
21	10, 9, 20	addsubassd 11647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = (𝐵 + (𝐶 − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))))
22	16, 18, 21	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = ((𝐵 + 𝐶) − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
23	19	oveq2d 7454	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = ((𝐵 + 𝐶) − ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴)))
24	11, 12	nncand 11632	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴)) = 𝐴)
25	22, 23, 24	3eqtrrd 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
26		lt2addrd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 + 𝐶))
27		difrp 13080	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐵 + 𝐶) ↔ ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ+))
28	4, 3, 27	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < (𝐵 + 𝐶) ↔ ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ+))
29	26, 28	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ+)
30	29	rphalfcld 13096	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
31	1, 30	ltsubrpd 13116	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵)
32	2, 30	ltsubrpd 13116	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶)
33		oveq1 7445	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝑏 + 𝑐) = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐))
34	33	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐)))
35		breq1 5154	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝑏 < 𝐵 ↔ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵))
36	34, 35	3anbi12d 1438	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → ((𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
37		oveq2 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
38	37	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))))
39		breq1 5154	. . . 4 ⊢ (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶))
40	38, 39	3anbi13d 1439	. . 3 ⊢ (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → ((𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶)))
41	36, 40	rspc2ev 3638	. 2 ⊢ (((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
42	7, 8, 25, 31, 32, 41	syl113anc 1383	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   class class class wbr 5151  (class class class)co 7438  ℂcc 11160  ℝcr 11161   + caddc 11165   < clt 11302   − cmin 11499   / cdiv 11927  2c2 12328  ℝ⁺crp 13041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-po 5601  df-so 5602  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-div 11928  df-2 12336  df-rp 13042

This theorem is referenced by:  xlt2addrd  32783