MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1coghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1coghm 22907
Description: The mapping 𝐺 between fundamental groups is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pi1co.q 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
pi1co.v 𝑉 = (Base‘𝑃)
pi1co.g 𝐺 = ran (𝑔 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾)⟩)
pi1co.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1co.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
pi1co.a (𝜑𝐴𝑋)
pi1co.b (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
pi1coghm (𝜑𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝜑,𝑔   𝑔,𝐾   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔   𝑔,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1coghm
Dummy variables 𝑓 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1co.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 pi1co.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
3 pi1co.p . . . . 5 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
43pi1grp 22896 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝑃 ∈ Grp)
51, 2, 4syl2anc 694 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
6 pi1co.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7 cntop2 21093 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Top)
9 eqid 2651 . . . . . 6 𝐾 = 𝐾
109toptopon 20770 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
118, 10sylib 208 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
12 pi1co.b . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐵)
13 cnf2 21101 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋 𝐾)
141, 11, 6, 13syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋 𝐾)
1514, 2ffvelrnd 6400 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐾)
1612, 15eqeltrrd 2731 . . . 4 (𝜑𝐵 𝐾)
17 pi1co.q . . . . 5 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
1817pi1grp 22896 . . . 4 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ 𝐵 𝐾) → 𝑄 ∈ Grp)
1911, 16, 18syl2anc 694 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ Grp)
205, 19jca 553 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑄 ∈ Grp))
21 pi1co.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑃)
22 pi1co.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾)⟩)
233, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1cof 22905 . . 3 (𝜑𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄))
2421a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑃))
253, 1, 2, 24pi1bas2 22887 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 = ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽)))
2625eleq2d 2716 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝑉𝑦 ∈ ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽))))
2726biimpa 500 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑉) → 𝑦 ∈ ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽)))
28 eqid 2651 . . . . . 6 ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽)) = ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽))
29 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → ([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧) = (𝑦(+g𝑃)𝑧))
3029fveq2d 6233 . . . . . . . 8 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)))
31 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽)) = (𝐺𝑦))
3231oveq1d 6705 . . . . . . . 8 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
3330, 32eqeq12d 2666 . . . . . . 7 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → ((𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)) ↔ (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
3433ralbidv 3015 . . . . . 6 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → (∀𝑧𝑉 (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)) ↔ ∀𝑧𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
35 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → ([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽)) = ([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧))
3635fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)))
37 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → (𝐺‘[]( ≃ph𝐽)) = (𝐺𝑧))
3837oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
3936, 38eqeq12d 2666 . . . . . . . . 9 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → ((𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))) ↔ (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
403, 1, 2, 24pi1eluni 22888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑓 𝑉 ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐴)))
4140biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐴))
4241simp1d 1093 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
441adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
452adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝐴𝑋)
4621a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑃))
473, 44, 45, 46pi1eluni 22888 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → ( 𝑉 ↔ ( ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (‘0) = 𝐴 ∧ (‘1) = 𝐴)))
4847biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ( ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (‘0) = 𝐴 ∧ (‘1) = 𝐴))
4948simp1d 1093 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ∈ (II Cn 𝐽))
5041simp3d 1095 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝑓‘1) = 𝐴)
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝑓‘1) = 𝐴)
5248simp2d 1094 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (‘0) = 𝐴)
5351, 52eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝑓‘1) = (‘0))
546ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5543, 49, 53, 54copco 22864 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝𝐽))) = ((𝐹𝑓)(*𝑝𝐾)(𝐹)))
5655eceq1d 7826 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → [(𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝𝐽)))]( ≃ph𝐾) = [((𝐹𝑓)(*𝑝𝐾)(𝐹))]( ≃ph𝐾))
5743, 49, 53pcocn 22863 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽))
5843, 49pco0 22860 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0) = (𝑓‘0))
5941simp2d 1094 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝑓‘0) = 𝐴)
6059adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝑓‘0) = 𝐴)
6158, 60eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0) = 𝐴)
6243, 49pco1 22861 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘1) = (‘1))
6348simp3d 1095 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (‘1) = 𝐴)
6462, 63eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘1) = 𝐴)
651ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
662ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝐴𝑋)
6721a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑃))
683, 65, 66, 67pi1eluni 22888 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0) = 𝐴 ∧ ((𝑓(*𝑝𝐽))‘1) = 𝐴)))
6957, 61, 64, 68mpbir3and 1264 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ 𝑉)
703, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 22906 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ 𝑉) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝𝐽)))]( ≃ph𝐾))
7170adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ (𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ 𝑉) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝𝐽)))]( ≃ph𝐾))
7269, 71syldan 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝𝐽)))]( ≃ph𝐾))
73 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
7411ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
7516ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝐵 𝐾)
76 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑄) = (+g𝑄)
776adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
78 cnco 21118 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹𝑓) ∈ (II Cn 𝐾))
7942, 77, 78syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝐹𝑓) ∈ (II Cn 𝐾))
80 iitopon 22729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝑉) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
82 cnf2 21101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
8381, 44, 42, 82syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
84 0elunit 12328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ (0[,]1)
85 fvco3 6314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑓)‘0) = (𝐹‘(𝑓‘0)))
8683, 84, 85sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → ((𝐹𝑓)‘0) = (𝐹‘(𝑓‘0)))
8759fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝐹‘(𝑓‘0)) = (𝐹𝐴))
8812adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝐹𝐴) = 𝐵)
8986, 87, 883eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝑉) → ((𝐹𝑓)‘0) = 𝐵)
90 1elunit 12329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ (0[,]1)
91 fvco3 6314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑓)‘1) = (𝐹‘(𝑓‘1)))
9283, 90, 91sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → ((𝐹𝑓)‘1) = (𝐹‘(𝑓‘1)))
9350fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝐹‘(𝑓‘1)) = (𝐹𝐴))
9492, 93, 883eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝑉) → ((𝐹𝑓)‘1) = 𝐵)
9511adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
9616adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝐵 𝐾)
97 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
9817, 95, 96, 97pi1eluni 22888 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝑉) → ((𝐹𝑓) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐹𝑓) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝐹𝑓)‘0) = 𝐵 ∧ ((𝐹𝑓)‘1) = 𝐵)))
9979, 89, 94, 98mpbir3and 1264 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝐹𝑓) ∈ (Base‘𝑄))
10099adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐹𝑓) ∈ (Base‘𝑄))
101 cnco 21118 . . . . . . . . . . . . . 14 (( ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
10249, 54, 101syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
10380a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
104 cnf2 21101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ ∈ (II Cn 𝐽)) → :(0[,]1)⟶𝑋)
105103, 65, 49, 104syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → :(0[,]1)⟶𝑋)
106 fvco3 6314 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹)‘0) = (𝐹‘(‘0)))
107105, 84, 106sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝐹)‘0) = (𝐹‘(‘0)))
10852fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐹‘(‘0)) = (𝐹𝐴))
10912ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐹𝐴) = 𝐵)
110107, 108, 1093eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝐹)‘0) = 𝐵)
111 fvco3 6314 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹)‘1) = (𝐹‘(‘1)))
112105, 90, 111sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝐹)‘1) = (𝐹‘(‘1)))
11363fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐹‘(‘1)) = (𝐹𝐴))
114112, 113, 1093eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝐹)‘1) = 𝐵)
115 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
11617, 11, 16, 115pi1eluni 22888 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐹) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐹) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝐹)‘0) = 𝐵 ∧ ((𝐹)‘1) = 𝐵)))
117116ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝐹) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐹) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝐹)‘0) = 𝐵 ∧ ((𝐹)‘1) = 𝐵)))
118102, 110, 114, 117mpbir3and 1264 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐹) ∈ (Base‘𝑄))
11917, 73, 74, 75, 76, 100, 118pi1addval 22894 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ([(𝐹𝑓)]( ≃ph𝐾)(+g𝑄)[(𝐹)]( ≃ph𝐾)) = [((𝐹𝑓)(*𝑝𝐾)(𝐹))]( ≃ph𝐾))
12056, 72, 1193eqtr4d 2695 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)) = ([(𝐹𝑓)]( ≃ph𝐾)(+g𝑄)[(𝐹)]( ≃ph𝐾)))
121 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑃) = (+g𝑃)
122 simplr 807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝑓 𝑉)
123 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝑉)
1243, 21, 65, 66, 121, 122, 123pi1addval 22894 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽)) = [(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽))
125124fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)))
1263, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 22906 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹𝑓)]( ≃ph𝐾))
127126adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹𝑓)]( ≃ph𝐾))
1283, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 22906 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 𝑉) → (𝐺‘[]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹)]( ≃ph𝐾))
129128adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐺‘[]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹)]( ≃ph𝐾))
130127, 129oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))) = ([(𝐹𝑓)]( ≃ph𝐾)(+g𝑄)[(𝐹)]( ≃ph𝐾)))
131120, 125, 1303eqtr4d 2695 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))))
13228, 39, 131ectocld 7857 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽))) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
133132ralrimiva 2995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 𝑉) → ∀𝑧 ∈ ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽))(𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
13425adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝑉 = ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽)))
135134raleqdv 3174 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 𝑉) → (∀𝑧𝑉 (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽))(𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
136133, 135mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 𝑉) → ∀𝑧𝑉 (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
13728, 34, 136ectocld 7857 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽))) → ∀𝑧𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
13827, 137syldan 486 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑉) → ∀𝑧𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
139138ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
14023, 139jca 553 . 2 (𝜑 → (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄) ∧ ∀𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
14121, 73, 121, 76isghm 17707 . 2 (𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄) ↔ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑄 ∈ Grp) ∧ (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄) ∧ ∀𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))))
14220, 140, 141sylanbrc 699 1 (𝜑𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  cop 4216   cuni 4468  cmpt 4762  ran crn 5144  ccom 5147  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  [cec 7785   / cqs 7786  0cc0 9974  1c1 9975  [,]cicc 12216  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  Grpcgrp 17469   GrpHom cghm 17704  Topctop 20746  TopOnctopon 20763   Cn ccn 21076  IIcii 22725  phcphtpc 22815  *𝑝cpco 22846   π1 cpi1 22849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-qus 16216  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-mulg 17588  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-ii 22727  df-htpy 22816  df-phtpy 22817  df-phtpc 22838  df-pco 22851  df-om1 22852  df-pi1 22854
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator