MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1coghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1coghm 22600
Description: The mapping 𝐺 between fundamental groups is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pi1co.q 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
pi1co.v 𝑉 = (Base‘𝑃)
pi1co.g 𝐺 = ran (𝑔 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾)⟩)
pi1co.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1co.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
pi1co.a (𝜑𝐴𝑋)
pi1co.b (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
pi1coghm (𝜑𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝜑,𝑔   𝑔,𝐾   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔   𝑔,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1coghm
Dummy variables 𝑓 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1co.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 pi1co.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
3 pi1co.p . . . . 5 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
43pi1grp 22589 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝑃 ∈ Grp)
51, 2, 4syl2anc 690 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
6 pi1co.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7 cntop2 20797 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Top)
9 eqid 2609 . . . . . 6 𝐾 = 𝐾
109toptopon 20490 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
118, 10sylib 206 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
12 pi1co.b . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐵)
13 cnf2 20805 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋 𝐾)
141, 11, 6, 13syl3anc 1317 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋 𝐾)
1514, 2ffvelrnd 6253 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐾)
1612, 15eqeltrrd 2688 . . . 4 (𝜑𝐵 𝐾)
17 pi1co.q . . . . 5 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
1817pi1grp 22589 . . . 4 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ 𝐵 𝐾) → 𝑄 ∈ Grp)
1911, 16, 18syl2anc 690 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ Grp)
205, 19jca 552 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑄 ∈ Grp))
21 pi1co.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑃)
22 pi1co.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾)⟩)
233, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1cof 22598 . . 3 (𝜑𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄))
2421a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑃))
253, 1, 2, 24pi1bas2 22580 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 = ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽)))
2625eleq2d 2672 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝑉𝑦 ∈ ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽))))
2726biimpa 499 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑉) → 𝑦 ∈ ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽)))
28 eqid 2609 . . . . . 6 ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽)) = ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽))
29 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → ([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧) = (𝑦(+g𝑃)𝑧))
3029fveq2d 6092 . . . . . . . 8 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)))
31 fveq2 6088 . . . . . . . . 9 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽)) = (𝐺𝑦))
3231oveq1d 6542 . . . . . . . 8 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
3330, 32eqeq12d 2624 . . . . . . 7 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → ((𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)) ↔ (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
3433ralbidv 2968 . . . . . 6 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → (∀𝑧𝑉 (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)) ↔ ∀𝑧𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
35 oveq2 6535 . . . . . . . . . . 11 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → ([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽)) = ([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧))
3635fveq2d 6092 . . . . . . . . . 10 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)))
37 fveq2 6088 . . . . . . . . . . 11 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → (𝐺‘[]( ≃ph𝐽)) = (𝐺𝑧))
3837oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
3936, 38eqeq12d 2624 . . . . . . . . 9 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → ((𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))) ↔ (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
403, 1, 2, 24pi1eluni 22581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑓 𝑉 ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐴)))
4140biimpa 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐴))
4241simp1d 1065 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
4342adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
441adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
452adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝐴𝑋)
4621a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑃))
473, 44, 45, 46pi1eluni 22581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → ( 𝑉 ↔ ( ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (‘0) = 𝐴 ∧ (‘1) = 𝐴)))
4847biimpa 499 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ( ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (‘0) = 𝐴 ∧ (‘1) = 𝐴))
4948simp1d 1065 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ∈ (II Cn 𝐽))
5041simp3d 1067 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝑓‘1) = 𝐴)
5150adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝑓‘1) = 𝐴)
5248simp2d 1066 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (‘0) = 𝐴)
5351, 52eqtr4d 2646 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝑓‘1) = (‘0))
546ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5543, 49, 53, 54copco 22557 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝𝐽))) = ((𝐹𝑓)(*𝑝𝐾)(𝐹)))
5655eceq1d 7647 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → [(𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝𝐽)))]( ≃ph𝐾) = [((𝐹𝑓)(*𝑝𝐾)(𝐹))]( ≃ph𝐾))
5743, 49, 53pcocn 22556 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽))
5843, 49pco0 22553 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0) = (𝑓‘0))
5941simp2d 1066 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝑓‘0) = 𝐴)
6059adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝑓‘0) = 𝐴)
6158, 60eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0) = 𝐴)
6243, 49pco1 22554 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘1) = (‘1))
6348simp3d 1067 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (‘1) = 𝐴)
6462, 63eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘1) = 𝐴)
651ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
662ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝐴𝑋)
6721a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑃))
683, 65, 66, 67pi1eluni 22581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0) = 𝐴 ∧ ((𝑓(*𝑝𝐽))‘1) = 𝐴)))
6957, 61, 64, 68mpbir3and 1237 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ 𝑉)
703, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 22599 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ 𝑉) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝𝐽)))]( ≃ph𝐾))
7170adantlr 746 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ (𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ 𝑉) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝𝐽)))]( ≃ph𝐾))
7269, 71syldan 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝𝐽)))]( ≃ph𝐾))
73 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
7411ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
7516ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝐵 𝐾)
76 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑄) = (+g𝑄)
776adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
78 cnco 20822 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹𝑓) ∈ (II Cn 𝐾))
7942, 77, 78syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝐹𝑓) ∈ (II Cn 𝐾))
80 iitopon 22421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝑉) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
82 cnf2 20805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
8381, 44, 42, 82syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
84 0elunit 12117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ (0[,]1)
85 fvco3 6170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑓)‘0) = (𝐹‘(𝑓‘0)))
8683, 84, 85sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → ((𝐹𝑓)‘0) = (𝐹‘(𝑓‘0)))
8759fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝐹‘(𝑓‘0)) = (𝐹𝐴))
8812adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝐹𝐴) = 𝐵)
8986, 87, 883eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝑉) → ((𝐹𝑓)‘0) = 𝐵)
90 1elunit 12118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ (0[,]1)
91 fvco3 6170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑓)‘1) = (𝐹‘(𝑓‘1)))
9283, 90, 91sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → ((𝐹𝑓)‘1) = (𝐹‘(𝑓‘1)))
9350fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝐹‘(𝑓‘1)) = (𝐹𝐴))
9492, 93, 883eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝑉) → ((𝐹𝑓)‘1) = 𝐵)
9511adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
9616adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝐵 𝐾)
97 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
9817, 95, 96, 97pi1eluni 22581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝑉) → ((𝐹𝑓) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐹𝑓) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝐹𝑓)‘0) = 𝐵 ∧ ((𝐹𝑓)‘1) = 𝐵)))
9979, 89, 94, 98mpbir3and 1237 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝐹𝑓) ∈ (Base‘𝑄))
10099adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐹𝑓) ∈ (Base‘𝑄))
101 cnco 20822 . . . . . . . . . . . . . 14 (( ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
10249, 54, 101syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
10380a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
104 cnf2 20805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ ∈ (II Cn 𝐽)) → :(0[,]1)⟶𝑋)
105103, 65, 49, 104syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → :(0[,]1)⟶𝑋)
106 fvco3 6170 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹)‘0) = (𝐹‘(‘0)))
107105, 84, 106sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝐹)‘0) = (𝐹‘(‘0)))
10852fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐹‘(‘0)) = (𝐹𝐴))
10912ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐹𝐴) = 𝐵)
110107, 108, 1093eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝐹)‘0) = 𝐵)
111 fvco3 6170 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹)‘1) = (𝐹‘(‘1)))
112105, 90, 111sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝐹)‘1) = (𝐹‘(‘1)))
11363fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐹‘(‘1)) = (𝐹𝐴))
114112, 113, 1093eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝐹)‘1) = 𝐵)
115 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
11617, 11, 16, 115pi1eluni 22581 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐹) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐹) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝐹)‘0) = 𝐵 ∧ ((𝐹)‘1) = 𝐵)))
117116ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝐹) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐹) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝐹)‘0) = 𝐵 ∧ ((𝐹)‘1) = 𝐵)))
118102, 110, 114, 117mpbir3and 1237 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐹) ∈ (Base‘𝑄))
11917, 73, 74, 75, 76, 100, 118pi1addval 22587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ([(𝐹𝑓)]( ≃ph𝐾)(+g𝑄)[(𝐹)]( ≃ph𝐾)) = [((𝐹𝑓)(*𝑝𝐾)(𝐹))]( ≃ph𝐾))
12056, 72, 1193eqtr4d 2653 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)) = ([(𝐹𝑓)]( ≃ph𝐾)(+g𝑄)[(𝐹)]( ≃ph𝐾)))
121 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑃) = (+g𝑃)
122 simplr 787 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝑓 𝑉)
123 simpr 475 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝑉)
1243, 21, 65, 66, 121, 122, 123pi1addval 22587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽)) = [(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽))
125124fveq2d 6092 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)))
1263, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 22599 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹𝑓)]( ≃ph𝐾))
127126adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹𝑓)]( ≃ph𝐾))
1283, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 22599 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 𝑉) → (𝐺‘[]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹)]( ≃ph𝐾))
129128adantlr 746 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐺‘[]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹)]( ≃ph𝐾))
130127, 129oveq12d 6545 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))) = ([(𝐹𝑓)]( ≃ph𝐾)(+g𝑄)[(𝐹)]( ≃ph𝐾)))
131120, 125, 1303eqtr4d 2653 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))))
13228, 39, 131ectocld 7678 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽))) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
133132ralrimiva 2948 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 𝑉) → ∀𝑧 ∈ ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽))(𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
13425adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝑉 = ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽)))
135134raleqdv 3120 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 𝑉) → (∀𝑧𝑉 (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽))(𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
136133, 135mpbird 245 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 𝑉) → ∀𝑧𝑉 (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
13728, 34, 136ectocld 7678 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽))) → ∀𝑧𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
13827, 137syldan 485 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑉) → ∀𝑧𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
139138ralrimiva 2948 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
14023, 139jca 552 . 2 (𝜑 → (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄) ∧ ∀𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
14121, 73, 121, 76isghm 17429 . 2 (𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄) ↔ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑄 ∈ Grp) ∧ (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄) ∧ ∀𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))))
14220, 140, 141sylanbrc 694 1 (𝜑𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  cop 4130   cuni 4366  cmpt 4637  ran crn 5029  ccom 5032  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  [cec 7604   / cqs 7605  0cc0 9792  1c1 9793  [,]cicc 12005  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  Grpcgrp 17191   GrpHom cghm 17426  Topctop 20459  TopOnctopon 20460   Cn ccn 20780  IIcii 22417  phcphtpc 22507  *𝑝cpco 22539   π1 cpi1 22542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-ec 7608  df-qs 7612  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-qus 15938  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-mulg 17310  df-ghm 17427  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-ii 22419  df-htpy 22508  df-phtpy 22509  df-phtpc 22530  df-pco 22544  df-om1 22545  df-pi1 22547
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator