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Theorem icccncfext 39404
Description: A continuous function on a closed interval can be extended to a continuous function on the whole real line. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
icccncfext.1 𝑥𝐹
icccncfext.2 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccncfext.3 𝑌 = 𝐾
icccncfext.4 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
icccncfext.5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
icccncfext.6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
icccncfext.7 (𝜑𝐴𝐵)
icccncfext.8 (𝜑𝐾 ∈ Top)
icccncfext.9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
icccncfext (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺 ↾ (𝐴[,]𝐵)) = 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem icccncfext
Dummy variables 𝑡 𝑤 𝑦 𝑧 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccncfext.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2 retopon 22477 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
31, 2eqeltri 2694 . . . . . . . . . . 11 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
4 icccncfext.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 icccncfext.6 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
64, 5iccssred 39138 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7 resttopon 20875 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)))
83, 6, 7sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)))
9 icccncfext.8 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ Top)
10 icccncfext.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑌 = 𝐾
119, 10jctir 560 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 ∈ Top ∧ 𝑌 = 𝐾))
12 istopon 20640 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ 𝑌 = 𝐾))
1311, 12sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
14 icccncfext.9 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾))
15 cnf2 20963 . . . . . . . . . 10 (((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌)
168, 13, 14, 15syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌)
17 ffn 6002 . . . . . . . . 9 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
19 dffn3 6011 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ran 𝐹)
2018, 19sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ran 𝐹)
2120ffvelrnda 6315 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ ran 𝐹)
22 fnfun 5946 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → Fun 𝐹)
2318, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun 𝐹)
244rexrd 10033 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
255rexrd 10033 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
26 icccncfext.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
27 lbicc2 12230 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
29 fndm 5948 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
3018, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
3130eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
3228, 31eleqtrd 2700 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝐹)
33 fvelrn 6308 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝐴) ∈ ran 𝐹)
3423, 32, 33syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ran 𝐹)
35 ubicc2 12231 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3624, 25, 26, 35syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3736, 31eleqtrd 2700 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝐹)
38 fvelrn 6308 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝐵) ∈ ran 𝐹)
3923, 37, 38syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ran 𝐹)
4034, 39ifcld 4103 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ ran 𝐹)
4140adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ ran 𝐹)
4221, 41ifclda 4092 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ ran 𝐹)
4342adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ ran 𝐹)
44 icccncfext.4 . . . . 5 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
45 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑦 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)
46 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑦(𝐹𝑥)
47 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑦if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))
4845, 46, 47nfif 4087 . . . . . 6 𝑦if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
49 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑥 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)
50 icccncfext.1 . . . . . . . 8 𝑥𝐹
51 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
5250, 51nffv 6155 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑦)
53 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑥 𝑦 < 𝐴
54 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴
5550, 54nffv 6155 . . . . . . . 8 𝑥(𝐹𝐴)
56 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑥𝐵
5750, 56nffv 6155 . . . . . . . 8 𝑥(𝐹𝐵)
5853, 55, 57nfif 4087 . . . . . . 7 𝑥if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))
5949, 52, 58nfif 4087 . . . . . 6 𝑥if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
60 eleq1 2686 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
61 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
62 breq1 4616 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝐴𝑦 < 𝐴))
6362ifbid 4080 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
6460, 61, 63ifbieq12d 4085 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
6548, 59, 64cbvmpt 4709 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑥), if(𝑥 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
6644, 65eqtri 2643 . . . 4 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
6743, 66fmptd 6340 . . 3 (𝜑𝐺:ℝ⟶ran 𝐹)
6867adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺:ℝ⟶ran 𝐹)
69 simplll 797 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → 𝜑)
70 simplr 791 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹))
7169, 70jca 554 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)))
72 ssid 3603 . . . . . . . . . . . . . 14 ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹)
74 frn 6010 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌 → ran 𝐹𝑌)
7516, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran 𝐹𝑌)
76 cnrest2 21000 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹))))
7713, 73, 75, 76syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹))))
7814, 77mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹)))
7978anim1i 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) → (𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)))
80 cnima 20979 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐾t ran 𝐹)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) → (𝐹𝑢) ∈ (𝐽t (𝐴[,]𝐵)))
8171, 79, 803syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) ∈ (𝐽t (𝐴[,]𝐵)))
82 retop 22475 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
831, 82eqeltri 2694 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 ∈ Top
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ Top)
85 reex 9971 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ∈ V)
8786, 6ssexd 4765 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ∈ V)
8884, 87jca 554 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V))
8969, 88syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → (𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V))
90 elrest 16009 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V) → ((𝐹𝑢) ∈ (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑤𝐽 (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → ((𝐹𝑢) ∈ (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑤𝐽 (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
9281, 91mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → ∃𝑤𝐽 (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
93693ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝜑)
94 simpllr 798 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
95943ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
96 simp1r 1084 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
9793, 95, 96jca31 556 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ (𝐾t ran 𝐹)) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
98 simpll2 1099 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤𝐽)
99 iooretop 22479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
10099, 1eleqtrri 2697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽
101 iooretop 22479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
102101, 1eleqtrri 2697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽
103 unopn 20633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽 ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
10483, 100, 102, 103mp3an 1421 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽
105 unopn 20633 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤𝐽 ∧ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽)
10683, 104, 105mp3an13 1412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝐽 → (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽)
10798, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽)
108 simpl1l 1110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
110 simpl1r 1111 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
111110adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
112 simpll3 1100 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
113 difreicc 12246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
1144, 5, 113syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑 → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
115114eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) = (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
116115eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
117116notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
118117biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
119 eldif 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
120118, 119sylnib 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
121 imnan 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ ℝ → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ¬ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
122120, 121sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦 ∈ ℝ → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
123122imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
124123notnotrd 128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
125124an32s 845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
126125adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
127 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝜑)
1286sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
12916adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶𝑌)
130129ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑌)
13116, 28ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝑌)
132131ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑌)
13316, 36ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ 𝑌)
134133ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑌)
135132, 134ifclda 4092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ 𝑌)
136130, 135ifclda 4092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌)
13766fvmpt2 6248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌) → (𝐺𝑦) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
138128, 136, 137syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
139 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
140139iftrued 4066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝑦))
141138, 140eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
142141eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))
143127, 126, 142syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))
144 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
145143, 144eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
146127, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
147 elpreima 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
149126, 145, 148mpbir2and 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
150149adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
151 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
152150, 151eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
153 elin 3774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
154152, 153sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
155154simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑦𝑤)
156155ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦𝑤))
157156orrd 393 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∨ 𝑦𝑤))
158157orcomd 403 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
159 elun 3731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ↔ (𝑦𝑤𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
160158, 159sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
161109, 111, 112, 160syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
162 imaundi 5504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) = ((𝐺𝑤) ∪ (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
163109simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
164 toponss 20644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝑤𝐽) → 𝑤 ⊆ ℝ)
1653, 98, 164sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ⊆ ℝ)
166163, 165, 112jca31 556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
167 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
168 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
16944funmpt2 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Fun 𝐺
170169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → Fun 𝐺)
171170ad5antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → Fun 𝐺)
172 fvelima 6205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Fun 𝐺𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → ∃𝑧𝑤 (𝐺𝑧) = 𝑦)
173171, 172sylancom 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → ∃𝑧𝑤 (𝐺𝑧) = 𝑦)
174 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺𝑧) = 𝑦𝑦 = (𝐺𝑧))
175174biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺𝑧) = 𝑦𝑦 = (𝐺𝑧))
1761753ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐺𝑧))
177 simp1ll 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢))
178 simp1lr 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
179 simp2 1060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑧𝑤)
180 simp-5l 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑𝑤 ⊆ ℝ))
181 simp-5r 808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
182 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧𝑤)
183180, 181, 182jca31 556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤))
184 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
185184anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝑧 → ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
186 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧))
187 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
188186, 187eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧)))
189185, 188imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 = 𝑧 → (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦)) ↔ ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))))
190189, 141chvarv 2262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))
191190ad4ant14 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))
192191adantlllr 38682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))
193 simp-4l 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝜑)
194 simp-4r 806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ⊆ ℝ)
195 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧𝑤)
196 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
197195, 196elind 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
198 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
199198biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
200199ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
201197, 200eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
202201adantlllr 38682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
203 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
20418ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
205 elpreima 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)))
206204, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)))
207203, 206mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑢))
208207simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)
209193, 194, 202, 208syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)
210192, 209eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
211183, 210sylancom 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
212 simp-5l 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝜑)
213 simp-4r 806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
214212, 213jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢))
215 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
216 simp-5r 808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ⊆ ℝ)
217 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧𝑤)
218216, 217sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
219214, 215, 218jca31 556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ))
22066a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))))
221 breq1 4616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 < 𝐴𝑧 < 𝐴))
222221ifbid 4080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝑧 → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
223184, 187, 222ifeq123d 38691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝑧 → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
224223adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑧) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
225 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
226 iffalse 4067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
227226adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
228 simp-5r 808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 < 𝐴) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
229 simp-4r 806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
230228, 229ifclda 4092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ 𝑢)
231227, 230eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑢)
232220, 224, 225, 231fvmptd 6245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
233232, 227eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
234233, 230eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
235219, 234sylancom 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
236235adantl4r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
237211, 236pm2.61dan 831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧𝑤) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
238177, 178, 179, 237syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
239176, 238eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦𝑢)
240239rexlimdv3a 3026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → (∃𝑧𝑤 (𝐺𝑧) = 𝑦𝑦𝑢))
241173, 240mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝑤)) → 𝑦𝑢)
242241ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐺𝑤) → 𝑦𝑢))
243242alrimiv 1852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐺𝑤) → 𝑦𝑢))
244166, 167, 168, 243syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐺𝑤) → 𝑦𝑢))
245 dfss2 3572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐺𝑤) → 𝑦𝑢))
246244, 245sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑤) ⊆ 𝑢)
247 imaundi 5504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) = ((𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)))
248169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → Fun 𝐺)
249 fvelima 6205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Fun 𝐺𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → ∃𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)(𝐺𝑧) = 𝑡)
250248, 249sylancom 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → ∃𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)(𝐺𝑧) = 𝑡)
251 simp1l 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝜑)
252 simp2 1060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
253 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = 𝑡)
25466a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))))
255223adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑧) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
256 elioore 12147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
257256adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ)
258 elioo3g 12146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)))
259258biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)))
260259simprrd 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑧 < 𝐴)
261260adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 < 𝐴)
262 ltnle 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑧))
263256, 4, 262syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝑧 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑧))
264261, 263mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝐴𝑧)
265264intn3an2d 1440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵))
2664, 5jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
267266adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
268 elicc2 12180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
269267, 268syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
270265, 269mtbird 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
271270iffalsed 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
272260iftrued 4066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐴))
273272adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐴))
274271, 273eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐴))
275131adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑌)
276274, 275eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌)
277254, 255, 257, 276fvmptd 6245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
278277adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
279 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = 𝑡)
280274adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐴))
281278, 279, 2803eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹𝐴))
282251, 252, 253, 281syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹𝐴))
283282rexlimdv3a 3026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → (∃𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)(𝐺𝑧) = 𝑡𝑡 = (𝐹𝐴)))
284250, 283mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → 𝑡 = (𝐹𝐴))
285 velsn 4164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ {(𝐹𝐴)} ↔ 𝑡 = (𝐹𝐴))
286284, 285sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) → 𝑡 ∈ {(𝐹𝐴)})
287286ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) → 𝑡 ∈ {(𝐹𝐴)}))
288287ssrdv 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ {(𝐹𝐴)})
289288adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ {(𝐹𝐴)})
290 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
291290snssd 4309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑢)
292289, 291sstrd 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ 𝑢)
293292adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ 𝑢)
294 fvelima 6205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Fun 𝐺𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)(𝐺𝑧) = 𝑡)
295170, 294sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)(𝐺𝑧) = 𝑡)
296 simp1l 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝜑)
297 simp2 1060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
298 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = 𝑡)
29966a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))))
300223adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ 𝑦 = 𝑧) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
301 elioore 12147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝑧 ∈ ℝ)
302301adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℝ)
30316ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑌)
304303adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑌)
3054adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3065adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
30726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴𝐵)
308 elioo3g 12146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑧𝑧 < +∞)))
309308biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑧𝑧 < +∞)))
310309simprld 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝐵 < 𝑧)
311310adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 < 𝑧)
312305, 306, 302, 307, 311lelttrd 10139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 < 𝑧)
313305, 302, 312ltnsymd 10130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑧 < 𝐴)
314313iffalsed 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
315133adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑌)
316314, 315eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ 𝑌)
317316adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) ∈ 𝑌)
318304, 317ifclda 4092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌)
319299, 300, 302, 318fvmptd 6245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
320319adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
321 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → (𝐺𝑧) = 𝑡)
322306, 302ltnled 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐵 < 𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝐵))
323311, 322mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑧𝐵)
324323intn3an3d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵))
325266adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
326325, 268syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
327324, 326mtbird 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
328327iffalsed 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
329328, 314eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐵))
330329adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → if(𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑧), if(𝑧 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐵))
331320, 321, 3303eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹𝐵))
332296, 297, 298, 331syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑡) → 𝑡 = (𝐹𝐵))
333332rexlimdv3a 3026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → (∃𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞)(𝐺𝑧) = 𝑡𝑡 = (𝐹𝐵)))
334295, 333mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → 𝑡 = (𝐹𝐵))
335 velsn 4164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ {(𝐹𝐵)} ↔ 𝑡 = (𝐹𝐵))
336334, 335sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) → 𝑡 ∈ {(𝐹𝐵)})
337336ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) → 𝑡 ∈ {(𝐹𝐵)}))
338337ssrdv 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ {(𝐹𝐵)})
339338adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ {(𝐹𝐵)})
340 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
341340snssd 4309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → {(𝐹𝐵)} ⊆ 𝑢)
342339, 341sstrd 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝑢)
343342adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝑢)
344293, 343unssd 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
345247, 344syl5eqss 3628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
346163, 167, 168, 345syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
347246, 346unssd 3767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺𝑤) ∪ (𝐺 “ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)
348162, 347syl5eqss 3628 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)
349 eleq2 2687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑦𝑣𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))))
350 imaeq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐺𝑣) = (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))))
351350sseq1d 3611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢))
352349, 351anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)))
353352rspcev 3295 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ∧ (𝐺 “ (𝑤 ∪ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
354107, 161, 348, 353syl12anc 1321 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
35583a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐽𝐽 ∈ Top)
356 iooretop 22479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
357356, 1eleqtrri 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐽
358 inopn 20629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤𝐽 ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
35983, 357, 358mp3an13 1412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐽 → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
360100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐽 → (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽)
361 unopn 20633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽 ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ 𝐽) → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
362355, 359, 360, 361syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐽 → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
3633623ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
364363ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽)
365 simpll1 1098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
366 simpll3 1100 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
367 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
368 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
369266ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
370 eqimss 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
371113, 370syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
372 difcom 4025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
373371, 372sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
374369, 373syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
375374adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
376 simp-4r 806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
377 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))
378 elioore 12147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
379378adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
380 elioo3g 12146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
381380biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
382381simprld 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → 𝐵 < 𝑦)
383382adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 < 𝑦)
3845adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
385384, 379ltnled 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
386383, 385mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑦𝐵)
387386intn3an3d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
388266adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
389 elicc2 12180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
390388, 389syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
391387, 390mtbird 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
392391iffalsed 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)))
3934adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
39426adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴𝐵)
395393, 384, 379, 394, 383lelttrd 10139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴 < 𝑦)
396393, 379, 395ltnsymd 10130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝑦 < 𝐴)
397396iffalsed 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
398392, 397eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) = (𝐹𝐵))
399133adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑌)
400398, 399eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))) ∈ 𝑌)
401379, 400, 137syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑦) = if(𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵), (𝐹𝑦), if(𝑦 < 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹𝐵))))
402401, 398eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
403402eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) = (𝐺𝑦))
404403adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) = (𝐺𝑦))
405 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
406404, 405eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
407406adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
408407stoic1a 1694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
409408adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
410 ioran 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (¬ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) ↔ (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
411377, 409, 410sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
412 elun 3731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
413411, 412sylnibr 319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
414376, 413eldifd 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
415375, 414sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
416415adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
417 simp-4l 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝜑)
418 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
419 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
420 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
421142adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))
422 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
423421, 422eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
42418ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
425424, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
426420, 423, 425mpbir2and 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
427417, 418, 419, 426syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
428 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
429427, 428eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
430 elinel1 3777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝑤)
431429, 430syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝑤)
432368, 416, 431syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦𝑤)
433 simp-4l 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
434 simp-4r 806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
435 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
436 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝜑)
437 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
43836adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
439437, 438eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
440436, 439, 141syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
441437fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
442440, 441eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
443442ad4ant14 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
444 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝜑)
44525adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
446 pnfxr 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 +∞ ∈ ℝ*
447446a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
448 rexr 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
449448adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
450445, 447, 4493jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
451450ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
452 mnflt 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ ℝ → -∞ < 𝑦)
453452ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → -∞ < 𝑦)
454 mnfxr 10040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 -∞ ∈ ℝ*
455454a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
456455, 445, 4493jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
457 elioo3g 12146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
458457notbii 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
459458biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
460459adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
461 nan 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵))) ↔ ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
462460, 461mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵))
463456, 462mpidan 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵))
464 nan 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐵)) ↔ ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝑦 < 𝐵))
465463, 464mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝑦 < 𝐵)
466453, 465mpdan 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → ¬ 𝑦 < 𝐵)
467466anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (¬ 𝑦 < 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵))
468 pm4.56 516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((¬ 𝑦 < 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) ↔ ¬ (𝑦 < 𝐵𝑦 = 𝐵))
469467, 468sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → ¬ (𝑦 < 𝐵𝑦 = 𝐵))
470 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
4715adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
472470, 471jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
473472ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
474 leloe 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦𝐵 ↔ (𝑦 < 𝐵𝑦 = 𝐵)))
475473, 474syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝑦𝐵 ↔ (𝑦 < 𝐵𝑦 = 𝐵)))
476469, 475mtbird 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → ¬ 𝑦𝐵)
4775anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
478477ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
479 ltnle 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
480478, 479syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
481476, 480mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝐵 < 𝑦)
482 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
483482ltpnfd 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 < +∞)
484481, 483jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞))
485451, 484, 380sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
486444, 485, 402syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐵) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
487443, 486pm2.61dan 831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
488487eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹𝐵) = (𝐺𝑦))
489488adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹𝐵) = (𝐺𝑦))
490 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
491489, 490eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
492491stoic1a 1694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵))
493492notnotrd 128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵))
494433, 434, 435, 493syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐵))
495432, 494elind 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))
496495ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))))
497496orrd 393 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))))
498497orcomd 403 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∨ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)))
499 elun 3731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∨ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)))
500498, 499sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)))
501365, 366, 367, 500syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)))
502108simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → 𝜑)
503502adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
504 simpll2 1099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤𝐽)
5053, 504, 164sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤 ⊆ ℝ)
506503, 505jca 554 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑤 ⊆ ℝ))
507 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
508 ffn 6002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺:ℝ⟶ran 𝐹𝐺 Fn ℝ)
50967, 508syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 Fn ℝ)
510509ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → 𝐺 Fn ℝ)
511 ssinss1 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ⊆ ℝ → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
512511ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
513 ioossre 12177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
514513a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ)
515 unima 38819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 Fn ℝ ∧ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ ∧ (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∪ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))))
516510, 512, 514, 515syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∪ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))))
517169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → Fun 𝐺)
518 fvelima 6205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Fun 𝐺𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))(𝐺𝑧) = 𝑦)
519517, 518sylancom 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → ∃𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))(𝐺𝑧) = 𝑦)
5201753ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐺𝑧))
521 simp-5l 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝜑)
522 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
523 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
524277, 271, 2733eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝐴))
5255243adant2 1078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝐴))
526 simp2 1060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
527525, 526eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
528521, 522, 523, 527syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
529 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
530 simp-5l 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝜑)
531 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))
532 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
533 elinel1 3777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧𝑤)
5345333ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧𝑤)
535 elinel2 3778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
536 elioore 12147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
537535, 536syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
5385373ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ)
539243ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
540538rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
541 mnflt 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ ℝ → -∞ < 𝑧)
542538, 541syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → -∞ < 𝑧)
543454a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
544543, 539, 5403jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*))
545 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴))
546545, 258sylnib 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)))
547 nan 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴))) ↔ (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)))
548546, 547mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*)) → ¬ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴))
549544, 548mpdan 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴))
550 nan 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐴)) ↔ (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ -∞ < 𝑧) → ¬ 𝑧 < 𝐴))
551549, 550mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ∧ -∞ < 𝑧) → ¬ 𝑧 < 𝐴)
552542, 551mpdan 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → ¬ 𝑧 < 𝐴)
553539, 540, 552xrnltled 10050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝐴𝑧)
554 simp1 1059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝜑)
5555353ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
556536adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
5575adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
558 elioo3g 12146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐵)))
559558biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < 𝐵)))
560559simprrd 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
561560adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
562556, 557, 561ltled 10129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑧𝐵)
563554, 555, 562syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧𝐵)
5642663ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
565564, 268syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
566538, 553, 563, 565mpbir3and 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
567534, 566elind 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
568530, 531, 532, 567syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
569 elinel2 3778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
570569anim2i 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
571570adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
572571, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝑧))
57318ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
574 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
575199adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
576574, 575eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
577576adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑢))
578205simplbda 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)
579573, 577, 578syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑢)
580572, 579eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
581580adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
582529, 568, 581syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
583528, 582pm2.61dan 831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
5845833adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑢)
585520, 584eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦𝑢)
5865853adant1r 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → 𝑦𝑢)
587586rexlimdv3a 3026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → (∃𝑧 ∈ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))(𝐺𝑧) = 𝑦𝑦𝑢))
588519, 587mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)))) → 𝑦𝑢)
589588ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) → 𝑦𝑢))
590589ssrdv 3589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
591292ad4ant14 1290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (-∞(,)𝐴)) ⊆ 𝑢)
592590, 591unssd 3767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∪ (𝐺 “ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)
593516, 592eqsstrd 3618 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)
594506, 366, 507, 593syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)
595 eleq2 2687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → (𝑦𝑣𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))))
596 imaeq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑣) = (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))))
597596sseq1d 3611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢))
598595, 597anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) → ((𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)))
599598rspcev 3295 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∪ (-∞(,)𝐴))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
600364, 501, 594, 599syl12anc 1321 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
601354, 600pm2.61dan 831 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
602 simpll2 1099 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤𝐽)
603 iooretop 22479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
604603, 1eleqtrri 2697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴(,)+∞) ∈ 𝐽
605 inopn 20629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∈ 𝐽)
60683, 604, 605mp3an13 1412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐽 → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∈ 𝐽)
607102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐽 → (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽)
608 unopn 20633 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∈ 𝐽 ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐽) → ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
609355, 606, 607, 608syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝐽 → ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
610602, 609syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
611 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
612611simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
613612simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝜑)
614 simp-4r 806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
615 simp-5r 808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
616 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
617 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → 𝜑)
61824adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
619455, 618, 4493jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
620619adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
621452anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐴) → (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐴))
622621adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐴))
623 elioo3g 12146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐴)))
624620, 622, 623sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))
625 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)))
626625anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) ↔ (𝜑𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))))
627 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 = 𝑦 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑦))
628627eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐺𝑧) = (𝐹𝐴) ↔ (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴)))
629626, 628imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑𝑧 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑧) = (𝐹𝐴)) ↔ ((𝜑𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))))
630629, 524chvarv 2262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
631617, 624, 630syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
632631eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝑦))
633632ad4ant14 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝑦))
634 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
635633, 634eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
636 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 < 𝐴) → ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
637635, 636pm2.65da 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ¬ 𝑦 < 𝐴)
6384anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
639638ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
640 lenlt 10060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝐴))
641639, 640syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → (𝐴𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝐴))
642637, 641mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → 𝐴𝑦)
643611, 616, 642syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐴𝑦)
644 ltpnf 11898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
645644ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
646450adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
647380notbii 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
648647biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) → ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
649648adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
650 imnan 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)) ↔ ¬ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
651649, 650sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞)))
652646, 651mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞))
653 ancom 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐵 < 𝑦))
654652, 653sylnib 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐵 < 𝑦))
655 imnan 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 < +∞ → ¬ 𝐵 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐵 < 𝑦))
656654, 655sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 < +∞ → ¬ 𝐵 < 𝑦))
657645, 656mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
658472adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
659 lenlt 10060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
660658, 659syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
661657, 660mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦𝐵)
662612, 661sylancom 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦𝐵)
663266ad5antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
664663, 389syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
665615, 643, 662, 664mpbir3and 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
666613, 614, 665, 426syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
667 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
668666, 667eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
669668, 430syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦𝑤)
670 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 = 𝐴 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝐴))
67128ancli 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
672 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
673672anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝐴 → ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
674 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
675670, 674eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐺𝑦) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐺𝐴) = (𝐹𝐴)))
676673, 675imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 = 𝐴 → (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦)) ↔ ((𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝐴) = (𝐹𝐴))))
677676, 141vtoclg 3252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝐴) = (𝐹𝐴)))
6784, 671, 677sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐺𝐴) = (𝐹𝐴))
679670, 678sylan9eqr 2677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
680679ad4ant14 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
681 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝜑)
682619ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
683452ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → -∞ < 𝑦)
684 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
685681, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
686449adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
68724ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
688644ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
689 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
690446a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
691687, 690, 6863jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
692 elioo3g 12146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
693692notbii 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ ¬ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
694693biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → ¬ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
695 nan 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → ¬ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞))) ↔ ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
696694, 695mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞))
697689, 691, 696syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞))
698 ancom 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐴 < 𝑦))
699697, 698sylnib 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐴 < 𝑦))
700 nan 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝑦 < +∞ ∧ 𝐴 < 𝑦)) ↔ ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝐴 < 𝑦))
701699, 700mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝐴 < 𝑦)
702688, 701mpdan 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ 𝐴 < 𝑦)
703686, 687, 702xrnltled 10050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦𝐴)
704703adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦𝐴)
705 neqne 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑦 = 𝐴𝑦𝐴)
706705necomd 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑦 = 𝐴𝐴𝑦)
707706adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴𝑦)
708684, 685, 704, 707leneltd 10135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 < 𝐴)
709683, 708jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝐴))
710682, 709, 623sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ∈ (-∞(,)𝐴))
711681, 710, 630syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐴) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
712680, 711pm2.61dan 831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐴))
713712eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝑦))
714713ad4ant14 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝑦))
715 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
716714, 715eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
717 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞)) → ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
718716, 717condan 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
719611, 616, 718syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
720669, 719elind 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))
721720adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))
722 pm5.6 950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ↔ ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ∨ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))))
723721, 722mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞) ∨ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))))
724723orcomd 403 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
725 elun 3731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∨ 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞)))
726724, 725sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)))
7277263adantll2 38685 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)))
728 simp1ll 1122 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝜑)
729728ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
730 simpll3 1100 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
731 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
732509ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝐺 Fn ℝ)
733 ioossre 12177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴(,)+∞) ⊆ ℝ
734733olci 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ⊆ ℝ ∨ (𝐴(,)+∞) ⊆ ℝ)
735 inss 3820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ⊆ ℝ ∨ (𝐴(,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ)
736734, 735ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ
737736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ)
738 ioossre 12177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ
739738a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ)
740 unima 38819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 Fn ℝ ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ ℝ ∧ (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))))
741732, 737, 739, 740syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) = ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))))
742 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝜑)
743736sseli 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
744743ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
745742, 744, 450syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
746 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝐵 < 𝑦)
747743ltpnfd 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
748747adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 < +∞)
749746, 748jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞))
750749adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐵 < 𝑦𝑦 < +∞))
751745, 750, 380sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐵(,)+∞))
752742, 751, 402syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
753752adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝐵))
754 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
755753, 754eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
756755adantlllr 38682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
757 simp-4l 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝜑)
758 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)))
759 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
760 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝜑)
761743adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
762761adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
7634adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝐴 ∈ ℝ)
764 elinel2 3778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞))
765692biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < +∞)))
766765simprld 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝐴(,)+∞) → 𝐴 < 𝑦)
767764, 766syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝐴 < 𝑦)
768767adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝐴 < 𝑦)
769763, 761, 768ltled 10129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → 𝐴𝑦)
770769adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝐴𝑦)
771 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
772760, 762, 472syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
773772, 659syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
774771, 773mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦𝐵)
775266ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
776775, 389syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
777762, 770, 774, 776mpbir3and 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
778760, 777, 141syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
779757, 758, 759, 778syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
780 elinel1 3777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) → 𝑦𝑤)
781780ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦𝑤)
782781, 777jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
783782adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
784783, 153sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
785199ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
786784, 785eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
78718ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
788787, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
789786, 788mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢))
790789simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
791790adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
792779, 791eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
793756, 792pm2.61dan 831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
794793ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∀𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))(𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
795 fndm 5948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐺 Fn ℝ → dom 𝐺 = ℝ)
796509, 795syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom 𝐺 = ℝ)
797736, 796syl5sseqr 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺)
798170, 797jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (Fun 𝐺 ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺))
799798ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (Fun 𝐺 ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺))
800 funimass4 6204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Fun 𝐺 ∧ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))(𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
801799, 800syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))(𝐺𝑦) ∈ 𝑢))
802794, 801mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
803342adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝑢)
804802, 803unssd 3767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞))) ∪ (𝐺 “ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
805741, 804eqsstrd 3618 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
806729, 730, 731, 805syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
807 eleq2 2687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (𝑦𝑣𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))))
808 imaeq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (𝐺𝑣) = (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))))
809808sseq1d 3611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢))
810807, 809anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) → ((𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)))
811810rspcev 3295 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝐺 “ ((𝑤 ∩ (𝐴(,)+∞)) ∪ (𝐵(,)+∞))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
812610, 727, 806, 811syl12anc 1321 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑦𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
813 simpll2 1099 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑤𝐽)
814 iooretop 22479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
815814, 1eleqtrri 2697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽
816 inopn 20629 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
81783, 815, 816mp3an13 1412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝐽 → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
818813, 817syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
819 simp-4r 806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
820642adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝐴𝑦)
821 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
822821, 408, 661syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝐵)
823822adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝐵)
824 simp-4l 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
825824, 266syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
826825, 389syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
827819, 820, 823, 826mpbir3and 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
828827adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
829824, 827, 141syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
830829adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
831 simp-4r 806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
832830, 831eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
833 simp-5l 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝜑)
834833, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
835834, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
836828, 832, 835mpbir2and 956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
837 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
838836, 837eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
839838, 430syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝑤)
840 simp-5r 808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ ℝ)
841833, 840, 828jca31 556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
842 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢)
843832, 842jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢))
844 nelneq 2722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
845674necon3bi 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴) → 𝑦𝐴)
846843, 844, 8453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝐴)
847 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢)
848832, 847jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢))
849 nelneq 2722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑦) ∈ 𝑢 ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → ¬ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
850 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
851850necon3bi 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵) → 𝑦𝐵)
852848, 849, 8513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦𝐵)
853618ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
854445ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
855448ad4antlr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ*)
856853, 854, 8553jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
857 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
8584ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
859 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
860266adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
861860, 389syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
862139, 861mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
863862simp2d 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑦)
864863adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑦)
865858, 859, 8643jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦))
866865adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦))
867 leltne 10071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦) → (𝐴 < 𝑦𝑦𝐴))
868866, 867syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴 < 𝑦𝑦𝐴))
869857, 868mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐴 < 𝑦)
870869adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴 < 𝑦)
871 necom 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵𝐵𝑦)
872871biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵𝐵𝑦)
873872adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐵𝑦)
8745ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
875862simp3d 1073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝐵)
876875adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝐵)
877859, 874, 8763jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐵))
878877adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐵))
879 leltne 10071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 < 𝐵𝐵𝑦))
880878, 879syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 < 𝐵𝐵𝑦))
881873, 880mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 < 𝐵)
882881adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 < 𝐵)
883870, 882jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
884 elioo3g 12146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
885856, 883, 884sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
886841, 846, 852, 885syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
887839, 886elind 3776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
8888873adantll2 38685 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑢) ∧ 𝑤𝐽 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ (𝐹𝐴) ∈ 𝑢) ∧ ¬ (𝐹𝐵) ∈ 𝑢) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
889169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → Fun 𝐺)
890 fvelima 6205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Fun 𝐺𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → ∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))(𝐺𝑦) = 𝑡)
891889, 890sylancom 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → ∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))(𝐺𝑦) = 𝑡)
892 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → (𝐺𝑦) = 𝑡)
893 simp1l 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → 𝜑)
894 inss2 3812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
895 ioossicc 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
896894, 895sstri 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
897896sseli 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8988973ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
899893, 898, 141syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → (𝐺𝑦) = (𝐹𝑦))
900 sslin 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
901895, 900ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))
902901sseli 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
903902adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
904199adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐹𝑢))
905903, 904eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
906905adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑢))
90718ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
908907, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)))
909906, 908mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑢))
910909simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
9119103adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑢)
912899, 911eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑢)
913892, 912eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐺𝑦) = 𝑡) → 𝑡𝑢)
9149133exp 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑦) = 𝑡𝑡𝑢)))
915914adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → (𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑦) = 𝑡𝑡𝑢)))
916915rexlimdv 3023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → (∃𝑦 ∈ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))(𝐺𝑦) = 𝑡𝑡𝑢))
917891, 916mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) → 𝑡𝑢)
918917ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∀𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))𝑡𝑢)
919 dfss3 3573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵)))𝑡𝑢)
920918, 919sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑢) = (𝑤 ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺 “ (𝑤 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ 𝑢)
921920ad4ant14 1290 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝐺