MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeidlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeidlem 23742
Description: Lemma for coeid 23743. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
coeid.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
coeid.4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
coeid.5 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
coeid.6 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
coeid.7 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
coeidlem (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝐵,𝑘,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem coeidlem
StepHypRef Expression
1 coeid.7 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
2 dgrub.1 . . . . . . 7 𝐴 = (coeff‘𝐹)
3 coeid.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4 coeid.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
5 coeid.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
6 plybss 23699 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
73, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
8 0cnd 9890 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
98snssd 4280 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
107, 9unssd 3750 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11 cnex 9874 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ∈ V
12 ssexg 4727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14 nn0ex 11148 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
15 elmapg 7735 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
1613, 14, 15sylancl 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
175, 16mpbid 220 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
1817, 10fssd 5956 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
19 coeid.6 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
203, 4, 18, 19, 1coeeq 23732 . . . . . . 7 (𝜑 → (coeff‘𝐹) = 𝐵)
212, 20syl5req 2656 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = 𝐴)
2221adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵 = 𝐴)
23 fveq1 6087 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐴 → (𝐵𝑘) = (𝐴𝑘))
2423oveq1d 6542 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴 → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
2524sumeq2sdv 14231 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
2622, 25syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
273adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
28 dgrub.2 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (deg‘𝐹)
29 dgrcl 23738 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
3028, 29syl5eqel 2691 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3127, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3231nn0zd 11315 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
334adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3433nn0zd 11315 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3522imaeq1d 5371 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
3619adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
3735, 36eqtr3d 2645 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
382, 28dgrlb 23741 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0}) → 𝑁𝑀)
3927, 33, 37, 38syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁𝑀)
40 eluz2 11528 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑀))
4132, 34, 39, 40syl3anbrc 1238 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
42 fzss2 12210 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
4341, 42syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
44 elfznn0 12260 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
45 plyssc 23705 . . . . . . . . . . 11 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
4645, 3sseldi 3565 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
472coef3 23737 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4948adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
5049ffvelrnda 6252 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
51 expcl 12698 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
5251adantll 745 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
5350, 52mulcld 9917 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
5444, 53sylan2 489 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
55 eldifn 3694 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
5655adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
57 eldifi 3693 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
58 elfznn0 12260 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
602, 28dgrub 23739 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘𝑁)
61603expia 1258 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
6227, 59, 61syl2an 492 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
63 elfzuz 12167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
6457, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
65 elfz5 12163 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
6664, 32, 65syl2anr 493 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
6762, 66sylibrd 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
6867necon1bd 2799 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝐴𝑘) = 0))
6956, 68mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝐴𝑘) = 0)
7069oveq1d 6542 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = (0 · (𝑧𝑘)))
71 simpr 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
7271, 59, 51syl2an 492 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
7372mul02d 10086 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑧𝑘)) = 0)
7470, 73eqtrd 2643 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
75 fzfid 12592 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ∈ Fin)
7643, 54, 74, 75fsumss 14252 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
7726, 76eqtr4d 2646 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
7877mpteq2dva 4666 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
791, 78eqtrd 2643 1 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  cdif 3536  cun 3537  wss 3539  {csn 4124   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cima 5031  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7722  cc 9791  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796   · cmul 9798  cle 9932  0cn0 11142  cz 11213  cuz 11522  ...cfz 12155  cexp 12680  Σcsu 14213  Polycply 23689  coeffccoe 23691  degcdgr 23692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-0p 23188  df-ply 23693  df-coe 23695  df-dgr 23696
This theorem is referenced by:  coeid  23743
  Copyright terms: Public domain W3C validator