Theorem pi1xfrcnv 23661

Description: Given a path 𝐹 between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1xfr.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q	⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g	⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
pi1xfr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfr.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pi1xfrcnv.h	⊢ 𝐻 = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)

Assertion

Ref	Expression
pi1xfrcnv	⊢ (𝜑 → (◡𝐺 = 𝐻 ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))

Distinct variable groups:   𝑔,ℎ,𝑥,𝐵   𝑔,𝐹,ℎ,𝑥   𝑔,𝐼,ℎ,𝑥   ℎ,𝐺   𝜑,𝑔,ℎ,𝑥   𝑔,𝐽,ℎ,𝑥   𝑃,𝑔,ℎ,𝑥   𝑄,𝑔,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑔)   𝐻(𝑥,𝑔,ℎ)   𝑋(𝑥,𝑔,ℎ)

Proof of Theorem pi1xfrcnv

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1xfr.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
2		pi1xfr.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
3		pi1xfr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		pi1xfr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
5		pi1xfr.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		pi1xfr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7		pi1xfr.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
8		pi1xfrcnv.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	pi1xfrcnvlem 23660	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 ⊆ 𝐻)
10		fvex 6683	. . . . . . . 8 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) ∈ V
11		ecexg 8293	. . . . . . . 8 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [ℎ]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
12	10, 11	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄)) → [ℎ]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
13		ecexg 8293	. . . . . . . 8 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
14	10, 13	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄)) → [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
15	8, 12, 14	fliftrel 7061	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (V × V))
16		df-rel 5562	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐻 ↔ 𝐻 ⊆ (V × V))
17	15, 16	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐻)
18		dfrel2 6046	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐻 ↔ ◡◡𝐻 = 𝐻)
19	17, 18	sylib 220	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡◡𝐻 = 𝐻)
20		0elunit 12856	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
21		oveq2 7164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
22		1m0e1 11759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − 0) = 1
23	21, 22	syl6eq 2872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = 1)
24	23	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘1))
25		fvex 6683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘1) ∈ V
26	24, 7, 25	fvmpt 6768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
27	20, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼‘0) = (𝐹‘1)
28	27	oveq2i 7167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 π1 (𝐼‘0)) = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
29	2, 28	eqtr4i 2847	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐼‘0))
30		1elunit 12857	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
31		oveq2 7164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
32	31	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − 1)))
33		1m1e0 11710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − 1) = 0
34	33	fveq2i 6673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹‘(1 − 1)) = (𝐹‘0)
35	32, 34	syl6eq 2872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘0))
36		fvex 6683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘0) ∈ V
37	35, 7, 36	fvmpt 6768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
38	30, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)
39	38	oveq2i 7167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 π1 (𝐼‘1)) = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
40	1, 39	eqtr4i 2847	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐼‘1))
41		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
42		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
43	7	pcorevcl 23629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
44	6, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
45	44	simp1d 1138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
46		oveq2 7164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (1 − 𝑧) = (1 − 𝑦))
47	46	fveq2d 6674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐼‘(1 − 𝑦)))
48	47	cbvmptv 5169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑦)))
49		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
50	29, 40, 41, 42, 5, 45, 48, 49	pi1xfrcnvlem 23660	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ⊆ ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
51		iitopon 23487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
52		cnf2 21857	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
53	51, 5, 6, 52	mp3an2i 1462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
54	53	feqmptd 6733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑧)))
55		iirev 23533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑧) ∈ (0[,]1))
56		oveq2 7164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (1 − 𝑧) → (1 − 𝑥) = (1 − (1 − 𝑧)))
57	56	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (1 − 𝑧) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
58		fvex 6683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))) ∈ V
59	57, 7, 58	fvmpt 6768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 − 𝑧) ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
60	55, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
61		ax-1cn 10595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℂ
62		unitssre 12886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
63	62	sseli 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℝ)
64	63	recnd 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℂ)
65		nncan 10915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑧)) = 𝑧)
66	61, 64, 65	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − 𝑧)) = 𝑧)
67	66	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
68	60, 67	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘𝑧))
69	68	mpteq2ia 5157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑧))
70	54, 69	syl6eqr 2874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))))
71	70	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼)) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼)))
72	71	eceq1d 8328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽) = [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽))
73	72	opeq2d 4810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩ = ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
74	73	mpteq2dv 5162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
75	74	rneqd 5808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
76	8, 75	syl5eq 2868	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
77	76	cnveqd 5746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡𝐻 = ◡ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
78	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
79	78	unieqd 4852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ (Base‘𝑃))
80	70	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹) = (𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))
81	80	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))))))
82	81	eceq1d 8328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽))
83	82	opeq2d 4810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩ = ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
84	79, 83	mpteq12dv 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
85	84	rneqd 5808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
86	4, 85	syl5eq 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
87	50, 77, 86	3sstr4d 4014	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡𝐻 ⊆ 𝐺)
88		cnvss 5743	. . . . 5 ⊢ (◡𝐻 ⊆ 𝐺 → ◡◡𝐻 ⊆ ◡𝐺)
89	87, 88	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡◡𝐻 ⊆ ◡𝐺)
90	19, 89	eqsstrrd 4006	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ ◡𝐺)
91	9, 90	eqssd 3984	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 = 𝐻)
92	91, 76	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
93	29, 40, 41, 42, 5, 45, 48	pi1xfr 23659	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
94	92, 93	eqeltrd 2913	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
95	91, 94	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 = 𝐻 ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   ⊆ wss 3936  ⟨cop 4573  ∪ cuni 4838   ↦ cmpt 5146   × cxp 5553  ^◡ccnv 5554  ran crn 5556  Rel wrel 5560  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  [cec 8287  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   − cmin 10870  [,]cicc 12742  Basecbs 16483   GrpHom cghm 18355  TopOnctopon 21518   Cn ccn 21832  IIcii 23483   ≃_phcphtpc 23573  *_𝑝cpco 23604   π₁ cpi1 23607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-ec 8291  df-qs 8295  df-map 8408  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-qus 16782  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-mulg 18225  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-ii 23485  df-htpy 23574  df-phtpy 23575  df-phtpc 23596  df-pco 23609  df-om1 23610  df-pi1 23612

This theorem is referenced by:  pi1xfrgim  23662